analisis tecnologico( diagnostico tecnologico, herramienta de toma de deciones)
funciones de varias variables
1. Republica Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Estado Anzoátegui
Sede Barcelona
Profesor: Alumno:
Pedro Beltrán Mauricio Silva
C.I: 28.521.169.
20-11-2020
2. Las funciones de varias variables se puede decir que se interpreta como
un conjunto de valores y puntos los cuales definen de manera certera la
posición en la cual se encuentra un punto cualquiera en un espacio
euclideo. Aparte de sus diversos usos en la matemáticas, tienen otras
utilidades estas coordenadas cartesianas son muy utilizadas para
localizar sitios en los mapas. Los planos la mayoría de las veces suelen
estar divididos en sectores con ejes horizontales y verticales.
3. En geometría, un sistema de coordenadas
es un sistema que utiliza uno o más
números (coordenadas) para determinar
unívocamente la posición de un punto u
objeto geométrico. El orden en que se
escriben las coordenadas es significativo y
a veces se las identifica por su posición en
una tupla ordenada; también se las puede
representar con letras, como por ejemplo
«la coordenada-x».
4. El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría
analítica, permite formular los problemas geométricos de forma
"numérica". Existen diferentes tipos de sistemas de coordenadas como
lo son:
• Sistema coordenado lineal.
• Sistemas de coordenadas cartesianas.
• Sistema de coordenadas polares.
• Sistema de coordenadas log-polares.
• Sistema de coordenadas cilíndricas.
• Sistema de coordenadas esféricas.
• Coordenadas geográficas.
• Coordenadas curvilíneas generales.
• Coordenadas curvilíneas ortogonales.
5. Las coordenadas cartesianas o coordenadas
rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de
coordenadas ortogonales usadas en espacios
euclídeos, para la representación gráfica de una
relación matemática (funciones matemáticas y
ecuaciones de geometría analítica), o del
movimiento o posición en física, caracterizadas por
tener como referencia ejes ortogonales entre sí que
concurren en el punto origen. En las coordenadas
cartesianas se determinan las coordenadas al
origen como la longitud de cada una de las
proyecciones ortogonales de un punto dado sobre
cada uno de los ejes.
6. El punto de intersección de las rectas, por definición, se considera como el
punto cero de las rectas y se conoce como origen de las coordenadas. Al eje
horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y
al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las ye
("y").
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se
conocen con el nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante "I": Región superior derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
7. El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el
plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El
conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar
otros puntos. el cuadrante tienes 4 puntos negativo y positivo ya que el lado
izquierdo se le llama negativo que es -x, -y y lado derecho es positivo +x,+y.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta),
respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio),
perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado
origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan
abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa
habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y
se representa por la y.
8. Ejemplos de coordenadas
El origen siempre está situado en las coordenadas (0,0). Es decir,
está lo más a la izquierda y abajo posible. O es un punto
especial, desde él comienzan los ejes de coordenadas y está “0
posiciones a la derecha y 0 posiciones arriba”. Éste es el punto
desde el que se empieza a contar. Entonces (0,3) estaría 0
posiciones a la derecha y 3 arriba. Y (5,0) 5 posiciones a la
derecha y 0 arriba.
Por ejemplo, un avión azul en las coordenadas (3,2) ¿Dónde se
localizaría?
La primera coordenada nos indica la posición en el eje X. Hay
que contar 3 posiciones desde el origen hacia la derecha. Y la
segunda coordenada la posición del eje Y, contar 2 posiciones
hacia arriba. Así situamos al avión azul 3 posiciones a la derecha
del origen y 2 hacia arriba.
9. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en
que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se
trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la
geometría analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la
longitud de la proyección del radio vector sobre el plano XY.
φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la
proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el
punto P al plano XY.
10. Este sistema de coordenadas es de gran utilidad en los cálculos matemáticos
porque permiten modelar de una manera más cómoda situaciones, modelos y
fenómenos de diversas áreas.
Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas
polares al espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se
usan r, el ángulo theta y la variable z, x o y. La última variable designa la
extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable dejar intacta, hay
que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia es aquella
sobre cuyo eje abre la superficie.
11. Ejemplo
Las coordenadas cilíndricas tienen aplicaciones en la tecnología. Como ejemplo se tiene el
sistema CHS (Cylinder-Head-Sector) de ubicación de datos en un disco duro, el cual en
realidad consiste en varios discos:
– El cilindro o pista corresponde a la coordenada ρ.
– El sector corresponde a la posición φ del disco que gira a elevada velocidad angular.
– La cabeza corresponde a la posición z del cabezal de lectura en el disco correspondiente.
Cada byte de información tiene una dirección precisa en coordenadas cilíndricas (C, S, H).
Ejercicio
Se tienen los puntos P1 de coordenadas cilíndricas ( 3, 120º, -4) y el punto P2 de
coordenadas cilíndricas ( 2, 90º, 5). Hallar la distancia euclidiana entre estos dos puntos.
Solución: En primer lugar, se procede a encontrar las coordenadas cartesianas de cada
punto siguiendo la fórmula que se dio más arriba.
P1 = ( 3* cos 120º, 3* sen 120º, -4 ) = ( -1.5, 2.60, -4 )
P2 = ( 2* cos 90º, 2* sen 90º, 5 ) = ( 0, 2, 5 )
La distancia euclidiana entre P1 y P2 es:
d(P1, P2) = √( (0 – (-1.5))2+(2 – 2.60)2+(5 -(-4))2 ) =√(2.25+0.36+81) = 9.14
12. El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las
coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un
punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P
queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo
polar o colatitud θ y el azimutal φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su
margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY.
También puede variar la medida del azimutal, según se mida el ángulo en
sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a
+180° (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.
13. Importancia
Aparte de la evidente relación con el sistema de
coordenadas geográficas, aplicables a otros
planetas y cuerpos espaciales con forma esférica
y el sistema de localización polar de los cuerpos
estelares en la bóveda celeste, el sistema de
ubicación GPS; desde el punto de vista de la
geometría analítica y la precisión realista de los
fenómenos que suceden en la superficie terrestre,
donde la línea recta es apenas un ideal
geométrico, gana gran importancia para las
ciencias de la naturaleza y las propiedades
espaciales de la trigonometría, especialmente la
trigonometría esférica, donde por solo citar un
ejemplo los triángulos formados por líneas
geodésicas no necesariamente la suma de sus
ángulos interiores es 1800.
14. Relaciones con otros sistemas de coordenadas
Coordenadas geográficas
Pese a la similitud evidente entre la caracterización de un punto según sus coordenadas
esféricas y geográficas, la diferencia fundamental radica en la forma de definir la latitud que
si bien en las coordenadas esféricas se define por el ángulo entre el eje Z y el vector Vector
A.gif; en el caso de la latitud geográfica se define mediante el ángulo formado por el propio
vector Vector A.gif y la proyección del mismo sobre el plano XOY.
Coordenadas cartesianas
Las fórmulas de conversión entre los sistemas esféricos y cartesianos son simples. Dada la
coordenada esférica (r,a,b) su equivalente cartesiano (x,y,z) vendría dado por la relación:
x=r cos a cos b
y=r sen a cos b
z=r cos b
Coordenadas cilíndricas
Si bien las coordenadas esféricas (r,a,b) y cilíndricas (a,R,z) tiene como elemento común el
ángulo longitudinal a conformado entre el eje X el origen de coordenadas y la proyección del
vector A sobre el plano XOY; aunque difiere en el hecho de que el radio R de la base del
cilindro es el módulo del vector proyectado y no como en el sistema esférico, donde el radio r
era la distanciaOA
15. Ejemplo
Las coordenadas geográficas de Palma de Mallorca (España) son:
Longitud Este 38,847º y Latitud Norte 39,570º. Para determinar las coordenadas esféricas
correspondientes a Palma de Mallorca se aplica la primera de las fórmulas de las fórmulas de
la sección previa:
38,847ºE39,570ºN → (r=6371 km, θ=90º-39,570º, φ=38,847º)
Entonces las coordenadas esféricas son:
Palma de Mallorca:(r=6371 km, θ=50,43º, φ=38,85º)
En la respuesta anterior se ha tomado r igual al radio promedio de la Tierra.
Ejercicio
Hallar las coordenadas cartesianas de Palma de Mallorca en el sistema de referencia
cartesiano XYZ mostrado en la figura 2.
Solución: Previamente, en el ejemplo 1 se obtuvo las coordenadas esféricas partiendo de las
coordenadas geográficas de Palma de Mallorca. De modo que pueden usarse las fórmulas
presentadas más arriba para pasar de esféricas a cartesianas:
x = 6371 km Sen(50,43º) Cos(38,85º)
y = 6371 km Sen(50,43º) Sen(38,85º)
z = 6371 km Cos(50,43º)
Realizando los cálculos correspondientes se tiene:
Palma de Mallorca: (x=3825 km, y=3081 km, z=4059)
16. Transformación de cartesianas a cilíndricas:
Las coordenadas cartesianas están representadas por 3 valores, (X, Y, Z). Cuando
se convierten en coordenadas cilíndricas, los nuevos valores se representarán
como (r, θ, z).
.
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cartesianas (3, 4, 5) en sus coordenadas cilíndricas
equivalentes
Esta respuesta se calcula en grados. En
radianes, el valor de θ sería 0,93.
17. De cartesianas a polares:
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares
(r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22,6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x
18. De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas
cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un
ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0,921 = 11,98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0,391 = 5,08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y)
son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )
19. De esféricas a cartesianas:
Las coordenadas esféricas están representadas por 3 valores, (r, θ, φ). Cuando
se convierten en coordenadas cartesianas, los nuevos valores se representarán
como (x, y, z).
Ejemplo de Cálculo
Convierta las coordenadas esféricas (12, 20°, 60°) en su coordenada cartesiana
equivalente.
20. De cilíndricas a cartesianas:
Las coordenadas cilíndricas están representadas por 3 valores, (r, φ, Z).
Cuando se convierten en coordenadas cartesianas, los nuevos valores se
representarán como (X, Y, Z).
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cilíndricas (3, 10 °, 4) en su coordenada cartesiana
equivalente.
21. De cartesianas a esféricas:
Las coordenadas cartesianas están representadas por 3 valores, (x, y, z). Cuando se
convierten en coordenadas esféricas, los nuevos valores se representarán como (r,
θ, φ).
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cartesianas (2, 3, 8) en sus coordenadas esféricas
equivalentes.
22. De cilíndricas a esféricas:
Las coordenadas cilíndricas están representadas por 3 valores, (r, φ, Z). Cuando
se convierten en coordenadas esféricas, los nuevos valores se representarán
como (r, θ, φ).
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cilíndricas (3, 20 °, 4) en sus coordenadas esféricas
equivalentes.
23. De esféricas a cilíndricas:
Las coordenadas esféricas están representadas por 3 valores, (r, θ, φ). Cuando se
convierten en coordenadas cilíndricas, los nuevos valores se representarán como (r,
φ, z).
Ejemplo de Cálculo
Convierta las coordenadas esféricas (8, 40 °, 20 °) en sus coordenadas cilíndricas
equivalentes.
24. PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO DE UN PUNTO
El punto simétrico A’ de un punto A respecto de otro punto M, será el punto tal que la
distancia del punto A al punto M es igual a la distancia del punto A’ al punto M, es decir, d
(A,M)= d (A’,M). Por tanto, podemos decir que el punto M es el punto medio del segmento
AA’.
Ejemplo: Hallar el punto simétrico de A(2,3) respecto al punto (-1,2).
Tenemos que hallar el punto A’ tal que el punto M(-1,2) sea el punto medio de AA’.
Recordemos que para calcular el punto medio entre dos puntos P(a ,b ) y P'(a’ ,b’ )
utilizamos la siguiente fórmula: M=(a+a’/2, b+b’/2), por tanto tenemos la siguiente igualdad:
(-1,2)=(2+a’/2, 3+b’/2).
Igualando coordenada a coordenada hallamos el valor de a’ y el valor de b’, las coordenadas
de nuestro punto:
-1= (2+a’)/2 → -2=2+a’ → a’=-4
2 = (3+b’)/2 →4 = 3+b’→b’=1
Por tanto el punto de simétrico que nos piden es el punto A'(-4,1).
25. PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO UN PLANO
El punto simétrico P’ de un punto P respecto a un plano π es el
punto situado en la recta perpendicular al plano que pasa por P,
tal que la distancia del punto P al plano es la misma que la
distancia del punto A’ al plano: d ( π ,P)= d ( π ,P’).
Para hallar el punto simétrico respecto al plano procederemos
de la siguiente manera:
1º) Hallamos la recta perpendicular r perpendicular al plano que
pasa por P. Por tanto, tendrá como vector director el vector
normal al plano.
2º) Una vez hallada la ecuación de la recta, calculamos el punto
de intersección entre el plano dado y la recta obtenida en el
primer paso. Este punto será M.
3º) Por último, procedemos igual que en el primer caso, cuando
se trataba de buscar el simétrico de un punto respecto del punto
M.
26. PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO UNA RECTA
El punto simétrico P’ de un punto P respecto a una recta r, es el punto que se
encuentra situado en la recta perpendicular a r que pasa por P, tal que la distancia
del punto P a la recta es igual a la distancia del punto P’ a la recta, es decir: d(P,
r)=d( P’, r)
Para hallar el punto simétrico respecto a una recta seguimos los siguientes pasos:
1º) Hallamos el plano perpendicular a r que contiene a P, para hacerlo utilizamos el
vector director de la recta, que será el vector normal del plano.
2º) Hallamos el punto de corte de la recta y el plano calculado en el paso anterior,
M.
3º) Por último, repetimos el mismo paso que en el caso anterior.
27. Dos puntos, P y P', son simétricos respecto a un punto, O, si O es el punto
medio del segmento que determinan los puntos P y P'. El punto O recibe el
nombre de centro de simetría y este tipo de simetría se denomina simetría con
respecto a un punto o simetría central.
Simetría de dos puntos respecto a otro punto
Dos puntos A y B son simétricos respecto a un punto M si éste es el punto
medio del segmento de recta que une al punto A con el punto B.
28. Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la
misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable
dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy
común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z =
f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no
solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde
un valor de z.
29. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y
entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El
problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el
máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque
dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al
menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el
siguiente:
Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias
superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los
planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en
tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la
prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables
como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una
gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función
puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo
punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe
con la definición de función.
30. Ejemplo 1
Evalúe la función f(x,y) = x^2 + y^2 en el punto (3,-1). Entonces sustituimos x por 3 y y por -
1 de la siguiente forma:
Existen diversas técnicas para graficar este tipo de funciones definidas en varias
variables, una de ellas es proyectar la superficie que esta define en cada plano.
Por ejemplo, si consideramos nuevamente la función f(x,y)=x^2+y^2, podemos ver su
proyección en el plano XZ tomando y=0 y de esta forma la función se convierte en
Z=f(x,0)=x^2+0^2 z=x^2; también podemos ver su proyección en el plano YZ tomando x=0
y de esta forma la función se convierte en Z=f(0,y)=0^2+y^2 z=y^2. Sus gráficas
respectivas serán
Finalmente, se completa la superficie uniendo
las curvas trazadas
31. Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre
en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de
valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el
conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero
ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el
dominio depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas
variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se
indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad
son todos los reales, pues nunca se indefine:
32. En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los
valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la
función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de x y de y son
permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos dimensiones
solamente.
33. Los sistemas de coordenadas son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en
espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática
(funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o
posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre
sí que concurren en el punto origen. La idea de relación es más compleja puesto
que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados
a los que les corresponde un valor de z. El rango es el conjunto de valores reales
que toma la función z en función del dominio. El proceso para encontrar el dominio
es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en
función de la relación entre las variables del argumento.
