Teórica Unidad N° 3 - Proporcionalidad numérica y geométrica

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y GEOMÉTRICA
MATEMÁTICA - Cátedra:Arqta.Goity - UnidadN° 3: PROPORCIONALIDAD

 FORMA, ESCALA y PROPORCIÓN son recursos
indispensables del DISEÑO. Están íntimamente ligados
entre sí y mucho tienen que ver con la MATEMÁTICA y
la GEOMETRÍA.
• PROPORCIONALIDAD: ¿PARA QUÉ?

La PROPORCIÓN se refiere a la JUSTA y ARMONIOSA
RELACIÓN de UNA PARTE con OTRAS o con el TODO.
Esta relación puede ser no solo de MAGNITUD, si no de
CANTIDAD o también de GRADO.

A
𝛼
B
• ¿QUÉ ES UNA PROPORCIÓN?
Dados CUATRO NÚMEROS REALES
DISTINTOS DE CERO en un cierto orden, se
dice que forman PROPORCIÓN si se verifica
que el COCIENTE entre el PRIMERO y el
SEGUNDO es igual al COCIENTE entre el
TERCERO y el CUARTO.
Si a, b, c, d son números reales distintos de cero,
se dice que forman PROPORCIÓN en ese orden si
a : b = c : d , que se expresa generalmente en
forma de fracción
MEDIOS: b y c
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
1°razón
2°razón
EXTREMOS: a y d
a es a b, como c es a d.
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
y que se lee:
RAZÓN: cada una de las
2 fracciones que forman
la proporción.
antecedentes
consecuentes

 PROPIEDAD DE SERIE DE RAZONES:
Tres o más razones forman una serie de
razones iguales:
• PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
 a.d = b.c
Con a, b, c y d ∈  − {𝟎}
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
=
𝐞
𝐟
=
𝐠
𝐡
= ⋯
𝐚+𝐜+𝐞+𝐠+⋯
𝐛+𝐝+𝐟+𝐡+⋯
=
𝐚
𝐛
3
−11
=
−21
77
3.77 = -11. (-21)
231 = 231
1+2+3−1
3+6+9−3
=
5
15
1
3
Ej:
 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS
PROPORCIONES:
En toda proporción debe verificarse que el
producto de los extremos es igual al producto
de los medios.
¿Será una proporción?
Ej:
1
3
=
2
6
=
3
9
=
−1
−3
=
𝟏
𝟑

A
𝛼
B
• CÁLCULO DEL 4° PROPORCIONAL
Si conocemos TRES de los cuatro números,
podemos hallar el CUARTO que junto con
ellos forman la PROPORCIÓN.
a
b
=
c
x
⇒
3
2
=
−1
x
x =
2.(−1)
3
=
− 2
3
≅ −𝟎, 𝟒𝟕𝟏𝟒
3 . x = 2 . (-1)
¿Cuánto vale x, si a, b, c y x forman proporción
en ese orden, sabiendo que a = 3, b = 𝟐, c = -1 ?
La PROPORCIÓN, el
PORCENTAJE y la
RELACIÓN expresan ideas
similares en formatos
ligeramente diferentes.
El PORCENTAJE de mesas
en el envío es 25 % o 0,25
(al dividir 10 entre 40).
Ej: En un envío de 40
muebles, 10 son mesas.
¿Qué porcentaje del envío
representan las mesas?
Las mesas representan una
PROPORCIÓN de 1 en 4 del
envío si el valor de 10 en 40
se simplifica.
La RELACIÓN de las mesas
a todo el envío es de 1:4.
𝒎𝒆𝒔𝒂𝒔
𝒆𝒏𝒗í𝒐
=
𝟏
𝟒

𝛼
B
• CÁLCULO DEL 3° PROPORCIONAL
Si conocemos DOS de los tres números de
una PROPORCIÓN CONTINUA, podemos
hallar el TERCERO que junto con ellos
forman la PROPORCIÓN.
𝐚
𝐛
=
𝐛
𝐜
⇒
2
2
=
2
x
x =
2 . 2
2
=
𝟐
2
= 𝟏
Cuando los MEDIOS son IGUALES, la proporción
se llama CONTINUA.
2 . x = 2 . 2
¿Cuánto vale x, si a, b y x forman proporción
continua en ese orden, sabiendo que a = 2 y
b = 𝟐?
Mide la pendiente de la
carretera con respecto a la
horizontal.
Significa que 10% =
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
Quiere decir que subimos
10 metros de altura
mientras que avanzamos
100 metros.
Ej:
Considerando la figura de
la izquierda:

PROPIEDAD 1:
En toda PROPORCIÓN se verifica que la
SUMA de ANTECEDENTE más
CONSECUENTE es a su ANTECEDENTE en
la PRIMERA RAZÓN, como la SUMA de
ANTECEDENTE más CONSECUENTE es a
su ANTECEDENTE en la SEGUNDA RAZÓN
𝐚+𝐛
𝐚
=
𝐜+𝐝
𝐜
Con a, b, c y d ∈  − {𝟎}
Si
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
⇒
−4
13
=
2
−6,5
−4+13
−4
=
2+(−6,5)
2
9
−4
=
−4,5
2
9 x 2 = (-4) x (-4,5)
Ej:
Apliquemos la propiedad a
la proporción:
18 = 18

PROPIEDAD 2:
CONSECUENTE es a su CONSECUENTE
en la PRIMERA RAZÓN, como la SUMA de
su CONSECUENTE en la SEGUNDA
RAZÓN
𝐚+𝐛
𝐛
=
𝐜+𝐝
𝐝
Con a, b, c y d ∈  − {𝟎}
Si
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
⇒
−4
13
=
2
−6,5
−4+13
13
=
2+(−6,5)
−6,5
9
13
=
−4,5
−6,5
9 x (-6,5) = 13 x (-4,5)
Ej:
la proporción:
-58,5 = -58,5

PROPIEDAD 3:
RESTA de ANTECEDENTE menos
CONSECUENTE es a su ANTECEDENTE en
la PRIMERA RAZÓN, como la RESTA de
ANTECEDENTE menos CONSECUENTE es
a su ANTECEDENTE en la SEGUNDA
RAZÓN
𝐚 − 𝐛
𝐚
=
𝐜 − 𝐝
𝐜
Con a, b, c y d ∈  − {𝟎}
Si
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
⇒
−4
13
=
2
−6,5
−4−13
−4
=
2−(−6,5)
2
−17
−4
=
8,5
2
-17 x 2 = (-4) x 8,5
Ej:
la proporción:
-34 = -34

PROPIEDAD 4:
RESTA de ANTECEDENTE menos
CONSECUENTE es a su CONSECUENTE
en la PRIMERA RAZÓN, como la RESTA de
ANTECEDENTE menos CONSECUENTE es
a su CONSECUENTE en la SEGUNDA
RAZÓN
𝐚 − 𝐛
𝐛
=
𝐜 − 𝐝
𝐝
Con a, b, c y d ∈  − {𝟎}
Si
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
⇒
−4
13
=
2
−6,5
−4−13
13
=
2−(−6,5)
−6,5
−17
13
=
8,5
−6,5
-17 x (-6,5) = 13 x 8,5
Ej:
la proporción:
110,5 = 110,5

PROPIEDAD 5:
CONSECUENTE es a la DIFERENCIA de
ANTECEDENTE MENOS CONSECUENTE
en la PRIMERA RAZÓN, como la SUMA de
la DIFERENCIA de ANTECEDENTE MENOS
CONSECUENTE en la SEGUNDA RAZÓN.
𝐚+ 𝐛
𝐚 −𝐛
=
𝐜+ 𝐝
𝐜 −𝐝
Con a, b, c y d ∈  − 𝟎
a ≠ b ; c ≠ d
Si
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
⇒
−4
13
=
2
−6,5
−4+13
−4−13
=
2+(−6,5)
2−(−6,5)
9
−17
=
−4,5
8,5
9 x 8,5 = -4,5 x (-17)
Ej:
Apliquemos la propiedad
a la proporción:
76,5 = 76,5

• PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
Ej:
La razón entre
es r = =
A B
  
  
DC
CDAB y
𝐀𝐁
𝐂𝐃
3
4
𝐀𝐁 = medida de 𝐀𝐁 = 𝟑
𝐂𝐃 = medida de 𝐂𝐃 = 𝟒
p
v
Sp Sv
𝐩
𝐒 𝐩
=
𝐯
𝐒 𝐯
La RAZÓN entre dos SEGMENTOS no nulos
es igual a la RAZÓN (cociente) entre sus
MEDIDAS.
1,80 = 1,80
3 x 0,60 = 1,50 x 1,20
𝒗 = 1,2 m, Sv = 0,60 m
Ej: 𝐩 = 3 m, 𝐒𝐩 = 1,5 m
¿Es posible formar RAZONES con SEGMENTOS?
La respuesta es sí.
¿Y PROPORCIONES?
También.
Dados cuatro segmentos a, b, c y d en ese
orden y tales que NO sean nulos, se dice
que forman PROPORCIÓN cuando:
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝

• CÁLCULO DEL SEGMENTO 4° PROPORCIONAL
De igual modo que con números, se puede calcular
el 4° segmento proporcional conociendo los otros 3.
Ej:
Si los segmentos a, b, c y d forman proporción en
ese orden y las medidas de tres de ellos son:
a = 30 cm, b = 80 cm, c = 140 cm, para calcular la
medida del segmento d procedemos así:
Formamos la proporción:
Sustituimos por los valores de esas medidas:
30
80
=
140
x
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
Aplicamos la propiedad fundamental de las
proporciones: 30. x = 80 .140
Despejando x =
80.140
30
= 373,33
Luego podemos afirmar que d = 373,33 cm
GRANDES FINITOS que
NO son INFINITOS
GOOGOL:
Milton Sirotta (9 años),(1938)
sobrino del matemático de
EEUU Edward Kasner.
1 GOOGOL: es un 1 seguido
de 100 ceros = 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎
1 GOOGOLPLEX
GOOGOLTRIPLEX
𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒈𝒐𝒐𝒈𝒐𝒍
=𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎
GOOGOLDUPLEX
𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒈𝒐𝒐𝒈𝒐𝒍
=𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎
Es un 1 seguido de un
GOOGOL de ceros, esto es,
10 elevado a la
googol-ésima potencia
1 GOOGOLPLEX:
𝟏𝟎 𝐠𝐨𝐨𝐠𝐨𝐥
= 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎

• CÁLCULO DEL SEGMENTO 4° PROPORCIONAL
p
Sp
𝐏 = X ; 𝐕 = 8 m ; 𝐒𝐩 =
𝟐𝟏 𝐦 ; 𝐒𝐯 = 𝟑, 𝟓𝟎 𝐦
=
P
Sp
V
Sv
v
Sv
⇒
x
21
=
8
3,50
21 x 8
3,50
x = = 48
𝐑𝐭𝐚: 𝐥𝐚 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐞𝐝𝐢𝐟𝐢𝐜𝐢𝐨
𝐞𝐬 𝟒𝟖 𝐦
Y un ejemplo de aplicación:
Ej:
La sombra que proyecta sobre la calle un edificio
de propiedad horizontal es de 21 m. Si a la misma
hora una casa de 8 m de altura proyecta una
sombra de 3,5 m. ¿Qué altura tiene el edificio?
De acuerdo a la figura:
La proporción es:
x . 3,50 = 21 . 8

SILLA BARCELONA – LUDWIG MIES VAN DER ROHE (1928)
Materiales: Acero y cuero.
Simetría y proporcionalidad la convierten en un elemento armonioso y elegante; ícono
representativo del mobiliario moderno.

SILLA WIGGLE
FRANK GEHRY (1972)
Materiales: Cartón
Su diseño se lleva
todas las miradas
gracias a su escultórica
silueta. Construida con
cartón corrugado bajo
la técnica de planos
seriados; esta silla es
reconocida como una
obra maestra del
diseño canadiense.

FIN

• TEOREMA DE THALES

=
𝐀𝐁
𝐁𝐂
a // b // c // d, s y l secantes
Dadas TRES O MÁS RECTAS PARALELAS
cortadas por RECTAS TRANSVERSALES
se verifica que la RAZÓN entre los
SEGMENTOS que las paralelas determinan
sobre UNA DE LAS TRANSVERSALES es
igual a la RAZÓN entre los SEGMENTOS
correspondientes que las mismas paralelas
determinan sobre la otra TRANSVERSAL.
A P
B Q
C R
D S
a
c
d
s l
𝐏𝐐
𝐐𝐑
ó
𝐀𝐁
𝐂𝐃
b
=
𝐏𝐐
𝐑𝐒
ó
𝐂𝐃
𝐁𝐂
=
𝐑𝐒
𝐐𝐑
etc.

Ej:
Se observa que la proyección de 𝑨𝑩 sobre “l”
según la dirección “d” es 𝑨´𝑩´ y que la proyección
de 𝑪𝑫 sobre “l” según la dirección “d” es 𝑪´𝑫´.
Y que 𝑨𝑩 = 1,2; 𝑨´𝑩´ = 1,6; 𝑪𝑫 = 2,1; calcular 𝑪´𝑫´
A B
C
D
C´A´ B´ D´
l
s d
𝐀𝐁
𝐂𝐃
=
𝐀´𝐁´
𝐂´𝐃´
1,2
2,1
= 1,6
C´D´
C´D´ =
C´D´ x 1,2 = 2,1 x 1,6
2,1 x 1,6
1,2
C´D´ = 2,8
𝐑𝐭𝐚: 𝐂´𝐃´ = 2,8

𝐀𝐁
𝐁𝐂
𝐌𝐍
𝐍𝐏
• PROPIEDAD RECÍPROCA
=
Si s y l son secantes a a, b y c
Si 3 o más RECTAS son interceptadas por 2
TRANSVERSALES a ellas y las medidas de
los SEGMENTOS que esas rectas
determinan sobre una TRANSVERSAL
resultan PROPORCIONALES a las
correspondientes medidas de los
SEGMENTOS que quedan determinados
sobre la otra TRANSVERSAL, entonces las
RECTAS son PARALELAS.
A M
B N
C P
a
c
s l
b
Entonces a // b // cy

• APLICACIÓN DE LA PROPIEDAD RECÍPROCA
M N
S
P
RQ
a b c
s
l
a) Long 𝑴𝑵 = 𝟐 𝒄𝒎
Long 𝑵𝑷 = 𝟑 𝒄𝒎
Long 𝑸𝑹 = 𝟑 𝒄𝒎
Long 𝑹𝑺 = 𝟒 𝒄𝒎
b) Long 𝑴𝑵 = 𝟔 𝒄𝒎
Long 𝑵𝑷 = 𝟖 𝒄𝒎
Long 𝑸𝑹 = 𝟗 𝒄𝒎
Long 𝑹𝑺 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎
c) Long 𝑴𝑵 = 𝟔, 𝟖 𝒄𝒎
Long 𝑵𝑷 = 𝟖, 𝟓 𝒄𝒎
Long 𝑸𝑹 = 𝟒, 𝟒 𝒄𝒎
Long 𝑹𝑺 = 𝟓, 𝟓 𝒄𝒎
d) Long 𝑴𝑵 = 𝟑, 𝟏 𝒄𝒎
Long 𝑵𝑷 = 𝟓, 𝟐 𝒄𝒎
Long 𝑸𝑹 = 𝟐, 𝟖 𝒄𝒎
Long 𝑹𝑺 = 𝟒, 𝟗 𝒄𝒎
𝐌𝐍
𝐍𝐏
= y para ello:𝐐𝐑
𝐑𝐒
𝐌𝐍 x 𝐑𝐒 = 𝐍𝐏 x 𝐐𝐑
a) 2 x 4 ≠ 3 x 3 porque 8 ≠ 9
b) 6 x 12 = 8 x 9 porque 72 = 72
c) 6,8 x 5,5 = 8,5 x 4,4 porque
37,4 = 37,4
d) 3,1 x 4,9 ≠ 5,2 x 2,8 porque
15,19 ≠ 14,56
Entonces en los conjuntos
b) y c) a // b // c
y en los conjuntos
a) y d) no son paralelas.
¿Para cuáles de los conjuntos detallados resulta
a // b // c ?
Ej: Debe ser:

• COROLARIOS DEL TEOREMA DE THALES
=
r // 𝐀𝐂 , 𝐀𝐁 y 𝐁𝐂 secantes
Toda PARALELA a un LADO de un
TRIÁNGULO determina sobre las rectas que
contienen a los otros 2 LADOS, SEGMENTOS
tales que sus medidas resultan
PROPORCIONALES a las medidas de esos
LADOS.
pero
𝐁𝐀
𝐁𝐌
=
𝐁𝐂
𝐁𝐍𝐁𝐌 + 𝐌𝐀 = 𝐁𝐀
A
B
C
M N
r
r // AC
●
● ●
●●
𝐁𝐌 + 𝐌𝐀
𝐁𝐌
𝐁𝐍 + 𝐍𝐂
𝐁𝐍 𝐁𝐍 + 𝐍𝐂 = 𝐁𝐂y
Se conocen con ese nombre a CONSECUENCIAS del
TEOREMA DE THALES aplicadas a un TRIÁNGULO.

En el triángulo las longitudes de los lados 𝑨𝑪
y 𝑨𝑩 son respectivamente 15 cm y 24 cm.
Si r // 𝑩𝑪 y la longitud de 𝑨𝑸 es 8 cm, calcular la
longitud de 𝑨𝑷.
A
B
C
P
Q
r
r // BC
●
●
● ●●
CBA

𝐀𝐐
𝐀𝐂
=
𝐀𝐏
𝐀𝐁
8
15
= AP
24
AP x 15 = 8 x 24
AP = 8 x 24
15
AP = 12,8 cm
𝐑𝐭𝐚: 𝐀𝐏 = 12,8 cm
Ej:

LADOS.
A
M N
B
C●
●
● ●
●
r // AC
𝐁𝐌
𝐁𝐀 =
𝐁𝐍
𝐁𝐂𝐁𝐀 + 𝐀𝐌
𝐁𝐀
=
𝐁𝐂 + 𝐂𝐍
𝐁𝐂
𝐁𝐀 + 𝐀𝐌 = 𝐁𝐌pero
y 𝐁𝐂 + 𝐂𝐍 = 𝐁𝐍
r

LADOS.
●
A
C
B
M
N
●
●
●
●
r // AC
r
𝐀𝐌 − 𝐁𝐌
𝐁𝐌
=
𝐂𝐍 − 𝐁𝐍
𝐁𝐍
pero 𝐀𝐌 − 𝐁𝐌 = 𝐀𝐁
y 𝐂𝐍 − 𝐁𝐍 = 𝐂𝐁
𝐀𝐁
𝐁𝐌
𝐂𝐁
𝐁𝐍
=

• APLICACIÓN DE PROPIEDADES
𝐌𝐏
𝐏𝐐
𝐑𝐒
𝐒𝐓
=
=
RT
RS
Q
M R
T
P S
m
n
ba
p
=
sustituyendo:
x – 1 + 23 - x
x - 1
=
33
x + 4
22
x - 1
= 33
x + 4
22 . (x + 4) = 33 . (x – 1)
22x + 88 = 33x – 33
22x – 33x = – 33 - 88
– 11x = – 121 ⇒ x = 11
ST = RT - RS = 33 – (11+ 4)
𝐒𝐓 = 𝟑𝟑 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟖
Ej:
Las rectas m, n y p de la figura son paralelas.
Calcular 𝑺𝑻 si 𝑴𝑷 = x – 1; 𝑷𝑸 = 23 – x; 𝑹𝑺 = x + 4
y 𝑹𝑻 = 33.
Aplicando la propiedad 1 de las proporciones:
Por Thales:
𝐌𝐏 + 𝐏𝐐
𝐌𝐏
MP + PQ
MP
𝐑𝐒 + 𝐒𝐓
𝐑𝐒

Uniendo E con Q y trazando
paralelas a por A, B, C
y D se obtienen sobre los
puntos A´, B´, C´ y D´ con lo
que el segmento queda
dividido en 5 partes
congruentes:
C´
Sobre 𝐏𝐒 y a partir de P se
transportan 5 segmentos
congruentes y consecutivos
de cualquier longitud.
(
Desde uno cualquiera de
los extremos de (por ej
P, se traza una semi recta
que forme con
un ángulo agudo. (𝐏𝐒)
• APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES
𝐏𝐐
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN n PARTES
CONGRUENTES (n  N)
B
C
D
A
QP A´ B´
S
𝐏𝐐
𝐏𝐐
𝐏𝐀=𝐀𝐁=𝐁𝐂=𝐂𝐃= .
𝐄𝐐
𝐏𝐐
𝐏𝐀´=𝐀´𝐁´= 𝐁´𝐂´=𝐂´𝐃´= 𝐃´𝐐
A partir del TEOREMA DE THALES es posible
determinar GEOMÉTRICAMENTE SEGMENTOS
PROPORCIONALES a otros.
Ej: Dividir a en cinco segmentos de igual
longitud entre sí.
E
𝐃𝐄)
D´

Trazar 2 semirrectas del
mismo origen que no
estén incluidas en la
misma recta (𝐏𝐐 y 𝐏𝐑).
.
Y trazando una paralela a
por N, se obtiene el
punto S.
Uniendo M con T ( ).
Sobre la otra semirrecta
transportamos la medida
de a partir del origen P.
Ej: Construir un segmento que junto a los
segmentos y forman la siguiente
proporción:
M
𝐓𝐒
Determinación de un SEGMENTO CUARTO
PROPORCIONAL a otros TRES DADOS
MP
P T
NM R
S
P N
T
Q
𝐏𝐌, 𝐏𝐓
𝐏𝐌
𝐌𝐍
𝐏𝐓
𝐓𝐒
=
𝐌𝐍
𝐌𝐓
𝐏𝐌
𝐌𝐍
𝐏𝐓
𝐓𝐒
=
Sobre una de ellas ( 𝐏𝐐)
transportamos las medidas
de y
consecutivamente a partir
del origen P.
𝐏𝐌 𝐌𝐍
𝐏𝐓
𝐌𝐓
El segmento es
el buscado. Por THALES:
𝐓𝐒

Ej:
Dividir un segmento en segmentos proporcionales
a dos números naturales: 2 y 3.
Dividir al segmento en dos segmentos e para
los cuales se cumpla:
Desde uno de sus extremos,
una semirrecta formando
ángulo agudo.
A B
𝑨𝑩
DIVISIÓN de un SEGMENTO en forma
PROPORCIONAL a una RAZÓN dada 𝐀𝐒
𝐱
𝐲
2
3
=
P
Q
S
Mx y
𝒙 𝒚
𝐱 + 𝐲 = y
𝐀𝐁.
𝐱 e 𝐲 buscados.
𝐱
𝐲 =
𝐀𝐏
𝐏𝐐
Trazar el segmento
A partir de A consideramos
5 segmentos consecutivos y
congruentes de longitud
arbitraria. Si al extremo del
5° lo designamos Q, al
extremo del 2°, P, unimos Q
con B y trazamos una
paralela a por P,
obteniendo los segmentos
sobre que
son respectivamente los
𝐀𝐌 y 𝐌𝐁
𝐐𝐁
𝐀𝐁
𝐀𝐁
𝐀𝐁

WALKMAN - ANDREAS PAVEL (1979)
Materiales: Plástico
En los 80's, para llevar la música a todas
partes. Desarrollado por Sony.
IPHONE – STEVE JOBS & JONY IVE
Materiales: Aluminio y cristal
Apple (desde los 70´s): diseños atractivos
e innovadores. Icono del siglo XXI.

• FIGURAS SEMEJANTES

SILLA NIDO
MESA NIDO

Juego de mesa. Marcel Breuer

La primera APLICACIÓN de las PROPORCIONES
es la SEMEJANZA,
ya que esta es una PROPORCIONALIDAD establecida
entre los LADOS de dos FIGURAS de ÁNGULOS IGUALES
• SEMEJANZA
Dos FIGURAS son SEMEJANTES cuando tienen la MISMA FORMA
(el MISMO NÚMERO de LADOS PROPORCIONALES y ÁNGULOS IGUALES)
y DISTINTO TAMAÑO (sus DIMENSIONES son DISTINTAS).

𝐀𝐁
𝐀´𝐁´
Dos TRIÁNGULOS son SEMEJANTES
cuando cumplen:
1) Sus ÁNGULOS en igual posición son
CONGRUENTES
2) Sus LADOS son PROPORCIONALES
• SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
A
k  +
𝐀 = 𝐀´;
=
C´
B´
A´
C
B

ABC

´C´B´A
𝐁 = 𝐁´; 𝐂 = 𝐂´
𝐁𝐂
𝐁´𝐂´ =
𝐀𝐂
𝐀´𝐂´ =
k : razón de semejanza
k = 1 ⇒ igualdad o congruencia de la figura
k < 1 ⇒ dilatación de la figura
k > 1 ⇒ contracción de la figura
∼ 

Cualquier PARALELA a un LADO de un
TRIÁNGULO determina con los otros DOS
LADOS o sus PROLONGACIONES, otro
TRIÁNGULO SEMEJANTE al dado.
• PROPIEDAD DE LA SEMEJANZA

ABC

´BCÁ

ABC ´´BC´Á


´BCÁ
son semejantes entre sí
r // s // AC
∼
∼
∼
●
A
B
A´´●
●
●
●
C
r
A´
●
s
C´´
´´BC´Á


2) LOS TRES LADOS
PROPORCIONALES
8
4
1) DOS ÁNGULOS CONGRUENTES.
Ej:
La CANTIDAD MÍNIMA de ELEMENTOS que
tienen que tener dos TRIÁNGULOS para ser
SEMEJANTES, es la siguiente:
• CRITERIOS DE SEMEJANZA
C
A´
A
𝐀 = 𝐀´; 𝐂 = 𝐂´
Por suma de ángulos
interiores de los
triángulos:
𝐁 = 𝐁´
𝐀 = 𝟖𝟎°
𝐀´ = 80°
𝐂 = 𝟑𝟎°
𝐂´ = 𝟑𝟎"
𝐁 = 𝐁´ = 𝟕𝟎°
13
8
10
6,5
4
5
13
6,5
= 10
5
= = 2 = k
B
B´

Datos de mortalidad al
regreso de Inglaterra de la
guerra de Crimea.
x =
1.2
3
=
• CRITERIOS DE SEMEJANZA
b = 2 cm
3
1
= 2
x
Se tiene un rectángulo inscripto en un triángulo
isósceles, como se indica en la figura. Sabiendo que
la base del triángulo es b=2 cm, y la altura h=3 cm,
y que la altura del rectángulo es H=2 cm, hallar
cuánto mide la base del rectángulo.
Ej:
B = base del rectángulo = 2−2x
h = 3 cm
H = 2 cm
⇒
2
3
=
B =2 – 2.x = 2 – 2.0,67
B = 0,67 cm
Rta: la base mide 0,67 cm
ROSA DE NIGHTINGALE
h = 3 cm
x
0,67
B

Si dos TRIÁNGULOS son SEMEJANTES,
entonces la RAZÓN entre las ÁREAS de
dichos triángulos es igual al CUADRADO de
la RAZÓN de un par de LADOS
PROPORCIONALES o de sus ALTURAS
relativas al mismo lado.
• PROPIEDAD ÁREAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
B´
=
´C´B´A

ABC 𝐀𝐂
𝐀´𝐂´
=
𝐡 𝐀𝐂
𝐡 𝐀´𝐂´
2 2
A
A´
C
B
𝐡 𝐀𝐂
𝐡 𝐀´𝐂´
área
área

1)
2)
3)
Si comparamos TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS, los CRITERIOS de
SEMEJANZA se reducen más aún:
• CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
C
A´
a
𝐀 = 𝐀´

ABC

Ć´BÁ
A
B
B´
𝐡 𝐀𝐁
𝐡 𝐀´𝐁´
⇒ ∼
a´
b´
b c
c´
b
b´
=
c
c´ ⇒

ABC

Ć´BÁ∼

ABC

Ć´BÁ
=
𝐡 𝐀𝐁
𝐡 𝐀´𝐁´
área
área
2

Toda BISECTRIZ de un ÁNGULO INTERIOR
de un TRIÁNGULO determina sobre el LADO
OPUESTO al ángulo SEGMENTOS cuyas
medidas son PROPORCIONALES a las
medidas de los OTROS DOS LADOS.
• TEOREMA DE LAS BISECTRICES
a) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
CP
A
B
𝐛 𝐂
=
𝐀𝐏
𝐏𝐁
𝐀𝐂
𝐁𝐂
HOJAS
Normas DIN
Ao: superficie de 1 m2.
Cada uno de los siguientes
tiene la mitad de superficie
del anterior.
Todos los tamaños son
Semejantes.

AP
C
B
𝐛 𝐚
=
Ej:
BP
PC
AB
AC
En el triángulo la bisectriz del ángulo 𝑨,
divide a 𝑩𝑪 en dos segmentos cuyas longitudes son
7,5 cm y 9 cm. Calcular las longitudes de los lados
𝑨𝑩 y 𝑨𝑪 , si el perímetro del es 62,7 cm.

ABC 𝒃 𝒂

ABC
7,5 cm
9 cm
=
AB
AC
BC = 7,5 cm + 9 cm = 16,5 cm
AB + AC = 62,7 cm – 16,5 cm = 46,2 cm
7,5 cm + 9 cm
9 cm
=
AB+AC
AC
16,5 cm
9 cm
=
46,2 cm
AC
AC =
9 cm . 46,2 cm
16,5 cm
= 25,2 cm
AB = 46,2 cm - 25,2 cm = 21 cm

b) TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
=
𝐀𝐏
𝐂𝐏
𝐀𝐁
𝐁𝐂
C
P
A
B 𝐛 𝐁
𝜶
●
En todo TRIÁNGULO se verifica que la
BISECTRIZ de un ÁNGULO EXTERIOR corta
a la PROLONGACIÓN del LADO OPUESTO
al ÁNGULO INTERIOR ADYACENTE,
DIVIDE a esa prolongación EN 2 TRAMOS
que son PROPORCIONALES a los OTROS
DOS LADOS.
DUPLICACIÓN DEL CUBO
Uno de los problemas
históricos de la matemática.
Una tremenda peste asolaba
a Atenas por los años 429 aC.
Consultado el ORÁCULO DE
APOLO, dijo que se terminaría
si se construía un altar de
VOLUMEN DOBLE del que
había que tenía forma de cubo.
No se logró entonces, igual la
peste terminó.
Resolvelo buscando la RAZÓN
de PROPORCIONALIDAD de
los LADOS para que el
VOLUMEN sea el DOBLE.

• ESCALA
Dos figuras son SEMEJANTES si tienen la
MISMA FORMA, aunque el TAMAÑO sea
DISTINTO.
En ellas, las LONGITUDES de
SEGMENTOS CORRESPONDIENTES son
PROPORCIONALES.
Se llama RAZÓN DE SEMEJANZA o
ESCALA al COCIENTE entre esas
LONGITUDES correspondientes.
OTRAS ESCALAS
También conocida como escala de
magnitud local (ML), es una escala
logarítmica arbitraria que asigna un
N° para cuantificar la energía que
libera un TERREMOTO.
RITCHER:
BEAUFORT:
Mide la velocidad de los VIENTOS
en tierra firme, pero fue hecha para
ayudar a los navegantes. Cuando el
mar parece un espejo, registra el
nivel más bajo.
DE BORTLE:
Mide la OSCURIDAD de la noche y
la visibilidad de las ESTRELLAS.
FOREL-ULE:
Sirve para clasificar el color del
AGUA, indicando su calidad y los
materiales disueltos en ella.

• ESCALA
DIBUJAR un OBJETO A ESCALA
es hacer una FIGURA SEMEJANTE
cuya RAZÓN DE SEMEJANZA es la ESCALA.
𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐚 𝐞𝐧 𝐝𝐢𝐛𝐮𝐣𝐨
𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐚 𝐫𝐞𝐚𝐥
=
𝟏
𝐄

• ESCALA
En dibujo técnico la ESCALA indica la
RELACIÓN MATEMÁTICA que existe
entre las DIMENSIONES REALES y las
del DIBUJO que REPRESENTA LA
REALIDAD.
Las ESCALAS generalmente se escriben en forma
de RAZÓN donde el ANTECEDENTE indica
el VALOR DEL PLANO y el CONSECUENTE el
VALOR DE LA REALIDAD.
Ej:
La ESCALA
𝟏
𝟓𝟎𝟎
(1:500) significa que 1 cm del
plano equivale a 500 cm (5 metros) en el original.
escala
Medida del objeto real
Medida del objeto en el dibujo
E 1:10 50 cm a E:1/1000
50 x 1000/1= 50.000 cm ó
500 metros.
USOS DE LA ESCALA:
Uso Directo:
Cuando pasamos de un
objeto a un dibujo. Hay que
multiplicar las dimensiones
de la forma por la escala.
Ej:
20 metros a E: 1/200
20.1/200 = 0,1 m = 10 cm.
Uso Indirecto:
Pasamos de un dibujo a un
objeto. Hay que multiplicar las
dimensiones del dibujo por la
inversa de la escala.
Ej:

• ESCALA
Para evitar la realización
de multiplicaciones ó divisiones
al dibujar a escala,
se trabaja con REGLAS GRADUADAS
denominadas ESCALAS o ESCALÍMETROS,
las cuales son construidas
en base a los factores de reducción ó
ampliación de las respectivas escalas.

• ESCALA
Escala
natural
Escala de
reducción
Escala de
ampliación
Dibujo mayor
que al natural
Dibujo al
natural
Dibujo menor
que al natural
Ej:
𝟏, 𝟓
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏, 𝟓

• ESCALA

Teórica Unidad N° 3 - Proporcionalidad numérica y geométrica

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