Teórica Ecuaciones

ECUACIONES
MATEMÁTICA - Cátedra:Arqta.Goity - UnidadN° 1: ECUACIONES

•SI DIGO 4 CARPETAS:
• ECUACIONES: ¿PARA QUÉ?
FORMA RÁPIDA, ORGANIZADA Y
BÁSICA PARA RESOLVER PROBLEMAS
EJ: CONTAR ES RESOLVER UNA
ECUACIÓN
carpetas N° naturales
c1
c2
c4
c3 4
3
2
1

SI RESOLVEMOS PROBLEMAS
COTIDIANOS CON RAPIDEZ
• ECUACIONES: ¿PARA QUÉ?
ECUACIONES
DESARROLLO DEL
RAZONAMIENTO
LÓGICO
(no resolver
mecánicamente)
MÁS TIEMPO
PARA LIBERAR LA
CAPACIDAD
CREATIVA

Ej: x + 5 = 8
En ella podemos identificar 2 MIEMBROS
separados por el signo =
x + 5 = 8
Y los TÉRMINOS en cada miembro que son los
sumandos que lo forman.
x + 5 = 8
• ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
En la primera mitad del
SIGLO III, DIOFANTO DE
ALEJANDRÍA usa los
símbolos algebraicos y
enuncia las reglas para
resolver ECUACIONES
DE 1°
Y 2°
GRADO.
Se lo
considera
el padre
del
ALGEBRA.
Aquí la
portada de
su obra ARITMÉTICA.
UNA ECUACIÓN ES UNA IGUALDAD
ALGEBRAICA QUE ES CIERTA O
VERDADERA PARA DETERMINADOS
VALORES DE LAS INCÓGNITAS
es una ecuación
2° miembro1° miembro
1° miembro 2° miembro

La INCÓGNITA de la ecuación es la letra que
aparece en ella.
La ecuación se RESUELVE “despejando” la
incógnita:
x + 5 = 8
x = 8 – 5
x = 3
La expresión x + 5 = 8 será verdadera cuando x
tome el valor 3
x + 5 = 8
Un número es SOLUCIÓN de la ecuación si al
sustituir la incógnita x por este número, la
igualdad se verifica.
• Verificación: 3 + 5 = 8
• ¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN?
La letra x se
utiliza para
indicar la
incógnita. El
matemático
AL-JOARIZMI (siglo IX)
designó a la incógnita XAI
(en árabe: cosa).
Como la inicial es x, se
utilizó esta letra para
abreviar. Aunque puede
usarse cualquier letra.
FRANÇOIS VIÈTE (1540 –
1603) difundió el uso de
letras para simbolizar las
incógnitas y constantes en
las ecuaciones algebraicas.
 x = 3

Otro Ej: 5. (x – 8) = 2 .(x – 1)
5 . x – 40 = 2 . x – 2
5 . x – 2 . x = -2 + 40
3 . x = 38
x =
38
3
Los ejemplos que vimos corresponden a
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCÓGNITA, también llamadas ECUACIONES
LINEALES.
• ECUACIÓN DE 1° GRADO CON 1 INCÓGNITA
El signo = fue utilizado por
primera vez en 1557
por el médico inglés
ROBERT RECORDE.
En uno de sus libros
cuenta que eligió ese signo
porque:
“dos cosas no pueden
ser más iguales que dos
rectas paralelas”.
propiedad distributiva
se agrupan las variables
en el mismo miembro y
los valores numéricos
del otro lado del =
se opera de ambos lados
Se despeja la incógnita

1) LEER detenidamente el enunciado y
ENTENDERLO
2) LOCALIZAR la incógnita
3) ORGANIZAR la información
4) TRADUCIR al lenguaje algebraico
(PLANTEAR la ecuación)
5) RESOLVER la ecuación
6) VERIFICAR el resultado de la ecuación
7) INTERPRETAR el resultado y GENERAR la
respuesta al problema
• PROBLEMAS CON ECUACIONES
El símbolo de RAÍZ se
empezó a usar en 1525 y
apareció por 1° vez en un
libro alemán de álgebra.
Antes, se escribía: “raíz
de …”. Luego, para
abreviar, se empezó a
poner “r”. Pero si el
número era largo, la “r” se
alargaba hasta abarcar
todas las cifras. Así nació
el símbolo de la raíz,
como una
“r” mal
hecha.

Un montón más la séptima parte del montón es
igual a 19. ¿Cuánto hay en el montón?
x +
x
7
= 19
7. x + 1. x
7
= 19
8. x = 19.7
8. x = 133
x =
133
8
Si reemplazamos 19 por 32, el resultado nos va a
dar un N° entero.
x +
x
7
= 32
7. x + 1. x
7
= 32
8. x = 32.7
8. x = 224
x = 28
• UN PROBLEMA CON ECUACIONES
El documento más antiguo
en el que se presentan
PROBLEMAS que se
resuelven con
ECUACIONES es el
PAPIRO RHIND de 1650
A.C.
Rta: En el
montón
hay
133
8
Rta: En el
montón hay 28
• montón = x
• séptima parte
del montón =
x
7

• PROBLEMAS CON ECUACIONES DE 1° GRADO CON 1 INCÓGNITA
Epitafio que escribió un discípulo
de Diofanto de Alejandría en su
tumba: “Caminante!. esta es la
tumba de Diofanto: los
números pueden mostrar, ¡oh
maravilla! la duración de su
vida. Su niñez ocupó la sexta
parte de su vida; después,
durante la doceava parte, de
vello se cubrieron sus mejillas.
Pasó aún una séptima parte de
su vida antes de tomar esposa
y, cinco años después, tuvo un
precioso niño que, una vez
alcanzada la mitad de la edad
de su padre, pereció de una
muerte desgraciada. Su padre
tuvo que sobrevivirle,
llorándole, durante cuatro
años. De todo esto se deduce
su edad”.
Ej:
Si al doble de un número se le resta su mitad,
resulta 54.¿Cuál es el número?
Incógnita:
El doble del número:
La mitad del número:
2. x -
x
2
= 54
4. x − x
2
= 54
3. x = 108
x =
108
3
x = 36
Verificación: 2.36 -
36
2
= 54
número: x
2.x
x
2
 72 – 18 = 54
Rta:
el número es 36

Cuando se trata de ECUACIONES DE 2° GRADO
o CUADRÁTICAS, su fórmula general es:
a. x2
+b. x + c = 0
Donde a = coeficiente principal
b = coeficiente del término lineal
c = término independiente
Para su RESOLUCIÓN se recurre a la fórmula de
la RESOLVENTE:
𝐱 =
−𝐛± 𝐛 𝟐−𝟒.𝐚.𝐜
𝟐.𝐚
Ej: 5. x2
+3. x = 3. x2
- x + 6
5. x2
− 3. x2
+ 3.x + x - 6 = 0
2. 𝑥2
+ 4. x - 6 = 0
𝑥 =
−4± 42−4.2.(−6)
2.2
=
𝒙 𝟏= 1 𝒙 𝟐= -3
Rta: 𝒙 𝟏= 1 𝒙 𝟐= -3
• ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICA
La solución de las
ECUACIONES DE 2°
GRADO fue introducida por
ABRAHAM BAR HIYYA,
matemático judeo español
(1065 – 1136). Pero ya
desde el SIGLO XVII AC.
los matemáticos de
MESOPOTAMIA y de
BABILONIA resolvían
ecuaciones de 1° y 2°
grado y algunos sistemas
de 2 ecuaciones con 2
incógnitas.
¿Y
vosssss???
donde a = 2, b = 4, c = -6
−4± 16+48
4
=
−4 ± 8
4

• SOLUCIONES Y CASOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Probablemente la palabra
CERO deriva de la
expresión ZEPHIRUM,
que es la forma latinizada del
árabe SIFR.
Y que representa, a su vez,
la traducción de la palabra
Hindú SUNYA, que
significa
VACÍO
o
NADA.
b2−4. a. c
Porque de acuerdo a su resultado es la solución
de la ecuación.
Si 𝐛 𝟐 − 𝟒. 𝐚. 𝐜 > 0
Si 𝐛 𝟐
− 𝟒. 𝐚. 𝐜 = 0
Si 𝐛 𝟐
− 𝟒. 𝐚. 𝐜 < 0
ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
1) Si b = 0 ;
Ej: 2. x2
−72 = 0
2. x2 = 72
x = 6
2) Si c = 0 ;
Ej: x2
+2. x = 0
x .(x + 2) = 0
𝒙 𝟏= 0
x + 2 = 0  𝒙 𝟐= -2
DISCRIMINANTE ¿Por qué?
Dos soluciones
Una solución
Sin solución (en los N° reales)
𝐚. 𝐱 𝟐
+ 𝐜 = 𝟎 p/averiguar x , se la despeja.
𝐚. 𝐱 𝟐
+ 𝐛. 𝐱 = 𝟎 se extrae x factor común.

• PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
EPITAFIO
DIOFANTO DE
ALEJANDRÍA
x
6
+
x
12
+
x
7
+ 5 +
x
2
+ 4= x
x = 84
Ej:
Si al triplo de un número se suma su cuadrado, se
obtiene 88. Calcularlo.
Incógnita:
El triplo del número:
El cuadrado del número:
3. x + 𝑥2 = 88
x2
+ 3. x − 88 = 0
x =
−3± 32−4.1.(−88)
2.1
=
𝑥1=
−3+ 19
2
𝑥2=
−3 − 19
2
número: x
3.x
𝐱 𝟐
−3 ± 9 + 352
2
=
−3±19
2
 𝒙 𝟏= 8
 𝒙 𝟐= -11Rta:
Los números
son 8 y -11

• SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS
Hasta fines del siglo XVIII,
los NÚMEROS
NEGATIVOS no fueron
aceptados universalmente.
Los matemáticos de la
INDIA, en el SIGLO VII, los
usaban para indicar
DEUDAS.
GRÁFICAMENTE sería encontrar
los PUNTOS DE INTERSECCIÓN de las funciones
que forman el sistema.
RESOLVER un sistema de ecuaciones es
encontrar un par de valores (uno para x y otro para
y) que verifican todas las ecuaciones implicadas
al mismo tiempo.
3.x + y = 1
4.x – 2.y = 18
Ej:
Generalmente a las incógnitas se les asigna las
letras x e y, pero como ya sabemos, no es
indispensable.
Dos o más ecuaciones conforman un SISTEMA
de ECUACIONES, que puede ser LINEAL (si todas
las ecuaciones intervinientes son lineales) o MIXTO
(si se combinan ecuaciones lineales y cuadráticas).

Para RESOLVER un SISTEMA se pueden utilizar distintos
MÉTODOS: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, REDUCCIÓN
POR SUMAS Y RESTAS y MÉTODO MATRICIAL.
Un SISTEMA de ECUACIONES lineales se puede
clasificar, SEGÚN las soluciones que tenga, en:
• SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: Tiene una
única solución.
Entonces las rectas serán secantes (se corta en un sólo
punto).
• SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: Tiene
infinitas soluciones.
Entonces las rectas serán coincidentes (se cortan en
infinitos puntos).
• SISTEMA INCOMPATIBLE: No tiene solución.
Entonces las dos rectas serán paralelas (no tienen
ningún punto en común).

 x = 2
−6 + 4 . 3
3
y = 3
• MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
3.x – 4.y = -6
2.x + 4.y = 16
1º ec)
Rta: x = 2; y = 3
1. Se despeja una incógnita en una de las
ecuaciones.
2. Se sustituye esta expresión en la otra ecuación,
obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3. Se la resuelve.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en
la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la
solución del sistema.
Decido despejar x en la primera ecuación
y sustituirla en la segunda ecuación.
3.x = -6 + 4.y
x =
−6 + 4. y
3
2.(
−6+4.y
3
)+ 4.y = 16
−12+8.y
3
+4.y = 16
−12 + 8. y + 12. y
3
= 16
-12 + 20.y = 48
20.y = 60
𝑥 =
−6+4.𝑦
3
=
Ej:

 x = 2x =
−6+4.y
3
=
 y = 3
• MÉTODO DE IGUALACIÓN
Ej: 3.x – 4.y = -6
2.x + 4.y = 16
−6 + 4 . 3
3
1º ec)
2º ec)
Igualo:
Rta: x = 2; y = 3
1. Se despeja la misma incógnita en ambas
ecuaciones. En este caso decido despejar x
2. Se igualan las expresiones, con lo que
obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de
las dos expresiones en las que aparecía
despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la
solución del sistema.
3.x = -6 + 4.y
x =
−6 + 4. y
3
2.x = 16 - 4.y
x =
16 − 4. y
2
−6+4.𝑦
3
=
16−4.𝑦
2
2.(-6 + 4.y) = 3.(16 – 4.y)
-12 + 8.y = 48 -12.y
8.y + 12.y = 48 + 12
20.y = 60

3.x - 4.y = - 62. 2.
Rta: x = 2; y = 3
y = 3
6.x - 8.y = -12
x = 2
6.x + 12.y = 48
2.x + 4.y = 163.
• MÉTODO DE REDUCCIÓN POR SUMAS Y RESTAS
Ej: 3.x – 4.y = -6
2.x + 4.y = 16
+
-
3.
2.
3.
1) Decido eliminar y:
3.x – 4.y = -6
2.x + 4.y = 16
5.x = 10
2) Ahora eliminar x:
1) Preparamos las dos ecuaciones, (para lo cual
podemos multiplicar por los números que
convenga), para que las incógnitas a eliminar
tengan coeficientes opuestos. (ej: 3 y -3, 2 y -2,
etc). Si no nos damos cuenta fácilmente por
qué número multiplicar, podemos hallar el mcm
de los coeficientes.
2) Se suman (o restan) las ecuaciones. Se
"eliminará" dicha incógnita, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita.
3) Resolvemos la ecuación.
4) Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de
las 2 ecuaciones iniciales y despejamos la otra
incógnita.
5) También se puede aplicar el mismo método
para el cálculo de la segunda incógnita en lugar
de sustituir en una de las ecuaciones.
-20.y = -60

 𝑥= -6 -4
16 4
 y = 3
 x = 2
= 3 -4
2 4
 𝑦= 3 -6
2 16
• MÉTODO DE DETERMINANTES
Ej: 3.x – 4.y = -6
2.x + 4.y = 16
= 3.4 - 2.(-4) =
= -6. 4 -16.(-4) =
= 3 .16 - 2.(-6) =
= 12 + 8 = 20
= - 24 + 64 = 40
= 48 + 12 = 60
Rta: x = 2; y = 3
1) Ordenar las 2 ecuaciones con el 1º término en “x”,
el 2º término en “y”, y en el 2º miembro los términos
independientes. Esto es fundamental para la
resolución del sistema por este método.
2) Determinante del sistema: conformado por los
coeficientes de “x” y de “y” ordenadamente. Se
multiplica en cruz, comenzando por la diagonal principal
a la que se le resta la otra diagonal. Se resuelven las
operaciones y se obtiene el resultado del determinante.
3) Determinante “x”: se reemplazan los coeficientes de
“x” por los términos independientes. Se realizan los
mismos cálculos y se obtiene el resultado.
4) Determinante “y”: se reemplazan los coeficientes de
“y” por los términos independientes.
5) Variable “x”: cociente entre el determinante “x” y el
determinante del sistema. Variable “y”: cociente entre el
determinante “y” y el determinante del sistema.
= 20
∆ 𝑥= 40
∆ 𝑦= 60
x =
 𝑥

=
40
20
=2
y =
 𝑦

=
60
20
=3

• MÉTODO GRÁFICO
El MÉTODO GRÁFICO no
resulta tan exacto como
cualquiera de los analíticos,
pero es muy útil como
verificación.
GRÁFICAMENTE se dibujan ambas rectas en el
mismo sistema cartesiano y se comprueba que las
variables “x” e “y” constituyen la abscisa y la
ordenada del PUNTO DE INTERSECCIÓN de
esas dos rectas.
Ej: 3.x – 4.y = -6
2.x + 4.y = 16
x x



x
y
0
(2;3)
y =
−6−3.𝑥
−4
= 6 + 3. x
4
y =
16−2.𝑥
4
2 23 3
6 6 6 1
y =
6+3.x
4
y =
16−2.x
4
Rta: x = 2; y = 3
1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
1
2 (6;1)
(6;6)

PROBLEMAS CON SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS
La MULTIPLICACIÓN era
considerada muy difícil y,
hasta el
SIGLO XVI,
sólo se
enseñaba
en las
UNIVERSIDADES.
Ej: tenemos dos números cuya suma es 0. Si a
uno de ellos le sumamos 123 obtenemos el doble
del otro. ¿Qué números son?
Primer número:
Segundo número:
x + y = 0
x + 123 = 2.y
-y = 2.y – 123
123 = 2.y + y
3.y = 123
y =
123
3
= 41
x
y
x = -y
x = 2. y – 123
Por igualación:
x = -y
x = -41
Rta. Los números
son 41 y -41
x + y = 0
x + 123 = 2.y

Si las incógnitas son tres, entonces tendremos que
contar con 3 ecuaciones: siempre TANTAS
ECUACIONES COMO INCÓGNITAS.
Generalmente llamamos a las incógnitas “x”, “y” y
“z”, pero en realidad se les pueden asignar
cualquier letra.
Hay varios MÉTODOS para su RESOLUCIÓN.
Los más habituales son:
• MÉTODO de DOBLE SUSTITUCIÓN
• MÉTODO de DETERMINANTES o CRAMER
Aunque en realidad se pueden usar en forma pura
los métodos vistos anteriormente o combinados.
Los signos de
multiplicación
y división :
fueron introducidos por el
inglés WILLIAM
OUGHTRED (1574–1660)
en el año 1657.
En 1659, en el Álgebra
alemana, de JHOAN
RAHN,
aparece
el signo ÷
para indicar
la división.

16. z = 420 – 308
16. z = 112
z = 7
y =
11. 𝑧+28
21
=
11.7+28
21
=
77+28
21
=
105
21
= 5
y = 5
x = -3 + 3.y – 2. z
x = -3 + 3. 5 – 2. 7 =
-3 + 15 – 14 = -2
x = -2
x = -2; y = 5; z = 7
• MÉTODO DE DOBLE SUSTITUCIÓN
x – 3. y + 2. z = -3
5. x + 6. y – z = 13
4. x – y + 3. z = 8
x = -3 + 3. y – 2. z
5. (-3 + 3. y – 2. z) + 6. y – z = 13
4. (-3 + 3. y – 2. z) - y + 3. z = 8
-15 + 15. y – 10. z + 6. y – z = 13
-12 + 12. y - 8. z – y + 3. z = 8
21. y – 11. z = 28
11. y – 5. z = 20
y =
11. z+28
21
11. (
11. z+28
21
) – 5.z = 20
121. z+308−105.z
21
=20

• MÉTODO DE DETERMINANTES O CRAMER
x – 3. y + 2. z = -3
5. x + 6. y – z = 13
4. x – y + 3. z = 8
1 -3 2
= 5 6 - 1
4 -1 3
1 - 3 2
5 6 -1
-3 -3 2
 𝑥= 13 6 - 1
8 -1 3
-3 -3 2
13 6 -1
1 -3 2
 𝑦= 5 13 - 1
4 8 3
1 -3 2
5 13 -1
1 -3 -3
 𝑧= 5 6 13
4 -1 8
1 -3 -3
5 6 13
x =
 𝑥
 =
−32
16
= -2
y =
 𝑦

=
80
16
= 5
z =
 𝑧

=
112
16
= 7
x = -2; y = 5; z = 7
= 1. 6. 3 + 5 . (-1). 2 + 4. (-3). (-1) –
- 4. 6. 2 – 1. (-1). (-1) - 5.(-3). 3 =
= 18 -10 + 12 – 48 – 1 + 45 =
= 75 – 59 = 16
= -3. 6. 3 + 13 . (-1). 2 + 8. (-3). (-1) –
- 2. 6. 8 – (-1). (-1). (-3)- 3.(-3). 13 =
= -54 -26 + 24 – 96 + 3 + 117 =
= 144 – 176 = -32
= 1. 13. 3 + 5 . 8. 2 + 4. (-3). (-1) –
- 2. 13. 4 – (-1). 8. 1- 3.(-3). 5=
= 39 + 80+ 12 – 104 + 8 + 45 =
= 184 – 104 = 80
= 1. 6. 8 + 5 .(-1).(-3) + 4.(-3).13 –
- (-3).6. 4 – 13.(-1). 1- 8.(-3). 5=
= 48 + 15 - 156 +72 + 13 + 120 =
= 268 – 156 = 112

x +
𝑥
2
+
2
3
x = 65000
6.x+3.x+4 .x
6
= 65000
13. x = 65000 . 6
13. x = 390000
x = 30000
z =
2
3
.x =
2
3
. 30000 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
PROBLEMAS CON SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS
Ej: Los sueldos del padre, la madre y un hijo
sumados dan $ 65.000. La madre gana el doble
que el hijo. El padre gana dos tercios de lo que
gana la madre. Se trata de calcular cuánto gana
cada uno.
Sueldo madre:
Sueldo hijo:
Sueldo padre:
x
y
y =
x
2
Por doble sustitución:
Rta. Los sueldos son
$ 30000, $ 15000 y $ 20000
z
y =
𝑥
2
=
30000
2
= 15000
x + y + z = 65000
x = 2.y
z =
2
3
. 𝑥
x +
x
2
+z = 65000
z =
2
3
.x

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