1. Problema 6.
Describir las funciones de distribución microcanónica, canónica y gran canónica en la teoría estadística clásica
DISTRIBUCIÓN MICROCANÓNICA.
Al estudiar un sistema adiabático, es decir, aquel sistema que bajo parámetros externos constantes no puede intercambiar energía con los cuerpos circundantes. Para tal sistema se cumple:
(1.1)
La función de la distribución fásica deberá tener la forma de un máximo agudo como está representada en el gráfico, dado que, la energía del sistema puede ser prácticamente fijada con exactitud y no va a cambiar con el transcurso del tiempo.
Entonces la función representada en el gráfico, en el límite cuando se transforma, con exactitud hasta de un factor constante, en la función delta De tal manera que para un sistema adiabáticamente aislado se puede colocar:
(1.2)
Donde es el factor normalizador que se determina de la condición de normalización (5.2), o sea:
(1.3)
La expresión (1.2) se llama distribución microcanónica de Gibbs, con la ayuda de la cual se puede calcular los valores medios fásicos para cualesquiera magnitudes físicas de sistemas adiabáticamente aislados, por la fórmula:
(1.4)
La magnitud posee un claro sentido geométrico. Tomemos el integral de por la energía en los límites que van desde la energía mínima posible del sistema E0 hasta un valor E:

2. (1.5)
La expresión subintegral en (1.5) debido a las propiedades de la función- es igual a la unidad cuando E0 < <E y es igual a cero cuando >E, en consecuencia:
(1.6)
Es decir, tiene el sentido del volumen fásico, contenido dentro de la hipersuperficie fásica de energía dada definida por la ecuación =E, de tal manera que:
(1.7)
Y en consecuencia, tiene sentido de volumen fásico de la capa infinitamente delgada, recluida entre las hipersuperficies = E y = E + dE.
Para aclarar el sentido termodinámico de la magnitud , tomemos el diferencial de logaritmo natural de :
(1.8)
De acuerdo a (10.5):
(1.9)
Tomando en consideración que obviamente = 0 cuando E = Eo, entonces la región fásica de integración converge en un punto, por lo que el segundo miembro de (1.9) se hace cero. Utilizando además la definición de valor medio (1.4), obtendremos:
(1.10)
Donde es la fuerza generalizada macroscópica que actúa en la dirección del parámetro externo de coordenada .
De acuerdo a (1.7) y (1.10) la ecuación (1.8) se la puede poner de la forma:
(1.11)

3. Comparando esta ecuación con la ecuación fundamental de la termodinámica:
(1.12)
Obtendremos que la entropía S y la temperatura T pueden tener el siguiente sentido estadístico:
(1.13)
Donde k es la constante que se determina por la elección de la unidad de temperatura.
De tal manera que, para un sistema adiabáticamente aislado, conociendo la función de Hamilton , se puede encontrar , y en consecuencia la entropía del sistema.
DISTRIBUCIÓN CANÓNICA DE GIBBS.
Tomemos un sistema isotérmico, o sea, un sistema que se encuentra en equilibrio con un termostato. Desde el punto de vista microscópico un termostato es también un sistema mecánico que tiene sin embargo un número mucho más grande de grados de libertad que el sistema en estudio. Supongamos que el sistema en estudio y el termostato contienen correspondientemente y partículas y se describen por las variables canónicas y , al mismo tiempo que:
(2.1)
Al sistema general así formado podemos considerarlo adiabáticamente aislado y por esto para él se cumple la distribución microcanónica:
(2.2)
Donde el Hamiltoniano del sistema general se compone de los Hamiltonianos de ambos subsistemas y de la energía de interacción :
(2.3)
Obviamente que la densidad fásica de probabilidad que nos interesa del sistema en estudio , por el teorema de suma de probabilidades es igual a:
(2.4)
Calculemos bajo tres supuestos simplificantes.
1. Consideremos que la energía de los sistemas y siempre supera de manera significativa la energía de interacción . Este supuesto se justifica para sistemas termodinámicos ordinarios si es que el número de partículas y son suficientemente

4. grandes. En efecto, las energías de los sistemas y son proporcionales a los volúmenes, mientras que la energía de interacción es apenas proporcional a la superficie de contacto de estos sistemas, si la energía es aditiva. En consecuencia, para sistemas con energía aditiva y grande N, se puede ignorar las energías de interacción, o sea, en la expresión (2.3) podemos colocar:
(2.5), de acuerdo a esto la función de densidad de probabilidad del sistema estudiado será =
2. Supongamos que al mismo tiempo que , existe el límite, es decir , luego:
(2.6)
O sea, considerar la magnitud media aritmética de la energía del sistema, que corresponde a un grado de libertad del termostato.
3. En la deducción de la fórmula para consideraremos que:
(2.7)
O sea, observaremos solamente aquellos estados del sistema que nos interesa, cuando su energía sea mucho que la energía total del termostato. Dicho de otra manera, la expresión que deduzcamos para será verdadera bajo el cumplimiento de la condición (2.7).
Y con todas las consideraciones anteriores, después de unos cálculos matemáticos se concluye que:
(2.8)
La expresión (2.8) se llama distribución canónica de Gibbs. El parámetro que entra en ella se llama módulo de la distribución canónica, y la magnitud se determina de la condición de normalización :
(2.9), donde:
(2.10)
Se llama integral estadístico o integral de estado.

5. DISTRIBUCIÓN GRAN CANÓNICA
La distribución grande canónica, conocida también como: Grande Distribución, está asociado a un sistema en contacto con un reservorio térmico (con la temperatura fija) y las partículas (con el potencial fijo).
Si a un termóstato le juntamos un sistema, el mismo que puede obtener partículas de un reservorio complementario, entonces para cada número fijo de partículas N será válida la distribución canónica en el espacio fásico 6N dimensional, sin embargo, a tal distribución se hace necesario multiplicarla por un factor cualquiera que depende del número N. En consecuencia, la densidad de probabilidad es una función de y del número de partículas N,
(3.1)
Al mismo tiempo que la condición de normalización, deberá ser escrita de la forma:
(3.2)
La distribución estadística para un sistema con número variable de partículas, llamado conjunto grande de Gibbs se cumple:
=(T, V, μ) (3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Introduciendo en lugar de la energía libre el potencial Ω, o sea, suponiendo que de acuerdo a (3.4) -(3.6):
. En consecuencia (3.1) y (3.2) se puede escribir de la forma:
De donde obtenemos para Ω:

6. , donde la gran función de partición es dada por
Para el valor medio de cualquier magnitud , obviamente tendremos