1. Seminario de Historia de las Matemáticas
Universidad El Bosque
Bogotá D.C. Colombia
Las matemáticas
en la Europa medieval
8 de abril de 2013
Margarita philosophica (Gregor Reisch 1503)
Muestra los dos tipos de aritmética. Los algoristas (izquierda) se
acabaron imponiendo a los abacistas (derecha).
María José Moreno
Egresada en Ciencias Matemáticas por la
Universidad Complutense de Madrid (España)

2. La Edad Media
Límites tradicionales de la Edad Media
(división según la política)
Límites de la Edad Media como período
científico, matemático, filosófico.
476
Caída del Imperio
Romano de Occidente
529
El Emperador Justiniano
cierra la Escuela de
Atenas.
1453
Caída del Imperio
Romano de Oriente, o
Imperio Bizantino
1429
Muerte de Al-Kashi,
último gran matemático
del mundo islámico.

3. Las 5 grandes civilizaciones de las Matemáticas
en la época medieval
India
China
Arabia
Imperio
Bizantino
Europa
Occidental

4. Los problemas de los números romanos
ARITMÉTICA COMPLEJA
● Sumar y restar es tedioso
● Multiplicar se hacía con sumas iteradas o duplicaciones.
● Dividir se hacía con restas iteradas o con mediaciones.
HERRAMIENTAS DIFÍCILES DE MANEJAR
● Ábacos y tableros de calcular.
● Métodos complejos de operar con los dedos.
● Requerían un aprendizaje largo y mucha destreza
GRANDES DIFICULTADES PARA EL COMERCIO
● El sistema era costoso ya que había que pagar a un experto.
● Necesitan operaciones complejas, como calcular tasas y conversiones de moneda.
● Los métodos de cálculo utilizados no quedaban registrados. Se anotaba solo el
resultado de la operación, que había que suponer correcto.

5. Posiciones con los dedos,
para representar los
distintos números
3
Liber Abbaci. Leonardo de Pisa. Manuscrito de Sienna
30
300
3000

6. Llegada de los numerales actuales a Europa
FASE 1: De la India al mundo islámico
Los hindúes no fueron los primeros pueblos con un sistema de notación posicional.
Los números hindúes pasaron por dos etapas:
● Primero: 9 dígitos propios y un símbolo que representa una posición vacía
● Segundo: 10 dígitos. El cero es un número más, con el que se pueden realizar
operaciones. (Brahmagupta, año 628 d.C)
Llegada
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●
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A través de la ruta de la seda.
Posiblemente, llegó como traducción de
un libro de Brahmagupta.
Uso solamente académico.
Difusión
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Al-Kwuarizmi da a conocer el sistema
hindú en el año 825.
Se dirigió a los comerciantes.
Al-Kindi en el 830 contribuyó también a
su popularización

7. Transmisión de la ciencia árabe
CÓMO SE PRODUCE
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Compiladores y Enciclopedistas.
Traducción al latín de muchas obras griegas y árabes.
CÓMO LLEGA A OCCIDENTE
Conquistas y reconquistas
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Relaciones comerciales
Reconquista de Toledo 1085
Reconquista de Sicilia 1091
Reconquista de Jerusalem 1099

9. FASE 2: Del mundo islámico a la Europa de los estudiosos
LA ÉPOCA DE LOS COMPILADORES:
● Boethius (480-524)
● Isidoro de Sevilla (570-636)
● Beda el Venerable (673-735)
EL PRE-RENACIMIENTO CAROLINGIO:
● Alcuino de York (735-804)
“Escuela de traductores de Toledo”
LA ÉPOCA DE LOS TRADUCTORES:
● Gerbert d'Aurillac (940 – 1003),
posteriormente Papa Silvestre II
● Adelardo de Bath (1108 - 1152)
● Juan de Sevilla (? - 1180)
● Gerard de Cremona (1114 - 1187)
● Robert de Chester (s. XII)

10. Traducciones sobre al-Khwarizmi
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Sabio persa (ca. 780 – ca. 850)
Popularizó el sistema de cálculo hindú.
Le debemos los términos: algoritmo,
guarismo y álgebra.
LIBRO DE ARITMÉTICA
Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind
Llegó a Europa traducido por Adelardo
de Bath (1108-1152).
El manuscrito en latín comienza así:
“Dixit algorizmi” (Dijo al-Khwarizmi)
algorizmi
Otra traducción lo llamó “Algoritmi de
numero indorum” (Boncompagni, 1857)
LIBRO DE ÁLGEBRA
Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala
Llegó a Europa traducido por Robert de Chester (s.XII) y Gerardo de
Cremona (1114-1187)
La traducción de Chester: Liber algebrae et almucabola (Segovia, 1145)

11. Llegan los números...
Año 711, invasión de España por los árabes. Año 722, con la batalla de Covadonga
comienza la llamada “Reconquista”, que dura hasta 1492
Libro más antiguo escrito en latín que contiene los números indoarábigos:
Codex Vigilanus (España, año 976). Fue escrito por el monje Vigila, y es una copia
de un tratado anterior de Isidoro de Sevilla. No incluye el cero.
“Debemos saber que los indios tienen un talento más sutil y todas las demás razas son inferiores a
ellos en la aritmética y en la geometría y en otras artes. Y esto se muestra claramente en las 9
figuras con las que ellos son capaces de designar cada uno de los grados y los órdenes (de los
números). Y estas son las formas:”

12. Ábaco de Gerberto
Gerberto d'Aurillac (ca. 940 – 1003), más
tarde Silvestre II, fue el llamado “Papa
matemático”.
Estudió en Cataluña, cuando
esta era ya cristiana. Allí
conoció los números indios.
Su ábaco se hizo popular.
Tenía los números arábigos
grabados en las cuentas.
Representación de los números en un ábaco de Gerberto.
A la derecha, notación actual.

13. FASE 3: Difusión del nuevo sistema de numeración en Europa
Alexandre de Villedieu
(1175-1240?)
“Carmen de Algorismo”
Johannes de Sacrobosco
(1195?-1256)
“Algorismus vulgaris”
“Tractatus de Sphaera”
Leonardo de Pisa
(1170?-1250?)
“Liber abbaci”

14. Leonardo de Pisa
¿Cuál era su nombre?
● ¿Dónde nació?
● ¿Dónde y cuándo murió?
● ¿Se casó? ¿Tuvo hijos?
● ¿Qué aspecto tenía?
● ¿A qué se dedicó, aparte de
las matemáticas?
● ¿Cuál es su papel en la
historia de las matemáticas?
● ¿Por qué fue olvidado por la
historia?
●
Estatua de Leonardo, en Pisa.
Siglo XIX

15. Liber Abbaci, manuscrito de Siena
“Aquí comienza el libro de los cálculos, escrito por Leonardo
Pisano, de familia Bonacci, en el año 1202”
Por un documento legal sabemos que su padre se llamaba Guilielmo, y que tenía un
hermano llamado Bonaccinghus. “Filios Bonacci” se refiere seguramente al nombre
de su familia.
Filios Bonacci
Guillaume de Libri
1838
Fibonacci

16. Importancia de Leonardo de Pisa
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●
●
Escribió el Liber abbaci dirigido a los comerciantes, no a
los estudiosos. Un libro fácil de entender y lleno de
ejemplos prácticos.
Dio a conocer en el mundo occidental la aritmética
moderna con el sistema de numeración posicional
hinduarábigo.
Popularizó el álgebra, que luego fue la base de la ciencia
moderna y de la ingeniería.
Marcó el principio del sistema financiero, modernizando
la contabilidad.
TIEMPO
LUGAR
PERSONA

17. El tiempo y el lugar:
Pisa, finales del siglo XII
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PISA·
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●
●
●
Mapa de Italia, siglo XIII
Centro del mundo occidental.
Ser comerciante en Pisa era ser
miembro muy importante de la
sociedad.
Pisa,
Génova,
Venecia,
dominaban el comercio con la
otra orilla del Mediterráneo.
Fin de la “Edad Oscura”.
Surgen
las
universidades
(Bologna, 1088).
En Salerno se crea la primera
escuela de Medicina.
Traductores en Pisa de autores
griegos: Euclides, Arquímedes,
Aristóteles, Galeno, Ptolomeo...

18. La persona adecuada:
Leonardo Pisano
PISA·
BUGIA·
“Cuando mi padre, a quien su país
había nombrado notario público en
las
aduanas
de
Bugia,
en
representación de los mercaderes de
Pisa que allí iban, estaba en su
cargo, me llevó con él mientras yo
era todavía un niño, y pensando en
la utilidad y la conveniencia futura,
deseó que yo permaneciera allí y
recibiera instrucción en contabilidad.
Allí, cuando yo había sido introducido
en el arte de los nueve símbolos
indios gracias a una notable
enseñanza, el conocimiento del arte
pronto me gustó más que todo lo
demás”.

19. Obras de LeonardoPisano
●
Liber Abbaci (1202, reeditado en 1228)
●
Practica Geometriae (1220)
●
Flos (1225)
●
Liber Quadratorum (1225)
●
Di Minor Guisa
●
Comentarios al libro X de los Elementos de Euclides

20. Liber Abbaci: características
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COSAS POSITIVAS
Más de 600 páginas, muy exhaustivo.
Es la “summa aritmética” más importante de la Edad Media.
Introduce las cifras indo-arábigas en Occidente.
Proporciona reglas para hacer operaciones con ellas.
Se dirige a la audiencia correcta: los comerciantes, a los que
les da herramientas de cálculo mucho más poderosas que el
ábaco.
Incluye la notación moderna de fracción, con raya horizontal.
COSAS NEGATIVAS
Más de 600 páginas, de lectura no siempre sencilla.
Sigue a los árabes en el empleo de palabras y no símbolos.
Por ejemplo, la incógnita es “la cosa”.
No se da cuenta de que el sistema posicional permite evitar
las facciones, usando números decimales.

21. Liber Abbaci: capítulos
1. Lectura y escritura de los números en el sistema indo-arábigo.
2. Multiplicación de números enteros.
3. Suma de números enteros.
4. Resta de números enteros.
5. División de números enteros.
6. Multiplicación de números enteros por fracciones.
7. Fracciones.
8. Precios de las mercancías más comunes.
9. Comercio.
10. Relaciones de parentesco.
11. Conversión de Monedas.
12. Problemas y soluciones.
13. La regla de la falsa posición.
14. Raíces cuadradas y raíces cúbicas.
15. Proporciones, geometría y álgebra.

22. Liber Abbaci: problemas
Dos torres de 30 y 40 pies de altura están situadas a 50 pies una
de otra. Entre ellas hay una fuente. Desde lo alto de cada torre,
dos pájaros inician al mismo tiempo el vuelo hacia la fuente y la
alcanzan simultáneamente. ¿Dónde estaba la fuente?
Un hombre entró a una huerta que tenía siete puertas y
tomó un cierto número de manzanas. Al abandonar la
huerta le dio al primer guardia la mitad de las manzanas
que llevaba más una. Al segundo guardia la mitad de las
manzanas que le quedaban más una. Hizo lo mismo con
los guardias de cada una de las cinco puertas que le
faltaban. Cuando se fue de la huerta le quedaba una
manzana; ¿cuántas manzanas había tomado en un
principio?
En lo alto de una torre hay un mástil de 20 pies de altura.
El mástil cae a tierra sin desprenderse de la torre, de modo
que su extremo toca el suelo a una distancia de 12 pies de
la base de la torre. Se trata de saber la altura de la torre.

23. Liber Quadratorum
Mayor aportación en teoría de números entre Diofanto y
Fermat.
Ejemplo de problema
Encontrar un número de tal manera que su cuadrado
aumentado o disminuido en 5 unidades siga siendo
un cuadrado.
Fibonacci descubrió que ningún número entero cumple esa condición. Así que el
resultado tiene que ser una fracción.
Leonardo utilizó algunos resultados que tienen que ver con las ternas pitagóricas
y con las identidades notables; en concreto, que m2 – n2, 2mn y m2 + n2 forman
una terna pitagórica siendo m y n enteros y 0 < n < m.
Y que
La solución que obtiene es 41/12

24. Emperador Federico II
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●
●
El
problema
anterior
fue
propuesto por el Emperador
Federico II para probar la
sabiduría de Leonardo de Pisa.
En 1225 Federico II hace un
descanso en esa ciudad y
manifiesta su deseo de conocer
al famoso genio matemático.
Asesorado por Juan de Palermo
y Teodoro, reputados filósofos,
plantea
a
Leonardo
tres
problemas.

25. Flos
●
●
Los otros dos problemas los encontramos en su libro Flos (Flos super
solutionibus quarundam quaestionum ad numerum et geometricam, es
decir, Flor de soluciones de algunas cuestiones sobre números y
geometría).
Segundo problema: Encontrar un número tal que su cubo más el doble
de su cuadrado más 10 veces él mismo sea igual a 20. En lenguaje
actual, se trata de resolver la ecuación:
10x + 2x2 + x3 = 20
Aún quedaban 3 siglos para que Tartaglia y Cardano atacaran el problema
de la ecuación cúbica, así que Leonardo consiguió una aproximación. No
explica cómo la obtiene, pero es una aproximación muy buena y es esta:

26. Flos
Tercer problema:
Tres hombres se reparten al azar una suma de dinero.
Después, el primero aporta a un fondo común la mitad de
su parte, el segundo un tercio de la suya y el tercero un
sexto de la suya. Dividen este fondo común en tres partes
iguales y se lo reparten entre sí. Al final el primero tiene la
mitad de la suma inicial, el segundo la tercera parte y el
tercero la sexta parte. ¿Cuál era la suma inicial?
Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con
soluciones enteras. Fibonacci lo resolvió con las técnicas de
la época, es decir sin usar los determinantes.

27. Di minor guisa
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Libro perdido por muchos años.
En 2003 la historiadora de las matemáticas Rafaella Franci
encuentra una copia en la Biblioteca Riccardiana de Florencia.
La copia es anónima y está sin fechar, aunque es de 1290
aproximadamente. Está escrito en lengua vernácula.
Son 178 páginas con 31 capítulos cortos.
¾ partes son copias de los problemas de los capítulos 8 al 11
del Liber Abbaci.
El libro es más sencillo, corto y menos completo que el Liber
Abbaci.
Se omiten todos los primeros capítulos, dando por conocido el
sistema de numeración y su manejo.
Tiene capítulos que no tenía el Liber Abbaci, sobre cálculo de
interés y depreciación.

28. Olvido de Leonardo
●
●
●
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Pocos datos biográficos
No inventó técnicas nuevas. Su papel principal fue el
de divulgador de los números y técnicas árabes.
La “nueva aritmética” se hizo popular: más de 100
libros en los siguientes 300 años.
Las nuevas técnicas pronto se asimilaron y dejaron de
verse como algo importante.
PERO LA PRINCIPAL RAZÓN DE SU OLVIDO FUE...

29. … la invención de la imprenta de tipos móviles
●
●
●
●
●
Se inventó en 1436.
El primer libro matemático
impreso es la Aritmética de
Trevisso (1478).
Los autores de los libros no
incluían referencias.
Solamente la Summa de
arithmetica,
geometria,
proportioni et proportionalità
de Luca Pacioli (1494)
nombra a Leonardo de Pisa.
Primera edición impresa del Liber Abbaci: Boncompagni (1857).

30. Recuperando a Leonardo
●
●
●
Pietro
Cossali
(1748-1815)
escribió el primer libro italiano de
Historia de las Matemáticas.
Para documentarse leyó, entre
otros, la Summa de Luca Pacioli,
y encontró la referencia a
Leonardo de Pisa.
Buscó los manuscritos de los
libros de Leonardo y comprendió
su importancia.

31. Sucesión de “Fibonacci”
●
●
Edouard Lucas (1842-1891)
●
El historiador Guillaume de Libri
le da a Leonardo de Pisa el
apodo “Fibonacci” en 1838.
El matemático francés Edouard
Lucas se interesa por la sucesión
y le da el nombre de “sucesión
de Fibonacci”. 1870.
Comienza la fascinación por la
sucesión y sus propiedades.
En 1963 se funda The Fibonacci Association, que desde
entonces publica una revista trimestral llamada The Fibonacci
Quarterly sobre la famosa sucesión.

32. Liber Abbaci: problema de los conejos
La llamada “sucesión de Fibonacci”
tiene su origen en un problema del Liber
Abbaci (problema 18 del capítulo 12).
“Cierto hombre tenía una pareja de
conejos juntos en un lugar cerrado y
uno desea saber cuántos son creados a
partir de este par en un año cuando
es su naturaleza parir otro par en un
simple mes, y en el segundo mes los
nacidos parir también”
En rojo, parejas en edad reproductiva.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

33. Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci normalmente se inicia con los valores 0 y 1, y se define
matemáticamente así:
En el siglo XIX se demostró que el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión
tiene como límite el llamado “número aúreo” Φ ≈ 1,61803.
F(n-1)
1+
F(n)
F(n-2)
F(n-2) + F(n-1)
Φ = lim
= lim
= lim
2/1 = 2
n→∞ F(n-1)
n→∞
n→∞
F(n-1)
F(n-1)
3/2 = 1,5
F(n-2)
5/3 = 1,666
8/5 = 1,6
De ahí se deduce que Φ = 1 + Φ
13/8 = 1,625
Φ
21/13 = 1,615
Multiplicamos ambos lados por Φ y tenemos la ecuación: Φ2 = 1 + Φ
34/21 = 1,619
Aplicando la fórmula de las ecuaciones de 2º grado, nos quedamos
55/34 = 1,618
con la solución positiva, que es:
...
Φ =
1 + √5
2
= 1,6180339887...

34. Sucesión de Fibonacci
Fórmula de Lucas para calcular un término de la sucesión, sin calcular los anteriores:
Famosa identidad de Binet (1843), popularizada por Lucas.
Algunas de las muchas identidades conocidas que cumplen sus términos:

35. Sucesión de Fibonacci

36. Filotaxia y Fibonacci
P = Número de vueltas
Q = Número de hojas
Divergencia o característica de la planta = P/Q
Ejemplo de planta con divergencia 5/8

37. Filotaxia y Fibonacci
Algunas divergencias, que contienen los números de la sucesión:
●
Olmo, tilo, lima: 1/2
●
Haya, avellano: 1/3
●
Roble, cerezo, manzano: 2/5
●
Peral, rosal, sauce llorón: 3/8
●
Almendro, puerro: 5/13
Sauce llorón
Almendro

38. Pétalos y Fibonacci

39. Espiral de Fibonacci
Esta es la espiral de
Fibonacci
El Nautilus es un molusco que
tiene forma de espiral, pero NO de
Fibonacci. Como se puede ver en
la imagen, no coinciden.

40. Para saber más...
SOBRE LEONARDO DE PISA
Ricardo Moreno Castillo. Fibonacci. El primer matemático medieval. Ed. Nivola, 2012.
Keith Devlin. The Man of Numbers. Fibonacci's Arithmetic Revolution. 2012 (Amazon.com)
Keith Devlin. Leonardo & Steve.The young genius who beat Apple to market by 800 years.
2011 (Amazon.com)

41. Para saber más...
HISTORIA GENERAL DE LAS MATEMÁTICAS