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Ejercicio P 9.8 Deflexión de Vigas
- 1. P9.8) Calcule la pendiente en ¨A¨ y ¨C¨ y la deflexión en ¨B¨ para la fig. P 9.8. Además localice y calcule la magnitud de la deflexión máxima. Utilice el Método de Área de Momentos. Debemos de conocer el valor de las reacciones en ¨A¨ y ¨D¨, para ello, por estática: ∑Fy = 0 Ray + Rdy = 2P = 30 Klb Rax = 0 Klb ∑Ma = 0 15*6 + 15*12 = 18Rdy ∴ Rdy = 15 Klb Ray = 15 Klb Dibujando las áreas de momento: P = 15Klb P = 15Klb 6 ft 6 ft 6 ft A B C D Rax Ray Rdy
- 2. 6 ft6 ft 6 ft P = 15Klb P = 15Klb A B C ∆b tb/a Ymáx Tg A Tg C Td/a D − + M/EI 18*Ray/EI 15*12 = 180 Klb.ft/EI 15*6 = 90 Klb.ft/EI 6Ay 12Ay 90Klb*ft/EI X 15*(X – 6) X*Ay Øa tQ/a
- 3. a) Pendiente en ¨A¨ y ¨C¨: De la gráfica se observa que: Tg(Øa) = 𝑡 𝑑 𝑎 18 , pero para ángulos pequeños Tg(Øa) = Øa ∴ Øa = 𝑡 𝑑 𝑎 18 … (1) La deflexión de ¨D¨ respecto a la TgA = 𝑡 𝑑𝑎 = Primer momento de área M/EI entre ¨A¨ y ¨D¨ con respecto a ¨D¨. 𝑬𝑰 ∗ 𝒕 𝒅𝒂 = 𝟏𝟖∗𝟏𝟖∗𝑹𝒂𝒚∗𝟔 𝟐 + 𝟏𝟐∗−𝟏𝟖𝟎∗𝟒 𝟐 + 𝟔∗𝟗𝟎∗𝟐 𝟔 𝒕 𝒅𝒂 = 𝟏𝟒𝟓𝟖𝟎 −𝟒𝟑𝟐𝟎 −𝟓𝟒𝟎 𝑬𝑰 𝒕 𝒅𝒂 = 𝟗𝟕𝟐𝟎 𝑬𝑰 … (2)
- 4. Ahora reemplazamos (2) en (1), obteniendo: Øa = 𝑡 𝑑 𝑎 18 𝒕 𝒅𝒂 = 𝟗𝟕𝟐𝟎 𝑬𝑰 Øa = 𝟓𝟒𝟎 𝑬𝑰 , se añade un signo negativo, ya que la Tg tiene una pendiene negativa, pues desciende hacia la dirección ¨X¨ positiva. ∴ Øa = −𝟓𝟒𝟎 𝑬𝑰 Øc = Øa + Øc/a , donde Øc/a = área bajo el diagrama M/EI entre ¨A¨ y ¨C¨. 𝐸𝐼 ∗ Øc/a = (12∗12∗Ray∗4)/(2) + (6∗−90∗2)/(2) Øc/a = 𝟑𝟕𝟖𝟎 𝑬𝑰 ∴Øc = −𝟓𝟒𝟎 𝑬𝑰 + 𝟑𝟕𝟖𝟎 𝑬𝑰 Øc = 𝟑𝟐𝟒𝟎 𝑬𝑰 rad
- 5. b) Deflexión en ¨B¨: Deflexión ¨B¨ = Δb + tb/a , donde tb/a = Primer momento de área M/EI entre A y B. 𝑬𝑰 ∗ 𝒕 𝒃 𝒂 = 𝟔∗𝟔∗𝑹𝒂𝒚∗𝟐 𝟐 tb/a = 𝟓𝟒𝟎 𝑬𝑰 Por relaciones geométricas: (Δb + tba)/(6) = (tda)/(18) Δb = 9720 3𝐸𝐼 − 𝑡𝑏𝑎 Δb = 𝟐𝟕𝟎𝟎 𝑬𝑰 se añade un signo negativo ∴ Δb = −𝟐𝟕𝟎𝟎 𝑬𝑰 Δb + tb/a A D Td/a 6ft 12ft
- 6. C) Calculo y ubicación de la deflexión máxima: La deflexión máxima se ubica en el tramo central a una distancia ¨X¨ de ¨A¨. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ØQ = 0 ØQ = Øa + ØQa ØQa = 𝒙∗𝒙∗𝑹𝒂𝒚 𝟐 + 𝒙−𝟔 ∗𝟏𝟓∗ 𝒙−𝟔 𝟐 ØQa = 𝟕. 𝟓 ∗ 𝒙 𝟐 − 𝟕. 𝟓 ∗ 𝒙 − 𝟔 𝟐 ∴ ØQ = 0 = −𝟓𝟒𝟎 𝑬𝑰 + 𝟕.𝟓∗𝑿 𝟐 −𝟕.𝟓∗ 𝑿−𝟔 𝟐 𝑬𝑰 Desarrollando X = 9ft tQ/a = 𝑥∗𝑥∗𝑅𝑎𝑦∗𝑥 6 − 𝑥−6 ∗15∗ 𝑥−6 ∗ 𝑥−6 6 tQ/a = 1755 𝐸𝐼 Ymáx = 4860 𝐸𝐼 − 1755 𝐸𝐼 con signo negativo Ymáx= - 𝟑𝟏𝟎𝟓 𝑬𝑰 Td/a = 9720 𝐸𝐼 9 Ymáx + tQ/a 9
- 7. Verificando los resultados con el programa FTOOL: Considerando una sección rectangular: I(inercia) = 𝑏∗ℎ3 12 , b = base h = peralte I = 50∗1003 12 = 4166666.667𝑓𝑡4 Módulo de Elasticidad (E) = 800000 𝐾𝑙𝑏 𝑓𝑡2 Y máx. = −3105 800000000∗4166666.667 = -9.314*10−3ft Øa = −540 800000000∗4166666.667 = -1.62*10−13 𝑟𝑎𝑑 Øc = 3240 800000000∗4166666.667 = 9.72*10−13 𝑟𝑎𝑑 ∆𝐵 = −2700 800000000∗4166666.667 = -8.1*10−13 𝑓𝑡 50ft 100ft
- 8. Diagrama de Fuerzas Axiales:
- 9. Diagrama de Fuerzas Cortantes:
- 10. Diagrama de Momento Flector: