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Logica laso

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Eduardo Laso, Universidad de Buenos Aires, Qué es la lógica.

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Logica laso

  1. 1. Algunos  conceptos  elementales  de  lógica1   Eduardo  Laso       ¿Qué  es  la  lógica?   Imaginemos   a   un   estudiante   que   debe   elegir   su   futura   carrera   profesional.   Luego   de   varias   cavilaciones   en   torno   de   sus   intereses,   las   alternativas   de   salida   laboral   y   los   consejos   de   familiares   y   conocidos,   decide   que   orientará   su   formación   en   el   campo   de   las   ciencias   sociales.   Sus   opciones   se   detienen   en   dos   alternativas:   psicología   y   sociología.   Luego   de   considerarlas,   descarta  la  psicología,  así  que  se  decide  por  la  sociología.  Lo  sepa  o   no,   ha   llegado   a   esta   conclusión   mediante   un   razonamiento.   Previamente  fue  descartando  otras  opciones  mediante  un  curso  de   pensamientos  en  el  que  se  han  puesto  en  juego  deseos,  intereses,   gustos  y  otros  procesos  psíquicos,  hasta  llegar  a  una  alternativa  de   la  que  descarta  una  para  quedarse  con  la  otra.  Este  razonamiento  se   puede  escribir  así:                                                                                                                         1   El   presente   artículo   desarrolla   algunos   conceptos   básicos   de   la   lógica   formal   a   título   introductorio   al   tema,   con   el   objeto   de   allanar   el   camino   para   la   posterior   comprensión   de   los   temas   sobre   métodos   de   investigación   científica.   Apuntando   a   ese   objetivo,   el   texto   realiza   una   simplificación  de  un  conjunto  de  problemas  de  las  ciencias  formales  para   facilitar   una   primera   aproximación   al   concepto   de   razonamiento   y   de   validez.  Para  aquellos  que  estén  interesados  en  profundizar  en  la  compleja   temática  de  la  lógica,  pueden  remitirse  a  los  textos  que  se  encuentran  al   final  como  bibliografía  y  en  los  que  este  artículo  se  basa.   Estudiaré  la  carrera  de  psicología  o  la  carrera  de  sociología   Pero  no  estudiaré  psicología   ___________________________________________________   Así  que  estudiaré  sociología   ¿Qué   le   interesa   a   la   lógica   como   disciplina   en   este   breve   ejemplo?  No  el  proceso  mental  por  el  que  nuestro  estudiante  llegó  a   esta   conclusión.   Mucho   menos   los   factores   subjetivos   o   de   otro   orden   que   pudieron   mediar   para   alcanzar   una   alternativa   como   psicología   o   sociología.   Ni   siquiera   le   interesa   el   contenido   mismo   del   razonamiento:   no   es   materia   de   la   lógica   lo   que   hará   nuestro   estudiante  en  su  futura  vida  laboral.  En  lo  que  se  detendrá  la  lógica   es  en  el  razonamiento  mismo,  con  independencia  de  su  contenido   informativo.  Su  punto  de  interés  será  determinar  si  el  razonamiento   es   correcto.   Y   para   serlo,   la   conclusión   obtenida   se   debería   desprender  o  inferir  de  los  enunciados  de  los  que  parte,  o  sea,  de   sus   premisas:   dado   que   partimos   de   una   opción   entre   dos   alternativas   (estudiar   psicología/estudiar   sociología)   y   que   se   descarta  una  de  ellas  (estudiar  psicología),  se  concluye  que  se  afirma   la  otra  alternativa  (sociología).  Está  claro  que  el  interés  de  la  lógica   radica  en  la  forma  misma  del  razonamiento  y  no  en  su  contenido.  De   ahí  que  se  pueda  sustituir  las  proposiciones  por  letras  y  decir  que  si   aceptamos   que   hay   dos   alternativas   p   o   q,   y   descartamos   una   de   ellas  –por  ejemplo  p-­‐  entonces  sólo  se  puede  concluir  q.   En   contraste   con   este   ejemplo,   supongamos   que   el   estudiante  hubiese  hecho  este  razonamiento:  
  2. 2. Estudiaré  la  carrera  de  psicología  o  la  carrera  de  sociología   Pero  no  estudiaré  psicología   _______________________________________________   Así  que  estudiaré  filosofía   En  este  caso,  más  allá  de  si  efectivamente  sea  verdad  que   nuestro   estudiante   termine   estudiando   filosofía,   la   lógica   podrá   plantear  que  el  razonamiento  es  incorrecto:  no  se  desprende  de  los   puntos   de   partida   planteados   que   se   pueda   llegar   a   la   conclusión   propuesta.  El  razonamiento  es  en  este  caso  inválido  o  incorrecto.  Es   lo  mismo  que  si  hubiese  dicho:   p  o  q   No  p   ___________   Por  lo  tanto  r   No   hay   manera   de   justificar   la   conclusión   a   partir   de   los   puntos   de   partida   que   se   tomaron.   No   se   desprende   r   de   la   alternativa   p   o   q   y   no   p.   De   este   tema   se   interesa   la   lógica:   determinar   la   corrección   de   las   relaciones   de   implicación   entre   proposiciones,  es  decir,  de  los  razonamientos.  Estudia  los  métodos  y   principios   que   permitan   distinguir   el   razonamiento   correcto   del   incorrecto.2     La  lógica  no  estudia  las  leyes  del  pensamiento,  que  es  uno   de  los  temas  de  estudio  de  la  psicología.  Si  bien  todo  razonamiento   implica   un   ejercicio   del   pensamiento,   al   revés   no   todo   el   pensamiento   es   un   razonamiento.   E   incluso   al   pensar   un   razonamiento,   no   es   materia   de   la   lógica   el   proceso   intelectivo   mismo   o   aquellos   procesos   mentales   que   condujeron   al   razonamiento  sino  sólo  el  razonamiento  mismo,  con  independencia   de   quien   lo   piense   y   de   los   procesos   psicológicos   involucrados   en   producirlo.   De   hecho,   la   mayor   parte   del   tiempo   los   procesos   de   pensamiento   no   siguen   las   leyes   de   la   lógica   clásica,   sino   leyes   psicológicas   ajenas   a   los   principios   lógicos.   Cabe   agregar   que   la   psicología  es  una  ciencia  de  hechos,  no  una  ciencia  formal  como  la   lógica.   Tampoco   la   lógica   estudia   el   razonamiento   en   tanto   un   especial  género  de  pensamiento  en  el  que  se  realizan  inferencias  y   se  derivan  conclusiones  a  partir  de  premisas.  Estudiar  determinado   tipo  de  procesos  de  pensamiento  sigue  siendo  materia  de  estudio  de   la  psicología  y  no  de  la  lógica.  No  son  de  la  incumbencia  de  la  lógica   los  oscuros  caminos  por  los  cuales  la  mente  llega  a  sus  conclusiones                                                                                                                         2  En  cambio  es  materia  de  la  Filosofía  de  la  lógica  la  reflexión  en  torno  de   los  conceptos  que  la  lógica  como  ciencia  formal  aplica:  qué  es  “inferencia”,   “verdad”,  “validez”,  “implicación”,  etc.  Como  tal,  la  filosofía  de  la  lógica  no   hace  lógica,  sino  filosofía  aplicada  a  los  conceptos  que  la  lógica  emplea.  Del   mismo   modo   como   la   filosofía   de   la   ciencia   –la   Epistemología-­‐   no   hace   ciencia  sino  filosofía:  se  pregunta  por  los  conceptos,  métodos  y  supuestos   en  los  que  la  ciencia  misma  se  basa  en  su  quehacer.  
  3. 3. durante  los  procesos  mentales  de  razonamiento.  A  la  lógica  sólo  le   interesa  el  razonamiento  en  sí  mismo  como  producto  final  de  ese   proceso,  para  determinar  si  el  mismo  es  correcto  o  no.  Es  decir,  si  el   razonamiento  es  válido  o  inválido.  La  pregunta  que  se  hace  la  lógica   como  ciencia  formal  es  si  la  conclusión  del  razonamiento  se  deriva  o   no   de   las   premisas   o   puntos   de   partida.   Un   razonamiento   es   correcto  o  válido  si  la  conclusión  se  desprende  necesariamente  de   las  premisas,  es  decir,  si  las  premisas  constituyen  un  fundamento  de   la  conclusión  de  manera  tal  que  de  llegar  a  afirmar  la  verdad  de  las   premisas  entonces  queda  garantizada  la  verdad  de  la  conclusión.   La   lógica   estudia,   en   otras   palabras,   las   relaciones   de   implicación  entre  proposiciones,  es  decir,  los  razonamientos.  Como   ciencia  formal,  se  desinteresa  por  el  contenido  de  las  proposiciones   que  conforman  los  razonamientos,  para  detenerse  en  determinar  si   la  conclusión  de  un  razonamiento  se  deduce  necesariamente  o  no   de  sus  premisas.   Término,  oración  y  proposición   Un   término   es   una   palabra   –o   conjunto   de   palabras-­‐   que   poseen   una   significación   referida   a   cosas,   o   a   cualidades   o   características  de  las  mismas.  Por  ejemplo  “casa”,  “perro”,  “lindo”,   “alto”,   “valeroso”,   “mortal”,   “el   autor   del   Martín   Fierro”   son   términos,   dado   que   refieren   a   un   objeto,   o   a   una   característica   o   propiedad  del  objeto.    Los  términos  se  limitan  a  mencionar  cosas,  no   afirman  nada  de  las  cosas  mencionadas.     Los   términos   pueden   ser   categoremáticos   o   sincategoremáticos.   Se   llaman   categoremáticos   a   los   términos   o   palabras   que   poseen   significado   por   sí   mismos   (por   ej.   “gato”,   “rojo”,   “bueno”,   “Argentina”.   En   cambio   los   términos   sincategoremáticos   sólo   adquieren   sentido   por   su   unión   a   los   categoremáticos  (por  ej.  los  artículos  (el,  la,  los,  las),  adverbios  (ya,   como,  tal  vez,  casi,  más),  pronombres  (éste,  alguno,  mío).  Si  decimos   la  oración  “los  perros  son  negros”,  los  términos  “perros”  y  “negros”   son  términos  categoremáticos,  en  cambio  “los”  y  “son”  no  designan   ningún  objeto  o  propiedad  del  objeto.  El  verbo  “es”  o  “son”  se  limita   a  afirmar  una  conexión  entre  los  términos.   El   término   constituye   la   unidad   mínima   de   sentido   en   el   lenguaje.   Si   tomamos   un   término   cualquiera     (por   ej.   “casa”)   y   lo   analizamos  en  sus  partes  componentes,  enseguida  advertimos  que   el   término   está   formado   por   letras   (c/a/s/a).   “Casa”   tiene   un   sentido,  pero  cada  una  de  las  letras  con  las  que  está  formada  ya  no   lo   tiene.   Las   letras   no   significan   nada,   sólo   cumplen   la   función   de   soportar  fonemas  del    idioma  en  que  nos  comunicamos.     Dado   que   las   letras,   a   diferencia   de   los   términos,   no   significan   nada,   se   las   emplea   en   ciencias   formales   para   poder   escribir  formas,  estructuras,  o  variables.  Así  por  ej.  en  aritmética  si   queremos   escribir   un   número   cualquiera   y   no   uno   específico,   empleamos  las  letras  X,  Y  o  Z.  Lo  mismo  pasa  en  lógica:  si  queremos   representar  formalmente  términos  o  proposiciones  abstrayendo  su   contenido  informativo,  nuevamente  el  recurso  será  la  letra  (por  ej.   A,  B  o  C  para  términos,  p,  q,  r,  s  para  proposiciones).   Las   oraciones   están   formadas   por   términos   conectados   entre  sí.  La  vinculación  entre  los  términos  para  formar  oraciones  no  
  4. 4. puede  ser  azarosa.  No  es  lo  mismo  decir  “el  día  está  nublado”  que   decir   “nublado   el   está   día”.   Las   reglas   sintácticas   y   gramaticales   propias   de   cada   lengua   determinan   cómo   deben   construirse   oraciones   bien   formadas   en   cada   lengua.   Tales   reglas   son   convencionales   y   no   responden   a   una   cuestión   lógica.   De   ahí   que   diversas   lenguas   cuenten   con   diferentes   reglas   sintácticas   y   semánticas.  El  estudio  de  estas  reglas  forma  parte  de  la  lingüística,   que  es  una  ciencia  fáctica.  Las  reglas  gramaticales  no  tienen  nada   que  ver  con  reglas  lógicas,  sino  con  convenciones  culturales.   Desde  la  gramática  es  posible  clasificar  las  oraciones  en  base   a   los   usos   o   funciones   del   lenguaje.   Hay   tres   funciones   o   usos   principales  que  podemos  distinguir:  el  uso  informativo,  el  directivo  y   el  expresivo.     • Función   informativa:   En   el   uso   informativo   empleamos   el   lenguaje  para  comunicar  información.  Para  ello  empleamos   oraciones   declarativas   en   las   que   informamos   algo   acerca   del   sujeto   de   la   oración.   Tal   información   puede   ser   verdadera  o  falsa.  “Todos  los  hombres  son  mortales”,  “Juan   lee”,   “el   triángulo   tiene   tres   lados”,   “San   Martín   cruzó   los   Andes”   o   “los   elefantes   vuelan”   son   todos   ejemplos   de   oraciones   declarativas   o   de   uso   informativo.   Las   proposiciones  afirman  o  niegan  algo  acerca  del  sujeto  de  la   oración.  Nos  dicen  que  “es  el  caso  de  que  X”,  y  por  lo  tanto   lo  que  nos  informan  puede  ser  verdadero  o  falso.   • Función  directiva:  en  el  uso  directivo  apuntamos  a  producir   o   causar   una   acción   en   el   receptor   del   mensaje.   Para   ello   empleamos  órdenes  o  consejos:  “siéntese”,  “hay  que  llegar   más   temprano”,   “váyase”,   “se   debe   respetar   al   prójimo”,   son   ejemplos   de   uso   directivo.   También   las   preguntas   pueden   ubicarse   en   esta   función,   ya   que   interpelan   al   receptor   de   la   pregunta   para   provocar   una   respuesta.   Consejos,  órdenes  y  preguntas  no  son  verdaderos  o  falsos,   ya   que   no   brindan   información   acerca   del   sujeto   de   la   oración.   Las   preguntas   pueden   responderse   pero   no   son   verdaderas   o   falsas.   “¿Qué   hora   es?”   no   informa   nada   acerca  de  la  hora,  y  apunta  a  que  quien  recibe  la  pregunta   dé  una  respuesta.  El  mismo  caso  ocurre  con  las  órdenes  y   los   consejos:   pueden   ser   obedecidos   o   no,   pero   no   son   verdaderos  o  falsos.  “Siéntese”  o  “Hay  que  estudiar”  pueden   ser  enunciados  a  acatar  o  a  rechazar,  pero  ellos  mismos  no   constituyen   una   información   que   pudiera   calificarse   como   posiblemente  verdadera  o  falsa.   • Función   expresiva:   el   uso   expresivo   del   lenguaje   apunta   a   manifestar   estados   emotivos   del   hablante.   No   informa   propiedades  o  características  del  sujeto  de  la  oración,  sino   que   comunica   sentimientos   de   aquel   que   habla.   “¡Qué   desgracia!”,   “¡Excelente!”,   “¡Dios   mío!”   constituyen   exclamaciones   que   expresan   las   emociones.   Éstas   pueden   proferirse,  pero  no  informan  nada  que  pueda  determinarse   como  verdadero  o  falso.  Manifiestan  estados  de  ánimo  del   hablante.  Tales  estados  pueden  ser  auténticos  o  simulados,   pero   ese   problema   es   terreno   de   la   psicología   y   no   de   la   lógica.  El  enunciado  expresivo  en  sí  mismo  no  tiene  valor  de   verdadero  o  falso  ya  que  no  explica  ni  describe  nada  acerca   del  sujeto  de  la  oración.  
  5. 5. De   entre   estos   diferentes   tipos   de   oraciones,   nos   interesa   recortar   los   de   uso   informativo   o   declarativos,   dado   que   sólo   con   ellas  es  posible  hacer  razonamientos.  Este  tipo  de  oraciones  revisten   la   mayor   importancia   para   la   lógica,   dado   que   sólo   con   ellos   es   posible  establecer  relaciones  de  implicación.  No  es  posible  emplear   en   los   razonamientos   otro   tipo   de   oraciones,   ya   sean   órdenes,   exclamaciones  o  preguntas.   Ahora  bien,  la  lógica  considera  a  las  oraciones  declarativas  en  su   carácter   proposicional.   Se   desinteresa   por   el   problema   del   contenido   informativo   y   su   valor   de   verdad,   así   como   su   aspecto   gramatical  (o  sea,  las  palabras  con  las  que  se  construye  la  oración).   Una  proposición  en  lógica  es:   -­‐ Una  oración  de  uso  informativo   -­‐ Que   puede   ser   verdadera   o   falsa   (la   información   de   la   proposición   nos   dice   que   lo   que   afirma   “es   el   caso”   o   “acaece”,  y  será  verdadera  o  falsa  dicha  información  si  eso   que   afirma   que   acaece,   efectivamente   ocurre:   por   ej.   la   proposición   “Juan   es   pintor”   será   verdadera   si   efectivamente   Juan   es   un   pintor.   En   caso   de   que   fuera   abogado,  la  proposición  será  falsa).   -­‐ Y   apunta   al   significado   de   la   oración   declarativa,   con   independencia  de  las  palabras  (por  ej.  “Juan  lee”,  “Juan  está   leyendo”  o  “John  reads”  son  tres  oraciones  declarativas  que   emplean   diferentes   palabras,   pero   por   tener   el   mismo   sentido  constituyen  la  misma  proposición  para  la  lógica.   Las  proposiciones  pueden  clasificarse  según  diferentes  criterios:   tradicionalmente  se  las  clasifica  por  cantidad,  cualidad,  modalidad  y   relación.   Nos   detendremos   en   la   clasificación   proposicional   por   cantidad.  En  ella  distinguimos  tres  tipos  de  proposiciones  en  función   de  la  cantidad  de  elementos  de  los  que  se  informa  o  predica  algo.  Lo   que  permite  distinguir  entre  proposiciones  singulares,  universales  y   particulares.   • Proposiciones   singulares:   Una   proposición   singular   es   aquella   que   informa   algo   acerca   de   un   solo   elemento   o   miembro  de  una  clase  o  conjunto.  Por  ej.  “Juan  lee”  es  una   proposición   que   informa   respecto   de   un   solo   individuo   (“Juan”)   la   propiedad   o   característica   de   que   “lee”.   Como   tal,  puede  ser  verdadera  o  falsa  la  información  de  que  Juan   lea.   Y   se   podrá   determinar   si   es   verdadera   o   falsa   contrastando  la  información  de  la  proposición  singular  con   el   hecho   al   que   se   refiere:   si   el   hecho   coincide   con   lo   informado   en   la   proposición,   en   tal   caso   la   proposición   es   verdadera.  De  lo  contrario  es  falsa.   • Proposiciones   universales:   una   proposición   universal   informa   algo   acerca   de   la   totalidad   de   los   elementos   o   miembros  de  una  clase  o  conjunto.  Por  ejemplo,  “Todos  los   hombres   leen”   informa   que   para   la   totalidad   del   conjunto   de  “los  hombres”  se  cumple  el  predicado  de  que  leen.  Las   proposiciones   universales   pueden   abarcar   un   conjunto   limitado   y   acotado   de   elementos,   o   referir   a   un   conjunto   infinito  o  innumerable  de  miembros  de  una  clase.  “Todos  los   alumnos   de   esta   clase   leen”,   a   diferencia   del   ejemplo   anterior,   remite   a   un   conjunto   limitado   y   abarcable   de  
  6. 6. miembros.   Para   el   caso   de   proposiciones   universales   que   informa   sobre   un   conjunto   innumerable   o   infinito   de   elementos  –como  las  que  se  emplean  en  las  hipótesis  o  las   leyes   de   la   ciencia-­‐   ,   determinar   la   verdad   de   dichas   proposiciones  se  vuelve  imposible:  se  debería  contrastar  la   proposición  universal  con  la  totalidad  de  los  casos  que  ésta   abarca,  lo  que  resulta  impracticable.  En  cambio,  determinar   su  falsedad  no  constituye  un  problema:  basta  encontrar  un   caso   donde   no   se   cumpla   lo   que   afirma   la   proposición   universal,  para  saber  que  ésta  es  falsa.   • Proposiciones   particulares:   una   proposición   particular   informa   algo   acerca   de   por   lo   menos   un   elemento   o   miembro   de   una   clase   o   conjunto,   aunque   tal   vez   más.   “Algunos  hombres  leen”  significa  que  hay  por  lo  menos  un   miembro   de   la   clase   “hombres”   –tal   vez   más,   pero   por   lo   menos   uno-­‐   que   “lee”.   Para   determinar   la   verdad   de   la   proposición  particular  alcanza  con  que  un  solo  caso  cumpla   lo  que  informa  la  proposición.  En  cambio  la  determinación   de   la   falsedad   de   la   proposición   particular   se   vuelve   imposible:   se   debería   verificar   para   la   totalidad   de   los   miembros  de  la  clase  o  conjunto  “hombres”  que  nadie  lea,  y   recién   allí   se   demostraría   la   falsedad   de   la   proposición   particular.  Pero  dado  que  el  conjunto  “hombres”  abarca  un   número  innumerable  de  elementos,  la  determinación  de  la   falsedad  se  vuelve  imposible.     En   ciencia   se   emplean   las   proposiciones   singulares   para   describir   hechos   o   para   recabar   datos.   Los   enunciados   observacionales  y  las  implicaciones  contrastadoras  de  hipótesis   se   construyen   en   base   a   proposiciones   singulares:   cada   dato,   cada  hecho  se  describe  en  una  proposición  singular.  En  cambio   en   la   ciencia   se   emplean   las   proposiciones   universales   para   plantear  hipótesis,  generalizaciones  o  leyes.     Formalización.  Lógica  de  términos       Como  ciencia  formal,  a  la  lógica  no  le  compete  el  estudio  del   contenido   informativo   de   las   proposiciones.   Le   basta   con   plantear   que  las  mismas  pueden  ser  verdaderas  o  falsas,  siendo  un  problema   de  las  ciencias  fácticas  -­‐o  del  conocimiento  práctico-­‐  determinar  si  la   información  de  las  proposiciones  coincide  o  no  con  los  hechos  a  los   que  se  refieren.  De  modo  que  a  la  lógica  no  le  interesa  el  contenido   informativo   de   la   proposición   sino   cómo   se   vinculan   las   proposiciones   entre   sí   de   manera   de   constituir   relaciones   de   implicación   válidas.   Lo   cual   es   independiente   del   contenido   informativo   que   contengan.   De   ahí   que   la   lógica   abstraiga   el   contenido   de   las   proposiciones   para   quedarse   con   su   forma   o   estructura.     Fue  Aristóteles  el  primero  en  fundar  las  bases  de  la  lógica   como   disciplina   de   las   ciencias   formales.   La   lógica   aristotélica   es   conocida  como  Lógica  de  términos,  dado  que  concebía  los  juicios  o   proposiciones  como  la  atribución  de  un  predicado  a  un  sujeto,  como   una  relación  entre  dos  términos  que  se  unen  en  la  afirmación  o  se   separan  en  la  negación.  El  juicio  o  proposición  aristotélica  se  concibe   así:  S  es  P  o  S  es  no  P.     Tomemos   el   ejemplo:   “Todos   los   hombres   son   mortales”,   proposición  universal  afirmativa.  No  es  tema  de  la  lógica  averiguar  si  
  7. 7. es  verdadero  o  falso  el  hecho  de  que  los  hombres  sean  mortales.   Sólo  le  interesa  la  proposición  independientemente  del  contenido.   Vale  decir,  su  forma  o  estructura.   ¿Cómo  podemos  abstraer  la  estructura  de  una  proposición?   Lo  que  nos  muestra  la  lógica  de  términos  de  Aristóteles  es  que  las   proposiciones  están  formadas  por  dos  tipos  de  términos:  variables  y   constantes,  en  función  de  la  estructura  proposicional.  Un  término  es   variable  si  su  sustitución  en  la  proposición  no  modifica  la  forma  de  la   proposición  misma.  En  nuestro  ejemplo,  son  términos  variables  “los   hombres”   y   “mortales”,   ya   que   si   los   cambiásemos   por   otros   términos   (por   ej.   “los   animales”   y   “vertebrados”,   o   “los   poetas”   y   “verdes”),   seguiríamos   teniendo   el   mismo   tipo   de   proposición:   seguiría   siendo   una   universal   afirmativa   (“Todos   los   animales   son   vertebrados”,  “Todos  los  poetas  son  verdes”).  De  modo  que  resulta   indiferente  el  término  variable  empleado  y  por  lo  tanto  puede  ser   cualquiera.  Así  que  puede  ser  reemplazado  por  una  letra:  “Todo  A  es   B”.   Diferente  es  el  caso  de  los  términos  constantes:  “todo”  no   es   intercambiable   por   “ninguno”   o   por   “algunos”,   dado   que   son   cuantificadores:  nos  indican  el  número  de  elementos  o  individuos  de   los  que  estamos  predicando  algo.  Lo  mismo  pasa  con  el  verbo  “ser”   que  cumple  la  función  de  conectar  o  vincular  los  términos  variables.   De  manera  que  dichos  términos  no  pueden  sustituirse  por  letras.  Lo   que   hace   que   la   lógica   aristotélica   no   alcance   una   formalización   completa   de   las   proposiciones,   ya   que   conserva   términos   del   lenguaje  cotidiano.  A  diferencia  de  la  posterior  lógica  proposicional,   no  puede  reducir  toda  proposición  posible  a  letra.     Si  sustituimos  los  términos  variables  por  letras,  la  estructura   de   una   proposición   universal   afirmativa   es:   “Todo   A   es   B”.   Si   reemplazamos   el   término   cuantificador   por   “Algunos”,   obtendríamos  una  proposición  particular  afirmativa.  Y  si  negamos  la   proposición   universal   afirmativa,   su   estructura   sería   “Ningún   A   es   B”,   mientras   que   la   negación   de   la   particular   afirmativa   nos   da   “Algún  A  no  es  B”.  Para  Aristóteles,  toda  proposición  posible  puede   reducirse  a  estas  cuatro  formas:     AFIRMATIVAS   NEGATIVAS   UNIVERSALES   Todo  S  es  P   Ningún  S  es  P   PARTICULARES   Algunos  S  son  P   Algunos  S  no  son  P       Una   vez   despejadas   las   estructuras   de   toda   proposición   posible,   Aristóteles   establece   las   relaciones   lógicas   que   presentan   entre  sí  estas  cuatro  estructuras  proposicionales:                TODO  A  ES  B                        Contrarios                  NINGUN  A  ES  B                   ALGUNOS  A  SON  B    Subcontrarios                    ALGUNOS  A  NO  SON  B     Contradictorios  Subalterna   Subalterna  
  8. 8. 1. Proposiciones   contrarias:   Proposiciones   universales   afirmativas   y   negativas   son   contrarias   entre   sí:   no   pueden   ser   ambas   verdaderas.   Si   es   verdad   que   “Todo   A   es   B”,   entonces   no   puede   ser   verdad   “Ningún   A   es   B”,   y   si   es   verdad   esta   última,   no   puede   ser   verdad   la   anterior.   Si   es   verdad  “Todos  los  hombres  son  mortales”,  entonces  es  falso   “Ningún  hombre  es  mortal”.  Y  si  es  verdad  “Ningún  hombre   es  cuadrúpedo”  entonces  es  falso  “Todos  los  hombres  son   cuadrúpedos”.   De   dos   contrarios,   uno   debe   ser   falso,   aunque   cabe   también   la   posibilidad   de   que   ambos   universales  pudieran  serlo:  por  ej.  “Todos  los  hombres  son   argentinos”   y   “Ningún   hombre   es   argentino”   son   ambas   falsas.   2. Proposiciones  subalternas:  De  toda  proposición  universal  es   válido   deducir   una   proposición   particular   correspondiente.   Si  afirmamos  o  negamos  algo  acerca  de  la  totalidad  de  los   miembros   de   una   clase   o   conjunto,   de   eso   se   sigue   que   estamos   afirmando   o   negando   algo   de   una   parte   de   ese   conjunto   mismo.   Si   “Todo   A   es   B”   es   verdadero,   entonces   necesariamente   también   es   verdadero   “Algunos   A   son   B”,   dado   que   esta   última   proposición   está   contenida   en   la   universal   afirmativa.   Lo   mismo   ocurre   con   las   universales   negativas   y   sus   particulares   negativas   correspondientes:   si   “Ningún  A  es  B”  es  verdadera,  entonces  necesariamente  es   verdad  que  “Algunos  A  no  son  B”,  porque  esta  última  está   contenida   en   la   información   de   la   universal   negativa.   Si   “Todos  los  alumnos  son  estudiantes  de  medicina”,  entonces   es   indudable   que   “Algunos   alumnos   son   estudiantes   de   medicina”  y  cada  uno  de  ellos  son  estudiantes  de  medicina.   Si  “Ningún  alumno  es  estudiante  de  medicina”,  entonces  es   seguro   que   “Algunos   alumnos   no   son   estudiantes   de   medicina”  y  que  cada  uno  de  ellos  no  estudia  medicina.  La   relación   inversa   es   en   cambio   lógicamente   incorrecta:   de   afirmar  o  negar  algo  acerca  de  una  parte  de  un  conjunto  de   elementos,   no   se   sigue   de   allí   que   se   pueda   afirmar   lo   mismo   de   la   totalidad   de   los   elementos   de   ese   conjunto.   Que  “Algunos  A  sean  B”  no  implica  que  “Todo  A  es  B”,  ni   que  “Algunos  A  no  sean  B”  tampoco  implica  que  “Ningún  A   sea  B”:  que  algunos  alumnos  estudien  medicina  no  implica   que  necesariamente  todos  estudien  medicina,  y  que  algunos   alumnos  no  estudien  medicina  no  implica  que  nadie  lo  haga.   Dicho   resumidamente:   es   lógicamente   correcto   deducir   proposiciones   particulares   de   los   universales   correspondientes,  pero  la  inversa  es  lógicamente  incorrecta.   3. Proposiciones   contradictorias:   Lo   que   contradice   –hace   falsa-­‐   a   una   proposición   universal   afirmativa   es   una   proposición   particular   negativa,   y   lo   que   contradice   a   una   proposición  universal  negativa  es  una  proposición  particular   afirmativa.   ¿Qué   haría   falsa   la   afirmación   “Todos   los   alumnos  son  porteños”?  Que  haya  algunos  alumnos  que  no   lo   son.   ¿Qué   haría   falsa   la   afirmación   “Ningún   alumno   es   porteño”?  Que  haya  algunos  alumnos  que  sean  porteños.   4. Proposiciones   subcontrarias:   proposiciones   particulares   afirmativas   y   negativas   son   subcontrarias   entre   sí.   Esto   significa   que   no   pueden   ser   ambas   falsas,   aunque   pueden   ser  ambas  verdaderas.  Si  afirmamos  “algunos  hombres  son  
  9. 9. inmortales”   y   “algunos   hombres   no   son   inmortales”,   no   pueden   ser   las   dos   falsas:   por   lo   menos   una   debe   ser   verdadera.  Aunque  también  pueden  ser  ambas  verdaderas.   Por   ejemplo:   “algunos   hombres   son   porteños”   y   “algunos   hombres  no  son  porteños”,  son  ambas  verdaderas.   Una   vez   despejadas   las   cuatro   estructuras   proposicionales,   Aristóteles   propone   la   forma   mínima   de   razonamiento   llamado   silogismo:  vinculando  entre  sí  dos  proposiciones  es  posible  deducir   una  tercera.  El  silogismo  es  una  forma  de  razonamiento  que  tiene   dos  premisas  y  una  conclusión  y  contiene  tres  términos,  cada  uno  de   los  cuales  aparece  sólo  en  dos  de  sus  proposiciones  constituyentes.       Por  ejemplo:     Todos  los  hombres  son  racionales       Todo  B  es  A   Todos  los  griegos  son  hombres     Todo  C  es  B   Todos  los  griegos  son  racionales     Todo  C  es  A   De  estos  tres  términos,  se  llama  “término  mayor”  al  predicado   de   la   conclusión,   y   “término   menor”   al   sujeto   de   la   conclusión.   El   “término   medio”   no   aparece   en   la   conclusión   sino   sólo   en   las   premisas,   permitiendo   que   se   vinculen   lógicamente   los   otros   dos   términos  en  la  conclusión.  En  los  silogismos  distinguimos  entre:   -­‐ Premisa  mayor:  aquella  que  contiene  el  término  mayor  de  la   conclusión  (o  sea,  el  término  predicado  de  la  conclusión)  (En   nuestro  ejemplo:  “racionales”)   -­‐ Premisa  menor:  aquella  que  contiene  el  término  menor  de   la   conclusión   (el   término   sujeto   de   la   conclusión)   (En   nuestro  ejemplo:  “griegos”)   Los   silogismos   pueden   varias   por   su   figura   (la   posición   del   término   medio   en   el   razonamiento)   y   por   el   modo   (el   tipo   de   proposiciones  que  contiene:  universales  o  particulares  afirmativas  o   negativas).   Por   su   figura,   puede   presentar   cuatro   alternativas,   según   la   ubicación  del  término  medio:   M  –  P   P  –  M     P  –  M     M  –  P   S  –  M   M  –  S     S  –  M     M  –  S   S  –  P   S  -­‐  P     S  –  P     S  –  P           Estas   cuatro   figuras,   combinadas   con   los   cuatro   tipos   posibles   de   proposiciones   arrojan   un   resultado   de   256   silogismos   posibles.  De  todos  ellos,  sólo  24  son  válidos  o  correctos.  En  el  resto   de   los   casos   se   pueden   alcanzar   conclusiones   falsas   a   partir   de   premisas  verdaderas,  lo  que  prueba  lo  incorrecto  del  razonamiento.   LOGICA  PROPOSICIONAL   A   diferencia   de   otros   campos   de   saber   desarrollados   por     Aristóteles    (como  la  astronomía,  la  física  y  la  biología)  que  con  la   llegada  de  la  ciencia  moderna  pasaron  a  ser  abandonados,  la  lógica   de  términos  de  Aristóteles  sobrevivió  al  pasaje  a  la  modernidad.  En  
  10. 10. el   siglo   XVIII,   Kant   sostenía   en   su   “Crítica   de   la   Razón   pura”:   “…   Desde  Aristóteles  (la  lógica)  no  ha  tenido  que  rehacer  un  solo  paso,   a  menos  que  consideremos  como  mejoras  la  eliminación  de  algunas   sutilezas  innecesarias  o  la  definición  más  clara  de  su  objeto,  todo  lo   cual   tiene   que   ver   más   con   la   elegancia   que   con   la   solidez   de   la   ciencia.  Es  asimismo  notable  que  hasta  la  actualidad  no  haya  sido   capaz  de  avanzar  un  solo  paso,  de  modo  que,  según  toda  apariencia,   se   la   puede   considerar   completa   y   perfecta”.   Pero   esta   aparente   perfección  va  a  ser  conmovida  a  partir  de  la  segunda  mitad  del  siglo   XIX,  de  la  mano  de  dos  matemáticos  ingleses  -­‐Augustus  De  Morgan  y   George  Boole-­‐  quienes  plantean  que  los  métodos  de  la  matemática   son   aplicables   al   estudio   de   las   relaciones   entre   clases   y   entre   proposiciones.   Aportes   posteriores   de   los   filósofos   Peirce,   Frege,   Russell   y   Whitehead   dan   forma   a   lo   que   se   conoce   como   “lógica   proposicional”.   La   lógica   de   términos   aristotélica   pretende   reducir   la   totalidad  de  las  proposiciones  a  la  forma  “S  es  P”.  Sin  embargo  es   posible   imaginar   proposiciones   que   no   se   acomoden   a   esta   estructura:  “Juan  ama  a  María”,  “Llueve”  no  se  corresponden  a  los   tipos   de   proposición   clásica   estudiados   por   la   lógica   de   términos.   Tampoco   logra   alcanzar   una   formalización   completa   de   las   proposiciones,  dado  que  sólo  puede  sustituir  los  términos  variables   por  letras,  pero  no  los  términos  constantes.     La   lógica   proposicional   en   cambio   logra   alcanzar   una   formalización  completa  de  toda  proposición  posible,  con  el  simple   expediente   de   representar   mediante   letras   la   totalidad   de   una   proposición.  En  vez  de  sustituir  términos  por  letras  al  modo  de  la   lógica  de  términos,  se  reemplaza  la  totalidad  de  una  proposición  por   una  letra  minúscula,  a  partir  de  la  p  (p,  q,  r,  s,  etc.).  Así,  por  ejemplo,   “Juan   ama   a   María”   =   p;   “Llueve   =   q.     De   ese   modo   la   lógica   proposicional   alcanza   una   formalización   completa   de   toda   proposición  posible.   Debido   al   carácter   ambiguo   y   vago   de   las   palabras   de   los   lenguajes,   los   razonamientos   formulados   en   cualquier   lengua   natural   son   difíciles   de   evaluar.   Para   eliminar   este   problema,   la   lógica  se  vale  de  un  lenguaje  simbólico  artificial  al  cual  traducir  las   proposiciones  y  razonamientos  del  lenguaje  natural.     Proposiciones  atómicas  y  moleculares   La   lógica   proposicional   distingue   entre   proposiciones   atómicas   y   moleculares.   Se   llaman   atómicas   a   las   proposiciones   simples,   es   decir,   aquellas   que   no   contienen   dentro   de   ellas   proposiciones.  Consideremos  el  siguiente  ejemplo:  “Juan  lee”.  Esta   proposición  es  atómica,  dado  que  si  la  dividiéramos  en  sus  partes   componentes,  nos  quedarían  términos  y  no  proposiciones  (“Juan”,   “lee”).   Representamos   a   esta   proposición   en   lógica   proposicional   con  una  letra:  “p”.  Y  como  tal,  puede  ser  verdadera  o  falsa  (V/F).   Las   proposiciones   moleculares,   en   cambio,   son   proposiciones   compuestas:   contienen   otras   proposiciones   como   parte   de   sí   mismas.   Así   por   ejemplo,   la   proposición   “Juan   lee   y   escribe”  es  molecular,  por  contener  dentro  suyo  dos  proposiciones:   “Juan   lee”   y   “Juan   escribe”.   Las   proposiciones   moleculares   están   formadas  por  proposiciones  atómicas  unidas  o  conectadas  entre  sí   por   nexos   o   conectivas   lógicas.   En   nuestro   ejemplo,   la   “y”   está  
  11. 11. uniendo   dos   proposiciones   atómicas.   Representamos   esta   proposición   molecular   en   lógica   proposicional   de   la   siguiente   manera:   p  =  “Juan  lee”              q  =  “Juan  escribe”                          y  =  .   “Juan  lee  y  escribe”  =  p    .    q   Los  nexos  o  conectivas  lógicas  son  términos  empleados  para   conectar  fórmulas  o  proposiciones  entre  sí,  de  modo  que  el  valor  de   verdad  de  la  proposición  resultante  depende  del  valor  de  verdad  de   las  proposiciones  atómicas  que  la  conforman.   Si   bien   podemos   conectar   atómicas   para   conformar   moleculares,  el  sentido  de  los  nexos  lógicos  es  diferente:  no  es  lo   mismo  decir  “Juan  lee  y  escribe”  a  decir  “Juan  lee  o  escribe”  o  “Si   Juan   lee   entonces   escribe”.   En   estos   tres   ejemplos   tenemos   las   mismas  proposiciones  atómicas,  pero  el  sentido  cambia  en  función   del   nexo   lógico   en   juego.   Estudiaremos   4   nexos   principales:   la   conjunción,  la  disyunción,  la  negación,  y  el  condicional.   -­‐ Conjunción:   el   sentido   de   la   conjunción   es   conectar   proposiciones,  suma  proposiciones  atómicas.  Son  ejemplos   de   nexos   de   conjunción:   “y”,   “pero”,   “aunque”,   “sin   embargo”.  Se  representa  en  lógica  simbólica  con  un  punto:   “.”.   -­‐ Disyunción:   la   disyunción   propone   una   alternativa   entre   proposiciones.   En   lógica   podemos   distinguir   dos   tipos   de   disyunción:   la   exclusiva   y   la   inclusiva.   Las   disyunciones   exclusivas  proponen  alternativas  entre  proposiciones  que  no   pueden   ser   ambas   verdaderas,   ya   que   la   verdad   de   una   excluye   la   posibilidad   de   que   la   otra   sea   verdadera.   Por   ejemplo:  “el  número  X  es  par  o  es  impar”  o  “Juan  está  vivo  o   está  muerto”  proponen  alternativas  en  las  que  no  podrían   ser  ambas  verdaderas.  En  cambio  las  disyunciones  inclusivas   son  plantean  alternativas  entre  proposiciones  que  admiten   sin  contradicción  lógica  que  puedan  ser  ambas  verdaderas.   Así   por   ejemplo   “Iré   al   cine   o   iré   a   cenar”   o   “Juan   es   abogado   o   es   escritor”   proponen   alternativas   que   no   se   excluyen  mutuamente  y  por  lo  tanto  podrían  darse  ambas   como  verdaderas.  La  disyunción  exclusiva  se  representa  en   lógica  simbólica  con  el  signo  W,  y  la  disyunción  inclusiva  con   el  signo  V.   -­‐ Negación:  Toda  proposición  afirma  algo.  Decir  “el  pizarrón   es   verde”   equivale   a   decir   “es   el   caso   que   el   pizarrón   es   verde”   o   “afirmo   que   el   pizarrón   es   verde”.   La   negación   rechaza  aquello  que  es  afirmado  por  una  proposición.  “No   es  el  caso  que”  o  “es  falso  que”.  Se  representa  en  lógica  con   el  signo  menos      (  -­‐  )  puesto  delante  de  la  proposición  que   niega.   -­‐ Condicional:   el   nexo   condicional   afirma     una   relación   de   antecedente   a   consecuente,   o   de   causa   a   efecto   entre   proposiciones.   Afirma   que   si   el   antecedente   es   verdadero   (se   produce   o   se   da   p),   entonces   también   es   verdad   el   consecuente   (se   sigue   de   eso   q).   Mientras   que   en   la   conjunción   y   la   disyunción   es   indiferente   el   orden   de   las   atómicas,   al   punto   que   se   pueden   permutar   sin   afectar   el  
  12. 12. sentido  de  la  proposición  molecular  resultante  (es  lo  mismo   decir  “Juan  lee  y  escribe”  que  decir  “Juan  escribe  y  lee”),  en   el  caso  de  las  moleculares  las  atómicas  que  conecta  no  son   permutables.   No   es   lo   mismo   decir   “Si   tomo   veneno,   entonces     me   muero”   que   decir   “si   me   muero,   entonces   tomo   veneno”.   Dado   que   el   condicional   propone   una   relación  de  antecedencia  a  consecuencia,  la  relación  no  se   puede   invertir.   Y   el   antecedente   siempre   se   sitúa   en   la   proposición   acompañado   del   “si”   de   condición.   El   condicional  se  representa  en  lógica  con  el  signo  →.   Las   proposiciones   atómicas   pueden   ser   verdaderas   o   falsas.   Y   dependerá  de  su  correlación  con  el  hecho  al  que  se  refieren  que  lo   sean  o  no.  “Juan  lee”  será  verdadera  si  efectivamente  se  cumple  el   caso  de  que  Juan  lea.  De  lo  contrario  es  falsa.  En  otras  palabras:  la   verdad  de  las  atómicas  depende  de  su  correlación  con  los  hechos  a   los  que  se  refiere.  Y  desde  la  lógica  formal  sólo  podemos  decir  de   dicha  proposición,  que  p  es  V  o  F.  En  el  caso  de  las  proposiciones   moleculares,  dado  que  contienen  atómicas  unidas  por  nexos  lógicos,   la  verdad  o  falsedad  de  la  molecular  depende  de  la  verdad  de  las   atómicas  que  la  conforman.     Tablas  de  valores  de  verdad   Las   Tablas   de   Verdad   muestran   el   valor   de   verdad   de   proposiciones  moleculares  para  cada  combinación  de  verdad  que  se   le  pueda  asignar.  Veamos  en  cada  caso  de  nexo  lógico  cómo  serían   las   alternativas   de   V   o   F   de   moleculares   conformadas   por   conjunción,  disyunción,  negación  y  condicional.   a) Proposiciones  moleculares  formadas  por  conjunción:  Tomemos   el   ejemplo   “Juan   lee   y   escribe”,   molecular   formada   por   dos   atómicas   (“Juan   lee”,   “Juan   escribe”)   unidas   por   el   nexo   de   la   conjunción.  Cada  una  por  separado  se  escribe  formalmente  con   las  letras  p  y  q.  Cada  una  por  separado  puede  ser  V  o  F.  Pero   ahora   se   presentan   unidas   en   una   proposición   molecular   formada  por  conjunción.  Así  que  su  expresión  formal  sería  esta:   (p   .   q).   De   modo   que   combinadas   hay   4   alternativas   posibles:   que  p  y  q  sean  V,  que  p  y  q  sean  F,  que  p  sea  V  y  q  F,  o  que  p  sea   F  y  q  V.  De  esas  alternativas,  sólo  será  verdadera  la  molecular   por   conjunción   cuando   ambas   atómicas   que   la   forman   sean   todas  V.  En  los  demás  casos  será  F.  Escribamos  las  alternativas   en  una  tabla:     p   .   q   V   V   V   F   F   V   V   F   F   F   F   F     b) Proposiciones   moleculares   formadas   por   disyunción:   Si   ahora   tomamos   el   mismo   ejemplo   y   empleamos   la   disyunción  inclusiva,  tendremos  las  mismas  alternativas  de  
  13. 13. combinaciones  de  verdaderos  y  falsos  para  p  y  para  q,  solo   que   ahora   la   proposición   molecular   resultante   será   falsa   únicamente  en  el  caso  de  que  ambas  atómicas  sean  falsas.   “Juan  lee  o  escribe”  sólo  es  falso  si  no  es  verdad  que  Juan   lee   ni   que   escribe.   En   las   demás   alternativas   la   molecular   será  verdadera.       p   V   q   V   V   V   F   V   V   V   V   F   F   F   F       Si  la  disyunción  hubiera  sido  exclusiva  (por  ejemplo:  “Juan   está  vivo  o  está  muerto”),  entonces  la  molecular  sería  falsa   también   en   el   caso   de   que   ambas   atómicas   se   plantearan   como   verdaderas   (lo   que   queda   excluido   de   este   tipo   de   disyunción).       p   W   q   V   F   V   F   V   V   V   V   F   F   F   F     c) Proposiciones   negativas:   “Juan   lee”   se   representa   con   la   letra  p,  y  puede  ser  verdadera  o  falsa.  Su  negación  (–  p)  será   lo    contrario:  si  “Juan  lee”  es  verdadera,  entonces  “Juan  no   lee”  es  falsa,  y  si  “Juan  lee”  es  falsa,  entonces  “Juan  no  lee”   es   verdadera.   La   negación   invierte   el   valor   de   V   y   F   de   la   proposición  a  la  que  afecta.     p   -­‐ p   V   F   F   V   d) Proposiciones   moleculares   formadas   por   condicional:   Tomemos   como   ejemplo   de   molecular   formada   por   condicional  “Si  hay  fuego,  entonces  hay  calor”.  Nuevamente   tendremos  las  mismas  alternativas  de  V  y  F  para  p  y  q.  Pero  
  14. 14. la   molecular   formada   por   condicional   sólo   será   falsa   si   el   antecedente   es   verdadero   y   el   consecuente   falso.   Un   condicional   plantea   que   si   se   produce   el   antecedente,   se   debe   producir   el   consecuente.   Por   lo   tanto   lo   único   que   haría  falsa  la  condición  es  que  el  antecedente  se  produzca   pero   no   se   siga   el   consecuente.   En   el   caso   de   que   ambas   sean   verdaderas,   o   falsas   o   el   antecedente   falso   y   el   consecuente  verdadero,  la  molecular  mantiene  su  valor  de   verdad.   Por   ejemplo,   puede   ser   que   no   haya   fuego   pero   haya  calor  por  otras  razones:  eso  no  hace  falsa  la  condición   de  que  “si  hay  fuego,  hay  calor”,  sólo  haría  falsa  la  condición   si  hay  fuego  y  no  hay  calor.     p   →   q   V   V   V   F   V   V   V   F   F   F   V   F     Razonamientos   Los   razonamientos   constituyen   una   especial   vinculación   entre   proposiciones.   No   es   una   colección   de   proposiciones   cualquiera,  sino  que  configura  una  estructura  formada  por  premisas   y  conclusión.  “Hoy  es  un  día  soleado.  Las  personas  salen  de  paseo.   Hay   muchos   automóviles   en   las   carreteras.   No   se   esperan   altas   temperaturas.   etc.”   es   un   ejemplo   de   sucesión   de   proposiciones.   Pero  no  configuran  un  razonamiento.  Para  que  haya  razonamiento   tiene  que  haber  una  relación  de  implicación  entre  ellas.  Es  decir,  que   de   afirmar   ciertas   proposiciones   como   verdaderas,   tengamos   que   afirmar   otras   proposiciones   también   como   verdaderas   porque   se   derivan  o  infieren  de  las  primeras.  Hay  una  relación  de  implicación   de  unas  a  otras.     Un  razonamiento  es  el  resultado  de  una  inferencia,  es  decir,   de   un   proceso   por   el   cual   partiendo   de   ciertas   proposiciones   aceptadas  como  punto  de  partida,  se  afirma  una  proposición  como   conclusión.   Conviene   en   este   punto   distinguir   el   proceso   de   inferencia,  de  la  implicación  entre  proposiciones.  La  implicación  es   una  relación  objetiva  entre  proposiciones,  dado  que  la  existencia  de   una   implicación   no   depende   de   que   tenga   lugar   el   proceso   intelectual   de   inferencia.   De   hecho   puede   haber   una   implicación   entre   proposiciones   que   un   determinado   sujeto   no   sea   capaz   de   inferir.     El   término   implicación   proviene   del   latín   inplicare,   y   se   refiere  al  hecho  de  que  hay  algo  “plegado”  o  doblado  en  el  interior   de   algo,   de   manera   que   eso   interior   no   es   visible   o   perceptible   aunque  está  allí.  Se  contrapone  a  “explicación”  (del  latín  explicare),   que  significa  desplegar  lo  que  está  plegado,  hacer  visible,  explícito,   lo   que   estaba   implicado   o   implícito   en   el   interior   de   algo   que   lo   contenía  y  ocultaba.  
  15. 15. La  implicación  lógica  es  una  relación  entre  las  proposiciones   mismas  que  se  da  cuando  una  proposición  se  sigue  necesariamente   de   otra   o   de   otras   y   por   lo   tanto   puede   deducirse   de   ellas,   con   independencia  del  problema  de  si  las  proposiciones  son  verdaderas   o  falsas.  Si  afirmamos  que  “Juan  es  hijo  de  Pedro”,  y  “Pedro  es  padre   de   Juan”,   si   la   primera   proposición   es   verdadera,   entonces   la   segunda  forzosamente  también  lo  es,  dado  que  la  segunda  se  deriva   de  la  primera,  o  está  implicada  en  la  información  de  la  primera.  Si   afirmamos  que  “iré  al  cine  o  al  teatro,  pero  no  iré  al  cine”  e  “iré  al   teatro”,  si  las  dos  primeras  proposiciones  son  verdaderas,  entonces   la  tercera  también  debe  serlo,  porque  se  deduce  de  las  anteriores.       Un   razonamiento   es   una   relación   de   implicación   entre   proposiciones  que  conforma  una  estructura  formada  por  dos  partes:   premisas  y  conclusión.       Todo  A  es  B   Todo  B  es  C   Todo  A  es  C     Las  premisas  son  aquellas  proposiciones  de  las  que  se    parte   para  derivar  o  inferir  una  conclusión.  Constituyen  el  fundamento  o   la  justificación  de  la  conclusión,  es  decir,  las  razones  para  afirmarla.   Pueden  ser  una  o  más  de  una.  La  conclusión  de  un  razonamiento  en   cambio  es  siempre  una.  Es  la  proposición  que  se  deduce  a  partir  de   las   proposiciones   que   hemos   tomado   como   punto   de   partida   o   premisas.  Tanto  las  premisas  como  la  conclusión  son  lugares  en  la   estructura   de   un   razonamiento,   pudiendo   una   misma   proposición   ser  conclusión  o  premisa  en  diferentes  razonamientos.   Verdad  y  validez     Las  proposiciones  pueden  ser  verdaderas  o  falsas.  La  verdad   o   falsedad   de   las   proposiciones   –que   eventualmente   puedan   conformar   razonamientos-­‐   constituye   un   problema   fáctico   o   material   que   involucra   a   las   ciencias   de   hechos   y   al   conocimiento   humano:  determinar  si  la  información  de  las  proposiciones  coincide   con  los  hechos  de  los  que  informa.    No  constituye  un  problema  de  la   lógica.  La  lógica  se  interesa  por  los  razonamientos,  es  decir,  por  las   relaciones   de   implicación   entre   proposiciones.   Estudia   las   condiciones  en  las  cuales  una  proposición  se  sigue  necesariamente   de   otras   y   puede   por   lo   tanto   deducirse   de   ellas.   Y   esto   con   independencia  de  si  tales  proposiciones  son  verdaderas  o  falsas.     A  diferencia  de  las  proposiciones,  los  razonamientos  no  son   verdaderos   o   falsos,   sino   válidos   o   inválidos.   Un   razonamiento   es   correcto   o   válido   cuando   la   conclusión   del   mismo   se   deduce   de   manera  necesaria  de  sus  premisas.  De  lo  contrario  es  inválido.  Así   por  ejemplo  el  siguiente  razonamiento:   Todo  A  es  B   Todo  B  es  C   Todo  A  es  C   PREMISAS   CONCLUSIÓN  
  16. 16. Se   trata   de   un   razonamiento   válido   o   correcto,   dado   que   la   conclusión   se   deduce   necesariamente   de   sus   premisas,   con   independencia  del  significado  que  pudieran  tener  A,  B  o  C.  Si  todo   elemento  de  A  pertenece  a  B  y  todo  elemento  de  B  pertenece  a  C,   entonces  de  eso  se  sigue  que  todo  elemento  de  A  pertenece  a  C.   Esto   se   puede   demostrar   gráficamente:   podemos   representar   las   premisas  del  razonamiento  mediante  conjuntos.  En  caso  de  que  el   razonamiento   sea   válido   o   correcto,   una   vez   que   hayamos   representado  las  premisas,  debemos  encontrarnos  con  la  conclusión   representada  en  el  gráfico.  En  caso  contrario,  la  conclusión  no  está   implicada   necesariamente   en   las   premisas   y   el   razonamiento   es   inválido.         PRIMERA  PREMISA:  Todo  A  es  B          SEGUNDA   PREMISA:   Todo   B   es   C                              C         B                                                 Como   se   advertirá,   al   representar   las   dos   premisas,   nos   hallamos   con   la   conclusión:   el   conjunto   A   está   contenido   en   el   conjunto  C.  Lo  que  nos  indica  que  la  conclusión  “Todo  A  es  C”  se   encuentra  implicada  necesariamente  en  las  premisas.  O  sea,  que  se   trata  de  un  razonamiento  válido.   Consideremos  ahora  el  siguiente  razonamiento:   Todo  A  es  B   Todo  C  es  B   Todo  A  es  C   Es   un   razonamiento   inválido   o   incorrecto,   ya   que   la   conclusión   no   se   deduce   necesariamente   de   sus   premisas.   Demostrémoslo  representando  con  conjuntos  sus  premisas:   PRIMERA  PREMISA:  Todo  A  es  B              SEGUNDA  PREMISA:  Todo  C  es  B              B                B             Una  vez  representadas  las  dos  premisas,  se  advierte  que  los   conjuntos  A  y  C,  si  bien  pertenecen  a  B,  no  están  vinculados  entre   A   B   A   A   C  
  17. 17. ellos.  No  observamos  al  final  representada  la  conclusión  “Todo  A  es   C”.   De   donde   se   sigue   que   el   razonamiento   es   inválido,   ya   que   la   conclusión  no  se  desprende  necesariamente  de  las  premisas.  Y  eso   incluso  si  le  diéramos  a  A,  B  y  C  una  interpretación  que  permitiera   que   el   razonamiento   tuviera   proposiciones   todas   verdaderas.   Aún   así  el  razonamiento  sería  incorrecto.     Decíamos  anteriormente  que  la  verdad  de  las  proposiciones   no  es  un  tema  de  la  lógica,  ya  que  depende  de  la  contrastación  del   contenido   informativo   de   las   proposiciones   con   los   hechos   o   situaciones   a   los   que   se   refiere.   En   cambio   la   validez   de   los   razonamientos   es   una   cuestión   formal   y   no   de   contenido   informativo:   es   el   problema   de   determinar   si   la   conclusión   de   un   razonamiento   se   deriva   necesariamente   de   sus   premisas,   con   independencia   del   sentido   de   lo   que   digan   las   proposiciones.   Hay   razonamientos   válidos   con   conclusiones   falsas,   así   como   inválidos   con  conclusiones  verdaderas.  La  verdad  o  falsedad  de  la  conclusión   no  determina  la  validez  o  invalidez  de  un  razonamiento.  Y  la  validez   de  un  razonamiento  no  garantiza  la  verdad  de  su  conclusión.   Tomando   los   dos   ejemplos   propuestos,   es   posible   interpretar  el  primer  ejemplo  de  razonamiento  válido  con  premisas   y  conclusión  falsas,  y  al  revés,  el  ejemplo  de  razonamiento  inválido   con  premisas  y  conclusión  verdaderas:   Todos  los  hombres  son  verdes         Todos  los  seres  verdes  son  voladores   Todos  los  hombres  son  voladores     Todos  los  hombres  son  vertebrados   Todos  los  mamíferos  son  vertebrados   Todos  los  hombres  son  mamíferos   ¿Cómo  se  puede  determinar  si  un  razonamiento  de  lógica   proposicional  es  válido  o  inválido?  Tomemos  un  ejemplo:   p    →  q   p   ________   q   Para  demostrar  la  validez  o  no  de  este  razonamiento  se  le   pueden  aplicarle  las  tablas  de  verdad.  Para  ello  debemos  reescribir   el   razonamiento   en   un   solo   renglón,   de   modo   de   poder   escribir   todas   las   posibilidades   de   V   y   F   que   puedan   tener   nuestro   razonamiento.    Al  hacerlo,  emplearemos  paréntesis  y  corchetes  para   distinguir   las   proposiciones   entre   sí,   así   como   las   premisas   de   la   conclusión,   de   manera   que   queden   claramente   distinguidas   las   proposiciones   y   no   se   confundan.   Y   también   deberemos   explicitar   los   nexos   o   conectivas   lógicas   entre   las   proposiciones   del   razonamiento.  En  el  caso  de  las  premisas,  las  mismas  se  conectan   entre   sí   mediante   el   nexo   lógico   de   la   conjunción.   La   relación   de   premisas   a   conclusión   en   cambio   es   de   condicional.   Nuestro   razonamiento    quedará  escrito  así:       PREMISAS  Y   CONCLUSIÓN  FALSAS   RAZONAMIENTO   VÁLIDO   PREMISAS  Y  CONCLUSIÓN   VERDADERAS   RAZONAMIENTO  INVÁLIDO  
  18. 18. [(p  →  q)  .  p  ]→  q   Dado   que   tendremos   que   escribir   todas   las   posibles   combinaciones  de  V  y  F  de  las  atómicas  puestas  en  juego  en  este   razonamiento,  deberemos  tener  en  cuenta  previamente  el  número   de   atómicas   que   el   razonamiento   contiene.   Para   nuestro   caso,   tenemos   sólo   dos   atómicas   (p/q).   Dado   que   cada   atómica   por   separado  puede  ser  V  o  F,  su  combinatoria  arroja  la  posibilidad  de   cuatro  alternativas  de  V  y  F:  que  ambas  sean  V,  que  ambas  sean  F,   que  p  sea  V  y  q  F,  o  que  p  sea  F  y  q  V.    Por  razones  de  orden  y  para   garantizar   que   no   nos   falten   combinaciones   posibles   o   estemos   repitiendo   combinaciones   ya   escritas,   cada   vez   que   ponemos   combinaciones  de  V  y  F  en  la  proposición  p,  lo  haremos  de  uno  en   uno    el  número  de  veces  que  el  razonamiento  lo  requiere  en  función   del  número  de  atómicas  en  juego.  Y  en  el  caso  de  q,  escribiremos  V  y   F  de  dos  en  dos  las  veces  que  el  número  de  atómicas  en  juego  nos   indica.   Como   decíamos   antes:   dado   que   hay   2   atómicas   en   juego,   habrá  que  poner  debajo  de  p  y  de  q  4  alternativas  de  V  y  F.  Si  en   cambio  hubiera  un  razonamiento  con  3  atómicas,  eso  nos  daría  una   combinación  de  8,  y  si  fueran  4,  entonces  serían  16  combinaciones   de  V  y  F.  La  fórmula  para  saber  el  número  de  combinaciones  de  V  y  F   de   un   razonamientos   es:   2ⁿ,   siendo   ⁿ   el   número   de   atómicas   en   juego  en  el  razonamiento  (así  por  ejemplo,  si  hubiera  4    atómicas   sería  2⁴  =  16  combinaciones  de  V  y  F).        [(p   →   q)   .   p  ]   →   q   V     V     V     V   F     V     F     V   V     F     V     F   F     F     F     F     Una  vez  escritas  las  alternativas  de  V  y  F  del  razonamiento,   se  aplican  las  tablas  de  verdad,  empezando  por  la  primera  premisa.   Para   el   caso,   se   trata   de   la   tabla   del   condicional,   en   la   cual   si   el   antecedente  es  V,  el  consecuente  es  F:     [(p   →   q)   .   p  ]   →   q   V   V   V     V     V   F   V   V     F     V   V   F   F     V     F   F   v   F     F     F       El  resultado  obtenido  se  conecta  con  la  segunda  premisa  a   través  del  nexo  de  la  conjunción.  De  manera  que  habrá  que  recurrir   a  la  tabla  de  verdad  de  la  conjunción,  en  la  que  las  proposiciones   moleculares  serán  V  si  las  atómicas  que  la  forman  son  todas  V.    
  19. 19. [(p   →   q)   .   p  ]   →   q   V   V   V   V   V     V   F   V   V   F   F     V   V   F   F   F   V     F   F   v   F   F   F     F     El  resultado  obtenido  se  relaciona  con  la  conclusión  a  través  ahora   del  nexo  del  condicional,  obteniendo  así  este  resultado:     [(p   →   q)   .   p  ]   →   q   V   V   V   V   V   V   V   F   V   V   F   F   V   V   V   F   F   F   V   V   F   F   v   F   F   F   V   F     Si   al   final   de   la   aplicación   de   las   tablas   de   verdad   a   un   razonamiento,  obtenemos  un  resultado  donde  todas  las  alternativas   dan  V,  eso  significa  que  el  razonamiento  es  válido  o  correcto.  ¿Por   qué?   Porque   hemos   demostrado   que   el   razonamiento   tiene   una   estructura  equivalente  a  una  tautología.     El   término   “tautología”   proviene   del   griego   “ταυτολογία, que significa "decir lo mismo".   Las   tautologías   son   enunciados   necesariamente   verdaderos   por   su   forma,   dado   que   no   informan   nada   nuevo   en   su   predicado   respecto   de   aquello   que   ya   está   contenido   como   información   en   el   sujeto   de   la   oración.   La   proposición   será   verdadera   cualquiera   sea   la   interpretación   o   asignación  de  valores  de  verdad  que  se  haga  a  sus  formas  atómicas.   Así  por  ej.  “los  perros  son  perros”  es  un  enunciado  tautológico,  dado   que  el  predicado  dice  lo  mismo  que  el  sujeto.  No  es  necesario  en   esta  proposición  dirigirse  a  los  hechos  para  saber  si  la  proposición  es   verdadera  o  falsa;    basta  el  análisis  de  su  forma  para  advertir  que  es   equivalente  a  decir  “A  es  A”  o  “si  p  entonces  p”.     Ahora   bien,   los   razonamientos     válidos   –como   las   tautologías-­‐  no  informan  nada  nuevo  en  la  conclusión  que  no  esté   implícito   y   derivado   necesariamente   de   la   información   de   las   premisas.   Si   decimos   que   “Todos   los   hombres   son   mortales   y   Sócrates  es  hombre,  por  lo  tanto  Sócrates  es  mortal”,  la  conclusión   no  informa  nada  que  no  está  ya  de  antemano  en  las  premisas.  O  sea   que   un   razonamiento   válido   es   tautológico.   De   ahí   que   si   le   aplicamos   tablas   de   verdad,   deberíamos   obtener   V   en   cualquier   asignación  de  valores  de  verdad  de  sus  proposiciones  atómicas.   Si  por  el  contrario  obtuviésemos  sólo  F  o  algunos  valores  F  y   otro  V,  entonces  el  razonamiento  es  inválido  o  incorrecto.  En  el  caso   de  obtener  todos  valores  F,  estaríamos  ante  una  contradicción.  Y  si   obtuviésemos   algunos   V   y   algunos   F,   estaríamos   ante   una   contingencia:  en  determinadas  circunstancias  la  conclusión  sería  V  y   en  otras  circunstancias  F.   Razonamientos  deductivos  y  no  deductivos   La  lógica  formal  intenta  resolver  dos  requerimientos:  aclarar   las   implicaciones   que   se   pueden   extraer   de   las   proposiciones   que  
  20. 20. afirmamos   y   hacer   estimaciones   acerca   de   las   realidades   que   no   hemos  experimentado  a  partir  de  la  que  sí  hemos  experimentado.   La   lógica   deductiva   responde   a   la   primera   necesidad.   La   lógica   no   deductiva  a  la  segunda.     En  la  lógica  deductiva  se  infieren  conclusiones  partiendo  de   proposiciones   ubicadas   como   premisas   del   razonamiento.   Si   bien   pueden   afirmarse   hechos   en   las   premisas,   la   conclusión   de   un   razonamiento   deductivo   no   afirma   ningún   hecho   nuevo:   afirma   lo   que   ya   estaba   contenido   en   las   premisas,   aunque   expresado   de   manera   diferente.   En   el   razonamiento   deductivo,   la   conclusión   pretende   estar   totalmente   contenida   en   las   premisas.   Así   por   ejemplo  si  decimos:   Todos  los  hombres  son  mortales   Sócrates  es  hombre   ____________________________   Sócrates  es  mortal   La   conclusión   de   este   razonamiento   deductivo   no   nos   informa   nada   que   no   haya   estado   de   antemano   en   las   premisas:   “Sócrates   es   mortal”   está   implícitamente   contenido   en   “todos   los   hombres  son  mortales”.  Estos  razonamientos  se  caracterizan  porque   sus  conclusiones  no  contienen  más  información  que  las  premisas  de   las  que  parten.   a) Razonamientos   deductivos   válidos   (genuinamente   deductivos):   Los   razonamientos   deductivos   pueden   ser   válidos   (genuinamente   deductivos)   o   inválidos   (falacias),   es   decir,   los   que   pretenden  ser  válidos  pero  no  lo  son.  Un  razonamiento  deductivo  es   válido  cuando  sus  premisas  ofrecen  un  fundamento  necesario  para   la   conclusión,   vale   decir,   cuando   la   conclusión   se   deduce   necesariamente   de   sus   premisas.   La   relación   entre   premisas   y   conclusión   es   tal   que   si   las   premisas   fueran   verdaderas,   la   conclusión  no  podría  ser  falsa.  Tomaremos  cuatro  ejemplos  típicos   de  razonamientos  deductivos  válidos:   Modus  Ponens                           Modus  Tollens                     p  →  q           p  →  q   p           -­‐  q   ______           ______   q           -­‐  p   Silogismo  disyuntivo                 Silogismo  hipotético   p  v  q             p  →  q   -­‐p           q  →  r   ______           ______           q           p  →  r                        
  21. 21.     En   todo   razonamiento   deductivo   válido   se   dan   tres   características   fundamentales:   -­‐ Si   las   premisas   del   razonamiento   son   V,   la   conclusión   es   necesariamente  V.  Es  lógicamente  imposible  que  sea  F.  La   verdad   de   las   premisas   garantizan   la   verdad   de   la   conclusión.   -­‐ Si   la   conclusión   del   razonamiento   es   F,   entonces   las   premisas  son  F   -­‐ La  V  de  la  conclusión  no  garantiza  que  las  premisas  sean  V.   Podemos   tener   un   razonamiento   deductivo   válido   con   premisas  falsas  y  conclusión  verdadera.   PREMISAS   V   F   V   F   CONCLUSIÓN   V   V   F   F     b)  Razonamientos  deductivos  inválidos  o  falacias  formales:   Las  falacias  son  razonamientos  deductivos  que  parecen  válidos   pero  no  lo  son.  Como  los  deductivos  válidos,  sus  conclusiones  no   agregan  más  información  que  la  contenida  en  las  premisas,  pero   la   conclusión   de   estos   razonamientos   no   se   deduce   necesariamente   de   sus   puntos   de   partida.   Por   ende,   en   estos   razonamientos   es   posible   que   tengamos   premisas   V   y   conclusiones  F.  Si  les  aplicáramos  las  tablas  de  verdad  a  estos   razonamientos,   no   obtendríamos   al   final   un   resultado   tautológico   sino   contingente   o   contradictorio.   Tomemos   dos   ejemplos  típicos  de  falacias  formales:   -­‐ Falacia  de  afirmación  del  consecuente:  se  parece  al  Modus   Ponens,  sólo  que  en  la  segunda  premisa  en  vez  de  afirmar  el   antecedente  p,  afirma  el  consecuente  q.     p  →  q   q   ______   p   -­‐ Falacia   de   negación   del   antecedente:   se   parece   al   Modus   Tollens,   sólo   que   en   vez   de   negar   el   consecuente   q   en   la   segunda  premisa,  niega  el  antecedente  p.     p  →  q   -­‐p     ______   -­‐q   Basta   sustituir   las   letras   por   proposiciones   para   advertir   enseguida   que   la   conclusión   en   estos   casos   no   se   deduce   necesariamente   de   las   premisas.   Por   ejemplo:   “Si   es   hombre,   entonces   es   mortal.   Y   es   mortal.   Por   lo   tanto   es   hombre”.  Está  claro  que  el  hecho  de  tener  la  condición  de   mortal   no   asegura   el   ser   hombre:   también   los   animales   y   vegetales   son   mortales.   La   conclusión   no   es   por   lo   tanto   necesaria  y  estamos  ante  un  razonamiento  incorrecto.  
  22. 22. c)  Razonamientos  no  deductivos:   Los  razonamientos  no  deductivos  responden  a  la  necesidad   de   apoyarnos   en   la   realidad   que   experimentamos   para   hacer   estimaciones  acerca  de  cosas  que  no  experimentamos.  Estos  tipos   de   razonamientos   parten   de   proposiciones   sobre   hechos   para   concluir   otros   hechos   o   generalidades.   No   pretenden   que   sus   premisas  ofrezcan  una  evidencia  total  de  la  verdad  de  su  conclusión,   sino  cierta  evidencia  o  fundamento  de  ella.     En  estos  razonamientos  la  conclusión  no  está  incluida  en  las   premisas   ya   que   contiene   más   información   que   éstas.   En   ese   sentido,   los   razonamientos   no   deductivos   son   inválidos   dado   que   sus   conclusiones   no   establecen   una   relación   de   implicación   necesaria  de  premisas  a  conclusión,  sino  una  relación  de  implicación   probable:   suponiendo   que   las   premisas   fueran   verdaderas,   es   probable  que  la  conclusión  lo  sea.  Pero  no  necesariamente.     Los   razonamientos   no   deductivos   ponen   en   juego   una   premisa   que   está   siempre   presente   aunque   no   explicitada,   sino   siempre  presupuesta:  la  suposición  de  que  hay  una  regularidad  en   los   hechos   del   universo   que   es   posible   descubrir   aplicando   la   experiencia   y   la   razón.   En   ese   sentido,   los   no   deductivos   son   razonamientos  “a  posteriori”,  a  diferencia  de  los  deductivos  válidos   e   inválidos,   que   son   “apriorísticos”,   vale   decir,   que   pretenden   extraer  conclusiones  de  premisas  basados  exclusivamente  en  reglas   lógicas  independientes  del  contenido  informativo  de  sus  premisas.   Los   razonamientos   no   deductivos   presuponen   implícitamente   alguna   ley   de   regularidad   de   la   realidad,   único   modo   justificar   el   inferir  hechos  de  otros  hechos.     Tomemos   dos   ejemplos   típicos   de   razonamientos   no   deductivos:  la  inducción  y  la  analogía.   -­‐ Inducción:   en   el   razonamiento   inductivo   se   parte   de   un   conjunto   de   proposiciones   singulares   para   concluir   en   una   proposición   universal.   Las   premisas   aportan   alguna   justificación   de   la   conclusión   pero   ésta   contiene   más   información   que   las   premisas.   La   inducción   generaliza   de   premisas  singulares  a  una  conclusión  que  abarca  la  totalidad   de  los  casos.  Pasa  de  un  conjunto  de  enunciados  singulares   a   un   enunciado   universal.   Pero   tal   conclusión   puede   ser   falsa.             Juan  fuma  y  tose           A1  es  B   Carlos  fuma  y  tose           A2  es  B   Susana  fuma  y  tose           A3  es  B   Matilde  fuma  y  tose           A4  es  B   María  fuma  y  tose           A5  es  B   …….               …….     …….               An  es  B   _____________________________  _____     __________   Por  lo  tanto  todos  los  que  fuman,  tosen     Todo  A  es  B  

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