2. ELETRIZAÇÃO E FORÇA ELÉTRICA
1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta a quantidade de carga de 480 Cµ . Calcule o
número de elétrons perdidos pelo corpo, inicialmente neutro. DADO: 19
1,6 10e −
= ⋅ C.
Resolução
6
6 19 15
480 480 10
480 10 1,6 10 3 10
Q C C Q n e
n n elétrons
µ −
− −
= = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅
2. Duas esferas idênticas de tamanhos desprezíveis, com cargas 3Q e Q, encontram-se no vácuo,
separadas de uma distância d. Sobre cada uma delas age uma força F , de interação
eletrostática. Colocam-se as duas esferas em contato até que atinjam o equilíbrio eletrostático.
Calcule a intensidade da força F que age sobre as duas esferas quando separadas de uma
distância d, em relação a intensidade de F .
Resolução:
* Antes do contato:
2
2 2
3 3Q Q Q
F k F k
d d
⋅
= =
* Após o contato:
2
' '
2 2
2 2 4Q Q Q
F k F k
d d
⋅
= =
De 1 e 2 tem-se
2
' '2
'
2
4
4 4
3 3 3
Q
k
F F Fd F
QF F
k
d
⋅
⋅
= = =
⋅
1
d
F F
3Q Q
d
'
F '
F
2Q 2Q
2
3. 3. Considere dois pontos materiais A e B no vácuo, afastados de qualquer outro corpo. O ponto A
é fixo e possui carga elétrica positiva Q+ . O ponto B executa movimento circular e uniforme
com centro A e raio r, ele tem massa m e carga elétrica negativa –q. Desprezando-se as ações
gravitacionais, determine a velocidade de B. É dada a constante eletrostática K.
Resolução
Como o movimento é circular e uniforme, a força elétrica está voltada para o centro, decorrendo
que ela é uma força centrípeta:
Força elétrica = Força centrípeta
2
0 2
2
0 02
elet cp cp
Q q V
F k F m Q m
r r
Q q m V Q q
k V k
r r m r
⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ = = ⋅
⋅
4. Nos vértices de um triângulo eqüilátero de 3m de lado, estão colocadas as cargas
7
1 2 4 10q q C−
= = ⋅ e 7
3 1,0 10q C−
= ⋅ . Calcule a intensidade da força resultante que atua em 3q .
O meio é o vácuo.
Resolução
7
1 2
7
3
9 2 2
0
4,0 10
1,0 10
9 10 /
q q C
q C
k N m C
−
−
= = ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
7 7
9
13 23 2
4 10 1 10
9 10
3
F F
− −
⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅
5
13 23 4 10F F N−
= = ⋅
2 2 2
13 23 13 232 cos60F F F F F= + + ⋅ ⋅ °
5
4 3 10F N−
= ⋅
23F
13F
3q
60º
3m 3m
3m
1q 2q
23F
13F
F
3q
60º
A
+Q
B
-q
r
v
eletF
4. CAMPO ELÉTRICO
1. Duas cargas puntiformes são fixadas nos pontos A e B distantes de um metro. Sendo a carga em
A, 6
10AQ C−
= e a carga em B, 6
4 10BQ C−
= ⋅ , determine um ponto P, onde o vetor campo
elétrico resultante seja nulo.
Resolução
2 2
6 6
2 2
2 2
(1 )
10 4.10
(1 ) 4
(1 )
A B
A B
E E
Q Q
k k
X X
X X
X X
− −
=
=
−
= − =
−
2 1
3 2 1 0
3
X X X m+ − = = (em relação ao ponto A sobre o segmento AB ),
OBS: 1X m= − não convém, pois significa que o ponto P estaria à esquerda de A, onde AE e
BE teriam mesma direção e sentidos iguais, não resultando um campo elétrico nulo.
2. A figura mostra duas partículas carregadas de intensidade q mas de sinais contrários, separadas
de uma distância d. Supondo-se que Z d , mostre que o campo elétrico deste dipolo elétrico,
em um ponto P , uma distância Z do ponto médio do dipolo e sobre o eixo que passa pelo centro
das partículas é dado pela expressão 3
0
1 1
2
F
Zπε
= .
Resolução
A intensidade E do campo elétrico em P é
( ) ( ) 2 2
0 ( ) 0 ( )
2 2
0 0
1 1
4 4
1 1
4 4
2 2
q q
E E E E
r r
q q
E
z d z d
πε πε
πε πε
+ −
+ −
= − = −
= −
− +
2 2
2
0
1 1
4 2 2
q d d
E
Z z zπε
− −
= − − +
1m
PBE AE
X 1-X
AQ BQ
A B
1
2
5. A grandes distâncias como esta, temos 1
2
d
z
Na equação 2 podemos então expandir as duas grandezas entre parênteses dessa equação pelo
teorema binomial:
21
(1 ) 1
2!
n n
y ny n y
−
+ = + + + − − − − −
Obtendo-se para essas grandezas:
2 2
1 1
2 (1!) 2 (1!)
d d
z z
+ + − − − − − − + − − − −
Logo, 2
0
1 1
4
q d d
E
z z zπε
= + + − − − − + + − − −
Os termos omitidos nas duas expressões da equação anterior envolvem d/z elevado a potências
progressivamente mais altas. Como / 1d z , as contribuições desses termos são progressivamente
menores e para aproximamos E a grandes distâncias, podemos desprezá-los. Assim, em nossa
aproximação podemos prescrever a equação anterior, como
2 3
0 0
2 1
4 2
q d qd
E
z z zπε πε
= =
O produto qd é a intensidade ρ de uma grandeza vetorial conhecida como o momento de dipolo
elétrico ρ do dipolo.
Logo: 3
0
1
2
E
z
ρ
πε
=
OBS: Adotamos como sentido de ρ o da extremidade negativa para a extremidade positiva do
dipolo.
3. A figura seguinte mostra um anel fino de raio R com uma densidade linear
de carga positiva uniforme λ ao redor da sua circunferência. Podemos
imaginar o anel feito de plástico ou de algum material isolante, de modo
que as cargas possam ser consideradas fixas. Qual o campo elétrico E no
ponto P, a uma distância Z do plano do anel ao longo do seu eixo central?
6. Resolução
Seja ds o comprimento (de arco) de qualquer elemento diferencial do anel. Como λ é a carga por
unidade de comprimento, o elemento possui uma intensidade de carga
dq dsλ= ⋅
Esta carga diferencial cria um campo elétrico diferencial dE no ponto P, que está a uma distância r
do elemento. Tratando o elemento como um carga pontual, podemos expressar a intensidade de dE
como
2 2
0 0
1 1
4 4
dq ds
dE
r r
λ
πε πε
= =
Da figura, podemos reescrever a equação anterior como
( )2 2
0
1
4
ds
dE
Z R
λ
πε
=
+
A figura nos mostra que dE forma um ângulo com o eixo central (que tomamos como sendo o eixo
Z) e possui componentes perpendiculares e paralelos a esse eixo.
As componentes perpendiculares se cancelam e não precisamos mais considerá-las. Restam apenas
as componentes paralelas. Todas elas possuem a mesma direção e sentido, portanto o campo
elétrico resultante em P é a soma delas.
A componente paralela de dE mostrada na figura, possui intensidade cosdE θ . A figura também
nos mostra que
( )
1/22 2
2
cos
Z
r Z R
θ = =
+
Logo:
( )
( )
3/22 2
0
2
3/22 2
00
cos
4
cos
4
R
Z
dE ds
Z R
Z
E dE ds
Z R
π
λ
θ
πε
λ
θ
πε
=
+
= =
+
( )
3/22 2
0
(2 )
4
Z R
E
Z R
λ π
πε
=
+
Como λ é a carga por comprimento do anel, o termo (2 )Rλ π é a carga total q do anel.
Então
( )
3/22 2
04
qZ
E
Z Rπε
=
+
(Anel Carregado)
7. !
4. A figura seguinte mostra um disco circular de plástico com raio R que possui uma carga
superficial positiva de densidade uniforme σ na sua superfície superior. Qual o campo elétrico
no ponto P, a uma distância Z do disco ao longo do seu eixo central?
Resolução
O disco será dividido em anéis planos concêntricos e depois calcular o
campo elétrico no ponto P somando (ou seja, integrando) as contribuições de
todos os anéis. A figura mostra um destes anéis, com raio r e espessura radial
dr. Como σ é a carga por unidade de área, a carga sobre o anel é
(2 ),dq dA rdrσ σ π= =
Onde dA é a área diferencial do anel.
A expressão para o campo elétrico dE em P devido ao nosso anel plano será:
( )
3/22 2
0
2
4
Z rdr
dE
Z r
σ π
πε
=
+
Logo:
( )
3/22 2
0
2
4
Z dr
dE
Z r
σ π
ε
=
+
Integrando na variável r de 0r = até r R= . Observe que Z permanece constante durante este
processo, assim
( )
3/2
2 2
0 0
(2 )
4
R
Z
E dE Z r r dr
σ
ε
−
= = +
Para resolvermos esta integral, podemos reescrevê-la na forma
m
X dX , fazendo 2 2 3
( );
2
X Z r m= + = −
e (2 )dX r dr= . Para a integral reescrita temos
1
1
m
m X
X dX
m
+
=
+
Então,
2 2 1/2
0
0
( )
14
2
R
Z Z r
E
σ
ε
−
+
=
−
Substituindo os limites desta equação e reordenando, obtemos
2 2
0
1
2
Z
E
Z R
σ
ε
= −
+
(disco carregado)
8. "
OBS: Se fizermos R → ∞ mantendo Z finito, o segundo termo entre parênteses da equação
anterior tende a zero e esta equação se reduz a
02
E
σ
ε
=
Este é o campo elétrico produzido por uma placa infinita com carga uniformemente distribuída
sobre um dos lados de um isolante.
FLUXO DE UM CAMPO ELÉTRICO – A LEI DE GAUSS
1. Um campo elétrico não-uniforme dado por ˆ ˆ3,0 4,0E xi j= + atravessa o cubo gaussiano
mostrado na figura seguinte. (E é dado em Newtons por Coulomb e x em metros.) Qual o fluxo
elétrico através da face direita, da face esquerda e da face superior?
Resolução
FACE DIREITA: um vetor área A é sempre perpendicular à sua superfície e sempre aponta para
fora da superfície gaussiano. Assim, o vetor dA para a face direita do cubo deve apontar no sentido
positivo de x. Então, em notação com o vetor unitário,
ˆdA dAi= .
Então
2
2 2
ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 )( ) (4,0)( ) )
(3,0 0) 3,0 3,0 (3,0)
9,0 1 9,0 4,0
9,0(4,0) 36 /
d
d
d d
E dA xi j dAi
x dA i i dA j i
xdA xdA dA
A A A m
m N m C
Φ = ⋅ = + ⋅
= ⋅ + ⋅
= + = =
= Φ = = =
= Φ == Φ == ⋅
FACE ESQUERDA: O vetor de área diferencial dA aponta no sentido negativo do eixo x, portanto
ˆdA dAi= − . Na face esquerda, 1,0x m= . Usando o mesmo procedimento da face direita, teremos
2
12 /e N m CΦ = − ⋅
9. #
FACE SUPERIOR: O vetor de área diferencial dA aponta no sentido positivo do eixo y, logo
ˆdA dAj= . O fluxo Φ através da superfície superior é então
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( ) (3 )(1 ) (4,0)( )
(0 4,0 ) 4,0 4
4(4 ) 16 /
16 /
s
s
xi j dAj x A i j dA j j
dA dA A
m N m C
N m C
Φ = + ⋅ = ⋅ + ⋅
+ = =
= Φ = ⋅
= ⋅
2. A figura seguinte mostra uma seção de uma barra cilíndrica de plástico infinitamente longa,
com uma densidade linear de carga positiva uniforme λ . Determine uma expressão para a
intensidade do campo elétrico E a uma distância r do eixo da barra.
Resolução
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica fechada,
composta de um cilindro circular de raio r e comprimento h, coaxial
com a barra e duas tampas nas suas extremidades como partes da
superfície.
Em todos os pontos da parte cilíndrica da superfície
gaussiana, E de ter a mesma intensidade E e deve estar dirigida
radialmente para fora ( para uma barra positivamente carregada).
O fluxo de E através desta superfície cilíndrica é então cosEA θΦ =
(2 )cos0º (2 )E rh E rhπ πΦ = =
Não há fluxo através das bases do cilindro, pois E , sendo dirigido radialmente, é paralelo às
bases do cilindro em todos os pontos.
A carga envolta pela superfície é hλ , então a Lei de Gauss,
0 ,envqε Φ = se reduz a
0 (2 )E rh hε π λ=
Então
02
E
r
λ
πε
= (linha de carga)
10. $
POTENCIAL ELÉTRICO
1. A figura seguinte mostra dois pontos i e f em um campo elétrico uniforme E . Determine a
diferença de potencial f iV V− movendo a carga de teste positiva 0q de i até f ao longo da
trajetória icf mostrada na figura.
Resolução
Linha ic : em todos os pontos ao longo da linha ic , o deslocamento ds da carga de teste é
perpendicular a E . Assim, o ângulo θ entre E e ds é 90º e o produto escalar E ds⋅ é zero. A
equação
c
c i
i
V V E ds− = − ⋅
Nos diz então que os pontos i e c estão no mesmo potencial: 0c iV V− =
Para a Linha cf, temos 45ºθ = e da equação
,
(cos45º)
(cos45º) ;
(cos45º)
45º 45º
( )
f f
f i f i
i c
f
f i
c
f f
f i
c c
f i
f i
V V E ds V V E ds
V V E ds
V V E ds ds cf
d d
cf V V E
sen sen
V V Ed resposta
− = − ⋅ − = − ⋅
− = −
− = − =
= − = −
− = −
11. $$
CAPACITÂNCIA
1. Um capacitor 1C de 3,55 Fµ é carregado até que seus terminais fiquem à diferença de potencial
0 6,30V V= . A bateria utilizada para carregar o capacitor é então removida e o capacitor é
ligado, como na figura, a um capacitor 2C descarregado, com 2 8,95C Fµ= . Depois que a chave
S é fechada, a carga escoa de 1C para 2C até que o equilíbrio seja atingido, com ambos os
capacitores à mesma diferença de potencial V. (a) Qual é esta diferença de potencial comum?
(b) Qual a energia armazenada no campo elétrico, antes e depois de fecharmos a chave S na
figura.
Resolução
(a) A carga original 0q está agora dividida entre os dois capacitores ou
0 1 2q q q= +
Aplicando a relação q CV= a cada termo obtemos
1 0 1 2CV CV C V= +
Ou 1
0
1 2
(6,30 )(3,55 )
1,79
3,55 8,95
C V F
V V V
C C F F
µ
µ µ
= = =
+ +
(b) A energia armazenada inicialmente é
2 6 2
1 0
1 1
(3,55 10 )(6,30 )
2 2
70,5
i
i
U CV F V
U jµ
−
= = ⋅
=
A energia final é
2 2
1 2
2 6 6 2
1 2
1 1
2 2
1 1
( ) (3,55 10 8,95 10 )(1,79)
2 2
20
f
f
f
U C V C V
U C C V F F
U jµ
− −
= +
= + = ⋅ + ⋅
=
C1 C2
q0
S
12. $
2. A figura seguinte mostra uma chapa dielétrica de espessura b e constante dielétrica k e
introduzida entre as armaduras de um capacitor plano de área A e separação d. Antes da
introdução do dielétrico, aplicou-se uma diferença de potencial 0V entre as armaduras do
capacitor. A bateria foi então desligada e o dielétrico introduzido. Suponha que
2
0115 ; 1,24 ; 0,78 , 2,61; 85,5eA cm d cm b cm k V V= = = = =
(a) Calcule a capacitância 0C antes da introdução do dielétrico. (b) Qual a carga livre que aparece
nas placas? (c) Calcule a intensidade do campo no interior do dielétrico. (d) Calcule a intensidade
do campo no interior do dielétrico (e) Calcule a diferença de potencial entre as armaduras. (f)
Calcule o valor da capacitância após a introdução do dielétrico.
Resolução
(a)
12 4 2
120
0 02
(8,85 10 / ).(115 10 )
8,2 10
1,24 10
A F m m
C C F
d m
ε − −
−
−
× ×
= = = ×
×
(b) Para a carga livre nas placas
12 10
0 0 (8,21 10 )(85,5 ) 7,02 10q C V F V C− −
= = × = ×
(c) Aplicando a Lei de Gauss: 0 ek E dA qε ⋅ =
10
0 12 4 2
0
0
7,02 10
(8,85 10 / )(115 10 )
6.900 / 6,90 /
q C
E
A F m m
E V m kV m
ε
−
− −
×
= =
× ×
= =
(d) Aplicando a equação 0 ek E dA qε ⋅ =
0 0
0
0
,
6,90 /
2,64 /
2,61
e e
e e
k E dA q k EA q
Eq kV m
E kv m
k A k
ε ε
ε
⋅ = − − = −
= = = =
13. $
(e)
0 (( ) )
(6.900 / )(0,012 0,0078 ) (2,640 / )(0,0078 )
52,3
V E ds E d b Eb
V V m m m V m m
V V
−
+
= = − +
= − +
=
(f)
10
117,02 10
1,34 10 13,4
52,3
q C
C F pF
V V
−
−×
= = = × =
DENSIDADE DE CORRENTE
1. Um fio de alumínio, cujo diâmetro é de 25mm, é soldado à extremidade de um fio de cobre cujo
diâmetro é de 1,8mm. No fio resultante, circula uma corrente constante de 1,3 ampéres. Qual a
densidade de corrente em cada caso?
* Para o alumínio:
i
j
A
=
2 3 2 6 21
( / 4)(2,5 10 ) 4,91 10
4
A d mπ π − −
= = × = ×
Logo: 5 2
6 2
1,3
2,6 10 /
4,91 10
A
j A m
m−
= = ×
×
* Para cobre: 6 2
2,54 10A m−
= ×
5 2
6 2
1,3
5,1 10 /
2,54 10
i A
j A m
A m−
= = = ×
×
CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA
1. Dada a rede elétrica seguinte, calcular: (a) E1; (b) E2; (c) A tensão entre A e B.
1r
1i
2i
2A
3A
2r
0,5Ω
0,5Ω
5,5Ω
1R
3R
2R
1E
3E
4,5V
2E
3,5Ω
1,0Ω
BA
3i
3r
α
β
0,5Ω
14. $
Resolução
(a) A rede apresentada possui n = 2 nós (A e B). Portanto, aplicando-se a 1º Lei de Kirchhoff
para (n = 1)nós (= 2-1) =1 nó, tem-se: 1 2 3i i i+ = (Nó A) 3 33 2 , 5i i A+ = =
(b) Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff na malha alfa ( )α , no sentido do percurso adotado:
3 3 3 3 3 1 1 1 1 1
1
1
0
0,5 5 4,5 1 5 5,5 3 0,5 3 0
30
r i E r i R i E r i
E
E V
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
=
(c) Identicamente para a malha beta ( )β :
3 3 3 3 3 2 2 2 2 2
2
2
0
0,5 5 4,5 1 5 3,5 2 0,5 2 0
20
r i E R i R i E r i
E
E V
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
=
(d) Aplicando-se a Lei de Ohm generalizada no ramo central AB tem-se:
3 3 3 3( ) 0 5(0,5 1) 4,5
12
AB A B
AB AB
AB
U V V i resistencias fcems fems
U i r R E U
U V
= − = ⋅ + −
= ⋅ + + − = + +
=
CIRCUITOS RC
1. Um resistor 6,2R M= Ω e um capacitor 2,4C Fµ= são ligados em série juntamente com uma
bateria de 12V, de resistência interna desprezível.
(a) Qual é a constante de tempo capacitiva deste circuito? (b) Em que instante depois de a
bateria ser ligada a diferença de potencial nos terminais do capacitor é 5,6V?
Resolução:
(a) 6 6
(6,2 10 )(2,4 10 ) 15c cRC F sτ τ −
= × Ω × =
(b) 1 ,c
c
Vq
V
c
ε
ε
= = − tirando o valor t, e usando , ln 1 c
c c
V
RC tτ τ
ε
= = − −
5,6
(15 )ln 1 9,4
12
V
t t s
V
= − Ω − =
15. $
O CAMPO MAGNÉTICO
CAMPO MAGNÉTICO DE UMA ESPIRA CIRCULAR
1. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios 4 mπ e 5 mπ , são percorridas por
correntes de intensidades 2A e 5A, conforme a figura. Calcular a intensidade do vetor indução
magnética no centro das espiras, sendo 7
4 10 /T m Aµ π −
= ⋅ ⋅ e caracterize o vetor indução
magnética criado por cada espira no centro
Resolução
1 1 2 24 , 2 , 5 , 5R m i A R m i Aπ π= = = =
Aplicando-se a regra da mão direita, vê-se que a corrente 1i , cria no centro das espiras um vetor
indução magnética perpendicular ao plano da espira, com o sentido do plano para o observador, de
intensidade
7
1
1
1
7
1
4 10 2
2 2 4
10
i
B
R
B T
µ π
π
−
−
⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅
=
A segunda espira cria, no centro das espiras, um vetor indução magnética perpendicular ao plano da
espira com o sentido do observador para o plano, de intensidade
7
72
2 2
2
4 10 5
2 10
2 2 5
i
B B T
R
µ π
π
−
−⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅
⋅
O vetor indução magnética resultante, no centro será perpendicular ao plano das espiras, “entrando”
no plano (do observador para o plano) pois a intensidade de 2B , é maior que a de 1B .
1 2B B B= + ou 7 7 7
2 1 2 10 10 10B B B B T− − −
= − = ⋅ − =
I2 = 5A
O
R1
R2
i1 = 2A
2A
1B
5A
2B
16. $
CAMPO MAGNÉTICO EM TORNO DE UM CONDUTOR RETO
1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias,
com intensidade 2A e 4A, e separadas entre si de 0,20m. Calcule a intensidade do vetor
indução magnética resultante no ponto P, indicado na figura. DADO: 7
4 10 /T m Aµ µ −
= ⋅ ⋅
Resolução
O fio 1, cria em P, um vetor campo magnético entrando no plano do papel, de intensidade:
7
61
1 1
1
4 10 2
4 10
2 2 0,1
i
B B T
d
µ π
π π
−
−⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅
⋅
O fio 2 também cria, em P, um vetor indução magnética “entrando” no plano do papel, de
intensidade:
7
62
2 2
2
4 10 4
8 10
2 2 0,1
i
B B T
d
µ π
π π
−
−⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅
⋅
Portanto, a intensidade do vetor indução magnética resultante será:
6 6 5
1 2 4 10 8 10 1,2 10B B B B B T− − −
= + = ⋅ + ⋅ = ⋅
10 cm 10 cm
P
1i
2A
2 4i A=
1i
1B
1 10d cm=
P
2i2B
P
2 10d cm=
17. $!
FORÇA SOBRE UMA CARGA MÓVEL EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
1. Uma carga 2q Cµ= , com velocidade 10 /v m s= , penetra numa região onde atua um CMU de
intensidade 10B T= , conforme a figura. Os vetores v e B formam um ângulo de 30º e estão
contidos no plano (XZ). Determine o módulo, a direção e sentido da força magnética.
Resolução
(a) A intensidade da força magnética é:
6
4
2 10 10 10 30º
10
MAG MAG
MAG
F q V B sen F sen
F N
θ −
−
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
(b) A direção da força magnética é perpendicular ao plano formado por v e B (plano XZ).
(c) O sentido é determinado pela regra da mão esquerda
FORÇA SOBRE UM CONDUTOR RETO EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
1. Um condutor na forma retangular, de dimensões 10cm e 20cm (ver figura) está totalmente
imerso em um campo magnético uniforme de intensidade 0,5B T= . Calcule a intensidade da
força que atua em cada ramo do condutor e o momento de rotação a que ele fica submetido,
quando a intensidade da corrente for de 2A.
θ
q
Y
X
Z
V
B
θ
Y
X
Z V
MAGF
18. $"
Resolução
Aplicando-se a regra da mão esquerda para determinar o sentido da força magnética, em cada ramo,
tem-se: nos ramos AB e CD, as forças magnéticas têm intensidades nulas, pois as direções das
correntes são paralelas às de B ; Nos ramos AD e BC, o ângulo entre B e i é igual a 90º, então
90º 0,5 2 0,2 0,2MAGF B i sen B i sen Nθ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Pode-se ver, através da figura, que o condutor fica sujeito a um BINÁRIO DE FORÇAS.
MAGM F d= ⋅ , onde 0,1d AB m= =
2
0,2 0,1 2 10M M N m−
= ⋅ = ⋅ ⋅
B
D C
i
i
10 cmA B
20cm
B
D C
i
i
A B
MAGF MAGF
0,2m
i i
i
19. $#
FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS
1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias,
de intensidade 1 2i A= e 2 4i A= . A distância entre os fios é de 0,1m.
(a) Os fios se atraem ou se repelem?
(b) Com que força, para cada metro de comprimento do fio?
(c) O que ocorrera se inverter o sentido da corrente 2i ?
Resolução
(a) Como as correntes têm sentido opostos, há repulsão.
(b) A intensidade da força para cada metro do fio é:
7
50 1 2 4 10 2 4 1
1,6 10
2 2 0,1
MAG MAG
i i
F F N
d
µ π
π π
−
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = = ⋅
⋅
(c) Invertendo o sentido da corrente 2i , têm-se ambas as correntes no mesmo sentido,
ocasionando atração entre os fios.
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
* Força eletromagnética induzida - ( )femi Ω
1. Um condutor retilíneo e horizontal, C, de resistividade 6
1,6 10 cmρ −
= ⋅ Ω⋅ , área 2
0,2A cm= de
secção transversal constante e comprimento 10cm= , move-se sem atrito sobre dois
condutores paralelos e horizontais, '
A e '
B , de resistência elétrica desprezível, interligados por
um amperímetro ideal. O conjunto está imerso num campo magnético uniforme e vertical, de
intensidade 5
10B T−
= . O condutor C tem velocidade constante 8 /V m s= . Determine:
(a) A femi ;
(b) A intensidade da corrente no amperímetro;
(c) O peso do corpo suspenso, conforme a figura, que mantém a velocidade constante.
20. Resolução:
(a) 5 1 6
10 10 1 8 10e B V e e V− − −
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
(b)
6 5
6
5
10
1,6 10 8 10
0,2
8 10
0,1
8 10
R R R
A
U e
U Ri i i A
R R
ρ − −
−
−
= = ⋅ ⋅ = ⋅ Ω
⋅
= = = = =
⋅
(c) Para que a velocidade seja constante, 0RF = ou seja: 5 1
7 7
10 0,1 10
10 10
MAGF T
B i T T
T N P T Peso N
− −
− −
=
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= = =
LEI DE FARADAY
1. A figura mostra uma espira condutora formada por um semicírculo de raio 0,20r m= e três
segmentos retos, o semicírculo está localizado em um campo magnético uniforme B que
estar orientado para fora da página. A intensidade do campo é dada por
A
'
A
'
B
B
Corpo
suspenso
MAGF T
21. $
2
4,0 2,0 3,0B t t= + + , com B em teslas e t em segundos. Uma bateria ideal com 2,0bat V=
está ligada à espira. A resistência da espira é de 2,0Ω .
(a) Qual a intensidade e o sentido da indfem induzida ao redor da espira pelo campo B em
10t s= .
(b) Qual a corrente na espira em 10t s=
Resolução
( )B
ind
d d BA dB
A
dt dt dt
Φ
= = =
2
2
r
A
π
=
[ ]
2
2
2 2
(4,0 2,0 3,0)
2
(0,20 )
(8,0 2,0) 8,0(10) 2,0
2 2
10 5,2
ind
ind
ind
r d
t t
dt
r m
t
em t s V
π
π π
= + +
= + = +
= ≈
(b)
5,152 2,0
1,6
2
res ind bat V
i i A
R R
− −
= = = ≈
Ω
CIRCUITOS RL
1. Um solenóide possui uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,37Ω . Se ele for ligado a
uma bateria, quanto tempo levará para que a corrente alcance metade do seu valor final de
equilíbrio?
/ 2r
bat
22. Resolução
A equação 1 L
t
i e
R
τε −
= − (subida da corrente)
Nós mostra que a corrente i aumenta exponencialmente de zero até o seu valor final de equilíbrio
/ R. Seja 0t o tempo que a corrente i leva para alcançar metade do seu valor de equilíbrio, então,
a equação anterior nos dá
0 /1
1
2
Lt
e
R R
τ−
= −
Explicitamos 0t cancelando
R
, isolando
A exponencial e tomando o logaritmo natural de cada lado. Encontramos
3
0
0
53 10
ln 2 ln 2 ln 2
0,37
0,10
L
L H
t
R
t s
τ
−
×
= = =
Ω
=
2. Uma bobina tem uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,35Ω .
a. Se uma fem de 12V for aplicada entre as extremidades da bobina, quanta energia é
armazenada no campo magnético depois de a corrente atingir o seu valor de equilíbrio?
b. Após quantas constantes de tempo, metade desta energia de equilíbrio estará armazenada no
campo magnético?
Resolução
(a) A corrente máxima é
12
34,3
0,35
m
V
i A
R
= = =
A energia armazenada será:
2 2 3 21 1 1
(53 10 ) (34,3 )
2 2 2
31
B B m
B
U Li U Li H A
U j
−
= = = ⋅ ⋅
=
(b) Queremos saber em que instante t a relação
1
2
B BU U ∞=
( )
2 2
/
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Lt
Li Li i i
e
R R
τ
∞ ∞
−
= =
− =
⋅
Cancelando / R teremos / 1
1
2
Lt
e τ−
= −
23. Então: ln 0,293 1,2 L
L
t
t τ
τ
= − ≈
Portanto: A energia armazenada atinge a metade do seu valor máximo depois de decorridos 1,2
constante de tempo.
CORRENTE ALTERNADA
1. Um resistor cuja resistência vale 50Ω é percorrido por uma corrente alternada que obedece
a função:
8 2 120i sen tπ= ⋅ ⋅ (unidades do SI)
Determine:
(a) A freqüência da corrente alternada;
(b) A máxima intensidade de corrente;
(c) O valor eficaz da corrente alternada;
(d) O valor eficaz da ddp aplicada nos terminais do registro;
(e) A potência dissipada pelo resistor.
Resolução
Comparando com MAXi i sen tω= ⋅ , temos:
(a)
2
120 / 2rad s f
T
π
ω π ω π= = = (pulsação da corrente)
120 / 2
60
rad s f
f Hz
ω π π= =
=
(b) 8 2MAXi A=
(c)
8 2
8
2 2
MAX
ef ef ef
i A
i i i A= = =
(d) 50 8 400ef ef ef efU R i U A U V= ⋅ = Ω⋅ =
(e)
2
400 8 3200
ef
ef ef ef
ef ef
U
P U i R i
R
P U i
P V A P W
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅
= ⋅ =
P = Potência média dissipada
24. CARGA PURAMENTE RESISTIVA
1. Na figura seguinte, a resistência R é de 200Ω e o dispositivo de fem alternada senoidal
opera a uma amplitude 36m V= e uma freqüência 60,0df Hz= .
(a) Qual a diferença de potencial ( )RV t entre os terminais da resistência em função do tempo t, e
qual é a amplitude RV de ( )RV t ?
(b) Qual a corrente ( )Ri t na resistência e qual a amplitude RI de ( )Ri t ?
Resolução:
(a) ( ) ( ) 36,0R R mV t t V V= = =
Cálculo de
( ): ( ) ( )
2 2 (60 ) 120
(36,0 ) (120 )
R R m d
d d
R m d R
V t V t t sen t
f Hz
V sen t V V sen t
ω
ω π π π
ω π
= =
= = =
= =
(b)
( ) 1
36,0
0,180
200
( )
(0,180 ) (120 )
R R d R
R
R R R
R R d R d
r
i I sen t I sen t
V V
I I I A
R
i I sen t I sen t
i A sen t
ω φ ω
ω φ ω
π
= − =
= = =
Ω
= − =
=
CARGA PURAMENTE CAPACITIVA
1. Na figura seguinte, a capacitância C é de 150 Fµ e o dispositivo de fem alternada senoidal
opera a uma amplitude 36,0m V= e a uma freqüência 60,0df Hz= .
(a) Qual a diferença de potencial ( )CV t entre os terminais do capacitor e qual a amplitude CV de
( )CV t ?
(b) Qual a corrente ( )ci t no circuito em função do tempo e qual a amplitude CI de ( )CI t ?
25. Resolução
(a)
( )( ) 36,0
( ) ( )
2 2 (60,0 ) 120
(36,0 ) (120 )
C t C m C m
C m d
d d
C
V t e V V V
V t t sen t
f Hz
V V sen t
ω
ω π π π
π
= = = =
= = ⋅
= = =
= ⋅
(b)
6
1 1
2 (2 ) (60,0 )(150 10 )
177
36,0
0,203
177
( / 2)
(0,203 ) (120 / 2)
C
d
C
C
C C C
C
C C d
C
X
f C Hz F
X
V V
I I I A
X
I I sen t
I A sen t
π π
ω π
π π
−
= =
⋅ ⋅ ⋅
= Ω
= = =
Ω
= ⋅ +
= +
CARGA PURAMENTE INDUTIVA
1. Na figura a seguir, a indutância L vale 230mH e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a
uma amplitude 36,0m V= e a uma freqüência 60,0df Hz= .
(a) Qual a diferença de potencial ( )LV t entre os terminais do indutor e qual a amplitude LV de
( )LV t ?
(b) Qual a corrente ( )Li t no circuito em função do tempo e qual a amplitude LI de '
( )LI t ?
Resolução
(a)
( ) ( ) 36,0
( ) ( )
2 120 : (36,0 ) (120 )
L L m L m
L m d
d d L
V t t e V V V
V t t sen t
f Logo V V sen t
ω
ω π π π
= = = =
= = ⋅
= = = ⋅
26. (b)
3
2 (2 )(60,0 )(230 10 )
36,0
86,7 0,415
86,7
( / 2)
(0,415 ) (120 / 2)
L d
L
L L L
L
L L d
L
X f L Hz H
V V
X I I A
X
I I sen t
i A sen t
π π
ω π
π π
−
= = ×
= Ω = = =
Ω
= ⋅ −
= −
O CIRCUITO RLC EM SÉRIE
1. Um circuito RLC em série, excitado por uma fem 120rms V= a uma freqüência 60,0df Hz= ,
contém uma resistência 200R = Ω , uma indutância com 800LX = Ω e uma capacitância com
150CX = Ω .
(a) Qual o fator de potência cosφ e qual a constante de fase φ do circuito?
(b) Qual a taxa média MEDP com que se dissipa energia na resistência?
Resolução
(a)
2 2 2 2
( ) (200 ) (80 150 )
211,90
200
cos cos 0,944
211,90
cos0,944 19,3º 19,3º
L CZ R X X
Z
R
Z
arc
φ φ
φ φ
= + − = Ω + Ω − Ω
= Ω
Ω
= = ≈
Ω
= = ± = ±
Tanto 19,3º+ quando 19,3º− possuem um cosseno de 0,944. Para determinamos qual sinal é o
correto, temos que considerar se a corrente está adiantada ou atrasada em relação à fem aplicada.
Como C LX X> , este circulo é principalmente capacitivo, com a corrente adiantada em relação
fem. Assim, φ tem que ser negativa:
19,3ºφ = −
A equação: L CX X
tg
R
φ
−
= nos dá a resposta completa, com o sinal negativo.
27. !
(b)
2 2
(120 ) (0,9438)
cos
211,90
64,1
rms
MED
MED
V
P
Z
P W
φ= =
Ω
=
TRANSFORMADOR
1. Um transformador em um poste de uma concessionária de energia opera com 8,5PV kV= no
enrolamento primário e fornece a energia a um certo número de casas próximas com 120SV V= ;
sendo estas duas tensões em valores eficazes. Suponha um transformador abaixador ideal, uma
carga puramente resistiva e um fator de potência igual à unidade.
(a) Qual razão entre o número de voltas /P SN N do transformador?
(b) A taxa média de consumo de energia (ou dissipação) nas casas servidas pelo transformador é
de 78kW. Quais as correntes eficazes no primário e no secundário do transformador?
(c) Qual a carga resistiva SR no circuito secundário? Qual a carga resistiva correspondente PR
no circuito primário?
Resolução
(a) S S
P P
V N
V N
= ou
3
8,5 10
7,083 71
120
71
P P
S S
P
S
N V V
N V V
N
N
×
= = = ≈
≈
(b)
3
3
78 10
9,176
8,5 10
9,2
MED
P
P
P
P W
I A
V V
I A
×
= =
×
≈
3
78 10
650 650
120
MED
S S
S
P W
I A I A
V V
×
= = = =
(c) 3
120
0,1846 0,18
650
8,5 10
926 930
9,176
S
S S
S
p
p p
p
V V
R R
I A
V V
R R
I A
= = = Ω ≈ Ω
×
= = = Ω ≈ Ω
