cours de résistance des matériaux premier semestre

1. L. Ikharrazne
ENSAH 1
1
Université Mohammed Premier
Ecole Nationale des Sciences Appliquées d’Al Hoceima
Rédigé par: L, IKHARRAZNE
Résistance des Matériaux 1
Théorie des poutres
Chapitre 1
Contraintes et déformations
Résistance des Matériaux 1
Théorie des poutres

2. L. Ikharrazne
ENSAH 2
-F
F
-F F
F
-F
A B
F(A/B) = -F(B/A) La Résultante des Forces Internes est toujours Nulle
Forces internes de cohésion principe de l’Action et de la réaction:
A B
F
F   0


F
Équilibre :
  0


M
Contraintes
Le Vecteur Contrainte T : est la force résultante par unité de
Surface.( unité :MPa). La résultante des forces s’écrit :
F F
S
F
T 
T
F
Vecteur contrainte:
T


S
dS
T
F



3. L. Ikharrazne
ENSAH 3
xz

xy

xx

 Définition des contraintes :
I
F1
F2
F3
Fn
y
x
z
F1
Fn
y
x
z
I
ΔF: force interne
Δy
Δz











z
y
x
F
F
F
F
Δ
Δ
Δ
Δ
x
z
A
xz
x
y
A
xy
x
x
A
xx
A
F
A
F
A
F
x
x
x 














lim
;
lim
;
lim
0
0
0



avec z
y
Ax 



I
La notion de contrainte est très importantes pour le dimensionnement
des ouvrages : si les contraintes sont trop élevées au sein d'un solide, il
y'a destruction de la cohésion internes entre particules et donc rupture.


S
dS
n
M
T
F )
,
(



F F
M
Le Vecteur Contrainte dépend de la position du point M dans la
section S : T = T(M)
Le Vecteur Contrainte n’est pas toujours colinéaire à la normale n
dépend de la position du point M dans la section S : T = T(M)
En générale le vecteur
contrainte est défini par :
 Tenseur des contraintes:

4. L. Ikharrazne
ENSAH 4
 Tenseur des contraintes: Formule de Cauchy
Ce qui caractérise l'état de contrainte, c'est la relation existante
entre le vecteur contrainte et la direction de normale à la facette.
Pour obtenir cette relation, il suffit de considérer l'équilibre d'un
domaine matériel infiniment petit de forme tétraédrique ayant
trois faces perpendiculaires aux axes x, y et z.
Soit n la normale au plan ABC dirigée vers l'extérieur du
tétraèdre et dS l'aire du triangle ABC











z
y
x
n
n
n
n
dS
n
dS x

1
:l’aire du triangle MBC
 
i
M
T
dS
nx 
,
. :la force résultante sur la surface MBC
Le tétraèdre est en équilibre sous l’action des forces appliquées
sur ses 4 facettes :
        0
,
.
,
.
,
.
,
. 





 k
M
T
dS
n
j
M
T
dS
n
i
M
T
dS
n
n
M
T
dS z
y
x
En considérant les composantes dans la base (i,j,k) des vecteurs:
 
 
 














k
j
i
i
M
T
k
j
i
j
M
T
k
j
i
i
M
T
33
32
31
23
22
21
13
12
11
,
,
,









        0
,
,
,
, 





 k
M
T
n
j
M
T
n
i
M
T
n
n
M
T z
y
x
       
k
M
T
n
j
M
T
n
i
M
T
n
n
M
T z
y
x ,
,
,
, 


On remplace
 





















z
y
x
n
n
n
n
M
T
33
32
31
23
22
21
13
12
11
,









On a:

5. L. Ikharrazne
ENSAH 5
Le vecteur contrainte s’écrit finalement sous la forme :
est appelé tenseur des contraintes
en M , ou tenseur de Cauchy
( tenseur symétrique)
  n
n
M
T 

,











33
32
31
23
22
21
13
12
11










où:
Représentation
x
y
z
xx

xy

zy

yz
 yx

yy

zz
 xz

zx

 Etat de contraintes en un point:
Δx Δz
Δy
;
; xz
zx
zy
yz
yx
xy 




 


A
B
C
G
H
E
F
D

6. L. Ikharrazne
ENSAH 6
: Vecteur contrainte sur la
facette i en M
Contrainte normale et contrainte tangentielle
La Contrainte normale à la facette i est :
  xx
x i
i
i
M
T
i 


 


 11
,
.
D’une façon générale, la Contrainte normale à la facette n en M est:
     
n
M
n
n
M
T
n
T
n )
(
,
. 
 

la Contrainte tangentielle à la facette n en M est:
  n
n
M
T n

 
 ,
 Définition des déformations
x
z
I
y
F1
F2
F3
Fn
I
A
B
C
I’
A’
B’
C’
et
; C
I
z
IC
B
I
y
IB
A
I
x
IA 














On définit : - La déformation normale ε par ses trois composantes :
lim
;
lim
;
lim
0
0
0 IC
IC
C
I
IB
IB
B
I
IA
IA
A
I
z
z
y
y
x
x














 Δ
Δ
Δ



- La déformation de cisaillement par ses trois composantes :
Impossible
d’afficher l’image.
;
2
tg
lim
;
2
tg
lim
;
2
tg
lim
0
0
0
0
0
0













































A
I
C
C
I
B
B
I
A
x
z
zx
z
y
yz
y
x
xy






Déformations

7. L. Ikharrazne
ENSAH 7
 Exemple déformation axiale d’une poutre:
x
P
P
l
dl
l
l 


l
dl
l
l
l






















33
23
13
23
22
12
13
12
11
2
2
2
2
2
2










 Tenseur des déformations:
Dans un repère orthonormé ( e1, e2 , e3 ), le tenseur de déformation
en point est définit par:
Les éléments de la diagonale sont appelé : élongations ou
allongements relatifs.
Les élément en dehors de la diagonale sont appelé :Distorsion
angulaire ou glissement
e
e
e 
 .
 : l’allongement relatif au point M dans la direction e
D’où :

8. L. Ikharrazne
ENSAH 8
est un scalaire sans dimension, il est :
 positif si la longueur dX augmente pendant la transformation
Négatif si la longueur dX diminue pendant la transformation
e

11
 : l’allongement relatif au point M dans la direction e1
22
 : l’allongement relatif au point M dans la direction e2
33
 : l’allongement relatif au point M dans la direction e3
On a, dans un repère orthonormé ( e1, e2 , e3 ) :
















3
3
33
2
2
22
1
1
11
3
3
2
2
1
1
e
e
e
e
e
e
e
e
z
e
e
y
e
e
x












On a aussi, dans un repère orthonormé ( e1, e2 , e3 ) :





















3
2
23
23
3
1
13
13
2
1
12
12
2
2
2
3
2
3
1
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
yz
e
e
xz
e
e
xy















12
 :est la demi distorsion d’angle( cisaillement) (e1, e2)
23

13
 :est la demi distorsion d’angle( cisaillement) (e1, e3)
:est la demi distorsion d’angle( cisaillement) (e2, e3)

9. L. Ikharrazne
ENSAH 9
 Méthodes de mesure des déformations
 Mesurer directement en prenant deux repères sur la pièce
(extensomètres)
 Lier à la pièce un dispositif qui subit les mêmes déformations et
influe sur un autre phénomène physique mesurable (jauges,
vernis, Moiré, image)
 Mesurer un phénomène physique en relation directe avec la
déformation (holographie, ultrason)
Si les déformations sont observables et mesurables directement
(principe des jauges d'extensométrie), les contraintes ne sont
généralement pas observables (effort internes).
Relation entre contraintes et déformations:
 Les déformations et contraintes sont reliées par la loi de
comportement du matériau considéré (rhéologie). On parle à titre
d'exemple de loi élastique, loi élastoplastique, loi visqueuse, …
 Matériau isotrope
• Un matériau isotrope est un matériau pour lequel la réponse
matérielle est indépendante de la direction.
• On peut considérer, de façon totalement équivalente, l’isotropie
comme la symétrie totale: un matériau isotrope est un matériau
pour lequel toute direction est de symétrie matérielle. Ou encore:
il n’y a pas de directions privilégiées. Donc, toute direction est
mécaniquement équivalente.
 Lamé a spécifié la loi de Hooke pour les matériaux élastiques
linéaires isotropes:
.
tr
2 I




 

 et  : sont les constantes de Lamé.
ij = 2ij + tr()dij

10. L. Ikharrazne
ENSAH 10
































































12
13
23
33
22
11
12
13
23
33
22
11
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2



























Sous forme matricielle :

























.
)
(
2
,
3
2
,
)
1
(
2
,
)
2
)(1
1
(














 E
E
E
Les constantes  et  peuvent être remplacées par d’autres
constante plus significative:
E est le module d’Young et  le coefficient de poisson.
.
tr
2
1
1









 I
E






Avec E et  les équations de Lame deviennent :
En pratique le module d'Young et le coefficient de Poisson son
plus utilisés que les coefficients de Lamé
Dans le cadre de l'élasticité linéaire isotrope, on peut alors réécrire
la loi de comportement sous la forme de matrice:

11. L. Ikharrazne
ENSAH 11
.
tr
1
1









 I
E






Les équations de Lamé inverses s’obtiennent facilement
La forme matriciel inverse s’écrit:
Pour exprimer la relation entre les contraintes et les déformations
pour un matériau élastique linéaire et isotrope on a besoin
seulement de deux coefficients
 Déformations planes
La déformation plane découle d’un mouvement plan, défini par un
champ de déplacement de la forme suivante :
Le champ de d´déformation correspondant est dit plan et revêt
la forme:

12. L. Ikharrazne
ENSAH 12
En élasticité isotrope, le tenseur des contraintes prend alors la
forme suivante :
dépend de et de par :
En effet :
On peut alors donner une forme purement bidimensionnelle à la
loi d´élasticité :

13. L. Ikharrazne
ENSAH 13
CHAPITRE II
Calcul des poutres
Définition d'une poutre
On appelle poutre le solide engendré par une surface plane dont le centre
de gravité décrit une courbe g, la surface S restant normale à cette
courbe, avec :
La courbe  est appelée ligne moyenne ou fibre moyenne
La surface S est appelée section normale
Le rayon de courbure en tout point de  doit être grand par rapport aux
dimensions de S
Les dimensions de S sont négligeables devant la longueur de la courbe 
Les variations de forme et de dimension de S doivent être progressives


14. L. Ikharrazne
ENSAH 14
Hypothèse de Bernoulli
Le caractère linéique de la géométrie des poutres fait qu'on s'attend à ce
que les phénomènes prépondérants soient essentiellement
longitudinaux. On ne s'intéressera donc pas aux déformations de
sections droites. On énonce alors les hypothèses de Bernoulli
Les sections droites restent planes
Les sections droites se déforment librement dans leur plan
La variation des déformations de la section le long de la poutre est
très petite
Conséquence des hypothèses de Bernoulli :
 Soit une poutre rectiligne de section droite constante S0 et de longueur
L0 dans la configuration de référence. A cette configuration de
référence on associe le repère orthonormé direct (O,e1,e2 ,e3 )
 On note S(X1) la section droite d'abscisse X1. Dans la configuration
déformée, le point courant de la fibre moyenne déformée est x(X1),

15. L. Ikharrazne
ENSAH 15
Torseur des efforts de liaison dans les poutres
On définit le torseur des efforts intérieurs pour une section (S) comme le
torseur des efforts exercés par la partie droite sur la partie gauche. Ce
torseur est donné par sa résultante appliquée en G
et son moment résultant défini au point G.
z
z
y
y
x
G e
T
e
T
e
N
R 


z
F
z
y
F
y
x
T
x
G e
M
e
M
e
M
M 


N est l'effort normal à la section S, on l'appelle aussi tension.
N >0 correspond à un état de traction
N <0 correspond à un état de compression
Ty et Tz sont appelé efforts tranchants sur la section S.
: est le moment de torsion
: sont les moments de flexion
T
x
M
F
z
F
y M
M et
1. Actions mécaniques extérieures
Si on isole une poutre, on appelle action mécaniques extérieures les
actions appliquées par le milieu extérieur sur la partie isolée ;
On distingue deux types d'actions mécaniques extérieures :
- les charges : ce sont les efforts de service auxquels est soumise la
poutre.
- les actions de liaison : ce sont les actions mécaniques exercées par
les liaisons.
Les charges sont des données du problème et donc connues, les actions
des liaisons sont les inconnues du problème. On distingue deux types
de charges :
- Les charges concentrées : le torseur des forces est appliqué en un
point.
Les charges réparties : ce sont les forces réparties à densité linéique
appliquées sur la poutre ou sur un tronçon de poutre

16. L. Ikharrazne
ENSAH 16
Exemples 1
Exemples 2
Les charges sont :
- F : Charge ponctuelle (Unité : N)
- P : Charge répartie (Unité ; N/m)
Les action de liaison sont : RAy , RBx , RBy
Dans cette exemple RAy , RBx , RBy sont les inconnues du
problème et F et P sont données.

17. L. Ikharrazne
ENSAH 17
Efforts intérieurs
 Pour accéder aux efforts de cohésion (efforts intérieurs), on opère
une coupe dans le milieu curviligne étudié ( courbe C).
 Soit une poutre en équilibre sous l’action des efforts extérieurs
(charges et actions de liaison). On opère une coupure au point
courant G (centre de la section droite d’abscisse x).
 Cette coupure divise le milieu en deux parties : partie gauche (C-) et
partie droite (C+).
 Effort normale N :
 La composante N représente la somme des projections de toutes les
forces intérieures agissant suivant la normale de la section
 La contrainte normale (σ) est l’intensité de l’effort normal (N). C’est
l’effort supporté par unité de surface elle est exprimé par :
N : effort normal [N]
A : aire de la section supportant l’effort N [m2]
Les unités de la contrainte normale sont le N/m2, par contre en physique
ces unités sont appelées aussi le Pascal (Pa).

18. L. Ikharrazne
ENSAH 18
Exemple 1:
Trouver les efforts normaux en A et en B dans la poutre ci-dessous.
Exemple 2:
Le couvercle d’un réservoir de 50 cm
de diamètre est fixé au moyen de 10
boulons de 1,5 cm2 de section.
- Trouver l’effort normal dans chaque
boulon si la pression dans le
réservoir est de 6,5 kPa
- Déduire la contrainte dans les
boulons
 Effort tranchant Q :
 Les forces transversales Qz, et Qy (ou Tz, et Ty ) sont les sommes
des projections de toutes les forces intérieures dans la section sur
les axes centraux principaux de cette dernière.
 Ces efforts tranchants provoquent le cisaillement des bords de la
section respectivement dans la direction des axes Z et Y.
 Le sens de Q sur le plan est positif par convention quand il tend à
faire tourner un élément entre deux sections dans le sens des
aiguilles d’une montre.

19. L. Ikharrazne
ENSAH 19
 La contrainte de cisaillement «  », c’est l’intensité de l’effort
tranchant. C’est l’effort tranchant par unité de surface :
Où Q : L’effort tranchant [N]
A : Aire de la section de la pièce supportant l’effort Q [m2]
Exemple 1 : Trouver l’effort tranchant et la contrainte de cisaillement
dans la goupille du système suivant.
 Moments fléchissant M
 Les composantes My et Mz du vecteur moment résultant
représentent les sommes des moments de toutes les forces
intérieures dans la section, par rapport aux axes d’inertie principaux
de cette dernière Y et Z respectivement.
 Le sens positif des moments dans le plan qui par convention tend
les fibres inférieures et comprime les fibres supérieures de la
section

20. L. Ikharrazne
ENSAH 20
Exemple 1 :
Trouver le moment fléchissant dans la poutre ci-dessous aux points A
et B.
Exemple 2 :
Trouver le moment fléchissant dans la poutre ci-dessous au
point A.
 Moment de torsion
 Le moment de torsion Mx (ou Mt) est la somme des moments de
toutes les forces intérieures dans la section par rapport à l’axe de la
barre x.
 Le moment de torsion est positif lorsqu’il tend à tourner la section
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens
trigonométrique) en regardant la section du côté de la normale
extérieure

21. L. Ikharrazne
ENSAH 21
Efforts et contraintes multiples dans les sections de barres :
 Lorsque l’on veut étudier un corps en entier, il est souvent préférable
de vérifier toutes les contraintes s’exerçant sur celui-ci.
 Dans ce cas, on doit effectuer une coupe aux points considérés et tenir
compte des trois efforts possibles N, Q et M qui nous permettent de
calculer les contraintes respectives.
Exercice :
Calculer les efforts, contraintes et moment fléchissant dans la poutre ci-
dessous au point C. La poutre a une section de 1 cm2.
 - Essais Mécaniques
Essais non-destructifs :
Ces essais sont utilisés sur les pièces complexes, chères et
difficiles à réaliser, mais également pour valider une hypothèse de
travail ou un modèle d’étude.
Essais destructifs sur éprouvette :
la pièce est détruite pendant l’essai
 - Essais Mécaniques

22. L. Ikharrazne
ENSAH 22
1. Essai de traction
L’essai de traction permet à lui seul de définir les caractéristiques
mécaniques courantes d’un matériau utilisées en RDM. La seule
connaissance des paramètres de l’essai de traction permet de prévoir le
comportement d’une pièce sollicitée en cisaillement, traction,
compression et flexion.
ESSAI DE TRACTION

23. L. Ikharrazne
ENSAH 23
 ESSAI DE TRACTION pour un matériaux ductile ou malléable
ε
Courbe de traction
O
Sy
Su
A
B
C D
E
Rupture
Zone de
striction
Zone
d’écrouissage
Parfaitement
plastique
Zone de déformations plastiques
Zone
élastique
T T
Rupture
T T
Striction
T T
Déformation plastique
T T
Déformation élastique
E = tgα
Droite OA
σ = Eε
α
σ
F
Rupture
Rr
Rr
ε
σ
Re
Re 0.2
ε = 0.002 (ou A% = 0.2)
O
Parallèles
A
A’
E
Rr
 ESSAI DE TRACTION pour un matériaux fragile

24. L. Ikharrazne
ENSAH 24
2. ESSAI DE COMPRESSION
3. ESSAI DE FLEXION

25. L. Ikharrazne
ENSAH 25
4. ESSAI DE TORSION
5. ESSAI DE RESILIENCE (Mouton Charpy)
Éprouvette

26. L. Ikharrazne
ENSAH 26
6. ESSAI DE DURETE
Dureté BRINELL (HB)
Dureté ROCKWELL (HRB) - (HRC)
Dureté VICKERS (HV)
E(GPa) Sy(MPa) Su(MPa) densité α (/°C)
Fonte
grise
103 0.25 138 7.2 12.1 10-6
Acier à
structure 207 0.29 240 414 7.86 12.1 10-6
Aluminium
2024-T3
7075-T6
69
72
71
0.33
0.33
0.33
41
324
490
110
449
538
2.77
2.77
2.77
22.5 10-6
23.2 10-6
23.2 10-6
Laiton 110 0.34 170-365 400-515 8.75 17.6 10-6
Magnésium
AZ80A-F 47.5 0.35 193 296 1.83 25.2 10-6
Titane Ti-
6AI-4A 110 0.31 869 925 4.46 9.36 10-6


27. L. Ikharrazne
ENSAH 27
Etude de la d’une poutre traction/compression :
Un élément de structure est soumis à traction ou compression pure
lorsque l’effort tranchant T et le moment de flexion M sont nuls : la
seule sollicitation agissante est l’effort normal N.
0

N 0

T 0

M
L
L
Δ


La déformation est :
l’hypothèse de Navier-Bernoulli toute section transversale initialement
plane et normale à la ligne moyenne de la barre reste plane et normale à
cette ligne sous chargement :
Loi de hooke:

 E

Exemple
On considère un système constitué de 4 barres rigides A, B, C et D.
sous l’effet de forces axiales, les barres subissent les déplacements
suivants:
Calculer les déformations axiales des segments AB , BC et CD

28. L. Ikharrazne
ENSAH 28
Les déformations axiales des segments AB , BC et CD sont donnée par:
Exemple : Structures à treillis articulé
les liaisons entre les éléments, c’est-à-dire les assemblages, sont conçus
pour ne pas transmettre de moments de flexion

29. L. Ikharrazne
ENSAH 29
Etude de la flexion d’une poutre
Un tronçon de barre est sollicité en flexion pure lorsque le moment de
flexion est constant le long de ce tronçon
0

N 0

T 0

M
Exemple
La partie centrale BC de la poutre AD sur la figure ci-dessous est soumise à
flexion pure. Le moment a pour valeur : M = P×a le long de BC.
Les fibres situées au niveau de la ligne moyenne, qui passe par le
centre de gravité de la section, ne varient pas de longueur.
Dans le cas de moment positif, les fibres situées au-dessus de cette
ligne se raccourcissent, elles sont comprimées. Les fibres situées en
dessous s’allongent, elles sont tendues.
Selon l’hypothèse de Navier-Bernoulli, les sections transversales
initialement planes et normales à la ligne moyenne restent planes et
normales à cette ligne après déformation
la déformée que prend la poutre sous flexion pure a un rayon de
courbure R constant, donc c’est un arc de cercle
La déformation à la cote z suit la loi:
Ou z est la distance à la ligne moyenne du point considéré
et R le rayon de courbure

30. L. Ikharrazne
ENSAH 30
la loi de Hooke permet d’écrire :

 E

Pour une section rectangulaire, les forces résultantes de traction FT et
de compression FC sur les moitiés inférieure et supérieure ont pour
intensité :

31. L. Ikharrazne
ENSAH 31
La relation entre la contrainte et la cote z donnée par:
z
I
M


Cette relation est vraie quelle que soit la forme de la section. C’est la
formule générale donnant la valeur de la contrainte normale due au
moment de flexion.
M : est le moment de flexion,
z : cote à laquelle on veut calculer la contrainte,
I : moment d’inertie de la section,
 : Contrainte à la cote z.
représentation de la contrainte dans l’épaisseur de la poutre :

32. L. Ikharrazne
ENSAH 32
Relation entre le moment fléchissant et l’effort tranchant
Ecrivons l’équilibre statique
d’un tronçon de longueur dx de
la poutre:
0
0




dx
x
G
M
F
Projection suivant Ox :
Projection suivant Oy :
    0


 x
N
dx
x
N
      0



 dx
x
q
x
T
dx
x
T
Projection du moment suivant Oz:         0
2
2




 dx
x
T
dx
x
q
x
M
dx
x
M
     
x
q
dx
x
T
dx
x
T


    
x
q
dx
x
dT

        0
2
2




 dx
x
T
dx
x
q
x
M
dx
x
M
     dx
x
T
x
M
dx
x
M 



est négligeable devant les autres termes ( infiniment
petit du second ordre)
2
2
dx
   
x
T
dx
x
dM


   
x
q
dx
x
M
d


2
2
   
x
q
dx
x
dT

On a aussi:

33. L. Ikharrazne
ENSAH 33
Etude de la torsion d’une poutre circulaire
Définition de la torsion :
Une poutre est sollicitée à la torsion lorsque le système des forces
extérieures crée des efforts internes représentables par un torseur dont le
seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section droite
est le moment de torsion MT.
Essais de torsion

34. L. Ikharrazne
ENSAH 34
Lorsqu’on sollicite en torsion une poutre circulaire, on constate :
-que toute section droite reste droite et circulaire, sans variation de rayon, au
cours de la déformation.
-Que la distance axiale séparant deux sections droites ne varie pas au cours de
la déformation.
-Qu’une section quelconque tourne en entier dans son plan d’un angle
proportionnel à son abscisse.










 cte
l
l
l
l
...
max
3
3
2
2
1
1

e
r
u 
Le vecteur déplacement d’un point M quelconque est:
Avec  est l’angle avec lequel la section tourne, il dépend de z par:
z
z
l


 
 max

 e
z
r
u 
r
u
r
z
u z
z 

 

2
1
1
2
1















r
G
G z
z 

 
 
 2
Avec la loi de de Hooke
où G est le module de cisaillement
 



1
2
E
G pour matériau isotrope
La composante du tenseur de déformation est donnée par:
z


: contrainte de cisaillement
r
G
z 

  

θ représente l’angle de torsion par unité
de longueur

35. L. Ikharrazne
ENSAH 35
Déformation angulaire unitaire:
Le moment de torsion est donné en fonction des contraintes τ


S
T rdS
M 


S
T dS
r
G
M 2



S
T dS
r
G
M 2



S
G dS
r
I 2
32
2
d
IG


G
T
I
G
M


r
I
M
G
T
.


r
G
 
avec
est le moment d’inertie Polaire par rapport au
centre G d’inertie
: déformation angulaire unitaire
:est le « module de torsion »
r
IG
 Les contraintes sont donc proportionnelles à la distance du point
considéré au centre de la section. On peut alors tracer la répartition
de la contrainte dans une section
.
 La contrainte tangentielle est maximale sur les fibres extérieures
(c’est à dire pour r = R ) ;

36. L. Ikharrazne
ENSAH 36
Chapitre 3
Flexion déviée et flexion composée
Résistance des Matériaux 1
Théorie des poutres
 Dans le cas général une section peut être soumise à l’action des six
composantes de l’effort internes à savoir : traction et compression
(N), cisaillement (Qx, Qy) torsion Mx, et flexion My, Mz.
 Dans la pratique, on rencontre rarement des cas où les sollicitations
sont simples moins encore ou les six composantes des efforts
internes apparaissent en même temps au niveau d’une section.
 Sous les hypothèses de la résistance des matériaux, on rencontre
différents types de combinaisons de sollicitations qui peuvent être
analysées en utilisant le principe de superposition des efforts.
 Dans la suite on étudiera la combinaison de deux flexions : flexion
déviée et flexion composée.
Etude de la flexion déviée

37. L. Ikharrazne
ENSAH 37
 La flexion déviée est définie comme une combinaison de deux
flexions planes, si les charges sont appliquées aux axes principaux.
Dans certain cas les chargements on flexion sont inclinés par rapport
à l’un des axes principaux, la décomposition de ce chargement en
deux composantes parallèle aux axes produit une flexion déviée.
 L’étude de la flexion déviée revient à décomposer les sollicitations en
deux flexions planes suivant les plans principaux.
Définition d’une flexion déviée:
 Pour une action simultanée de My et Mz, les contraintes en un point
de coordonnées y et z se déterminent par le principe de superposition:
 Iy et Iz : moments d’inertie principaux de la section droite de la
poutre suivant y et z.
 My et Mz : sont les moments fléchissant par rapport aux axes y et z
qui sont les composantes du moment fléchissant résultants.
Le moment résultant est appliquée au plan incliné suivant un angle a
par rapport au plan principal d’inertie zy de la poutre

38. L. Ikharrazne
ENSAH 38
 Le déplacement vertical y (la flèche) et la rotation  d’une section
quelconque de la poutre en flexion déviée sont définis par:
avec
yz et yy sont les déplacement verticaux dans les directions z et y.
z et y sont les rotations de la section autour des axes z et y.
 L’axe neutre est l’ensemble des points pour les quels la contrainte 
est nulle. L’axe neutre, a pour équation :
 Rq: L’axe neutre alors est un droit passant par le centre de gravité de
la section.
 En flexion déviée due à une charge inclinée de a par rapport à l’axe
Oy on a les relations
M est le moment suivant un axe orienté de a par rapport à y-y.
L’équation de l’axe neutre est :
La tangente b de l’axe neutre est :
Et la contrainte s ’écrit :

39. L. Ikharrazne
ENSAH 39
 Le calcule de vérification de la résistance s’effectue à la base des
données sur la contrainte totale maximale
 les contraintes maximales se localisent aux points les plus éloignés
de l’axe neutre. Pour une section symétrique on a :
Etude de la flexion composée
 La flexion composée provient de l’action conjuguée d’une flexion
due à un chargement latérale et d’un effort axial (traction ou
compression) ou seulement de l’effet d’un effort normal excentré
par rapport à l’axe moyen de l’élément.
a) Flexion composée avec traction ou compression
C’est le cas général d’une poutre soumise à des chargements transversaux
et longitudinaux, ou un une section arbitraire, les efforts Mz, My, Qx, Qy
ainsi que N sont présents. La contrainte normale totale est calculé en
utilisant le principe de superposition

40. L. Ikharrazne
ENSAH 40
b) Traction ou compression excentrée
 La flexion composée peut être aussi le résultat de l’action d’une
force longitudinale excentré par rapport à l’axe moyen de la poutre.
yp et zp : coordonnées du point d’application de la force excentré
efforts internes :
La contrainte s’écrit :
A
I
i
A
I
i z
y
y
2
,
avec 
 : Rayons de giration suivant les axes y et z
 L’équation de l’axe neutre : ensemble des fibres dans les quelles la
poutre ne subit aucune traction ou compression (contrainte nulle).

41. L. Ikharrazne
ENSAH 41
L’axe neutre = droite qui coupe les axes zz et yy aux points :