2. Teorema del Seno
Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del
ángulo opuesto.
3. En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad
entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos
respectivamente opuestos.
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una
demostración particularmente simple, es poco común que se presente o
discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco
conocida.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su
circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la
circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además
los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que
abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la
función trigonométrica seno, se tiene
sinA=sinP=BCBP=a2R
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
asinA=2R
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que
pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por
tanto son iguales.
4. El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
5. Aplicación:
El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se
conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos.
También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo
opuesto a uno de ellos.
Relación con el área del triángulo:
Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida
de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene
sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:
Area=ah2=absinC2.
Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que
al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:
Area=ah2=absinC2=abc4R.
7. Ejemplo
Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B
= 30º
Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos
los datos conocidos y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo
que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.
8.
9. Teorema del Coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de
ambos por el coseno del ángulo que forman.
10. El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los
triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y
con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados
respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
c2=a2+b2−2abcosγ
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de
teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En
francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-
Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.
Aplicaciones
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de
Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso
particular: cuando el ángulo γ es recto o, dicho de otro modo, cuando
cosγ=0, el teorema del coseno se reduce a:
c2=a2+b2
11. que es precisamente la formulación del teorema de
Pitágoras.
El teorema se utiliza en triangulación para resolver un
triángulo, y saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un
ángulo y los lados adyacentes:
c= √ a2+b2−2abcosγ.
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres
lados:
γ=arccosa2+b2−c22ab.
13. Ejemplo
Resolver un triángulo con los datos siguientes: a = 1200 m, c= 700 m y
B = 108º
Dibujamos el triángulo, nos dan 2 lados y el ángulo que forman,
calculamos el lado b
