Esta aula propõe apresentar os fundamentos que levam a formulação de Lagrange, passando por trabalho virtual e princípio de D'Alembert.

1. Mecˆanica
Lagrangiana
Jo˜ao V. C.
Fontes
Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Mecˆanica Lagrangiana
Jo˜ao V. C. Fontes
Escola de Engenharia de S˜ao Carlos
Universidade de S˜ao Paulo
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2. Mecˆanica
Lagrangiana
Jo˜ao V. C.
Fontes
Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Organiza¸c˜ao
1 Conceitos Fundamentais
2 Formula¸c˜ao Lagrangiana
Princ´ıpio do Trabalho Virtual
Princ´ıpio de D’Alembert
Equa¸c˜oes de Lagrange
Exemplos
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3. Mecˆanica
Lagrangiana
Jo˜ao V. C.
Fontes
Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Part´ıcula, Posicionamento e Movimento
Part´ıcula
O mesmo que ponto material, isto ´e, um corpo cujas as
dimens˜oes podem ser desprezadas ao descrevermos o
movimento do mesmo.
Vetor posi¸c˜ao
r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez
Quantidade de Movimento
p = mv
Segunda Lei de Newton
F = m ˙v =
dp
dt
= ˙p
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4. Mecˆanica
Lagrangiana
Jo˜ao V. C.
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Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Coordenadas Generalizadas e Graus de Liberdade
N´umero de graus de liberdade
N´umero de grandezas independentes, que devemos identificar
para determinar a posi¸c˜ao (ou a configura¸c˜ao) de um sistema
Coordenadas generalizadas
Grandezas independentes dadas ao sistema para que possa ser
definido completamente
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5. Mecˆanica
Lagrangiana
Jo˜ao V. C.
Fontes
Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Representa¸c˜oes e Exemplos
Para cada (ri) existe 3 graus de liberdade introduzidos no
sistema, assim o sistema possui 3N graus de liberdade
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6. Mecˆanica
Lagrangiana
Jo˜ao V. C.
Fontes
Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
V´ınculos
V´ınculo
Restri¸c˜oes impostas aos sistema
Quando o movimento de um sistema mecˆanico est´a de alguma
forma restrito a uma regi˜ao qualquer do espa¸co.
Podem ser variantes no tempo ou n˜ao
Podem ser bem definidos por equa¸c˜oes ou por inequa¸c˜oes
Restringem os graus de liberdade (Ex.: juntas)
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Lagrangiana
Jo˜ao V. C.
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Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Representa¸c˜oes e Exemplos
Exemplo: Vibra¸c˜ao em uma barra
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Lagrangiana
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Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Espa¸co de Fase e Espa¸co de Configura¸c˜ao
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Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Organiza¸c˜ao
1 Conceitos Fundamentais
2 Formula¸c˜ao Lagrangiana
Princ´ıpio do Trabalho Virtual
Princ´ıpio de D’Alembert
Equa¸c˜oes de Lagrange
Exemplos
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Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Deslocamento Virtual
Deslocamento Virtual
Os deslocamentos infinitesimais de cada part´ıcula que a leva de
uma configura¸c˜ao poss´ıvel a outra configura¸c˜ao poss´ıvel
infinitesimalmente pr´oxima no mesmo instante t
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Lagrangiana
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Fundamentais
Formula¸c˜ao
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Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Trabalho Virtual
Se um corpo modelado por N part´ıculas est´a em equil´ıbrio, a
for¸ca resultante Fi aplicada no corpo i ´e nula.
O trabalho virtual δWi da for¸ca Fi por um deslocamento
virtual δri ´e nulo.
Portanto, a soma dos trabalhos virtuais de todas part´ıculas
tamb´em ´e nulo:
δW =
N
i=1
Fi · δri = 0
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Fundamentais
Formula¸c˜ao
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Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Trabalho Virtual
Considerando que as for¸cas podem ser separadas por for¸cas
externas (F
(a)
i ) e for¸cas de v´ınculo (fi).
Fi = F
(a)
i + fi
Vamos nos restringir ao caso de sistema que os trabalhos
virtuais das for¸cas de v´ınculo s˜ao nulas, assim:
δW =
N
i=1
F
(a)
i · δri = 0
Esta equa¸c˜ao ´e conhecida com o princ´ıpio do trabalho virtual.
Base da est´atica!
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Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Trabalho Virtual
Os deslocamentos virtuais δri n˜ao s˜ao independentes.
Assim, reescrevemos a equa¸c˜ao usando coordenadas
generalizadas!
δri =
n
j=1
∂ri
∂qj
δqj
δW =
N
i=1
n
j=1
Fi ·
∂ri
∂qj
δqj =
n
j=1
Qj · δqj
Onde Qj s˜ao as for¸cas generalizadas e podemos dizer que
Qj = 0 para cada j = 1...n.
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Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Exemplo
Uma prancha, de massa uniforme m e comprimento 2b, ´e
encostada em uma parede fazendo um ˆangulo α com o ch˜ao. A
extremidade da prancha que est´a no ch˜ao ´e ligada a parede por
uma corda de massa desprez´ıvel e inextens´ıvel. Qual ´e a tens˜ao
na corda?
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Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Princ´ıpio de D’Alembert
Segunda lei de Newton:
Fi = ˙pi ⇒ Fi − ˙pi = 0
˙pi denominada for¸ca inercial ou for¸ca efetiva reversa.
δW =
N
i=1
(Fi − ˙pi) · δri = 0
Exemplo: prancha
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Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Equa¸c˜oes de Lagrange
Reescrever a equa¸c˜ao de D’Alembert utilizando as coordenadas
generalizadas
N
i=1
˙pi · δri =
N
i=1
n
j=1
mi ¨ri ·
∂ri
∂qj
δqj
N
i=1
˙pi · δri =
N
i=1
n
j=1
mi
d
dt
˙ri ·
∂ri
∂qj
− ˙ri ·
d
dt
∂ri
∂qj
δqj
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Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Equa¸c˜oes de Lagrange
Sabendo que:
∂vi
∂ ˙qj
=
∂ ˙ri
∂ ˙qj
=
∂ri
∂qj
e
d
dt
∂ri
∂qj
=
∂vi
∂qj
Conseguimos escrever os dois fatores do somat´orio como:
N
i=1
mi
d
dt
˙ri ·
∂ri
∂qj
=
d
dt
∂T
∂ ˙qj
N
i=1
mi ˙ri ·
d
dt
∂ri
∂qj
=
∂T
∂qj
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Formula¸c˜ao
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Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Equa¸c˜oes de Lagrange
Assim, temos que a equa¸c˜ao de D’Alembert reescrita nas
coordenadas generalizadas ´e:
n
j=1
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
− Qj δqj = 0
Dividindo Qj em for¸cas conservativas Q
(c)
j e for¸cas
n˜ao-conservativas Q
(nc)
j , podemos dizer que as for¸cas
conservativas s˜ao o gradiente de um campo escalar potencial
V , assim:
F
(c)
i = − V ⇒ Q
(c)
j = −
n
i=1
V ·
∂ri
∂qj
= −
∂V
∂qj
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19. Mecˆanica
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Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
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Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Equa¸c˜oes de Lagrange
Algumas for¸cas n˜ao-conservativas que dependem da velocidade
e da posi¸c˜ao podem ser reescritas como:
Q
(nc)
j =
d
dt
∂V
∂ ˙qj
−
∂V
∂qj
Introduzimos esses termos na equa¸c˜ao D’Alembert e obtivemos
a seguinte express˜ao:
n
j=1
d
dt
∂(T − V )
∂ ˙qj
−
∂(T − V )
∂qj
− Qj δqj = 0
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Fundamentais
Formula¸c˜ao
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Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Equa¸c˜oes de Lagrange
Como qj s˜ao todos independentes podemos dizer que:
d
dt
∂(T − V )
∂ ˙qj
−
∂(T − V )
∂qj
= Qj
Define-se ent˜ao a Lagrangiana do sistema e a equa¸c˜ao de
Lagrange
L = T − V ;
d
dt
∂(L)
∂ ˙qj
−
∂(L)
∂qj
= Qj
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Fundamentais
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Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Dissipa¸c˜ao de Rayleigh
Utilizando do conhecimento da modelagem de atrito viscoso e
outras for¸cas dependentes da velocidade, podemos encontrar
uma energia de dissipa¸c˜ao D tal que:
Q
(nc)
j = −
∂(D)
∂ ˙qj
Assim, na equa¸c˜ao de Lagrange
d
dt
∂L
∂ ˙qj
−
∂L
∂qj
+
∂D
∂ ˙qj
= Qj
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22. Mecˆanica
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Jo˜ao V. C.
Fontes
Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Exemplos
Considere uma part´ıcula de massa m, presa a uma corda de
massa desprez´ıvel, que ´e deslocada de sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio
de um ˆangulo θ em rela¸c˜ao ao eixo vertical, conforme mostra a
figura abaixo, e ´e solta neste ponto. Encontre a Lagrangeana e
as equa¸c˜oes de movimento do sistema.
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Conceitos
Fundamentais
Formula¸c˜ao
Lagrangiana
Princ´ıpio do
Trabalho Virtual
Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
Lagrange
Exemplos
Exemplos
Considerando a modelagem de um alto-falante mostrada
abaixo, determine as equa¸c˜oes dinˆamica que regem o sistema.
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Princ´ıpio de
D’Alembert
Equa¸c˜oes de
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