Presentación correspondiente a una actividad académica de mi universidad sobre los números reales, la desigualdades y el valor absoluto de los números

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Experimental de Lara
Andrés Eloy Blanco

2. Conjuntos:
Un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto.
Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores,
letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está
definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número
primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}.
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En
particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el
orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por
ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes,
miércoles}.
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo,
verde, violeta, añil, azul}.
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es
infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho
elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de
manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos
en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de
manera informal, apelando a la intuición y a la lógica.
Operaciones con Conjuntos:
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos
conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
 Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A
∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los
conjuntos A y B.

3.  Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
 Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B
que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
 Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U
que lo contiene.
 Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y
B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o
bien a B, pero no a ambos a la vez.
 Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y
B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un
primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a
B.
Ejemplos:
{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0} {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
{5, z, ♠} {♠, a} = {5, z} {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

4. Números Reales:
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión
decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. El conjunto de los números
reales (denotado por R) incluye tanto los números racionales (positivos, negativos y el
cero) como los números irracionales; y en otro enfoque, a los trascendentes y a los
algebraicos. Los irracionales y los trascendentes no se pueden expresar mediante una
fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales
aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log(2), cuya trascendencia fue
enunciada por Euler en el siglo XVIII. Claramente, la propiedad de tener expansión
decimal periódica para los racionales la propiedad de tener expansión decimal no
periódica para los irracionales define dos tipo de números muy distintos. Lo que
significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos.
Desigualdades:
Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son
distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o
los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor
que"
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno
es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

5. Valor Absoluto:
El valor absoluto o módulo de un número real, denotado por (x), es el valor de (x) sin
considerar el signo, sea este positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3
y el valor absoluto de − 3 es 3. Algunos autores extienden la noción de valor absoluto a
los números complejos, donde el valor absoluto coincide con el módulo. El valor
absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Desigualdades con Valor Absoluto:
Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor absoluto, así
como también con los signos de valor absoluto. Por ejemplo, la expresión ∣x+5∣>2 es
una desigualdad con valor absoluto que contiene un signo “mayor que”.
Las siguientes son desigualdades con valor absoluto:
∣x + 1∣ < 3
∣x - 2∣ ≥ 5
∣x + 5∣ > 1
Los pasos para resolver desigualdades con valor absoluto son similares a los pasos para
resolver ecuaciones, con la diferencia que tenemos que tener en cuenta un poco de
información extra para resolver las desigualdades. Los siguientes pasos son reglas
generales que pueden seguirse para resolver desigualdades con valor absoluto:
Paso 1: Despejar completamente la expresión con el valor absoluto.
Paso 2: Resolver las versiones positivas y negativas de las desigualdades con valor
absoluto.
Cuando el número en el otro lado del signo de desigualdad es negativo,
concluimos que, o bien todos los números reales son soluciones o que la
desigualdad no tiene solución.
Cuando el número en el otro lado es positivo, procedemos a formar una
desigualdad compuesta al remover las barras del valor absoluto.
Paso 3: El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la desigualdad
compuesta a ser formada.
Si es que un problema contiene los signos “mayor que” o “mayor/igual que”,
forma una desigualdad compuesta de la siguiente manera:

6. (Valores dentro del signo de valor absoluto)< -(el número en el otro lado)
Ó
(Valores dentro del signo de valor absoluto)> (el número en el otro lado)
De igual forma, si es que un problema contiene signos menor que o menor/igual
que, forma una desigualdad compuesta de tres partes de la siguiente manera:
- (El número en el otro lado del signo)<(valores dentro del signo de valor
absoluto)< (el número en el otro lado del signo)
Paso 4: Resuelve las desigualdades.