teoría de los triángulos

1. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra
preparación tampoco”
Triángulos
Es aquel conjunto de puntos
pertenecientes a tres rectas secantes
que se interceptan dos a dos al unir tres
puntos no colineales.
Elementos:
Vértices: A; B y C
Lados: AB; BC y AC
Ángulos interiores: ; y  
Ángulos exteriores: x ; y ; z
Propiedades:
1. En todo triangulo la suma de las
medidas de sus ángulos interiores es
180º.
180º    
2. En todo triangulo la suma de las
medidas de sus ángulos exteriores es
360º.
x y z 360º  
3. En todo triángulo la medida de
un ángulo exterior es igual a la suma de
las medidas de dos ángulos del triángulo
no adyacentes a él.
x    
3. En todo triángulo la longitud de
uno de sus lados está comprendido entre
la suma y la sustracción de las longitudes
de los otros dos lados. Si: a b c 
b c a b c   



A
B
C
x
y
z



CA
B



A
B
C
x
y
z


A
B
C
x
a
bc

2. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra
preparación tampoco”
4. En todo triángulo se cumple que
a mayor lado se le opone mayor ángulo y
viceversa.
Si: a b c 
   
Clasificación de Triángulos:
I. Por sus lados
II. Por sus ángulos
a) Triángulo rectángulo:
Triángulo Oblicuángulo: Se clasifica
en:
a) Acutángulo:
90º 
90º 
90º 
b) Obtusángulo:
90º 
Propiedades:
1.
  x   
2.
m n
x
2


3.
m n a b  
a
bc



escaleno
equilátero
isosceles
A B
C




A
B

 x
C
A
B
C
m
n

 

x
m
n
ab

3. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra
preparación tampoco”
4.
a b m n  
5.
x y m n  
6.
 
Triángulos Notables:
a
m
n
b
x y
m
n
A
B
C


45º
45º
k
k k 2
30º
60º
k 3
k
2k
18,5º
71,5º
3k
k
k 10
26,5º
63,5º
2k
k
k 5
8º
k
82º
5k 2
7k
37º
53º
4k
3k
5k
16º
74º
24k
7k
25k

4. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra
preparación tampoco”
LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
LINEA NOTABLE PUNTO NOTABLE
Bisectriz Interior


I:Incentro
I
Bisectriz Exterior


E : Ex centro


Mediana
G : Baricentro
G
2a 2c
2b
b
ac
Altura
O : OrtocentroO
Mediatriz
C : CircuncentroC

5. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
Naturaleza de un Triángulo
Los valores de los lados de un triángulo deben cumplir con
ciertas condiciones:
Donde: a b a c  
Si:
2 2 2
a b c   El triángulo es acutángulo
2 2 2
a b c   El triángulo es acutángulo
2 2 2
a b c   El triángulo es obtusángulo
Propiedades en el triángulo isósceles
1. En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a su
base, este también cumple la función de bisectriz, mediana
y mediatriz.
2. La suma de las distancias de un punto cualesquiera de la
base en un triángulo isósceles a sus lados congruentes es
igual a cualquiera de las alturas congruentes.
x a b 
Consecuencia:
x a b 
Propiedades en el triángulo equilátero
1. En un triángulo equilátero los puntos notables coinciden en
un único punto
La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo
equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas
congruentes.
h a b c  
Propiedades en el triángulo rectángulo
1. En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y el
circuncetro pertencen a la mediana relativa hacia la
hipotenisa
2. En todo triángulo rectángulo la mediana relativa hacia la
hipotenusa trazada desde el vértice del ángulo recto es la
mitad de esta.
AC
BM
2

x

x 90º
2

 
x

x 90º
2

 

x
x
2


x      

 
x
A
B
C
b
c a
Bisectriz
Altura
Mediana
Mediatriz
Ceviana







a b
x
P
a b
x
P



ortocentro
incentro
baricentro
circuncentro





a
bc
h
A
Ortocentro
Baricentro
Circuncentro
B
CM
2a
3a 3a
a
A
B
CM

6. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
Congruencia de Triángulos
PRIMER CASO:
ALA (Angulo–Lado–Angulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes un lado
y los ángulos adyacentes a él.
ABC A 'B'C'  
SEGUNDO CASO:
LAL (Lado–Ángulo–Lado)
Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos
lados y el ángulo comprendido entre ellos.
ABC A 'B'C'  
TERCER CASO:
LLL (Lado–Lado–Lado)
ABC A 'B'C'  
Cuarto Caso:
LLAm (Lado–Lado–Ángulo mayor)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor.
ABC A 'B'C'  
Teorema de la base media
En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de
dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a su
mitad.
AC 2MN
AC // MN
Teorema de la Bisectriz
* Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista
de los lados del ángulo
* La distancia del vértice “O” hacia los pies de las
perpendiculares son congruentes
PQ PR
OQ OR
Teorema de la Mediatriz
Si L es Mediatriz de AB y P es un punto cualquiera de L,
entonces se cumple que:
PA PB
ESTUDIO VIRTUAL
 https://www.youtube.com/watch?v=UcLiO6yLJ3s
 http://cepre.uni.edu.pe/pdf/TRIANGULOS.pdf
 https://mundogeometria.wordpress.com/category/ni
vel/examen-de-admision-uni/
 http://www.monografias.com/trabajos-
pdf5/geometria-ejercicios-practicos/geometria-
ejercicios-practicos2.shtml
LIBROS PRE UNIVERSITARIOS DE TODAS LAS
ÁREAS PARA DESCARGAR
 http://www.academiaauge.com/recursos/categorias/
libros-preuniversitarios-en-pdf-/libros-
preuniversitarios-en-pdf-
 https://www.yumpu.com/es/document/view/1406823
8/libro-de-geometria-preuniversitaria-nivel-uni-click-
aqui-para-ver
EXAMENES VIRTUALES
 http://publimetro.pe/vida-estilo/noticia-test-intenta-
resolver-estas-preguntas-examen-admision-
universidad-san-marcos-43759
 http://pruebasvirtualespta.blogspot.pe/p/simulacro-
matematicas-quinto.html
 http://www.ugr.es/~jsalinas/Exa1pvir.htm
 http://virtual.unsa.edu.pe/simulacro/examen/simulac
ro.php
Un logro espectacular esta siempre precedido por una preparación
espectacular
 
A
B
C
 
A'
B'
C'



A
B
C

A'
B'
C'

A
B
C A'
B'
C'

A
B
C A'
B'
C'


A
B
C
M N
P
Q
R
O
A B
P
L

7. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”