LABERINTOS DE DISCIPLINAS DEL PENTATLÓN OLÍMPICO MODERNO. Por JAVIER SOLIS NO...
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1. “Ser Claretiano, es ser cada día mejor”
4S
Tema: CUADRILÁTEROS
Es aquel polígono que tiene cuatro lados.
Los cuadriláteros pueden ser:
A. CUADRILÁTERO CONVEXO
Cuando sus ángulos interiores son convexos,
se cumple que:
𝛼 + 𝛽 + 𝜃 + 𝜌 = 360
B. CUADRILÁTERO NO CONVEXO
Cuando tiene por lo menos un ángulo no
convexo (mayor de (90∘), también se le
llama cuadrilátero cóncavo.
𝑥 = 𝛼 + 𝛽 + 𝜃
C. CUADRILÁTERO ALABEADO
Es aquel cuyos puntos se encuentran en dos
o más planos.
CLASIFICACIÓN DE LOS
CUADRILÁTEROS CONVEXOS
1. TRAPEZOIDE
No tiene lados paralelos. Pueden ser:
A) Trapezoide Asimétrico.
Cuando todos sus lados tienen diferente
longitud.
B) Trapezoide Simétrico.
Llamado también trapezoide bisósceles
o contraparalelogramo.
2. TRAPECIO.
Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados
opuestos paralelos.
Elementos:
a) Bases:
BC
̅̅̅̅ y AD
̅̅̅̅(BC
̅̅̅̅//AD
̅̅̅̅)
b) Altura: BH
̅̅̅̅
c) Mediana:
MN
̅̅̅̅̅(MN
̅̅̅̅̅//BC
̅̅̅̅//AD
̅̅̅̅) ∧ MN =
BC + AD
2
d) El segmento que une los puntos medios
de las diagonales : 𝑃𝑄 =
𝐴𝐷
𝟐
− BC
MATEMÁTICA - I BIMESTRE
Mar. - 2023
2. Matemática 4°
I BIMESTRE – Mar. - 2023 2
CLASES DE TRAPECIOS:
A) Trapecio Escaleno.
Es aquel cuyos lados no paralelos son
diferentes.
B) Trapecio Isósceles.
Es aquel cuyos lados paralelos son
congruentes.
C) Trapecio Rectángulo.
Es aquel en el que uno de los lados no
paralelos es la altura del trapecio.
3. PARALELOGRAMO.
Es aquel cuadrilátero que tiene sus lados
opuestos paralelos y congruentes.
Características:
• AB
̅̅̅̅//CD
̅̅̅̅; AB
̅̅̅̅ ≅ CD
̅̅̅̅
• BC
̅̅̅̅//AD
̅̅̅̅; BC
̅̅̅̅ ≅ AD
̅̅̅̅
• AO = OC; BO = OD
• AC
̅̅̅̅ ≠ BD
̅̅̅̅
• < A ≅< C; < B ≅< D
• 𝛼 + 𝜃 = 180
CLASES DE PARALELOGRAMOS:
A) Rectángulo (Cuadrilongo)
También llamado cuadrilongo, es aquel
paralelogramo cuyos ángulos interiores
miden 90∘
, sus diagonales son iguales y
se bisecan (cortan en su punto medio).
Sus lados opuestos son iguales.
B) Rombo (Losange)
También llamado Losange, es aquel
paralelo-gramo cuyos lados tienen igual
longitud, sus diagonales se cortan
perpendicularmente, se bisecan y son
bisectrices de sus ángulos interiores.
C) Cuadrado
Es aquel paralelogramo que tiene sus
lados de igual longitud, sus ángulos
interiores miden 90∘
; sus diagonales son
iguales. Se cortan perpendicularmente,
se bisecan y son bisectrices de sus
ángulos interiores.
D) Romboide
Es el paralelogramo propiamente dicho.
3. Matemática 4°
3 I BIMESTRE – Mar. - 2023
PROPIEDAD GENERAL
Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrilátero cualquiera,
entonces se cumple que:
• MNLF es un Paralelogramo.
• El perímetro (2p) del cuadrilátero MNLF
es: AC + BD
Observación:
• AC = BD ⇒ MNLF es un Rombo
• AC
̅̅̅̅ ⊥ BD
̅̅̅̅ ⇒ MNLF es un Rectángulo
• AC = BD y AC
̅̅̅̅ ⊥ BD
̅̅̅̅ ⇒ es un Cuadrado.
PROBLEMASPROPUESTOS
1. En un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 =
13, las bisectrices interiores de los ángulos
𝐴 y 𝐵 se cortan en el punto F. Encuentra la
distancia de F al punto medio del lado CD.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 10,5
E) 12
2. En un paralelogramo ABCD, la bisectriz
interior del ángulo A interseca al lado BC
̅̅̅̅ en
el punto F. Halla la distancia entre los
puntos medios de AF
̅̅̅̅ y CD
̅̅̅̅, si AB = 6 y FC =
4
A) 5
B) 8
C) 7
D) 10
E) 6
3. Uno de los ángulos interiores de un trapecio
isósceles mide 45∘
, su base menor mide 6 y
la altura del trapecio mide 4. Calcula la
longitud de la base mayor.
A) 10
B) 12
C) 14
D) 18
E) 20
4. En el trapecio ABCD, MN
̅̅̅̅̅ es su mediana.
Halla EN.
A) 3
B) 5
C) 2
D) 4
E) 2,5
5. Determina " 𝑥 " si ABCD es un rectángulo,
BEFC es un paralelogramo.
A) 100∘
B) 110∘
C) 105∘
D) 120∘
E) 135∘
6. Encuentra DH, los rectángulos ACDF y
ABHG son congruentes, además CB = 2 ⋅
BA = 8.
A) 4√2
B) 8√2
C) 8
D) 8√3
E) 6√2
7. Calcula " 𝑥 ", si ABCD es un rombo 𝑦 CDEF
es un cuadrado.
A) 10∘
B) 20∘
C) 15∘
D) 18∘
E) 25∘
4. Matemática 4°
I BIMESTRE – Mar. - 2023 4
8. Calcula " 𝑥 " en el paralelogramo ABCD, si
ED = DC = 5.
A) 7∘
B) 8∘
C) 6∘
D) 5∘
E) 12∘
9. Encuentra la relación de las bases de un
trapecio, la relación de la mediana y del
segmento que une los puntos medios de las
diagonales es de 3 a 2.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
10. En un trapecio isósceles, sus lados no
paralelos y su base menor son congruentes,
si la medida de uno de los ángulos interiores
es 60∘
y la base mayor mide 12. Encuentra
la longitud de la base menor.
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
11. En un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵 = 6, sobre
el lado 𝐶𝐷
̅̅̅̅ se toma su punto medio 𝑀 de
modo que m < ABD = 90∘
y 𝐵𝑀 = 4.
Calcula 𝐴𝐷.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
12. La bisectriz interior del ángulo 𝐴 de un
paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 corta al lado 𝐵𝐶
̅̅̅̅ en 𝐹,
si 𝐴𝐵 = 8, encuentra la distancia entre los
puntos medios de AC
̅̅̅̅ y FD
̅̅̅̅.
A) 2
B) 4
C) 6
D) 3
E) 1
13. En un trapecio ABCD, BC
̅̅̅̅//AD
̅̅̅̅, m < A =
82∘
,m < D = 16∘
, BC = 4, CD = 14.
Encuentra AD.
A) 10
B) 20
C) 24
D) 28
E) 18
14. El lado de un cuadrado es el cuádruplo del
lado de un rombo, la suma de los perímetros
de los dos cuadriláteros es 80. Calcula el
perímetro del cuadrado.
A) 20
B) 32
C) 40
D) 42
E) 64
15. Determina la relación de las bases de un
trapecio, si el segmento que une los puntos
medios de las diagonales es congruente con
la base menor.
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
3
2
E)
3
4
16. Los perímetros de los paralelogramos
𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐺𝐻 y FECD son 100; 78 y 84.
Calcula FH, si 𝐴𝐵 = 10.
A) 17
B) 18
C) 21
D) 24
E) 31
17. En la figura, A es un cuadrado, B es un
triángulo equilátero y C es un rombo.
Calcula: Perímetro de A + 2 Perímetro de B
Perímetro de C - Perímetro de B
A) 8
B) 2
C) 4
D) 10
