El documento presenta una evaluación de Matemática Discreta que consta de 6 ejercicios. El examen tendrá una duración de 90 minutos y se calificará el procedimiento y la respuesta. Los estudiantes deberán grabar el archivo en formato PDF con su nombre completo y DNI. Los ejercicios incluyen determinar propiedades de una relación, construir matrices de adyacencia y de incidencia para grafos y digrafos, resolver problemas sobre rutas de transporte escolar usando grafos, aplicar algoritmos como Prim y Dijkstra, y resolver ejerc

1. PRODUCTO ACADÉMICO Nº 3 2021-10 Página 1
MATEMÁTICA DISCRETA
Producto Académico Nº 3 2021-10
Semipresencial – Programa Distancia
Asignatura
Matemática Discreta
Datos personales: Ingrese nombre y apellidos.
1. Consideraciones:
Criterio Detalle
Tiempo
aproximado:
Duración 90 minutos
Resultado de
Aprendizaje
de la
Asignatura
Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar
estructuras discretas
elementales para el planteamiento y solución de problemas
de ingeniería.
Instrucciones
para la
resolución de
la evaluación
1) El examen tendrá una duración de 90 minutos.
2) El procedimiento y respuesta se tomará en cuenta para la
calificación.
3) Desarrolla en forma ordenada y con letra legible, evite
borrones y/o enmendaduras.
4) Utilice calculadora, formularios dispuestos por la
asignatura.
5) Grabar el archivo en formato PDF con el siguiente formato:
apellidos y nombres completos, dni.
6) Se aceptarán otros formatos, *.doc, *.jpg, *. png y *.gif,
siempre y cuando lo conviertas a pdf.
7) Los archivos *.rar, *.zip, no se aceptarán, dado que la
evaluación se tiene que calificar y remitir a los estudiantes.
1. Sea 𝐴 = {1, 2, 3, 4} Determine las propiedades de la siguiente relación:
R = {(1, 3), (1, 1), (3, 1), (1, 2), (3, 3), (4, 4)} (3 puntos)
2. En base al grafo del enunciado, determine la matriz de adyacencia y la
matriz de incidencia (3 Puntos)

2. PRODUCTO ACADÉMICO Nº 3 2021-10 Página 2
MATEMÁTICA DISCRETA
3. En un colegio X hay alumnos de tres pueblos A, B y C. La distancia entre A y
B es 10 km, la de B a C es 9 km, la de A a C es 12 km y la de A a X es 9 km.
Una empresa de transporte escolar hace dos rutas; la ruta 1 parte de B y
recorre C, A y X. La ruta 2 parte de C y recorre B, A y X.
a) Dibujar el grafo y su matriz de adyacencia, pero con sus ponderaciones.
(1 Punto)
b) Determinar una matriz de 2x3, que guarde las distancias de cada
pueblo al colegio X por cada ruta. (1 Punto)
c) La cantidad de alumnos que se suben al bus en cada ruta es:
o Pueblo A: 10 alumnos en la ruta 1 y 15 en la ruta 2.
o Pueblo B: 9 alumnos en la ruta 1 y 11 en la ruta 2.
o Pueblo C: 8 alumnos en la ruta 1 y 6 en la ruta 2.
Determinar una matriz de 3x2 que guarde la cantidad de alumnos que
siguen cada ruta en cada pueblo. (1 Punto)
d) Suponiendo que se cobra a cada alumno 85 centavos por km recorrido,
determinar cuál es la ruta que más le conviene a la empresa y por qué.
Finalmente, a la empresa le conviene la ruta 1 ya que se cobrará por
kilómetros. (1 Punto)
4. Teniendo el siguiente gráfico
Determine el árbol recubridor de coste mínimo utilizando el Algoritmo de Prim.
(3 Puntos)

3. PRODUCTO ACADÉMICO Nº 3 2021-10 Página 3
MATEMÁTICA DISCRETA
5. Del siguiente grafo
a. Determine la matriz de Dijkstra de “1” hasta “4”. (2 puntos)
b. Determine el sub-grafo del camino más corto aplicando el
Algoritmo de Dijkstra. (1 punto)
c. Determine el peso total (1 punto)
6. Resuelve ejercicio de recorrido de árboles:
Encuentre el recorrido de árboles Pre-Order, Post-Order, In- Order y de
Anchura (3 puntos)

4. Matemática Discreta
Sesión 5 Relaciones Internas
Mgº Juan Alberto Lira Mamani
Docente – Universidad Continental
jlira@continental.edu.pe
WhatsApp 973602676

5. RELACIONES INTERNAS
PROPÓSITO
El Estudiante:
Estará en la capacidad de reconocer la diferencia entre una relación
binaria y una relación interna a través de una guía de practicas
Utiliza los conceptos de la lógica proposicional para desarrollar
ejercicios utilizando matrices booleanas
Demuestra todo lo aprendido a través de la aplicación de una prueba
de desarrollo.
Mgº Juan Lira

6. RELACIONES INTERNAS
¿Qué es una relación interna?
Es una relación definida en el mismo conjunto:
R: A  A ; R  AXA
¿que necesitamos saber para identificar una relación?
PAR ORDENADO. Es un objeto matemático de la forma (a, b)
PRODUCTO CARTESIANO. Dados dos conjuntos A y B
diferentes del vacío, el producto cartesiano de AXB es el
conjunto de pares ordenados (x, y) donde x  A  y  B
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7. Mgº Juan Lira

8. Mgº Juan Lira

9. MATRIZ DE ADYACENCIA - GRAFOS
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10. MATRIZ DE INCIDENCIA - GRAFOS
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11. Mgº Juan Lira

12. MATRIZ DE ADYACENCIA - DIGRAFOS
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13. MATRIZ DE INCIDENCIA - DIGRAFOS
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14. ¿Cuál es la diferencia con las relaciones
binarias?
La forma como se grafica. Mientras que las relaciones
binarias se grafican utilizando un plano cartesiano, en
cambio las relaciones internas a parte de graficarse en un
producto cartesiano, también es un conjunto de vértices y
aristas.
La interpretación de cada grafica respectivamente.
Las aplicaciones dentro de las ramas de la ingeniería
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15. Mgº Juan Lira

16. MATRICES BOOLEANAS
• ¿Qué son las matrices booleanas?
Son arreglos rectangulares cuyos elementos son solamente
ceros y unos.
• .¿Qué propiedades tienen las matrices booleanas?
• Permiten representar una relación interna.
• Permiten graficar un conjunto
•Permiten realizar operaciones de conjunción, disyunción y
producto booleano.
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17. Mgº Juan Lira

18. Mgº Juan Lira

19. DOMINIO RANGO Y MATRIZ DE UNA RELACIÓN
Mgº Juan Lira

20. MATRIZ DE UNA RELACIÓN
Mgº Juan Lira

21. GRÁFICA DE LAS RELACIONES
INTERNAS
• La grafica de una relación interna es un conjunto de
vértices y aristas, donde los vértices representan los
elementos del conjunto referencial y las aristas son los
pares ordenados respectivos.
• A través de las matrices booleanas podemos encontrar
la grafica de una relación interna, considerando que los
elementos de esta matriz que son unos (1) corresponden
a la grafica y los ceros (0) no.
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22. Mgº Juan Lira

23. Mgº Juan Lira

24. PRODUCTO MATRICIAL BOOLEANO
Mgº Juan Lira

25. PRODUCTO MATRICIAL BOOLEANO
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26. Ingº Juan Lira

28. Matemática Discreta
Sesión 5 Relaciones Internas 1
Mgº Juan Alberto Lira Mamani
Docente – Universidad Continental
jlira@continental.edu.pe
WhatsApp 973602676

29. RELACIONES INTERNAS I
PROPÓSITO
El Estudiante:
Estará en la capacidad de reconocer la diferencia entre una relación
binaria y una relación interna a través de la aplicación de ejemplos y
de una guía de practicas
Utiliza los conceptos de la lógica proposicional para desarrollar
ejercicios con matrices booleanas
Demuestra todo lo aprendido a través de la aplicación de una prueba
de desarrollo.
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30. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
INTERNAS
1. Propiedad Reflexiva. (x  A) (x,x)  R
2. Propiedad No-Reflexiva. (x  A) (x,x)  R
3. Propiedad A-Reflexiva. (x  A) (x,x)  R
4. Propiedad Simétrica. Una relación es simétrica si para cada
par ordenado de la forma (x,y) que pertenece a la relación,
entonces el par ordenado (y,x) tambié pertenece a la
relación.
Definición simbólica:
(x,y) (x R y  y R x)
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31. 5. Propiedad Antisimetrica. Una reaction es antisimetrica is para
cada par ordenado de la forma (x,y) que pertenece a la
relación, entonces el par ordenado (y,x) no pertenece a la
relación, sin embargo acepta bucles.
Definición simbólica:
(x,y)  R  (y,x)  R
6. Propiedad Transitiva. Una relación es transitiva si para cada
par ordendo de la forma (x,y) pertenece a la relación, y (y,z)
pertenece a la relación, entonces el par ordenado (x,z)
tambien debe pertenecer a la relación
(x,y,z  A) {[(x,y)  R  (y,z)  R]  (x,z)  R}
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32. RELACIONES DE EQUIVALENCIA. Una relacion es de equivalencia si simultaneamente
es reflexiva, simetrica y transitiva.
Ejemplo: en el campo de los numeros reales la relacion de igualdad es de
equivalencia.
RELACIONES DE ORDEN. Una relacion es de orden si simultaneamente es reflexiva
antisimetrica y transitiva.
Ejemplo: La relacion de inclusion.
DIAGRAMAS DE HASSE. Son diagramas simplificados para relaciones de orden parcial.
Procedimiento para graficar diagramas de Hasse:
• a) No se dibujan los bucles (una relación de orden parcial es reflexiva).
• b) Se eliminan las líneas implicadas por la transitividad.
• c) Las líneas van de abajo hacia arriba.
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33. EJEMPLO - DIAGRAMA DE HASSE
Mgº Juan Lira

34. Mgº Juan Lira
EJEMPLO - DIAGRAMA DE HASSE

35. ELEMENTOS NOTABLES DE UNA
RELACIÓN
• 1. Maximal. Un elemento a  A es un maximal de A  no existe un
elemento c  A / a < c
• Ejemplo:
Maximal: a,b
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36. 2. Minimal. Un elemento a  A es un minimal de A  no existe un elemento
c  A / c < a
Ejemplo:
Minimal: g, i
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37. 3. Máximo. Un a es un elemento máximo de A  (xA) x  a
Ejemplo:
Máximo: a
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38. 4. Minimo. Un a es un elemento mínimo de A  (am) a  x
Ejemplo:
Mínimo: g
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39. • 5. Cota Superior. Sea A un conjunto parcialmente
ordenado y B un subconjunto de A:
- Un a  A es una cota superior de B si: (xB) x  a
- Ejemplo:
- Para B = { c, e, f } la cota superior es: a, c
•
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40. • 6. Cota Inferior. Sea A un conjunto parcialmente ordenado y B un
subconjunto de A:
- Un a  A es una cota inferior de B si: (xB) a  x
- Ejemplo:
Para B = { c, e, f } la cota inferior es: h, i
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41. • 7. Supremo. Un elemento a  A es supremo (mínima cota
superior) de B, si a es cota superior de B y c también es
cota superior de B, entonces a  c
• Ejemplo:
• Supremo: c
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42. • 7. Ínfimo. Un elemento a  A es ínfimo (máxima cota inferior) de B, si a es
cota inferior de B y c también es cota inferior de B, entonces c  a
• Ejemplo
Ínfimo: h
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43. RESUMEN ELEMENTOS NOTABLES DE UNA RELACIÓN
Mgº Juan Lira

44. Mgº Juan Lira

45. Mgº Juan Lira

46. Mgº Juan Lira

47. Ingº Juan Lira