1. EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA
ALGEBRA ELEMENTAL
Clase Nº 3: MATRICES
Prof. Christian Farinango
www.eduvirtual.tk
08/11/2010
Las matrices se aplican en diferentes situaciones: EL control de inventario de una fábrica,
análisis de costo de una empresa, optimización de los recursos de una industria, análisis de
circuitos eléctrico en física, etc. Este documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto
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2. Matrices:
1. Definición.- Arreglo rectangular de números reales (R) en filas y columnas.
ܣ = ቂ
ܽଵଵ ܽଵଶ
ܽଶଵ ܽଶଶ
ቃ
Ejemplo: ܣ = ቂ
5 1
7 2
ቃ
Dónde:
i= i-ésima fila o reglón.
j= j-ésima columna.
Así tenemos que el número 5se encuentra en la fila 1 y columna 1.
2. DIMENSIÓN U ORDEN DE UNA MATRIZ.
ܣ = ቂ
5 1
7 2
ቃ ; MATRIZ Aij TIENE UNA DIMENSIÓN DE 2x2
ܤ = ቂ
1 0 3
2 1 0
ቃ ; MATRIZ Bij TIENE UNA DIMENSIÓN DE 2x3
ܥ =
0 1
7 2
3 8
൩; MATRIZ Cij TIENE UNA DIMENSIÓN DE 3x2
3. TIPOS DE MATRICES.
a. MATRIZ VECTOR: 1 FILA o 1 COLUMNA
= ሾ −ሿ
=
−
൩
aij
FILA
COLUMNA
3. b. MATRIZ CUADRADA: Mismo número de filas y columnas.
(Forma un cuadrado)
ܣ = ቂ
5 1
7 2
ቃ MATRIZ A TIENE UNA DIMENSIÓN DE 2x2
ܤ ൌ
3 െ3 3
2 0 1
4 1 2
൩ MATRIZ B TIENE UNA DIMENSIÓN DE 3x3
c. MATRIZ RECTANGULAR: Diferente número de filas y columnas.
ൌ
െ
൩ MATRIZ B TIENE UNA DIMENSIÓN DE 3x1
ൌ ሾ െሿ MATRIZ C TIENE UNA DIMENSIÓN DE 1x2
d. MATRIZ NULA O CERO: Todos los números son ceros.
ܤ ൌ
0 0 0
0 0 0
0 0 0
൩
ࡲ ൌ
൩
e. MATRIZ TRIANGULAR: Forman un triángulo con ceros y es CUADRADA.
ܤ ൌ
5
1 3
1 2 4
൩ ܩ ൌ
0 7 5
3 1
െ1
൩
ܹ ൌ
0 4 5
1 3
2
൩ ܻ ൌ
7
3 1
െ1 0 4
൩
f. MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada con los números iguales
respecto a la diagonal principal.
ܩ ൌ
4 7 5
7 1 0
5 0 3
൩
g. MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada con su diagonal principal
diferente de cero (puede haber un cero pero no todos).
ܤ ൌ
െ1 0 0
0 4 0
0 0 2
൩
4. h. MATRIZ ESCALAR: Una matriz diagonal con sus elementos iguales.
ܤ ൌ
5 0 0
0 5 0
0 0 5
൩
i. MATRIZ IDENTIDAD: Una matriz diagonal IIIIcon sus elementos igual a 1.
۷ ൌ ቈ
1 0 0
0 1 0
0 0 1
j. MATRIZ TRANSPUESTA: La fila se transforma en columna.
ܣ ൌ ቂ
3 0 െ1
1 2 4
ቃ
ܣ்
ൌ
3 1
0 2
െ1 4
൩
k. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Una matriz cuadrada con los números
opuestos respecto a la diagonal principal.
ܩ ൌ
4 7 െ5
െ7 1 െ1
5 1 3
൩
Fila 1
Fila 2
Columna
1
Columna
2
6. EJERCICIOS Nº 1
1.) ൌ
െ
ૠ ૡ െ
൩ y ൌ
െ
൩, encuentre:
a. A+B
b. A-B
c. B+A
d. B-A
e. Explique porque el resultado de A+B es Igual B+A
2.) ൌ
െ
y ࡰ ൌ
ି
ૡ
, encuentre:
a. C+D
b. C-D
c. D+C
d. D-C
e. Explique porque el resultado de C+D es Igual D+C
3.) ࡱ ൌ
, ,
, െ,
൨ y ࡲ ൌ
, ,
െ, ,
൨, encuentre:
a. E+F
b. E-F
c. F+E
d. F-E
e. Explique porque el resultado de E+F es Igual F+E
4.) ࡳ ൌ ቈ
, ૡ
ૠ
െ
y ࡴ ൌ
ૠ
,
, encuentre:
a. G+H
b. G-H
c. H+G
d. H-G
e. Explique porque el resultado de G+H es Igual H+G
7. 2. Multiplicación De Matrices:
a. Multiplicación por un escalar.- Se multiplica el numero escalar por todos los
elementos de la matriz.
Ejemplo:
ቂ
ቃ ൌ ቂ
. .
. .
ቃ ൌ ቂ
ቃ
b. Multiplicación ENTRE Matrices.- Se multiplica FILA POR COLUMNA.
ࡱ ൌ ቂ
ቃ y ࡲ ൌ ቂ
ቃ
ࢋୀ࢞ ࢌୀ࢞
Las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz.
Ejemplo 1:
ࡱ ൌ ቂ
ቃ y ࡲ ൌ ቂ
ቃ
ࡱ. ࡲ ൌ ቂ
. + .
. + .
ቃ
ࡱ. ࡲ ൌ ቂ
+
ૡ +
ቃ
ࡱ. ࡲ ൌ ቂ
ቃ
Ejemplo 2:
ൌ ቂ
െ
ቃ y ࡲ ൌ ቂ
െ
ቃ, Se cumple la condición: Número de Columnas
primera matriz = Número de Filas segunda matriz.
. ࡲ ൌ
. + (െ. ) . + (െ)(െ)
. + . . + (െ)
൨
. ࡲ ൌ
+ (െ) +
ૢ + + (െ)
൨
. ࡲ ൌ
െ +
ૢ + െ )
൨
. ࡲ ൌ ቂ
െ
ૢ
ቃ
8. Ejercicios Nº 2:
i) Multiplique (AxB) las siguientes matrices y escriba que clase de matriz
es:
ൌ ቂ
ቃ y ൌ ቂ
െ
െ
ቃ
ii) Compruebe si el resultado de CxD da como resultado una matriz de
dimensión 2X1.
ൌ ቂ
ቃ y ࡰ ൌ ቂ
െ
ቃ
iii) Multiplique.
ࡱ ൌ ቈ
െ
y ࡲ ൌ
iv) De las siguientes matrices:
ൌ ቂ
ቃ y ൌ ቂ
െ
ቃ
Demuestre que: + ൌ ቂ
ቃ
v) Multiplique la siguiente matriz por su escalar:
ࡳ ൌ ቈ
െ
Escalar =
ࡳ ൌ?
9. Referencias:
MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –
Argentina, Volumen I, 1991.
SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado I, Printer-GO, Quito-Ecuador, 2007.
SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado II, Printer-GO, Quito-Ecuador,
2007.
http://fooplot.com, Trazador de ecuaciones online.
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