Guía de matemáticas Bloque 1 segundo garado

1
MATEMÁTICAS 2
GUÍA DE CLASE
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Esta guía pertenece a ___________________________________________________
Escuela Secundaria _____________________________________________________
Respetables alumnos y padres de familia:
Esta guía de clase se ha elaborado con las sugerencias de los Profesores de
Matemáticas de la Región Centro de Chihuahua, con el fin de apoyar en el estudio a
nuestros alumnos, de tal manera, que puedan utilizarla como la base de los
conocimientos y habilidades que en clase deben adquirir.
Es importante que en el trabajo de iniciación se promueva el esfuerzo individual de los
alumnos, así como el trabajo colaborativo para llegar al conocimiento, en ocasiones con
explicaciones sencillas del profesor y promoviendo que todos los alumnos hagan
aportaciones para la solución de los problemas, ya que el aprendizaje solamente es
adquirido de manera individual. Recordemos que no es el médico el que sana, es el
paciente, así mismo, no es el maestro el que aprende, es el alumno, con su muy particular
aptitud, interés, dedicación, esfuerzo, responsabilidad, participación, etcétera.
Una catedrática de la Universidad decía a sus alumnos:
“Nada se aprende, nada se enseña, si no es por la repetición y el ejercicio. Son
necesarios cientos, miles de ensayos para aprender verdaderamente lo que se estudia. Si
por orgullo o pereza nos olvidamos de esta necesidad, nuestra ineptitud nos hará
aprender duramente que la naturaleza no se deja violentar o apresurar”.
¡ÉXITO!
SUGERENCIAS PARA EL USO DE LA GUÍA
Lee y
comprende
los conceptos
que vienen
encerrados
en los
recuadros.
Escribe
un
resumen
de lo
que leas.
Memoriza los
conocimientos
que se
necesiten
memorizar.
Resuelve las
actividades
de clase de
la guía.
Comparte los
conocimientos
con tus
compañeros.

1
ÍNDICE
BLOQUE 1 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Problemas
multiplicativos
• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la
misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número
natural a una potencia de exponente negativo.
4
10
Figuras y cuerpos
• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos
rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las
relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos
y paralelogramos.
• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las
condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
15
23
Medida • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras
compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
26
Proporcionalidad
y funciones
• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como
aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje
representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad
conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés
compuesto.
30
34
Nociones de
probabilidad
• Comparación de dos o más eventos de azar a partir de sus resultados
posibles, usando relaciones como: “es más probable que…” “es menos…”
36
Análisis y
representación
de datos
• Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles
para comparar dos conjuntos de datos.
38
Problemas
aditivos
• Resolución de problemas que impliquen suma de monomios y
polinomios.
• Resolución de problemas que impliquen resta de monomios y
polinomios.
41
45
Problemas
multiplicativos
• Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a
partir de empleo de modelos geométricos.
48
Medida
• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos,
prismas y pirámides rectos.
• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides
rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las
relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.
51
55
Proporcionalidad
y funciones
• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa
mediante diversos procedimientos.
59
Nociones de
probabilidad
• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un
acercamiento a la probabilidad frecuencial.
62
Problemas
multiplicativos
• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las
operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos
con números enteros, decimales y fraccionarios.
• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de
expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
65
68
Figuras y cuerpos
• Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos
interiores de cualquier polígono.
• Análisis y explicitación de las características de los polígonos que
permiten cubrir el plano.
74
76

1
Medida • Relación entre el decímetro cúbico y el litro 80
Proporcionalidad
y funciones
• Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad
y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que
intervienen en dicha relación.
81
Análisis y
representación
de datos
• Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o
en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el
caso y análisis de la información que proporcionan.
• Análisis de propiedades de la media y mediana.
89
92
Patrones y
ecuaciones
• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas
algebraicas que las definen. Obtención de la regla general en lenguaje
algebraico de una sucesión.
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución
de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con
paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando
coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.
97
103
Medida • Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis
de sus relaciones.
112
Proporcionalidad
y funciones
• Análisis de las características de una gráfica que representa una relación
de proporcionalidad en el plano cartesiano.
• Análisis de situaciones problemáticas asociados a fenómenos de la
física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe
variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la
variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma
y = ax + b
116
123
Análisis y
representación
de datos
• Resolución de situaciones de medias ponderadas. 126
Patrones y
ecuaciones
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución
de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el
método más pertinente. Suma y resta, igualación o sustitución.
• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con
coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus
gráficas con la solución del problema.
129
137
Figuras y cuerpos
• Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y
explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como
triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
144
Medida • Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos,
el área de sectores circulares y de la corona.
150
Proporcionalidad
y funciones
• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a
diversos fenómenos.
• Análisis de los efectos al cambiar la función y = mx + b en la gráfica.
155
157
Nociones de
probabilidad
• Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica)
al realizar muchas veces un experimento aleatorio.
160
Hay dos clases de persona - me dijo en cierta ocasión mi abuelo – los que
trabajan y los que se adjudican el mérito. Él me aconsejó que tratara de estar
en el primer grupo, ya que es ahí donde hay menos competencia.

1
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
CONOCIMIENTOS
MULTIPLICACIÓN DE NÚMERO ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS
PROBLEMA: Observa las siguientes tablas de multiplicación, en donde el producto va
disminuyendo en la primera tabla y aumentando en la segunda. Deduce las leyes de los
signos de la multiplicación.
POR +3 +2 +1 0 -1 -2 -3
+5 15 10 5 0 -5 -10 -15
POR +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3
-3 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9
Con base en las multiplicaciones anteriores completa lo siguiente:
Si multiplicamos dos números del mismo signo el resultado tiene signo ____________
Si multiplicamos dos números de diferente signo el resultado tiene signo ___________
Las leyes de los signos de la multiplicación son las siguientes:
a) Un número entero positivo por otro positivo, el resultado es positivo: (+5)(+3) = +15
b) Un número entero positivo por otro negativo, el resultado es negativo: (+5)(-3) = -15
c) Un número entero negativo por otro positivo, el resultado es negativo: (-3)(+5) = -15
d) Un número entero negativo por otro negativo, el resultado es positivo: (-3)(-3) = + 9
FORMAS DE REPRESENTAR UNA MULTIPLICACIÓN
Con el signo por: 5 x -3 = Con un punto: 5 • -3 = Con paréntesis: (5) (-3) =
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa las tablas de multiplicar y escribe enseguida las leyes de los signos.
POR 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
7
POR 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
-5
2.- Calcula los siguientes productos aplicando las leyes de los signos.
Leyes de los signos de la multiplicación
( + )( + ) = ____ ( + )( - ) = ____ ( - )( - ) = ____ ( - )( + ) = ____
BLOQUE 1

1
(+4)(+2) = ______
(+4)(+1) = ______
(+4)(0) = ______
(+4)(-1) = ______
(+4)(-2) = ______
3.- Usa números positivos y negativos para representar cada situación con multiplicación.
En el futbol americano, 5 fauls de 4 yardas cada uno: (5)( ) = -20
Sueldo de 2 días de trabajo por $250 cada uno:…..._______________________
3 pérdidas de $50 cada una:……………….………..._______________________
4 fauls de 15 yardas cada uno:………………………._______________________
Aumento de 5 veces la temperatura 4°C:………….._______________________
4.- Resuelve los siguientes problemas y escribe el resultado correcto.
(-3)(+4) = ______
(-3)(+3) = ______
(-3)(+2) = ______
(-3)(1) = ______
(-3)(0) = ______
(4)(-20) = ______
(-10)(+3) = ______
(3)(-1) = ______
(-4.5)(3) = ______
(-8)(0) = ______
1.- En un juego de azar, una persona perdió
$90 cuatro veces seguidas y en siete ocasiones
ganó $60 cada vez.
¿Cuál es el estado de sus cuentas?_______
2.- En una mina, una calesa baja a razón de 7
metros por segundo. ¿Dónde se hallará a los
10 segundos con respecto al nivel de la
estación?_____________
3.- El producto de dos números es -25.
Si esos dos números son multiplicados por -8,
¿cuál será el nuevo producto?___________
4.- Pensé un número. Al multiplicarlo por -6 y
enseguida restarle 42 obtuve 0.
¿Qué número pensé?__________
5.- ¿Qué números multiplicados da +16 y
sumados resulta +8?
_____ y _____
6.- ¿Qué números multiplicados da 10 y sumados
resulta +7?
_____ y ______
7.- ¿Qué números multiplicados da 6 y sumados
resulta -5?
_____ y _____
8.- ¿Qué números multiplicados da -20 y
sumados resulta 1?
_____ y _____
9.- Rosa compró 4 kilos de manzanas y 5 kilos de
naranjas. El kilo de manzana cuesta $18 y el kilo
de naranja cuesta $12. Si pagó con un billete de
$500, ¿cuánto recibió de cambio?
_______________
10.- Si una deuda se considera como un número
negativo. Martha adeuda $500 a
cada una de las cinco tiendas donde le fían.
¿Cuánto adeuda a las cinco tiendas?........ (__)
a) $500
b) $2 500
c) -$2 500
d) -$500

1
5.- Resuelve las siguientes multiplicaciones indicadas. Primero multiplica los signos.
9 x 2 = ______ (+8)(-3 ) = ______ ( -5)(-3) = ______
(-5)(-8) = ______ (+2)(+1) = ______ (a)(-b) = ______
(-4.2)(+3) = ________ (-7)(-7) = ______ (0.40)(- 0.75) = ______
(-2)(+ 5)(- 8) = ______ (-5)² = __________ (+3)(+4)(-1) = ______
(4)(-1)(- 2) = ______ (35)(1)(- 2) = _______ (-3)² = ______
(-4)² = ______ (+40)(-40) = _______ (-20)(-20)(-20) = ______
6.- Escribe en las líneas el número correcto que falta.
(-7)(3) = ______ (___)(___) = 14 (-7)(6) = ______
(-2)(___) = 12 (___)(___) = -40 (-7)(4) = ______
(____)(-8) = -16 (___)(___) = 25 (-2)(___) = 20
(____)(____) = -21 (___)(___)= -15 (-2)(8) = _____
7.- Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones, si n = 3. Ejemplo:
20 - 4n = 20 - 4(3) = 20 - 12 = 8
3n = _________________________ 2n - 1 = ______________________________
2n = _________________________ -2n = _____________________________
2n + 6 = _________________________ -5n + 8 = _____________________________
3n + 1 = _________________________ -3n - 50 = _____________________________
6n – 3n = ________________________ -4n = ________________________________
5n – 20 = ________________________ -3n + 60 = ____________________________

1
8.- Las personas que fueron al súper de compras, observaron en la entrada una lista de
precios que se encontraban en oferta. Observa las ofertas y resuelve los problemas
que enseguida se plantean.
¡OFERTAS!
ARTÍCULO PRECIO POR UNIDAD
Jabón para baño $6.00
Nescafé $34.00
Jugo de piña $12.00
Crema $27.00
Rastrillo $23.00
1.- Mario compró 2 rastrillos y 4 jabones
para baño.
¿Cuánto pagó en total?___________
2.- Rosa compró 3 jabones para baño, 1
nescafé y 7 jugos de piña.
3.- Iván compró 4 rastrillos, 9 jabones para
baño y 3 cremas.
4.- Elena compró 10 jabones, 3 nescafés y
20 jugos de piña.
5.- Amada compró 5 jabones para baño, 5
jugos de piña y 1 crema. Si pagó con un
billete de $200.00
¿Cuánto le dieron de cambio?________
6.- La mamá de Mario compró 8 jabones
para baño, 2 nescafés, 7 jugos de piña, 2
cremas y 4 rastrillos. Si pagó con un billete
de $500.00
¿Cuánto le dieron de cambio?________

1
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS
PROBLEMA: Completa las siguientes tablas de división, en donde se puede observar que
el cociente o resultado va disminuyendo y deduce las leyes de los signos de la división.
Deduce las leyes de los signos de la división.
ENTRE 15 10 5 0 -5 -10 -15
5 3 2
÷ -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9
-3 5 4
La multiplicación y la división son dos operaciones inversas, por lo tanto, las leyes de los
signos de la división serán inversos a los de la multiplicación.
( + )( + ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( + ) = +
( + )( - ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( - ) = +
( - )( - ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( - ) = -
( - )( + ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( + ) = -
1.- Resuelve las siguientes divisiones. Primero divide los signos.
35 ÷ 7 = 100 ÷ (-25) = -25 ÷ (-1) = 18 ÷ (-2) =
-20 ÷ (-1) = 65 ÷ (-13) = -15 ÷ (-1) = 24 ÷ 4 =
-35 ÷ 7 = -100 ÷ 25 = -20 ÷ (-4) = -8 ÷ 4 =
-36 ÷ (-9) = -33 ÷ 11 = 28 ÷ (-7) = -4 ÷ 4 =
35 ÷ (-7) = -100 ÷ (-25) = - 8 ÷ (-2) = 20 ÷ (-1) =
-40 ÷ (-5) = -63 ÷ (-7) = -76 ÷ (-19) = 156 ÷ (-12) =
-35 ÷ (-7) = -25 ÷ 1 = -54 ÷ 9 = -112 ÷ (-8) =
2.- Encuentra el número que falta.
_____ ÷ 5 = 4 9 ÷ _____ = 3 - 4 ÷ ____ = - 2
_____ ÷ - 7 = 2 -15 ÷ _____ = 5 ____ ÷ 7 = - 7
_____ ÷ - 3 = 5 - 6 ÷ _____ = 3 - 18 ÷ _____ = 6
_____ ÷ 18 = - 5 -9 ÷ _____ = - 3 - 65 ÷ _____ = - 13
En la multiplicación y en la división,
cuando son dos signos iguales con los
que se opera, el resultado es positivo.
Cuando son dos signos diferentes el
resultado es negativo.

1
3.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- Un submarino se sumerge hacia el fondo del
agua a -2 metros por segundo. ¿Cuánto tiempo
tardará para llegar a los -100 metros de
profundidad? ____________________
2.- Las ventas de una tienda cambiaron -18
puntos en 3 días. ¿Cuál fue el promedio del
cambio cada día? ____________________
3.- Un avión cambia de altitud -5025 metros en 15
minutos.
¿Cuánto bajó en cada minuto? ____________
4.- Un minero desciende en una mina -48 metros
en 16 minutos. ¿Cuál es el promedio del
descenso por minuto? _______________
5.- Una familia reporta en su balance mensual los
siguientes movimientos: Enero $170, Febrero $-
30, Marzo $80 y Abril $-20.
¿Cuál es el promedio en el balance mensual por
los cuatro meses? ____________________
6.- Una persona hizo en el banco los siguientes
movimientos mensuales entre depósitos y retiros:
Enero $7350, Febrero
$-850, Marzo $-1450, y abril $ 6150.
¿Cuál es el promedio en el balance mensual?
_________________________
7.- Iván gana $8 200 al mes y Fernando gana $3
600.
Por cuánto tiene que multiplicar Fernando su
dinero para ganar lo mismo que Iván?_______
8.- El área de una recámara es de 30 m² y el área
de otra es de 12 m².
¿Por cuánto se tiene que multiplicar el área de la
recámara chica para tener un área igual que la
recámara mayor?___________________
9.- El papá de Fernando les reparte a sus tres
hijos $5 274.00 y le toca $1 758.00 a cada uno.
¿Cuánto dinero recibirá cada uno si lo que tiene
para repartir son $10 548?___________
10.- El papá de Mario les reparte a sus 5 hijas $8
270.00
¿Cuánto dinero recibe cada hija? __________
¿Cuánto dinero deberá tener el papá de Mario
para que a cada una de sus hijas le reparta
$3 600.00?______________

1
5
5
2 + 3 5
6
6
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y
potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de
exponente negativo.
POTENCIACIÓN
PROBLEMA: Encuentra el área del cuadrado y el volumen del cubo.
La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo
tantas veces como lo indique el exponente.
A = 4² = (4)(4) = 16 V = 4³ = (4)(4)(4) = 64
Recuerda que una multiplicación se puede expresar de las siguientes maneras: Con el
signo por solo cuando sean números, con paréntesis y con un punto, y si son letras, una
enseguida de otra.
5 x 5 (5)(5) 5 • 5 Esto es 5 por 5
(a)(b) a • b ab Esto es a por b
PRODUCTOS DE POTENCIAS ENTERAS CON UNA MISMA BASE
PROBLEMA: Multiplica las siguientes potencias que tienen una misma base.
(4²)(4³) = (4)(4)•(4)(4)(4) = 4
(a²)(a³) = (a)(a)•(a)(a)(a) = a
(b)(b²)(b³) = (b)•(b)(b)•(b)(b)(b) = b
De esta manera podemos generalizar que: “Para multiplicar dos potencias que tengan
la misma base, los exponentes se suman”.
(4² x 4³) = 4 = 4
¿Cuáles serán los resultados de los siguientes productos que tienen la misma base?
(y³)(y²) = ______
(b²)(b³)(b ) = _______
4
4
4
4
4
BASE
EXPONENTE
POTENCIA4 ³ = 64

1
5
5
5
5 5
1.- Multiplica como en el ejemplo.
(3²)(3³) = (3)(3)(3)(3)(3) = 3
(2³)(2²) = __________________________ (2²)(2²) = ________________________
(a³)(a²) = _________________________ (x)(x) = _________________________
(10²)(10³)= _______________________ (y²)(y²) = ________________________
(8²)(8²) = _________________________ (4²)(4) = ________________________
(x³)(-x²) = _________________________ (-y³)(y) = ________________________
(-6)² (-6)³ = ______________________ (10³)(10³) = ______________________
2.- Multiplica directamente. Ejemplos: (a²) (a³) = a (2y)² (2y)³ = (2y) = 32y
(8²)(8³) = ________ (2³)(2³) = _______ (3²)(3²) = ________
(m³)(m²) = ________ (x³)(x²) = ________ (10²)(10²) = ________
(a²) (a²) = ________ (x)(x) = ________ 10³)(10²) = ________
(x²)(x) = _______ (y)(y³) = ________ (y²)(y²) = ________
(-y²)(-y²) = _______ (-a³)(a²) = ________ (m³)(-m²) = ________
(2x)² (2x)³ = _______ (2m)³ (2m)² = ________ (2x)³(2x)³ = ________
(x³)(x³) = _______ (a²)(a) = ________ (20²)(20²) = ________
3.- Multiplica como en el ejemplo: (2²)(2³) = 2 = 32
(3²)(3³) = ________ (x³)(x²) = _________
(2²)(2²) = ________ (a²)(a²) = ________
(9³)(9²) = ________ (x²)(x³) = __________
(10)(10³) = _______ (-y²)(-y²) = ________
(8²)(8) = _________ (x²)(x²) = _________
(4³)(4³) = _________ (y³)(y²) = _________

1
5
(6²)(6) = ________ (x²)(x³)(x³) = ________
4.- Multiplica directamente. Ejemplo: (-2a²) (+5a³) = - 10a
(5a²)(8a³) = ________ (7x³)(2x³) = _______ (3x²)(3x²) = ________
(4m³)(5m²) = ________ (3x³)(4x²) = ________ (3x²)(7x³) = ________
(3a²)(5a²) = ________ (4x³)(2x) = ________ (5x)(6x) = ________
(-9x²)(-3x) = _________ (-2y)(-4y³) = ________ (-1y²)(-8y²) = _______
(-7y²)(-4y²) = ________ (-6x³)(-2 x²) = ________ (-3m³)(-2m²) = _______
(3x²)(+3x³) = _________ (-2m³)(-2m²) = ________ (9x³)(9x³) = ________
(4x³)(-x) = _________ (+6a)(-a) = ________ (+5x³)(+4x²) = ________
5.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2²)(2²)?______________
a) 8 b) 16 c) 32 d) 4
6.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (4²)(4³)?______________
a) 64 b) 1 024 c) 256 d) 4 096
7.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3)?______________
a) 27 b) 9 c) 243 d) 81
a) 27 b) 9 c) 243 d) 81
9.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2³)(2³)?______________
a) 32 b) 128 c) 64 d) 36
a) 27 b) 9 c) 243 d) 81
a) 100 b) 625 c) 125 d) 3 125
12.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10²)(10)?______________
a) 20 b) 100 c) 10 000 d) 1 000
a) 100 000 b) 1 000 c) 10 000 d) 1 000 000
13.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10³)(10³)?______________
a) 1 000 b) 100 c) 100 000 d) 1 000 000
14.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- En la central de abastos, una bodega vendió
8³ pedidos de 8² cajas cada uno y en cada caja
hay 8¹ botellas con 1 litro de aceite.
¿Cuántas botellas vendió?_____________
2.- Una librería envió 5³ cajas con 5² libros
cada una para una biblioteca.
¿Cuántos libros envió en total?_________

1
6
6 18 18
15 15
2 x 3
3 x 2 6
4
5
6
4
4 4 x 2 8
5
4 5 7
4 12 8 4
5 6 7
7 21 14
POTENCIA DE UNA POTENCIA
PROBLEMA: El profesor de matemáticas nos pidió que encontráramos el resultado de las
siguientes operaciones, y que estableciéramos la regla general para obtenerlo.
(3²)³ Aquí el exponente ³ nos indica que 3² los vamos a tomar como factor tres
veces.
Esto es: (3²)(3²)(3²) = 3
Por lo tanto, podemos deducir que para elevar una potencia a otra potencia, los
exponentes se multiplican. (3²)³ = 3 Ejemplos:
(5³) = 5 Porque: (5³)(5³)(5³)(5³)(5³)(5³) = 5
(x³ x² )³ = x Porque: x³ x³ x³ x² x² x² = x
(x³ y²) = x y Porque se multiplican los exponentes
1- Resuelve las siguientes expresiones como en el ejemplo.
(x²)³ = (x²)(x²)(x²) = x = x (x³)² = ______________________________
(x²)² = __________________________ (b²) = _____________________________
(y³)² = __________________________ (m )³ = ____________________________
2.- Resuelve las siguientes potencias de potencias y obtén el resultado final. Ejemplo.
(2²)³ = 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 (2³)³ = __________________________
(2²)² = ____________________________ (2²) = _________________________
(10²)³ = ___________________________ (10³)³ = _________________________
3.- Encuentra el resultado de las siguientes potencias de potencias. Ejemplo
(x²) = x = x (b³)² = ____________________
(a²)² = ___________________ (y³) = ____________________
(x ) = __________________ (b²) = ____________________
4.- Encuentra las potencias resultantes. Ejemplo.
(x³ y²) = x y (x² y³)³ = _______________ (b³ c )² = ____________
(a³ b ) = ___________ (x³ y² ) = _______________ (a² b)³ = _____________

1
= =
= =
= =
=
5 10
= 3 - 2
4=
7 = 10 3 - 7
= 10 - 4
=
1
10
4
- 1 - 2 - 3 - 4
01
= 4
SISTEMA
DECIMAL
14
8
= x
=
=
=
8
5
=
=
=
10
4
12
6
6
7
4
35
22
8 =
=
6
7 6
10
6 4
9
=
=
=
=
(a³ b³ ) = ____________ (x³ y² )² = _______________ (a² b³) = __________
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE UNA MISMA BASE
PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base y
establece la regla para efectuarla.
4³ (4)(4)(4)
4² (4)(4)
PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base en donde
el exponente del numerador es mayor que el del denominador.
10³
10
Cuando en una división nos resulta una potencia negativa, la convertimos en positiva
dejando como denominador el 1 y pasándola como potencia positiva al denominador.
Esto se explica por lo siguiente: (NOTA: Todo término a la 0 potencia es igual a 1)
10³ 10² 10 10 10 10 10 10
1000 100 10 1
1
10
_1_
100
1_
1000
1__ 1_
10000 10
1.- Divide como en el ejemplo. 4³ (4)(4)(4)
4² (4)(4)
8³ 3³
8² 3¹
x³ y_
x² y²
2.- Encuentra el resultado de calcular las siguientes divisiones. Ejemplo: x
x
y³ a² y³ x_
y² a¹ y² x
x³ y³ b _ w_
x¹ y² b w
x³ y³ c x_
xº y³ c x
2.- Encuentra el resultado de calcular los siguientes cocientes. Indica todo en positivo.
10³_ w²_ y³_
10 w y
x²_ a_ x_
x a x
= = 4³ˉ² = 4¹ = 4
== =
= =
4 REGLA: Para dividir potencias que tengan la
misma base, restamos los exponentes.
6

1
FIGURAS Y CUERPOS
• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas
cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los
ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
PROBLEMA: Demuestra que “los ángulos opuestos por el vértice, a y b, son iguales”
Si recortamos el ángulo b opuestos y lo sobreponemos en su opuesto a, comprobamos
que las medidas de ambos ángulos coinciden exactamente.
< a = < b
Por ser opuestos por el vértice.
Cuando se cruzan dos rectas de un lado a otro se forman rectas transversales, originando
ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.
d
a c
b
1.- Encuentra la medida de los ángulos que se indican.
a ________
b ________
x ______
y ______
155°
Calca y recorta lo que corresponde al
ángulo b y sobreponlo en el ángulo a.
b
a
G
F
E
49°
y
x
99°
36°
a
25°
b
c
b
a
51°
a y c son ángulos opuestos por el vértice. Y también b y d.
a y d son ángulos adyacentes porque comparten el mismo
vértice y un lado. Y también d y c, c y b, a y b.
Los ángulos adyacentes son suplementarios porque
suman 180° (a + d = 180°)
E ________
F ________
G ________
a ________
b ________
c ________

1
2.- En el siguiente dibujo se presentan dos rectas que al cortarse forman ángulos
opuestos por el vértice y ángulos adyacentes suplementarios porque suman 180°.
Observa el dibujo y contesta las preguntas.
3.- En Santa Bárbara, Chihuahua, para ir del pueblo a la Mina Clarines, hay un camino
que al cruzarse con la carretera de terracería forman ángulos como los que se
representan en el siguiente dibujo. Observa el dibujo y contesta las preguntas.
4.- El profesor Vicente les planteó a sus alumnos el siguiente:
PROBLEMA: El siguiente dibujo representa el cruce de dos vías del ferrocarril.
¿Cuál es el valor del ángulo representado por la letra x?_______________
5.- La sombra que proyecta la antena de la televisión de una casa, forma con el marco de
una puerta ángulos como se muestran en el siguiente dibujo. Observa y contesta las
preguntas.
c
b
a
135°
132°
x
c
ba
100°
c b
a 40°
¿Cuál es la medida del ángulo c?______
¿Cuál es la medida del ángulo a?______
¿Cuál es la medida del ángulo b?______
MINA
CLARINES
¿Cuál es la medida del ángulo c?______
¿Cuál es la medida del ángulo a?______
¿Cuál es la medida del ángulo b?______
¿Hasta cuántos ángulos identificas
que se forman en el dibujo?.............. ________
¿Cuál es la medida del ángulo c?..........______
¿Cuál es la medida del ángulo a?..........______
¿Cuál es la medida del ángulo b?...........______

1
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES, ALTERNOS INTERNOS Y ALTERNOS EXTERNOS
PROBLEMA: Calca y recorta la circunferencia dibujada abajo y colócala exactamente
sobre la otra circunferencia. Observa que la medida de los ángulos coincide. Compara la
medida de los ángulos y demuestra que:
a b
c d
e f
g h
a = e b = f c = g d = h Por ser correspondientes.
c = f d = e Por ser alternos internos.
a = h b = g Por ser alternos externos.
1.- En las siguientes rectas paralelas, escribe parejas de ángulos que cumplen con lo que
se indica enseguida, compara la medida de los ángulos que se forman y contesta las
preguntas que se te hacen.
Opuestos por el vértice: ________, ________, ________, ________.
Suplementarios: _________, _________, _________, _________,
_________, _________, _________, __________.
Alternos internos: __________, __________
Alternos externos: __________, __________
Si en el dibujo anterior, el ángulo a mide 45°:
¿Cuánto mide el ángulo b? _______ ¿Cuánto mide el ángulo f? _______
¿Cuánto mide el ángulo c? _______ ¿Cuánto mide el ángulo g? _______
¿Cuánto mide el ángulo d? ________ ¿Cuánto mide el ángulo h? _______
b a
c d
f e
g h

1
¿Cuánto mide el ángulo e? _______
2.- Observa el siguiente dibujo en donde P y Q son paralelas.
3.- Escribe la medida de los ángulos formados en las siguientes rectas si 3x + 2x = 180°
5.- Corta las siguientes rectas paralelas con una transversal, mide con el transportador
uno de los ángulos que se forman y escribe a los otros su medida.
6.- Encuentra la medida del ángulo x, sabiendo que M y N son paralelas.
e f
c d
a b
3x 2x
Q
P
M
x
49°
dc
g h
a
123° f
b
¿Cuánto mide cada uno de los
siguientes ángulos?
c = _________ b = _________
a = _________ d = _________
f = _________ g = _________
h = _________
a = _______ b = _______
c = _______ d = _______
e = _______ f = ______

1
ÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO
PROBLEMA: Demuestra que los ángulos internos de un triángulo suman 180°.
Con el papel doblado, a partir del dibujo de un triángulo podemos ver de manera informal
que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
b
a c a + b + c = 180°
Porque forman un ángulo llano.
Un ángulo es la porción indefinida de plano limitada por dos líneas. Para medir un ángulo
se coloca el transportador de tal manera que los grados señalados en él, nos den la
medida del ángulo.
Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano
1.- Mide con el transportador los ángulos internos de cada triángulo y suma sus medidas.
180°145°90°25°
150°
N

1
2.- Encuentra la medida de los ángulos que faltan en cada uno de los triángulos que
aparecen en las figuras y escríbela en el ángulo interno que señala cada flecha.
5.- Encuentra la medida del ángulo a del siguiente triángulo, y enseguida mide con
transportador los ángulos internos del cuadrado, para que demuestres que la suma de
los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360°.
90 + 45 + _____ = 180° a + b + c + d = _________________
a
y
69°
31°
36°
cd
ba
45°
90°
90°
23°
15°
60°
90°
45°
32°
4.- Observa la siguiente figura:
¿Cuánto mide el ángulo y?........................ (____)
a) y = 111° b) y = 30°
c) y = 90° d) y = 21°
3.- En un triángulo, dos de sus ángulos
internos miden 25° y 50°. ¿Cuánto mide
el otro ángulo?... (___)
a) 75°
b) 105°
c) 130°
d) 285°

1
(180)(2) = 360°
6.- Encuentra el valor de la medida de los ángulos faltantes en los siguientes triángulos o
cuadriláteros.
b = ______
a = ______
b = ______
x = ______
x = ______
y = ______
x = ______
b = ______
a = ______
a = ______
b = ______
135°
106°
a
b
58°
a
52°
b
32°
36°
ab 72°
46°a
38°
b
90°
90°
90°x
a b
d c
90° 45°
x
y
90°45°
125°
88° 88°
x
a = ______
a = ______
b = ______
c = ______
d = ______

1
7.- En el patio de la escuela los maestros dibujaron un triángulo como el siguiente:
8.- En la prueba de matemáticas la maestra nos planteó el siguiente:
PROBLEMA: Encuentra la medida de los ángulos internos del siguiente triángulo si
sabemos que el ángulo R mide 145° y el ángulo A mide 55°.
9.- La siguiente figura representa un terreno triangular en el que pasan tres calles por
cada uno de sus lados.
Encuentra la medida de los ángulos a y b que se forman en el terreno.
10.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 30° y 90°.
¿Cuál es la medida del tercer ángulo?.................................._______
14.- Encuentra la medida del ángulo Ω del triángulo que se forma en las siguientes rectas.
a) 50°
b) 45°
c) 60°
d) 55°
Ω
80°
135°
b
a
150°
C
B
A
R
b 132°40°
a
¿Cuánto mide el ángulo b?__________
¿Cuánto mide el ángulo a?__________
¿Cuánto mide el ángulo B?__________
¿Cuánto mide el ángulo C?__________
¿Cuánto mide el ángulo b?__________
¿Cuánto mide el ángulo a?__________

Guía de matemáticas Bloque 1 segundo garado

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