2. Función cuadrática
La función que se construye a partir de la regla de
correspondencia:
f(x)=ax2
+bx+c,
donde a, b y c son constante reales tales que a ≠ 0, se
llama función polinómica de segundo grado o
función cuadrática.
El dominio de esta función es el conjunto de los
números reales, pues con cualquier número real x se
pueden realizar todas las operaciones necesarias
para calcular la imagen f(x), obteniendo un único
número real.
El rango o recorrido de esta función, depende de la
relación entre los coeficientes a, b y c.
3. • Df=R, conjunto de los números reales
• Como el cuadrado de todo número real es no negativo,
entonces el rango de f es [0,∞)
• La curva recibe el nombre de parábola (“abierta hacia arriba”).
• El “punto más bajo” de la curva es el origen del sistema (0,0) y
se llama vértice de la parábola.
Ejemplo: f(x)=x2
x f(x)
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
Función cuadrática
4. • Df=R, conjunto de los números reales
• Como el cuadrado de todo número real es no negativo, entonces
el opuesto de él es no positivo, luego el el rango de f es (-∞,o]
• El vértice es el punto “más alto”
x g(x)
-4 -16
-3 -9
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
3 -9
4 -16
5 -25
Ejemplo: g(x)= - x2
Función cuadrática
5. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas las gráficas de:
(i) f(x)=x2
(ii) g(x)=4x2
(iii) h(x)=(1/4)x2
“familia de parábolas” de ecuación f(x)= ax2
Función cuadrática-
Consideraciones
6. Dada f(x)=ax2
+bx+c, se completan cuadrados para determinar su vértice:
Completación de cuadrados y vértice
de una parábola
El vértice de la parábola es el punto el valor mínimo o máximo de la función es
la ordenada de dicho punto; es decir en consecuencia, el rango es el intervalo
si f tiene un mínimo y si f tiene un máximo.
7. Determina el vértice de la parábola y = 4x2
-16x+21,
Solución
A través de la “completación de cuadrados”
y = 4x2
-16x+21
=4(x2
-4x)+21
=4(x2
-4x+4)+21-16
=4(x-2)2
+5
Ejercicio
El vértice es: V=(2, 5)
8. Hacer un estudio completo debe entenderse como la realización
de un trabajo detallado, tanto algebraico como geométrico, con
cálculos y argumentaciones basadas en la teoría, que aporte como
resultado:
(1)Dominio de la función,
(2)Rango o recorrido de ella,
(3)Gráfico de la función, incluyendo:
(a) cortes con los ejes coordenados,
(b) eje de simetría,
(c) hacia adónde “abre” la gráfica,
(d) vértice,
(e) valor máximo o mínimo de la función,
(f) intervalos donde la función es creciente y donde es
decreciente.
¿Cómo estudiar una función
cuadrática?
9. Paso 1
se decide la
orientación de la
parábola : hacia
arriba si a>0 y hacia
abajo si a<0
Paso 2
se calcula f(0),
determinando el punto
(0,f(0)), intersección
de la parábola con el
eje y
Paso 3
se determinan, si es
que existen, las
intersecciones con el x
(y=0)
Paso 3
se determinan, si es
que existen, las
intersecciones con el x
(y=0)
Paso 4
se obtiene el
vértice V(xv , yv)
Paso 5
se traza la gráfica.
De ser necesario, se localizan
puntos adicionales con el
aprovechamiento de la simetría
con respecto al eje.
¿cómo estudiar una función
cuadrática?
10. Realiza un estudio completo de la función:
f(x)=-x2
+x+6
Ejercicio
El dominio de f es R el conjunto de los números reales.
Completando cuadrados se tiene:
Resolviendo la ecuación cuadrática se tiene:
de donde las raíces de la ecuación cuadrática son dos: x1=-2 y x2=3
Puntos de corte con los ejes: A(0, 6) , B(-2,0) , C(3,0),
La parábola “abre” hacia abajo
el valor máximo de f es
el rango es el intervalo
13. La ecuación de segundo grado o cuadrática
De ella se deduce que la ecuación de segundo grado ax2
+bx+c=0
tiene dos soluciones reales y diferentes si la cantidad subradical,
llamada discriminante de la ecuación b2
- 4ac es mayor que cero.
Geométricamente la parábola corta en dos puntos al eje Ox.
Sea: con a diferente de cero, entonces la
solución a esta ecuación se puede hallar a través de :
tiene una sola solución si b2
- 4ac=0 . Geométricamente la parábola
corta al eje Ox en un solo punto.
no tiene soluciones reales si b2
-4ac es menor que cero.
Geométricamente, la parábola no corta al eje Ox.
14. La función cuadrática como modelo matemático
Ejemplo
Una persona desea construir un corral rectangular para animales con una cerca de
4 hileras de alambre y usando como uno de los costados un muro que ya está
construido. Si la persona dispone de 1.200 m. de alambre, ¿cuál es el área máxima
que puede encerrar?
Solución
Si como se indica en la figura adjunta, la región rectangular formada deberá tener cerca de
alambre por tres de sus costados.
Muro disponible
Como son 4 hileras de alambre y se dispone de 1200 m, cada
hilera debe medir 300 m. De modo que si se emplean x metros
para cada lado de una hilera perpendicular al muro, quedan
300-2x m disponibles para la hilera paralela al muro, como se
ilustra en la segunda figura.
El área encerrada por el rectángulo es, en consecuencia el
modelo matemático dado por la función con regla de
correspondencia A(x)=(300-2x)x
Completando cuadrados se tiene:
A(x)=(300-2x)x=-2x2
+300x=-2(x2
-150x)=-2(x2
-150x+752
)+2•752
Es decir: A(x)=-2(x-75)2
+11250
Como “a”=-2<0 la gráfica es una parábola abierta hacia abajo,
luego su vértice V(75,11250) es su punto más alto; o sea la
función A alcanza el valor máximo 11250 que es el área máxima
(en m2
) del rectángulo cuyos lados miden 75 m y 150 m.
15. La función cuadrática como modelo matemático
Ejemplo
Un vuelo “charter” para viajar a Canaima cobra U$ 200 por cada pasajero, más U$ 4
adicionales a cada pasajero que tome el vuelo, por cada asiento que quede vacío por
no venta del boleto correspondiente. Si el avión es para 100 pasajeros y x representa
el número de boletos no vendidos, determine: (a) Una expresión para la función I(x)
que describe los ingresos, (b) la gráfica de la función I(x), (c) el número de asientos
no vendidos que produce el ingreso máximo, (d) el monto del ingreso máximo.
Solución
Con el propósito de visualizar como se genera la función ingreso I(x) haremos una tabla con
algunos “casos particulares”
Puestos vacíos N° pasajeros Precio unitario Ingresos
0 100 200 100•200=20000
1 99 200+4=204 99•204=20196
2 98 200+2•4=208 98•208=20384
… … … …
Si se escribe x en la primera
columna de la tabla y en la fila
siguiente a los puntos
suspensivos, ¿qué debe
escribirse en la misma fila pero
en las columnas siguientes?
x 100-x 200+x•4 (100-x)·(200+4x)
(a) Así, la f unción ingresos es la dada por la regla de correspondencia I(x)=(100-x)(200+4x)
Desarrollando productos y completando cuadrados, se tiene:
I(x)=(100-x)(200+4x)=-4x2
+400x-200x+20000=-4x2
+200x+20000=-4(x2
-50x)+20000
=-4(x2
-50x+252
)+2000+625•4=-4(x-25)2
+22500
(c) y (d) El máximo se obtiene para x=25 (asientos no vendidos) y es 22500 U$. ¿Por qué?
16. La función cuadrática como modelo matemático
Gráfica de la función ingresos I(x)=(100-x)(200+4x)=-4(x-25)2
+22500 en donde la
escala en ambos ejes coordenados no es la misma.
17. Ejercicios
Trace la gráfica de la función cuadrática siguiendo las instrucciones que
aparecen en la página 440 del libro texto (Octava Edición) o en la página
439 del libro texto (Décima Edición). Es necesario que para la determinación
de las coordenadas del vértice (Paso 4) utilice el método de completación
de cuadrados.
Ingreso máximo por tarifas de autobús. Una compañía que fleta autobuses
cobra $48 por persona, más $2 por persona por cada asiento no vendido en
el vehículo, por el viaje a un centro turístico. Si el autobús tiene 42 asientos y
x representa el número de asientos no vendidos, obtenga lo siguiente:
a) Una expresión que defina el ingreso total, R(x), por el viaje.
b) La gráfica de la función definida en la parte a).
c) El número de asientos no vendidos que produce el ingreso máximo.
d) El ingreso máximo.
1
2
18. Pesca de ostras en Estados Unidos. La pesca nacional de ostras
en Estados Unidos
(en millones) para los años de 1990 a 1998 se aproxima con la
función cuadrática definida por:
F(x) = -0,566 x2
+ 5,08 x + 29,2
Donde x = 0 representa a 1990, x = 1 a 1991, y así
sucesivamente.
El valor de y del vértice de esta gráfica, ¿será un máximo o un
mínimo?
¿En qué año ocurrió la pesca máxima nacional de ostras?
(Redondee al año más cercano). Emplee el valor real de la
coordenada x del vértice, redondeada a la décima mas
cercana, para encontrar cual fue dicha pesca.
Ejercicios del texto MILLER: páginas 442 a 444, del 1 al 58.
Ejercicios
3
4
19. La fábrica de textiles “Ilasol” produce toallas de medio baño a un costo de $20
por unidad. Las toallas se venden a $50 cada una; por este precio, el gerente
de ventas, Carlos Sotomayor, se dio cuenta que los consumidores han
comprado 4000 toallas al mes. El gerente planea aumentar el precio de las
toallas y estima que por cada $5 de incremento en el precio se venderán 400
toallas menos cada mes. Sotomayor necesita conocer el precio de las toallas
que le generará mayor utilidad mensual.
a) Identifique las variables:
La variable es el precio de venta nuevo de las toallas = x.
b) Exprese todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla).
Analizamos para aumentos de $5 el número de toallas que se vende.
Precio Número de toallas vendidas
50 4000 – 400(0) = 4000
55 4000 – 400(1) = 3600
60 4000 – 400(2) = 3200
65 4000 – 400(3) = 2800
Número de aumentos de $5
=(precio venta nuevo-precio antiguo)/5=(x-50)/5
Cantidad de toallas vendidas= 4000-4000 (x-50)/5
Utilidad por toalla= precio de venta nuevo-precio de
fabricación= x-20
Utilidad por toalla= (cantidad de toallas vendidas).(utilidad
por toalla)=U(x)=(4000-4000(x-50)/5)(x-20)
Ejercicios
5
