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2012   EJERCICIOS   RESUELTOS   Distribuciones de Probabilidad                Procesos Industriales Área ManufacturaLuiz K...
Distribución Bernoulli
1.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior deltablero. La probabilidad de que anote el tir...
c) Sea Pz la probabilidad de éxito Z. determine Pz. La probabilidad de p(Z=1)=0.60 por lo tanto Z~Bernoulli (.60)d) ¿Es po...
a) Si anota el tiro, su equipo obtiene tres puntos; si lo falla, su equipo no recibepuntos. Sea Y el numero de puntos anot...
Distribución Binomial
1. Sea X ~ Bin(8,0.4) Determine   a) P(X=2)      n=8      P(x=2)=   )      P(x=2)= 28 (0.16)      P(x=2)= 28(0.16)(0.04665...
P(X=8)=    )      P(X=7)= 1 (           )      P(X=7)= 1(           )(1)      P(X=7)=6.55362. Sea X ~ Bin (5,0.35)   a) P(...
P(X=4)=   )          P(X=4)=5(0.0150625)          P(X=4)=5(0.150625)(0.65)          P(X=4)=0.487703125      f) P(X=5)     ...
P(X≥6)= P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)       =     (0.5)6(1-0.5)8-6+     (0.5)7(1-0.5)8-7+   (0.5)8(1-0.5)8-8          = 0.10938+0.0...
Distribución  Poisson
1.- Sea X ~ Poisson(4). Determinea) P(X=1)b) P(X=0)c) P(X<2)d) P(X>1)e) μXf) σxa) P(X=1)= e-4 *P(X=1)= 0.018315638*P(X=1)=...
d) P(X>1)P(X=2)= e-4 *                   P(X=3)= e-4 *P(X=2)= 0.018315638*               P(X=3)= 0.018315638*P(X=2)= 0.018...
a) P(X=3)= e-3*P(X=3)= 0.049787068*P(X=3)= 0.049787068* 4.5P(X=3)= 0.0224041807b) P(X≤2)P(X=0)= e-3 *               P(X=1)...
d) μXμX= 3e) σxσx=σx= 1.7320308083.- El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncioses una variable a...
P(X=0)= 6.144212353x10-6                      P(X=1)= 7.373054824x10-5P(X=2)= e-12*                      P(X<3)= P(X=0)+P(...
a) P(X=5)= e-6 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8P(X=5)= 0.160623141b) P(X≤2)P(X=0)= e-6 *        ...
Distribución  Normal
1. Determine el área bajo la curva normal      a) Ala derecha de z= -0.85.      b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.      c) Entr...
3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente conmedia de 10 giga pascales (Gpa) desviación está...
5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina sedistribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de0.0...
TABLA PARA EL AREA A LA DERECHA DE Z
TABLA PARA EL AREA LA IZQUIERDA DE Z
Distribución  Gamma
Ejercicio 1Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que sonsometidos a una cierta intervención qui...
El tiempo en horas semanalmente requiere una máquina para un mantenimientoes una variable aleatoria con distribución Gamma...
AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE TOMARON PARARESOLLVER EL PROBLEMA.Solución:    Para poder resolver el problema lo ...
DistribuciónT de Student
1. Sea T ~ t(4,0.5)         a) Determinar        b) Determinar        c) Determinar P(TP(T= 1- e –(0.5)(1)        - e –(0....
3. En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure   Observation”se modela la duracion en horas, de ci...
5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistemafallara cuando alguno de los componentes falle. S...
Trabajo final
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  • buenas tardes quien me puede ayudar con este ejercici: 2) Un inspector trata de localizar juntas soldadas disconformes en una tubería. La probabilidad de que una junta soldada sea defectuosa es de 0,05. el inspector decide seguir trabajando hasta que encuentre 3 soldaduras con defectos. Si las juntas soldadas están distanciadas cada 30 m, ¿cuál será la probabilidad de que el inspector tenga que recorrer 1.500 m?, ¿Cuál será la probabilidad que tenga que recorrer más de 1.500 m?
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  1. 1. 2012 EJERCICIOS RESUELTOS Distribuciones de Probabilidad Procesos Industriales Área ManufacturaLuiz Kueto Iris Márquez 2c
  2. 2. Distribución Bernoulli
  3. 3. 1.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior deltablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianzade X.p(X=1)=0.55 por tanto X~Bernoulli (0.55)MEDIA VARIANZAμX= p σx= p(1-p)μX= 0.55 σx= 0.55(1-0.55) σx= 0.55(0.45) σx= 0.2475b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibepuntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución deBernoulli? Si es asi, encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por que.No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y 1.Y los valores posibles de Y son 0 y 2.c) Determine la media y la varianza de Y.MEDIA VARIANZAμX= 2(p)+0(1-p) σx= (2-1.1)20.55+(0-1.1)20.45μX= 2(0.55)+0(1-0.55) σx= (0.9)20.55+(-1.1)20.45μX= 1.1+0(0.45) σx= (0.81)0.55+(1.21)0.45μX=1.10 σx= 0.4455+0.5445 σx= 0.992.- En un restaurante de comida rápida. 25% de las ordenes para beber esuna bebida pequeña. 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si seescoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquierotro caso. sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otrocaso. Sea Z=1 si la orden de bebida es pequeña o mediana y Z=0 encualquier otro caso.a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px. La probabilidad de p(X=1)=0.25 por lo tanto X~Bernoulli (.25)b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. La probabilidad de p(Y=1)=0.35 por lo tanto Y~Bernoulli (.35)
  4. 4. c) Sea Pz la probabilidad de éxito Z. determine Pz. La probabilidad de p(Z=1)=0.60 por lo tanto Z~Bernoulli (.60)d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? Si, solamente por separadoe) ¿Es Pz=Px+Py? Si3.- Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica,5% es laprobabilidad de que se decolore, 20% de que se agriete, y 23% de que sedecolore o no se agriete, o ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración yX=0 en cualquier otro caso. Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otrocaso; Z=1 si hay decolaracion o grieta, o ambas, y Z=0 en cualquier otrocaso.a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px. La probabilidad de éxito p(X=1)=0.05 por lo tanto X~Bernoulli (.05)b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. La probabilidad de exito p(Y=1)=0.20 por lo tanto Y~Bernoulli (.20)c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz. La probabilidad de exito p(Z=1)=0.23 por lo tanto Z~Bernoulli (.23)d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? Si, solamente por separadoe) ¿Es Pz=Px+Py? Si4.- Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z=XY.a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli Puesto que los valores posibles de Xy Y son 0 y 1, los valores posibles delproducto Z=XY son también 0 y 1. Por tanto, Z es una variable aleatoria deBernoulli.b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz=PxPy. Pz=P(Z=1)=P(XY=1)=P(X=1 y Y=1)=P(Z=1)P(Y=1)=PxPy5.- Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior deltablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.
  5. 5. a) Si anota el tiro, su equipo obtiene tres puntos; si lo falla, su equipo no recibepuntos. Sea Y el numero de puntos anotados. ¿Tiene una distribución deBernoulli? Si es asi, encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por que.No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y 1.Y los valores posibles de Y son 0 y 3b) Determine la media y la varianza de Y.MEDIA VARIANZAμX= 3(p)+0(1-p) σx= (3-1.65)20.55+(0-1.65)20.45μX= 3(0.55)+0(1-0.55) σx= (1.35)20.55+(-165)20.45μX= 1.65+0(0.45) σx= (1.8225)0.55+(2.7225)0.45μX= 1.65 σx= 1.002375+1.225125 σx= 2.2275
  6. 6. Distribución Binomial
  7. 7. 1. Sea X ~ Bin(8,0.4) Determine a) P(X=2) n=8 P(x=2)= ) P(x=2)= 28 (0.16) P(x=2)= 28(0.16)(0.046656) P(x=2)= 0.20901888 b) P(X=4) n=8 P(x=4)= ) P(x=4)= 70 (0.0256) P(x=4)= 70(0.0256)( P(x=4)=0.2322432 c) P(X<2) n=8 P(X<0)= ) P(X<0)= 1 (1) P(X<0)= 1(1)( P(x<0)=0.1679616 n=8 P(X<1)= ) P(X<1)= 8 (0.4) P(X<1)= 8(0.4)( P(x<1)=0.08957952 d) P(X>6) n=8 P(X=7)= ) P(X=7)= 8 ( ) P(X=7)= 8( )(0.6) P(X=7)=7.86432
  8. 8. P(X=8)= ) P(X=7)= 1 ( ) P(X=7)= 1( )(1) P(X=7)=6.55362. Sea X ~ Bin (5,0.35) a) P(X=0) N=5 P(X=0)= ) P(X=0)= 1 (1) P(X=0)= 1(1)(0.1160290625) P(X=0)=0.1160290625 b) P(X=1) N=5 P(X=1)= ) P(X=1)= 5(0.35) P(X=1)=5(0.35)(0.17850626) P(X=1)=0.3123859375 c) P(X=2) N=5 P(X=2)= ) P(X=2)=10(0.1225) P(X=2)=10(0.1225)(0.274625) P(X=2)=0.336415625 d) P(X=3) N=5 P(X=3)= ) P(X=3)=10(0.042875) P(X=3)=10(0.042875)(0.4225) P(X=3)=0.181146875 e) P(X=4) N=5
  9. 9. P(X=4)= ) P(X=4)=5(0.0150625) P(X=4)=5(0.150625)(0.65) P(X=4)=0.487703125 f) P(X=5) N=5 P(X=5)= ) P(X=5)=1(5.252187x ) P(X=5)=1(5.252187x )(1) P(X=5)= 5.252187x3.- Se lanza al aire una moneda diez vecesa) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)10-3=0.1172b) Determine la media del numero de caras obtenidas μX=10(0.5)= 5c) Determine la varianza del numero de caras obtenidas. σ2x= 10(0.5)(1-0.5)=2.5d) Determine la desviación estándar del numero de caras obtenidas σx= = 1.584.- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito,cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valoresde los bits son independientes.a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1? P(X=8)= (0.5)8(1-0.5)8-8=0.0039b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1? P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)8-3=0.2188c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1?
  10. 10. P(X≥6)= P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) = (0.5)6(1-0.5)8-6+ (0.5)7(1-0.5)8-7+ (0.5)8(1-0.5)8-8 = 0.10938+0.03125+0.00391 = 0.1445d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1? P(X≥2)= 1-P(X<2) = 1-P(X=0)-P(X=1) =1- (0.5)0(1-0.5)8-0- (0.5)1(1-0.5)8-1=1-0.00391-0.03125 = 0.96485.- De los pernos manufacturados por cierta aplicación, 90% satisface lalongitud especificada y se puede utilizar inmediatamente, 6% estademasiado largo y solo se puede usar después que sea cortado, y 4% estademasiado corto y debe deshacerse.a) Determine la probabilidad de que un perno seleccionado aleatoriamentese pueda utilizar (inmediatamente o después de ser cortados)P(se puedan usar)= P(usar inmediatamente)+P(largo)= 0.90+0.06=0.96
  11. 11. Distribución Poisson
  12. 12. 1.- Sea X ~ Poisson(4). Determinea) P(X=1)b) P(X=0)c) P(X<2)d) P(X>1)e) μXf) σxa) P(X=1)= e-4 *P(X=1)= 0.018315638*P(X=1)= 0.018315638* 4P(X=1)= 0.073262555b) P(X=0) = e-4 *P(X=0)= 0.018315638*P(X=0)= 0.018315638* 1P(X=0)= 0.018315638c) P(X<2)P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *P(X=1) = 0.018315638* P(X=0)= 0.018315638*P(X=1) = 0.018315638* 4 P(X=0)= 0.018315638* 1P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)P(X<2) =0.07326255+0.018315638P(X<2) =0.091578193
  13. 13. d) P(X>1)P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *P(X=2)= 0.018315638* P(X=3)= 0.018315638*P(X=2)= 0.018315638* 8 P(X=3)= 0.018315638*10.66666667P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)P(X=4)= 0.018315638* P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+ 0.195366814P(X=4)= 0.018315638* 10.66666667P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739e) μXμX= 4f) σxσx=σx= 22.- Suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en ciertoproceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa elnumero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen estedefecto. Determine:a) P(X=3)b) P(X≤2)c) P(1≤X<4)d) μXe) σx
  14. 14. a) P(X=3)= e-3*P(X=3)= 0.049787068*P(X=3)= 0.049787068* 4.5P(X=3)= 0.0224041807b) P(X≤2)P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *P(X=0)= 0.049787068* P(X=1)= 0.049787068*P(X=0)= 0.049787068* 1 P(X=1)= 0.049787068* 3P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 0.049787068* P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+ 0.149361205P(X=2)= 0.049787068* 4.5P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008c) P(X<2)P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*P(X=1)= 0.049787068* P(X=2)= 0.049787068*P(X=1)= 0.049787068* 3 P(X=2)= 0.049787068* 4.5P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P(X=3)= 0.049787068* P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+ 0.224041807P(X=3)= 0.049787068* 4.5P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819
  15. 15. d) μXμX= 3e) σxσx=σx= 1.7320308083.- El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncioses una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajespor hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2horas?a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?P(X=3)= e-8*P(X=3)= 3.354626279x10-4 *P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667P(X=3)= 0.09160366b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?P(X=10)= e-12*P(X=10)= 6.144212353x10-6 *P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571P(X=10)= 0.104837255c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en11/2 horas?P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12
  16. 16. P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 + 7.373054824x10-5 +P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 =P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-44.- Una variable aleatoria X tiene una distribución binomial y una variable Ytiene una distribución de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3.¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza más grande?Elija una de las siguientes respuestas:i) Sí, X tiene la varianza mas grande.ii) Sí, Y tiene la varianza mas grandeiii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X.iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:σ2x= (1-p)σ2x= (1-3)σ2x= -2Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:σ2y= λσ2y= 3Respuesta:ii) Sí, Y tiene la varianza más grande5.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agitapor completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X elnúmero de partículas que son retiradas. Determine.a) P(X=5)b) P(X≤2)c) μXd) σx
  17. 17. a) P(X=5)= e-6 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8P(X=5)= 0.160623141b) P(X≤2)P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+0.044617539P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804c) μXμX= 6d) σxσx=σx= 2.449489743
  18. 18. Distribución Normal
  19. 19. 1. Determine el área bajo la curva normal a) Ala derecha de z= -0.85. b) Entre z = 0.40 y z = 1.30. c) Entre z =0.30 y z = 0.90. d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemasA – 1 – 0.1977 = 0.8023B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.74042- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyennormalmente con media de 480 y desviación estándar de 90. a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones? c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra? d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?µ = 480 σ = 90 A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073 B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67 El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7 C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082 Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91 D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67 Z = (520 – 480)/90 = 0.44 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186
  20. 20. 3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente conmedia de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa? b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.RESULTADOSµ = 10 σ = 1.4A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67 El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645 El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en uncaldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. Laconcentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excedelos 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el día. a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en que proporción de días se suspenderá el proceso? b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida? RESULTADOS A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336 B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
  21. 21. 5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina sedistribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de0.03 onzas.a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?RESULTADOS A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475 B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas
  22. 22. TABLA PARA EL AREA A LA DERECHA DE Z
  23. 23. TABLA PARA EL AREA LA IZQUIERDA DE Z
  24. 24. Distribución Gamma
  25. 25. Ejercicio 1Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que sonsometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue unadistribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  26. 26. El tiempo en horas semanalmente requiere una máquina para un mantenimientoes una variable aleatoria con distribución Gamma con parámetros a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas.  Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
  27. 27. AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE TOMARON PARARESOLLVER EL PROBLEMA.Solución:  Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los que contamos.  Tendremos que sustituir los datos  t= x -μ  SI n α = 1- Nc = 10%  v = n-1 = 24  t = 2.22 Procedimiento: Se demostrara la forma en que se sustituirán los datos.  VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA FORMULA  µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22  n=25 12.07 25  Nc=90% v = 25 -1 = 24  X=505.36 α = 1- 90% = 10%  S=12.07
  28. 28. DistribuciónT de Student
  29. 29. 1. Sea T ~ t(4,0.5) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(TP(T= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636=0.000175 d) Determinar P(TP(T= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551=0.9344 2. Sea T ~ Weibull(0.5,3) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(T P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-
  30. 30. 3. En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure Observation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribución de Weibull con parámetros a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas P(T<2000)= P(T c) La función de riesgo se definió en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas? h(t) =4. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional tiene una distribución de Weibull con a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000 horas? P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas? P(t<5000) =P(T
  31. 31. 5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistemafallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el queel sistema falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes.Suponga que X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue unadistribución Weibull con 2 a) Determine P(P( b) Determine P(T 5) P(T =0.8647 c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus parámetros? Si, T~ Weibull (2,

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