Alg alfa

ÍNDICE
Cap 1:........................Potenciación y ecuación exponencial..........................................................................5
Cap 2:...........................Radicación y ecuación exponencial........................................................................................11
Cap 3:........................Polinomios I...............................................................................................................17
Cap 4:........................Polinomios II..............................................................................................................25
Cap 5.:.......................División algebraica de polinomios...............................................................................31
Cap 6:........................Productos notables I....................................................................................................37
Cap 7:........................Productos notables II...................................................................................................43
Cap 8:........................Factorización I............................................................................................................49
Cap 9:......................Factorización II................................................................................................................57
Cap 10:......................Ecuación de segundo grado I......................................................................................63
Cap 11:......................Ecuación de segundo grado II.....................................................................................71
Cap 12:......................Ecuación de segundo grado III...................................................................................77
Cap 13:......................Númeroscomplejos.....................................................................................................83
Cap 14:......................Desigualdades e intervalos.............................................................................................89
Cap 15.......................Inecuación de primer grado....................... ...................................................................97
Cap 16:......................Inecuación de segundo grado......................................................................................105
Cap17:......................Relaciones..................................................................................................................113
Cap 18:......................Funciones I................. ...............................................................................................121
Cap 19:......................Funciones II...................................................................................................................129
Cap 20:......................Función lineal I........................................................................................................135
Cap 21:......................Función lineal II............................................................................................................141
Cap 22........................Funcióncuadrática...................................................................................................147
Cap 23.......................Función raíz cuadrada .............................................................................................153
Cap 24.......................Función valor absoluto.............................................................................................159
Cap 25.......................Logaritmos I ............................................................................................................165
Cap 26.......................Logaritmo II.............................................................................................................171
Cap 27.......................Logaritmos III..........................................................................................................177
Cap 28.......................Número combinatorio..............................................................................................183

5
3er Año de Secundaria
Capítulo
POTENCIACIÓN
=
n
a P
a : base: a∈
n : exponente; ∈
n N
P: potencia: ∈
P R
DEFINICIONES
1. Exponente natural
Si a n +
∈ ∧ ∈
 N , definimos:
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =



n
"n"veces
a a a ... a a
Ejemplos:
a. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =



veces
10
10
2 2 2 ... 2 2
= 1024

b. +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ∈



veces
m
m
x x x ... x x ;m N
2. Exponente negativo:
Si: a ∈ R – {0}, definimos:
( )
−
= =
n
n
n
1 1
a
a a
Ejemplos:
a)
( ) ( )
2 2
2 3 9
3 a 4
−
= =
b)
( )
−
= =
3
3
1 5 125
5
3. Exponente cero:
Si: a {0}
∈ −
 , definimos:
=
0
a 1
Observación:

0
0 no esta definido.
Ejemplos:
(-3)0
= 1 ( )
⇒ − =




0 0
no definido
¡Cuidado!
4 2 0
TEOREMAS
1.
+
⋅ =
m n m n
a a a
a) −
⋅ ⋅ =
3 5 6 4
m m m m b) ⋅ =
4 3 7
b b b
2. −
= n
n
m
m
a a
a
;
a {0}
m n
∈ −
≥

a)
−
= =
6
6 3 3
3
m m m
m
b)
( )
− −
−
= =
7
7 3 10
3
b b b
b
3. ( )n m n
m
a a
=

a)
( ) =
2
3 6
m m b)
( )
− −
=
5
4 20
a a
¡Cuidado…!
( ) ( )

−
−
− − −
≠ ≠
≠ ≠





2 2
9
9
6
2
3 3 3
a
a
a
a a a
4. ( )
= ≠
n n
n
a a
;b 0
b b
5. ( )= ⋅
n n n
ab a b
a)
( ) = ⋅ =
3 3 3 3
2m 2 m 8m
Ecuaciones exponenciales
Son aquellas donde la incógnita aparece únicamente
en el exponente.
Propiedades:
1. =
x y
a a a ≠ {–1; 01} ⇒ =
x y
2. =
x x
a b a ≠ b x 0
⇒ =
POTENCIACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL
∈
n N
∈
n N
∈
n N
∈
n N
⇒ =
x y
1

6
I.E.P. “SAN ANDRÉS”
Trabajando en clase
1. Reduce:

7 m 3 m
10m
(x ) .(x )
A
x
x 0
=
≠
2. Reduce:
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 



(m+5) veces (2m-1) veces
2 2 2 2 3 3 3 3
4 4 4 4
(2m 1) veces
x x x ... x x x x ... x
x x x ... x
3. Reduce:
( ) ( ) ( ) ( )−
− − − −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
2
2 2 2
3 3 3 3 3
M a a a a a
4. Calcula:
( ) ( ) ( ) ( )
− − −
= + + +
2 1 3 0
1 1 1 3
M
2 3 2 5
Resolución:
( ) ( ) ( ) ( )
− − −
= + + +
+ + + =
2 1 3 0
2 1 3
1 1 1 3
M
2 3 2 5
2 3 2 1 16
5. Calcula:
( ) ( ) ( )
2 1 2
0
2 4 1
R 5
3 3 2
− − −
= + + +
6. Simplifica:
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
3 4 6 9
11 13 4
6 12 15 5
10 3 5
7. Calcula “R” en:
+
+
+
+ =
+
8
2 3
3 1
4 1
1 2 R 30
8. Simplifica
+ + +
− − −
+ +
=
+ +
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
3 3 3
A
3 3 3
Resolución:
Se factoriza, tanto como en el
numerador y denominador, la
base de menor exponente:
( )
( )
+ +
−
−
+ +
= = = =
+ +
x 1 1 2 x 1
4
x 3
x 3 2 1
3 1 3 3 3
A 3 81
3
3 3 3 1
9. Simplifica:
+ + +
− − −
+ +
=
+ +
x 3 x 4 x 5
x 3 x 4 x 5
5 5 5
R
5 5 5
10. Calcula:
+ +
− +
⋅
=
⋅
x 2 x 2y
x 2 y 2
2 4
J
8 16
11. Resuelve:
( )
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + +


 


8 veces
x 4 veces
4 4 4 ... 4 8 8 8 ... 98
12. Luego de resolver:
+ + +
⋅ ⋅ =
x x 1 x 2 x 3
2 4 8 16
Da como respuesta el valor de
x2
.
Resolución:
Como observamos las bases
son potencias de 2.
2x
×(22
)x+1
× (23
)x+2
= (24
)x+3
2x 2 3x 16 4x 12
x 1 x 2 x 5
x 2 3 4
2 2 2 2
+ + +
+ + +
⋅ ⋅ =
Al tener producto de bases
iguales se tiene:
+ +
=
6x 8 4x 12
2 2
∴ + = +
=
=
6x 8 4x 12
2x 4
x 2

+ + +
⋅ ⋅ =
x x 4 x 1 x 5
3 27 8 243
Da como respuesta “x + 3”
14. Sabiendo que:

= ∧ =
y x 1
x 2 y
2
Determina el valor de:
( )
+ −
⋅
1 x 1 y
y x
x y

Álgebra
7
Bloque I
Integral
16. Reduce donde a b m
; ;
{ }∈r
a) a a a a
veces
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
...
16
 
 

b) b b b b
veces
5 5 5 5
12
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
...
 
 

c) m m m m
m veces
7 7 7 7
4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
+
...
( )
 

 

d) − + −
( ) + =
−
3 3 3
2 2 2
17. Reduce:

A
x x x x x x x x
x
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
... ...
(4m-3)veces (7m-8)veces
 
 
  
 

⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
x x x
m veces
...
( )
11 15
 
 

a) x26
d) x4
b) x-4
e) x15
c) x-26
18. Reduce:

E x x x x x
= ( ) ⋅ ⋅ ⋅( ) ⋅( )
− −
( ) − −
−
3
2
3 3 3
2
3
2
2 2
a) x6
c) x-3
e) x-9
b) x9
d) x-6
19. Reduce:
G
x x x
x x
=
( )






⋅( )
−
−
3 3 2
2
2
2
a) 1 c) x2
e) x4
b) x d) x3
Católica
20. Simplifica:

L =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
8 18 25
4 10 81
16 22 10
24 20 11
a) 2 c) 6 e) 10
b) 4 d) 8
21. Calcula “P” en:
5 34 1
5 43 25
+ +
+ +
P=
a) 48 c) 200 e) 300
b) 40 d) 248
22. Resuelve:
3 27
27 9
3 3
x x
+ +
=
a) -1 c) -3 e) -6
b) -2 d) -4
23. Resuelve:

A =





 ⋅











− −
−
1
8
1
16
1
64
2 3
4
a) 1
8
c)
1
2
e)
1
64
b) 1
16
d)
1
32

8
UNMSM
24. Calcula:

T
x x y
x y
=
⋅
⋅
+ +
− +
5 25
125 625
3
1 1
a) 0 c) 5 e) 25
b) 1 d) 10
25. Resuelve:

7 7 7 7 49 49 49 49
5 7
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + +
−
... ...
( )
x veces veces
 
 
  

 

a) 8 c) 7 e) 49
b) 9 d) 14
26. Si: 2x
= 3 ∧ 3y
= 2
Calcula: E = 4x+1
+ 9y + 2
a) 360 c) 362 e) 120
b) 361 d) 260
27. Resuelve:

34 x 96+x 2710 x =814+x
a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
UNI
28. Sabiendo que:
x y
y x
= ∧ =
4 1
Calcula:

y x y
y x
x y
= ⋅






+ −
1 1 2
a) 2 c) 16 e) 64
b) 4 d) 32
29. Si:

Calcula: x2
+ 1
a) 5 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8
30. Al resolver el sistema:
xy
= yx
y2
= x3
Calcula el valor de y/x
a) 2
3
c) 1
3
d) 1
2

b) 3
2
d) 1
2
16. –
17. d
18. a
19. c
20. b
21. d
22. b
23. e
24. e
25. a
26. a
27. b
28. c
29. b
30. b
Claves

Álgebra
9
Bloque II
Integral PUCP
1. Reduce donde m n y
; ;
{ }∈r
a) m m m m
veces
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
...
12
b) n n n n
veces
3 3 3 3
10
⋅ ⋅ ⋅...
c) y y y y
a veces
4 4 4 4
2
⋅ ⋅ ⋅
+
...
( )
d) –72
+(–7)2
+7–2
=
2. Reduce:

x x x x x x x x
m veces m veces
3 3 3 3
3
4 4 4 4
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ +
... ...
( ) ( )
 
 
 
 
 

 
 

x x x x
x
m veces
7 7 7 7
1
0
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
↑
+
...
;
( )
a) x14m+20
d) x20
b)
x e) x6
c) x7m
3. Reduce:
M a a a a a
= ( ) ⋅ ⋅ ⋅( ) ⋅( )
− −
( ) − −
−
7
2
7 7 7
2
7
2
2 2
a) a49
d) a14
b)
a7
e) a
c) a-7
4. Reduce:

27 2 3 9 6 18 3
54
x x x x x x
x
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
a) 1 d) 4
b)
2 e) 5
c) 3
5. Calcula:
A =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
10 8 90 27
15 6 30
6 3 3 4
4 9 5
a) 8
b)
1
c) 9
d)
16
e) 3
6. Calcula “M” en:
3 5 10
2 110 52 57
+ =
+
+ + +
M
a) 18
b)
118
c) 256
d)
312
e) 625
7. Simplifica:
M
a bc a b
a b b c a b
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
−
−
− −
−
2 3
4
2
2
3 2
2
2 3
3
3
1
a) a2
b2
c2
b)
a3
bc3
c) a3
b3
c3
d)
a3
b2
c3
e) abc
8. Resuelve:
2 6 2 32 5 2 10 2
4 1 1
x x x x x
+ + +
− ⋅ + =
⋅ + ⋅
a) 0
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3

10
UNI
5 25 125 625
3 2
x x x x
⋅ ⋅ =
+ +
Da como respuesta x200
a) 200 d) 3
b)
2 e) 0
c) 1
14. Sabiendo que:
x y
y x
= ∧ =
3 1

Calcula: M x y
y x
x y
= ⋅
( )
+ −
1 1 3
a) 27 d) 0
b)
9 e) 3
c) 1
15. Si se sabe que xx
=2, ¿cuál es el equivalente de
p xx xx
= + +1
a) 2x+4
d) 16
b)
4 e) 32
c) 8
UNMSM
9. Calcula

M
x x y
x y
=
⋅
⋅
+ +
− +
3 9
27 81
2 2
2 2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. Resuelve:

9 9 9 9 3 3 3 3
3 27
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =+ + + +
−
( )
... ...
x veces veces
 
 
  

 

a) 2
b)
3
c) 4
d)
5
e) 6
11. Resuelve:
1089 3 3 3 3 3
4 3 2 1
= + + + +
+ + + +
x x x x x
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12. Resuelve:
243 81 2
= −
x
a) 2
b)
3
c) 4/13
d)
13/4
e) 5/13
Claves
01. -
02. e
03. d
04. e
05. d
06. b
07. b
08. c
09. a
10. d
11. b
12. d
13. c
14. a
15. c

11
Capítulo
RADICACIÓN EN 
= ⇒ = n
n a b a b
n: índice; ∈ ≥
n ,n 2
N
a: cantidad subradical; 0
a +
∈
b: raíz, b∈
Además: = =
m
n n
m m
n
x x x
Ejemplos:
• = = =
3
3 3
9 9 3 27
• =
4 16 2 ya que =
2
2 16
• − =
−
3
8 2 puesto que (-2)8
= -8
• 16
− =
∃ en  ¡Cuidado!
TEOREMAS
1. n n n
x y x y en
si n es par entonces x 0 y 0
⋅ = ⋅
≥ ∧ ≥
Ejemplos:
• ⋅ = ⋅ = =
9 6
3
9 6 9 6 3 2
3 3 3 3
x y x y x y x y
• ⋅ = ⋅ = =
4 4 4 4
8 2 8 2 16 2
2.
= ≠
≥ ≥
n
n
n
a
a ;b 0
b b
Si n es par entonces a 0;b 0
Ejemplos:
• = =
4
4
4
81
81 3
16 2
16

• = = =
3
3 3
3
16 16
8 2
2
2
3.
⋅ ⋅
=
m n p
m n p 1
x x
Ejemplos:
• = = =
48
4 3 24
48 48 2
24
x x x x
4. Radicales sucesivos
⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
n m p n n m p
n m
x y z x y z
Además:
⋅ ⋅ + + +
=
n p m n p
a b c (am b) p c
m
x x x x
Ejemplos:
•
⋅ ⋅ +
⋅ = =
3 3 2 6
5 3 5 2 3 13
x x x x
• ( )
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +
= =
30
5 3 52 3 32 1 3 9
3 9 30
x x x x x = x
ECUACIONES TRASCENDENTALES
Son aquellas donde la incógnita aparece tanto en la
base como en el exponente.
Teorema:

= ⇒ =
x a
x a x a
Ejemplo:
Resuelve:
= ⇒ =
∴ =
x x 3
x 27 x 3
x 3
Cuidado!!

 
 
 
 
= → = ∨ =
 
 
1
4
x 1 1 1
x x x
4 4 2
RADICACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL
∈ z
z
z
2

12
Trabajando en clase
1. Calcula:
• ( )
 
+ 
 
= + −
2
3
3 5 125
2 3 8
M 4 8

• = ⋅ − ⋅
3 3
N 25 5 8 2

•
5 4
5 4
64 243
P
3
2
= +
•
= −
5
3
Q 64 1024
2. Resuelve:
⋅ ⋅
≠
⋅
13 13 13
14 11
5 5
9 6
x x x
R ;x 0
x x
3. Reduce:
− −
⋅ ⋅
≠
⋅ ⋅
15 7 11
27 17 17
11 15 7
5 3 3
x x x
J ;x 0
x x x
4. Resuelve:
+ +
=
x 1 x 4
8 32
Resolución:
Como {8; 32} son potencias de
2, entonces:

+ +
=
x 1 x 4
3 5
2 2
+ +
⇒ = ⇒ =
+ +
3 5
x 1 x 4 3 5
2 2
x 1 x 4
⇒3x + 12 = 5x + 5 ⇒ = 7
x
2
5. Resuelve:

+ +
=
x 3 x 5
27 81
6. Calcula:
− − − −
− − − −
− − − −
= − − +
1 5 4 2
2 1 5 4
4 2 1 5
N 25 4 2 1
7. Reduce:
= ⋅
4 3
3 4 7
M x x x x
8. Si:
= ⋅
3
3 5 3
x 27 81 , calcula el
valor de: +
=
x x 1
E 9x
Resolución:
Tenemos que encontrar x para
determinar lo que nos piden,
para eso vemos que {27; 81}
son potencias de 3, entonces:
( ) ( )
= = ⋅ =
5 3 27
27
27 27
3 4 15 12
x 3 3 3 3 3
x = 3
Reemplazando el valor de “x”
en el problema:

3 3 3
3 1 2 4 6
2
E 9 3 3 .3 3
3 9
+
= ⋅ = =
=
9. Si: ⋅
= ⋅
2 2 4
7 2
x 16 32 , calcula
el valor de: +
= ⋅
x
x 2
R 4 x
10. Resuelve:
+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅







3 3 3 3
(x 2)veces
30veces
2 2 2 ... 2 4 4 4 ... 4
11. Si =
x y
3 5 , calcula
+
=
x y x
E 15
12. Resuelve: ⋅ =
x 3x
27 x 4
Resolución:
( )
( )
( )
⋅ =
⋅
= ⋅
=
=
⇒ =
∴ =
x
3 3x 2
m
3x 3x 2 m m
3x 2
3 x 2
3 x 2 ; Recordar : a b ab
3x 2
3x 2
2
x
3
13. Resuelve:
⋅ =
x 2x
4 x 27
14. Reduce:
+
= ≠
x x 1
2
x x
x x
x
M ,x 0
x

Álgebra
13
Bloque I
Integral
16. Calcula:
a) 49 8
4
9
1
2
2
3
3
2
+ −
( ) +




 =
b) 27 3 5 25
4 4 3 3
⋅ + ⋅ =
c) 512
2
81
3
3
3
− =
d) 625 729
3
+ =
17. Reduce:

M x x x
x x
x
= ⋅ ⋅
⋅
↑
8
4
10
4
6
4
4
6 2
6
0
;
a) 2 c) x3
e) x5
b) 1 d) x2
18. Reduce:
L
x x x
x x x
x
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
↑
− − −
40
7 11
8 8
9
1
9 9
7 5
8
0
;
a) x c) x7
e) x10
b) x5
d) x8
19. Calcula:
M
= + −
( )
{ }
− −
−
−
−
64 32
3
3
5
3
1
1
a) –2 c) 1 e) 0
b) 4 d) 2
Católica
20. Calcula:

T = + +
64 4 9 1
4 2 2 5
2 1 1 5 1 5 3 1
a) 3
8
c) 8
3
e) −
3
8
b) 23
24
d) 24
23
21. Reduce:

M a a a a
= ⋅
2 3 4
5
4
3 5
4
3
a) a c) a2
e) a60
b)
1
a
d) a3
22. Resuelve:

25 5
1
5 2
3
x x
− +
=
a) 12 c) 16 e) 20
b) 14 d) 18
23. Reduce:

E
x
x
=
⋅
+
+ 3 27
243
3
1
a) 1
b) 3
c) 3x
d) 9
e) 9x

14
UNMSM
24. Resuelve:

5 5 5 5 25 25 25 25
4 4 4 4
40 4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
... ...
( )
veces x veces
 
 
  

 

a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
25. Si: 3a
=2b
, calcula el valor de la siguiente expresión:
A a
a b
=
+
6
a) 1 c) 3 e) 6
b) 2 d) 4
26. Reduce:
A
y
y
y
=
+
+
+ 6
12
2 6
3
2 6
a) 3 c) 3y e) 3
b) 3 3
y+ d) 9
27. Calcula:
A = ( )
( )
2
2 2
3
5
3
4
5
a) 2 c) 2
8 e) 2 2
b) 2
4
d) 2
UNI
28. Reduce:
A
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+2
4
2
a) 1 c) x2
e) 1
x
b) x d) x3
29. Si se sabe que: xx12
2
6
= .
Calcula: x x
24 12
1
+ +
a) 5 c) 13 e) 33
b) 7 d) 21
30. Reduce:

E
x x
x
x
x
=
+
+
−
2 3
6 1
a) 1 c) 1
3
e) 1
5
b) 1
2
d) 1
4

16. –
17. e
18. e
19. d
20. b
21. a
22. c
23. b
24. a
25. b
26. e
27. b
28. a
29. b
30. c
Claves

Álgebra
15
Bloque II
Integral PUCP
1. Calcula:
a) 25 27
16
9
3
2
1
3
3
2
+ −
( ) +




 =
b) 1
5 5 3 3
⋅ ⋅ ⋅ =
c)
32
2
162
2
4
4
d) 256 64
4 3
2. Reduce:

M
x x x
x x
x
=
⋅ ⋅
⋅
↑
8
12 10
12 6
12
4
6 2
6
0
;
a) 2 d) x2
b)
1 e) x
c) x3
3. Reduce:

J
x x x
x x x
x
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
↑
− − −
20
13 11
8 9
7
5
7 6
13 5
8
0
;
a) x2
d) x6
b)
6 e) x3
c) x4
4. Reduce: A x y x y
= +






64 4 8 6 12
3
1
2
a) 3xy2
b)
3xy
c) 3 2
xy
d) 3xy
e) 3x2
y
5. Calcula:
R
= − + +
− − − −
− − − − − − − −
16 9 3 1
4 2 1 6
2 1 1 5 6 7 7 2
a) 5
4
d)
1
4
b) 4
3
e) -5
c) 1
6. Reduce: R x x x x
= ⋅
2 3 3
3 7
3
a) 1
b)
x
c) x2
d)
x3
e) x4
7. Calcula: A =
+ +
+
3 48 4 192 5 12
12 8 3
a) 27
5
b) 5
27
c) 41
10
d)
1
e) 19
5
8. Reduce:
2
16
4
32
1
8
1
4
a) 1
b) 4
c) 3
d) 16
e) 18

16
UNI
UNI
14. Reduce: T
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= + ↑
+2
3
2 0
;
a) 1
b)
2
c) 3
d)
4
e) 5
15. Simplifica: J
x y
y x
y
x z
x
y z
x y
z
xy
=
( ) ⋅( )
⋅
( )
+ −
−
−
a) x
b) y
c) 1
d) xy
e) x
y
UNMSM
9. Resuelve: 3 3 3 3 9 9 9 9
20 1
... ...
( )
veces x veces
 

 
  
 

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. Si: 2 7
x y
= , halla: R x
x y
=
+
14
a) 3 d) 2
b)
4 e) 1
c) 7
11. Resuelve: Z
n n
n n
n
=
+
+
− −
3 5
5 3
a) 3n
d) 15
b)
15n
e) 8
c) 5n
12. Resuelve:
5 5
5 5
5
16
2
7 +
+
=
x
x
a) 1
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
13. Resuelve: 256 27
4
x x
x
⋅ =
a) 1
2
b) 2
3
c) 3
4
d) 4
5
e) 1
3
Claves
01. -
02. e
03. d
04. a
05. a
06. c
07. a
08. b
09. d
10. c
11. d
12. d
13. c
14. c
15. d

17
Capítulo
1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una expresión matemática en la cual, para la
variable o variables sólo se definen las operacio-
nes aritméticas (adición, sustracción, multiplica-
ción, división, potencia y raíz) un número finito
de veces.
Ejemplos:
• R(x) = 6x-5 ( ) 3 7
;S x;y 29x xy
= −
• Q(x) = 1 + x + x2
+x3
+ …
2. TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión algebraica que no admite las
operaciones de adición y sustracción.
Ejemplo:
( ) ( )
3
3 5 3x y
Q x;y 5x y ; R x;y
2xy
= =
A. Partes de un término algebraico
( )
  
= ⋅π
Parte
Coeficiente
Zona
literal
de
variable
8 5
s
P x;y 5 x y
B. Términos semejantes
Son aquellos términos que tienen la misma
parte lateral (las mismas variables afectados
por los mismos exponentes)
Ejemplo:
• ( ) ( )
= ∧ =
3 5 3 5
R x;y 2x y Q x;y 5x y
Por lo tanto R y Q son términos semejantes.
3. MONOMIO
Es un término algebraico, cuyos exponentes de
sus variables son números naturales.
Ejemplos:
• R(x;y) = 2x5
y4
; ( ) 4
Q x;y 3xy
=
4. POLINOMIOS
Es aquella expresión algebraica cuyos exponentes
de sus variables son enteros no negativos (positi-
vos o cero)
Ejemplos:
• P(x;y) = 3x7
y5
– 2x3
y2
- 8
es un polinomio
• R(x;y) =
−
π + +
2
3
5
2
3 2
x y 3x 2xy
no es polinomio
• Q(x;y) =
−
−
3 4 2 5
2x y 3x y
no es polinomio
5. GRADOS DE UN POLINOMIO
Los grados se clasifican en:
A. Grado Relativo (G.R)
Es el mayor exponente de la variable de refe-
rencia
Ejemplo:
• R(x;y) = − π −
3 5
3 2 4 2
5x y x y 2x y
⇒G.R(x) = 5 ∧ G.R.(y) = 3
POLINOMIOS I
3

18
Trabajando en clase
1. Si + +
⋅ ∧
a 3 8 8 b 2
3
5x y x y
5
son
términos semejantes, calcula
“a +b”
2. Calcula el grado relativo y el
grado absoluto en cada caso:
Y
Y = + π +
2 5 3 4 3 6 7
P(x,y,z) 3x y z x y z 3x
Y
Y = + +
3 3 10 3 6
R(x;y) 2x y 5x 2 y
3. Sea: P(x-1) = 2x – 3, calcula
P(3) – P(-2)
4. Si: P(x-3) = 5x + 2, calcula
P(2x-1)
Resolución:
Se cambia la variable (x-3) por
(m)

− =
= +
x 3 m
x m 3
P(m) = 5(m +3) + 2
P(m) = 5m + 17
Ahora cambiamos la variable
(m) por la variable que no pi-
den que es (2x -1)
P(2x+1) = 5(2x-1) + 17
P(2x-1) = 10x +12
5. Si P(x +3) = 2x – 5, calcula
P(x-5)
6. Suma: + −
∧
a b 16 8 a b
8x y bx y
7. Si el grado absoluto de R es 11,
determine el valor de “n”.
− − +
= − +
3n 1 n 2n 2 2n n 3 3n
R(x;y) x y 2x y x y
8. Si: P(x) = (x-1)47
+ (x +2)3
+x-
3+ a, y su término indepen-
diente es -15, calcula la suma
de coeficientes de P(x)
Resolución:
Recordar:
ΣCoeficientes=P(1)
Término
=P(0)
Independiente
Por dato: T.I. = -15 en el poli-
nomio
⇒T.I. P(0) = (0-1)47
+ (0+2)3
+ 0-3 +a

− =− + − +
− = +
3
15 1 2 3 a
15 4 a
∴ =
−
a 19
Ahora, la suma de coeficientes:

Σ =
Σ = − + + + − +
Σ = + − +
Σ = − −
∴Σ =
47
3
Coef P(1)
Coef (1 1) (1 2) 1 3 a
Coef 0 3 2 a
Coef 27 2 19
Coef 6
B. Grado Absoluto (G.A.)
Se define como el grado de un polinomio.


+
+ + + +
=
=
=
= − +
∴ =
 



5 4 2 3 2 6
G.A.(1 6)
G.A.(5 4 1) G.A.(2 3 2)
G.A. 7
G.A. 7
G.A. 10
P(x;y;z) 3x y z 3x y z 3xy
G.A(P) 10
6. VALOR NUMÉRICO
Es el resultado de cambiar la variable por una
constante.
Ejemplo:
Y
Y Sea P(x) = 3x + 2; calcula M = P(2) + P(0)

= + =
= + =
P(2) 3(2) 2 8
P(0) 3(0) 2 2

 
= +
= +
=
M P(2) P(0)
M 8 0
M 10
7. CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en cambiar una variable por otra.
Ejemplo:
Y
Y Sea P(x) =2x -3, calcula P(3x - 5)
Resolución:
Pondremos “3x-5” donde vemos “x”
P (3x -5) = 2(3x -5) – 3
∴P(3x -5) = 6x -13

Álgebra
19
9. Si: P(x) = (x-1)42
+ (x+1)4
+
x + 2 + m, y su término in-
dependiente es 10, calcula la
suma de coeficientes de P(x)
10. Sea F(x) un polinomio que
cumple con F(x+1) =3F(x)
-2F(x-1), además:
F(4) = 1 ∧ F(6) =4.
Calcula F(5)
Resolución:
Tenemos:
F(x + 1)= 3F(x) – 2F(x – 1)
Si: x = 5; reemplazamos
⇒ F(6) = 3F(5) – 2F(4)
4 = 3F(5) – 2(1)
4 + 2 = 3F(5)
2 = F(15)
11. En el siguiente polinomio:
P(x;y) = xa
yb-1
+ xa+1
yb
–xa-
2
+ xa+3
yb+1
Donde:
G.R(x) = 10, G.A. = (P)=113.
Determina el G.R.(y)
12. Calcula el valor de “n” en el
siguiente polinomio:
n
n 7 10–n
3
P(x) 2x 3x 5x
−
= + −
Resolución:
Recordar que un polinomio
tiene exponente enteros no
negativos (positivo o cero)
− ≥ ∧ = ∧ − ≥
n
n 7 0 3 10 n 0
3
°
≥
n 7 { }
= ∧ ≤
n 0;3;6,9;... n 10
∴ ≤ ≤
7 n 10 ⇒ =
n 9
13. Calcula el valor de “n” en el
siguiente polinomio.
− −
= − +
n
n 22 29 n
5
P(x) 7x 2x 13x
14. Si P(x) = ax2
+ bx + c
Además:
P(0) = 3; P(-1) = 7; P(1) = 1
Calcula P(2)

20
Bloque I
Integral
16. Si: 3xm–5
y4
+ 7x6
yn–2
son términos semejantes,
calcula «m – n»
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
17. Calcula el grado relativo y grado absoluto en cada caso:
A. P(x;y;z) = x4
y2
z3
– 3x6
y9
z + 5x4
G.R.(x) = __________
G.R.(y) = __________
G.A.(P) = __________
B. P x y x y xy xy
= ( )
= − +
; 3 8 7
4 2 5 3
G.R.(x) = __________
G.R.(y) = __________
G.A.(P) = __________
18. Si P(2x+1) = 4x2
– x + 1, calcula P(2)
a) 2 c) 3/2 e) 3
b) 1/2 d) 5/2
19. Si M(x) = 3 – x2
, calcula: A
M M
M
=
−
( ) ( )
( )
4 5
0
a) –35/8 c) –2 e) 3
b) –35/3 d) 2
Católica
20. Si el grado absoluto de «P» es 23, calcula el valor
de «m»
P(x, y, z) = xm
y5
x10
– 3xm+2
yz5
+ 3m
y17
1
2
a) 7 c) 9 e) 11
b) 8 d) 10
21. En el polinomio:
P(x;y) = x3n–1
yn
– 2x2n–3
y2n
+3xn–3
y3n
Se tiene que: G.A.(P)=11, calcula «n»
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
22. Si el monomio: P(x;y) = 9x3
y4n
zn–m
Tiene: G.R.(y) = 16 y G.A.(P)=20, calcula «m.n»
a) 5 c) 12 e) 2
b) 20 d) 10
23. Calcula «a+b» en P x y x 4
a b a b
;
( )= +
3 5 3
. , si
G.A.(P) = 24 y G.R.(x) = 17
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
UNMSM
24. Sea P(x) un polinomio que cumple con
P(x+3) = 2P(x+1) + 5, además P(2) = 6, calcula
P(6).
a) 35 c) 38 e) 40
b) 37 d) 39
25. Dado el polinomio:
P(x;y) = ax+a
yb–1
+ xa+6
yb–1
+xa+4
yb+4
Donde: G.A.(P)=16, G.R.(x)=10, determine
G.R.(y)
a) 8 c) 4 e) 1
b) 6 d) 2
26. Si el término independiente de
P(x + 2) = x2
–mx + 3m – 1 es 7, calcula «m»
a) 1 c) 4/5 e) 1/5
b) 3/2 d) 3/5
27. Si la suma de coeficientes de

P
x
x
x mx
2 5
1
3 1
2
+
+
( )
= + + es 5, calcula «m»

a) –2 c) 0 e) 2
b) –1 d) 1
UNI
28. Sea F(x) =ax + b, además f(0) = 3 y F(1) =5, calcu-
la «a • b»
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5

Álgebra
21
29. Si P(x) = ax2
+ b; P(P(x)) =8x4
+ 24x2
+ c; el valor
de a + b + c
a) 26 c) 0 e) 32
b) 28 d) 31
16. e
17. –
18. c
19. e
20. b
21. c
22. c
23. d
24. d
25. a
26. c
27. d
28. e
29. a
30. e
Claves
30. Determina un polinomio P(x) de segundo grado
cuyo coeficiente principal sea la unidad, de modo
que P(2+x) = P(2-x) y P(0) =2
a) x2
+ 2x + 2 d) x2
+ 2x – 3
b) x2
– 2x + 1 e) x2
– 4x + 2
c) x2
– 2x + 3

22
1. Si: 7xm-2
y10
∧ -35
x10
yn+2
son términos seme-
jantes, calcula “m + n”.
a) 10
b)
14
c) 20
d)
12
e) 16
2. Calcula el grado relativo y grado absoluto en
cada caso:
GR x
GR y
GR z
G A P
. .( )
. .( )
. .( )
. .( )
=
=
=
=

GR x
GR y
G A P
. .( )
. .( )
. .( )
=
=
=
3. Sea P(x-2) = 3x + 1; calcula: P(3) + P(-2).
a) 13 d) 16
b)
14 e) 17
c) 15
4. Si P(x) =3x2
+ x – 3, calcula P(P(P(1))).
a) 1
b)
2
c) 3
d)
4
e) 5
Integral PUCP
5. Suma: 5xm+n
y7
∧ nx9
ym-n
a) 6x9
y7
b)
5x9
y7
c) 6x7
y9
d)
4x9
y7
e) 3x4
y7
6. Si el grado absoluto de P es 20, determina el
valor de “n”
P(x;y)=2x2n-2
y3n+5
+3x5n
y4
– x4n-1
yn+6
a) 5
b)
4
c) 3
d)
2
e) 1
7. En el polinomio:
P(x;y)=xa-5
ya+3
+ 2xa+5
ya-1
+ 3 xa-2
ya+7
Se tiene que G.A.(P) = 19,
calcula G.R(x) . Gr(y)
a) 144
b)
172
c) 168
d)
132
e) 160
8. Si P(x) = 3x + 5 ∧ Q(x) 2x2
+ 5x + 1
Calcula: A
P Q
Q
=
+
−
( ) ( )
( )
3 0
3
a) 15/2
b) 15
c) 15/4
d) ¼
e) 17/4
P x y z x y z x y z z
( ; ; )
= − +
5 2 2
3 2 4 6 7 2 7
P x y x y x y x y
( ; )
= − +
3 12 3
2 3 3 6 5
Bloque II

Álgebra
23
UNI
13. Si P(x) = ax2
+bx + c, además: P(0) = 5;
P(-1) = 6, P(1) = 8, calcula P(-2).
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 3
14. Calcula a –b para que el polinomio:
Q(x) = (a - 2)x4
+ (b-3)x2
+ bx + a sea de
grado 1.
a) -1 d) 2
b)
0 e) 3
c) 1
15. Si: P a
a
a
+
−
( )=
1
1
, calcula:
A P P P P P
= ( )⋅ ( )⋅ ( )⋅ ( )⋅ ⋅ ( )
2 4 6 8 100
...
a) 101 d) 104
b)
102 e) 705
c) 103
UNMSM
9. Sea F(x) un polinomio que cumple con
F(x+1) =3F(x) – 2F(x-1), además:
F(3) = 2 ∧ F(5) = 0. Calcula F(4).
a) 1
b) 2/3
c) 3
d) 4/3
e) 5
10. En el siguiente polinomio:
P(x;y)=xa
yb-1
+ xa+1
yb
– 5xa-2
yb+2
+ xa+3
yb+1
;
Donde: G.R(y) =8 y G.A(P)=12; Calcula el
G.R.(x).
a) 5
b)
4
c) 3
d)
2
e) 1
11. Sea la función f(x+2)=x2
+ x + 1, x∈r . Si
f(k) = k +3, calcula el valore de “k”.
a) 1
b)
2
c) 3
d)
4
e) 5
12. Si P(x) = 5 + (m -2)xm-7
+ (m-3)xm-6
+ …, es
un polinomio completo y ordenado, calcula
el número de términos.
a) 4
b)
7
c) m-3
d)
m-7
e) 5
Claves
01. c
02. -
03. e
04. a
05. a
06. c
07. c
08. c
09. d
10. a
11. d
12. b
13. c
14. a
15. a

25
Capítulo
POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomio ordenado
Se dice ordenado respecto a alguna variable cuan-
do su exponente solo aumenta o disminuye (cre-
ciente o decreciente).
Ejemplos:
• P(x) = 3 + 2x2
+ x3
+ 6x7
Es creciente con respecto a x
• Q(x;y) = + π +
7 3 4 17
2x x y 5xy
Es creciente con respecto a y
Es decreciente con respecto a x
2. Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todo los exponentes
de sus variables desde el mayor grado hasta el tér-
mino independiente.
Ejemplo:
P(x) = 5 + 2x – 3x + x3
+ 2x4
Tiene todos los exponentes y es de grado 4.
3. Polinomio homogéneo
Un polinomio de dos o más términos y dos o más
variables es homogéneo si cada término tiene el
mismo grado absoluto.
Ejemplo:
P(x;y) =   
= = =
− +
7 2 6 3 5 4
G.A 9 G.A 9 G.A 9
3
3 x y 2 x y x y
2
Diremos que es homogéneo de grado 9 o grado
de homogeneidad es 9.
4. Polinomios idénticos
Dos polinomios en una variable y del mismo gra-
do de la forma:
P(x) = axn
+ bxm
+cxp
Q(x) = rxn
+ sxm
+ txp
Son idénticos o iguales si y solo si:
= = =
a r ; b s ; c t
5. Polinomios idénticamente nulo
P(x) 0
≡
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son nulos.
Sea P(x) = ax3
+ bx2
+ cx +d
Es idénticamente nulo, si y solo si:
a = b = c = d = 0
6. Polinomio Mónico
Se dice que un polinomio es Mónico cuando el
coeficiente del término de mayor grado es 1.
Ejemplos:
Si P(x) = 3x4
+ (m -3)x6
+ 3x2
-12; es Mónico,
calcula “m”.
Resolución:
Se busca el mayor grado que es 6, por lo tanto su
coeficiente se iguala a 1.
⇒ m – 3 = 1
m = 4
POLINOMIOS II
4

26
Trabajando en clase
1. Indica V o F según corresponda
Y
Y 2x2
+ 3x + 5 ≡ (a+1)x2
+nx + x2
+ x + 5 entonces
a =1 ∧ n = 3 ( )
Y
Y Sea P(x)= 2x2
+ 3x2
+ 2x
+ 3 + x4
es un polinomio
completo. ( )
Y
Y Sea R(x) = x+3x2
+ 2x3
+
2x + 3 +x4
es un polinomio
completo y ordenado en
forma creciente ( )
Y
Y Sea P(x) = 2x4
+ x3
+ 3x2
-2x + x7
( )
2. Si P(x) =2xa
+ 3x2
+ x5
– 10x6
+
xb
+ 7x 4
– 8x – 3 es un polino-
mio completo, calcula “a+b”.
3. Si P(x) = 3xP-2
+ 5xm-1
+ 2xn+2
– 7xr+6
es un polinomio com-
pleto y ordenado en forma cre-
ciente, calcula “m + n + p + r”.
4. Si P(x) = mx5
– 7mx3
+ (3-m)
x6
+ 5 es un polinomio Móni-
co, calcula la suma de sus coe-
ficientes.
Resolución:
Como P es Mónico, su coefi-
ciente principal vale 1, este es
el coeficiente que acompaña a
la variable de mayor grado.
⇒3 – m = 1 ⇒m = 2
Luego: P(x) = 2x5
– 14x3
+ x6
+ 5
Suma de coeficientes
= 2 – 14 + 1 + 5= -6
5. Si P(x) = mx4
+ (m+1)x5
+
(m -3)x9
– 1; es un polinomio
Mónico, calcula la suma de co-
eficientes.
6. Calcula la suma de coeficien-
tes en el polinomio completo
y ordenado en forma descen-
dente:
P(x) = (m-2)xP-4
+(n+2)xm+2
+
pxn-3
; x ≠ 0
7. Calcula “a + b + c” en el si-
guiente polinomio:
2x2
+ (2a+1)x2
+ (b-2)x + c - 2
≡ 9x2
+ 5x - 6
8. Calcula “a + b + c” si P(x)=2x2
– bx + 3 –ax2
+ 6x – c, es idén-
ticamente nulo.
Resolución:
Agrupamos los términos se-
mejantes para reducir el poli-
nomio:
( ) ( ) 
2 2
2
x 0
x 0 x 0
P(x) 2x bx 3 ax 6x c
P(x) x 2 a x b 6 3 c
2 a 0 b 6 0 3 c 0
2 a 6 b 3 c
=
= =
↓
↓ ↓
= − + − + −
= − + − + + −
−= − + = −=
= = =


 



∴a+ b + c = 11
9. P(x) =3x2
+ bx+ 5 –ax2
–2x+ c,
es idénticamente nulo, calcula
“a + b + c”.
10. Si: P(x;y) = 2x2n+1
yn+2
+ xn-
ym+2n
+ xp + m
es homogéneo
de grado 24, halla “p”.
11. Si el polinomio:
− − −
= + + +
k 2 k 3 m 10
P(x) 5x 3x ... x
Es completo y ordenado en
forma creciente y tiene 18 tér-
minos, calcula “m + k”.
tes del polinomio completo y
ordenado en forma creciente.
P(x) = (a + 3)xa+b -4
+ bxb+c-7
+ (c +1)xa+c-4
, x ≠ 0
Resolución:
A + b – 4 = 0
b + c – 7 = 1
a + c – 4 = 2
A + b = 4
b + c = 8
a + c = 6
a + b = 4
b + c = 8
a + c = 6
2a + 2b + 2c =18 ⇒a +b + c = 9
Suma de coeficientes:
a + 3 + b + c + 1
Suma de coeficientes:
a + b + c + 4
9 + 4
Suma de coeficientes: 13.
13. Calcula la suma de coeficientes
del polinomio completo y or-
denado en forma decreciente.
P(x) = (2a- 1)xa+b-2
+ (2b + 3)
xb+c-3
+ (2c + 5)xa+ c - 4
; x ≠ 0
14. Indica el valor de “a + b” si el
polinomio:
P(x) = (a3
+ 27)x2
+ (b3
– 7)x +
5 es lineal y Mónico.

Álgebra
27
Bloque I
Integral
16. Indica V o F según corresponde:
A. Un polinomio completo está siempre
ordenado. ( )
B. Si P(x)=x + 4x5
– x6
+ 3x10
es un
polinomio ordenado ( )
C. Sea Q(x) = 6x4
+ x3
– 2x2
+ x + 7
es un polinomio completo y ordenado
en forma creciente ( )
D. Sea P(x) = x+2
-4x –1 es un polinomio

Mónico. (
)
a) VVVV c) FVFV e) VVFV
b) VVFF d) FVFF
17. Si P(x) = 4x5
+ 2xa
+ 3 + x4
– 2xb
– x, es un poli-
nomio completo, calcula “a + b”
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
18. Si P(x) = 9 + xb–4
+ 2xc–1
– 7xd+2
es completo y
ordenado, calcula “a + b + c + d”
a) 7 c) 9 e) 11
b) 8 d) 10
19. Si P(x;y) = x4
ya+2
+ bxb+2
yc+3
-ac7
es homogéneo,
calcula b c
a
+
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
20. Calcula la suma de coeficientes del polinomio
completo y ordenado de forma creciente.
P(x)=(2a–1)xa+b–2
+ (2b+3)xb+c–3
+ (2c+5)xa+c–4
; x≠0
a) 16 c) 18 e) 20
b) 17 d) 19
21. Si se cumple: 8x – 4 ≡ 2m + mx + nx – 2n, calcula
“m” y “n”
a) 3 y 5 c) 1 y 5 e) 1 y 7
b) 2 y 4 d) 4 y 7
22. Si P(x;y) = 3x2a
yb+1
+ 4x4
y7
– 5xa
y2b
; es homogé-
neo, calcula “ab”
a) 10 c) 8 e) 12
b) 11 d) 9
23. Calcula “a + b” en el siguiente polinomio.
ax2
+ bx + 7 ≡ k(3x2
– 2x + 1)
a) 4 c) 8 e) 9
b) 6 d) 7
UNMSM
24. En el polinomio homogéneo
P(x;y) = 3xn+12
– 2x3m
y4
+ x8
y8
, determina el gra-
do relativa de “x”
a) 12 c) 20 e) 4
b) 16 d) 8
25. Si el siguiente polinomio de 14 términos es com-
pleto y ordenado.
P(x) = xa+4
+ x+a+3
+ …
a) 3 c) -4 e) 12
b) 9 d) 16
26. Determine el valor de “a + b + c”
Q(x) = (a – 1) x5
+ (b – 3)x2
+ (7 + c) es nulo
a) –2 c) –3 e) –5
b) –4 d) –1
27. Si P(x) ≡ Q(x), calcula “m2
+ n2
”, donde:
P(x) =(m + n)x4
+ (m – 3)x2
+ (n – 5) y
Q(x) = 17x4
+ 2x2
+ 7
a) 13 c) 108 e) 169
b) 164 d) 104

UNI
28. Si P es un polinomio Mónico:
P(x) = (a – 2)x2
+ 2(x + b) + a; P(–2) = 3
Calcula “a + b”
a) –1 c) 3 e) 9
b) 0 d) 6

28
29. Si el grado de homogeneidad de:
P(x;y) =3xa+b
yb–1
+ 5xa+ c
y4
+ 8xb–a
y6
es 7,
calcula a . b . c
a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
16. c
17. b
18. c
19. b
20. d
21. a
22. e
23. d
24. b
25. b
26. c
27. e
28. c
29. c
30. b
Claves
30. Si: ax3
+ bx2
+ cx + d ≡ (x + 1)(x – 1)2
calcula: E = a + b +c + d
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3

Álgebra
29
1. Indica V o F , según corresponda:
A. 3x2
+ 5x – 3 ≡ (a+ 2)x2
+ bx + x2
– 3
entonces a = 0 b = 4 ( )
B. Si P(x) = x + 2x2
+ x4
+ 3x3
es un polinomio completo. ( )
C. Sea R(x) = 3x +2x2
+ 5x – 3
es un polinomio completo y ordenado
en forma creciente ( )
D. Sea P(x) = 2x7
+ 9x6
+ x8
+ 3x -1
no es un polinomio mónico. ( )
a) FFFF
b) VFVF
c) VVVV
d) VVFF
e) VFFV
2. Si P(x) = 2xm
+ 3x3
+ x6
– 3xn
+ 2x5
+ 2x – 2;
es un polinomio completo, calcula “mn”.
a) 4
b)
5
c) 6
d)
7
e) 8
3. Si P(x) = 3xP-3
+ 2xm +2
+ xn-4
- 5xr+4
, es un
polinomio completo y ordenado en forma
decreciente, calcula “m + n + p + r”.
a) 2 d) 7
b)
4 e) 8
c) 5
4. Calcula: a - b.
Si se cumple: x2
– 2(a - 1)x = bx2
+ 8x.
a) -3
b)
-4
c) -5
d)
-7
e) -1
Integral PUCP
5. Calcula la suma de coeficientes en el
polinomio completo y ordenado en forma
ascendente.
P(x) = (m +1)xp+1
+ (n -2)xm + 3
+ pxn+2
; x ≠ 0
a) -1
b)
1
c) -2
d)
2
e) -4
6. Calcula “m + n + p” en el siguiente
polinomio:
3x2
+ (m -1)x2
+ (n -3)x + p + 1 ≡ 1x2
+ 6x + 4
a) 13
b)
12
c) 11
d)
20
e) 19
7. Si se sabe que los grados M, N, P son 80, 100
y 120, respectivamente, calcula el grado de
la siguiente expresión:
a) 100
b)
200
c) 460
d)
500
e) 3000
8. Si: P(x,y) = mxm+5
y2n
+ nxsm-3n
y3(n+1)
es
homogéneo de grado 18. Hallar: m.n
a) 20 d) 22
b) 12 e) 15
c) 18
H(x)=
P (x) N (x)
M(x)
2 3
⋅
Bloque II

30
UNI
13. Indica el valor de “m+n” si el polinomio:
P(x) = (m3
- 125)x3
+ (n3
- 26)x + 6 es lineal
y Mónico
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
14. Sea el polinomio homógeneo G(x;y) = x5
ya+2
+ bxb+1
yc2
+ax6
y3
, calcula: b-a.
a) 1 d) 4
b)
2 e) 5
c) 3
15. Calcula “mn” si se sabe que el siguiente
polinomio es homogéneo:
L(x;y) = 12xm
y4
+ x6
y4
– 2x3
y5+n
a) 10
b)
12
c) 11
d)
13
e) 14
UNMSM
9. Si: P(x;y) = 3x2a+2
.ya+1
+ xa
ya+3b
+yb+ c
; es
homogéneo de grado 12, calcula “c”.
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
P(x; y) = (10-m)x2
y + nxy2
+ 5x2
y - 2xy2
es idénticamente nulo, calcular: mn
a) 229
b)
227
c) 223
d)
225
e) 221
11. Si P(x) = (m-2)x7-m
– xm
+ 2xn+1
– xp-2
+ 8; es
un polinomio Mónico, completo y ordenado.
Calcula “m+ n + p”.
a) 1
b)
3
c) 5
d)
7
e) 9
12. Determina el valor de la suma de coeficientes
de P(x), si se sabe que es un polinomio
completo.
P(x) =4x + 2x4
+ 6mxm -5
– 3x3
-4
a) 41
b)
27
c) 26
d)
38
e) 43
Claves
01. a
02. e
03. d
04. b
05. e
06. c
07. c
08. e
09. c
10. d
11. d
12. a
13. c
14. e
15. b

31
Capítulo
1.
IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE
DIVISIÓN ENTERA
Dado los polinomios dividendo (D(x)), divisor
(d(x)), cociente (q(x)) y residuo (R(x)), se cumple:
D(x) d(x) q(x) R(x)
≡ ⋅ +
2. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
Y
Y
≥
Grado D(x) Grado d(x)
Y
Y
=
Grado q(x) Grado D(x) – Grado d(x)
Y
Y (x) (x)
Grado R Grado d

Y
Y
Máx: Grado R(x) = Grado d(x)–1
¡Cuidado!
− + −
= +
3 3 3
6x 12 2x 4
3x x x
Pero al dividir no nos genera un polinomio.
3.
MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN
NORMAL
Paso 1: Se ordenan y se completan los polinomios
dividendo y divisor (opcional completar), en for-
ma descendente; y se escriben tal como vamos a
dividir numéricamente.

Paso 2: Se divide el primer término del dividendo
entre el primer término del divisor, obteniendo el
primer término del cociente.
Paso 3: Se multiplica el término hallado del co-
ciente por cada uno de los términos del divisor, y
este producto se resta del dividendo. Para esto los
términos del producto se cambian de signo.
Ejemplo:
Dividir:
+ + − +
− +
5 4 2
2
6x 5x 38x 22x 6
2x 3x 1

Resolución:
Vemos que están ordenados solo falta completar.

q(x) = 3x3
+ 7x2
+ 9x + 29
R(x) = 56x – 23
DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
5

32
Trabajando en clase
1. Calcula el grado del cociente
y el grado máximo de residuo
en cada caso:
Y
Y
+ + +
+ +
4 2
2
2x 3x x 2
2x x 2
Y
Y
+ + +
+
3 2
3x 2x x 1
x 1
Y
Y
+ + +
+ +
4 5
3 2
6x 2x x 5
2x 3x 1
2. Sea un polinomio:
= + +
2
P(x) 2x 3x m se divide
entre x – 1, genera un residuo
igual a 7. Calcula “m”.
3. Divide = + +
3
P(x) x 2x 2 entre
= −
d(x) x 1
4. Calcula el resto de la división:
+ + + −
+ −
4 3 2
2
9x 6x 4x x 2
3x x 1
Resolución:
Verificamos que tanto el divi-
dendo como el divisor estén
completos y ordenados en forma
descendente. Luego hacemos:
∴ =
R(x) 0
5. Halla el cociente de dividir:
+ + +
+ +
4 2
2
x 2x 3x 4
x x 2
6. Al dividir = + −
3
P(x) x 2x 2
entre = −
d(x) x 1, se obtiene
un cociente igual a: ax2
+bx+c.
Calcula “(a+b+c)”.
7. Al dividir
= − + −
4 2
D(x) 8x 6x 9x 2
entre = + −
2
d(x) 2x x 2 se ob-
tuvo como residuo a mx + 2.
Calcula “m4
”.
8. Al dividir mediante el método
clásico: + + +
−
3 2
2
2x 2x Ax B
2x 1
se
obtuvo como resto 2x + 3, cal-
cula “A + B”.
Resolución:

⇒ = + + +
= +



R(x) (A 1)x B 1
Por dato: R(x) 2x 3

A 1 2 B 1 3
A 1 B 2
A B 3
⇒ + = ∧ + =
⇒ = ∧ =
∴ + =
9. Al dividir mediante el método
clásico: + + +
−
3 2
2
6x 3x Ax B
3x 2
se
obtuvo como resto 4x + 2, cal-
cula “A + B”.
tes del resto al dividir median-
te el método clásico:
− + − + −
+ −
5 4 3 2
3
12x 6x 14x 30x 16x 9
3x 2x 6
11. Calcula “K” en la división
exacta: − + +
+
3 2
20x 7x 29x k
4x 1
12. Si el polinomio
= + − + −
4 3 2
P(x) x ax bx cx 1
esdivisiblepor − + −
(x 1)(x 1)(x 2)
el valor de “a + b + c” es:
Resolución:
Utilizamos la identidad funda-
mental de la división:
D(x) q(x) d(x) R(x)
≡ ⋅ +
+ − + − = − + −
4 3 2
a ax bx cx 1 (x 1)(x 1)(x 2)d(

4 3 2
a ax bx cx 1 (x 1)(x 1)(x 2)d(x) 0
+ − + − = − + − +
Para x = –1:

1 a b c 1
− − − −
0
( 1 1)( 1 1)( 1 2)d(x) 0
= − − − + − − +

a b c 0
∴ + + =

= + + + −
5 3 2
P(x) x mx nx 3x 2
es divisible por − +
(x 1)(x 1) ,
entonces el valor de “m . n” es:
14. El resto de la división de un po-
linomio P(x) entre + +
2
x 3x 2
es 2x + 3 y entre + −
2
x 2x 3 es
x – 2. Calcula el resto de la di-
visión de P(x) entre −
2
x 1.

Álgebra
33
Bloque I
Integral
16. Divide: x x x
x
3 2
3 3 1
1
− + −
−
, calcula el cociente.
a) x2
– 2x + 1 c) x2
– 2x – 1 e) x + 1
b) x2
+ 2x + 1 d) x – 2
17. Divide: x x x
x x
3 2
2
2 5 6
2
+ − −
− −
, calcula el residuo.
a) 4 c) 2 e) 0
b) 3 d) 1
18. Si P(x) = x3
+ 3x2
+ 3x + 1 y d x x x m
( )
= + +
2
2 .
Calcula “m” si la división es exacta.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
19. Si D(x) = x2
+ 3x + m y d(x) = x – 2 genera un
resto igual a 7. Calcula “m + 1”.
a) 1 c) –2 e) -3
b) 3 d) –1
20. Calcula el residuo de dividir: x
x
3
1
1
−
−
a) 2 c) 4 e) 0
b) 3 d) 1
21. Divide: x x x x
x x
4 3 2
2
3 2
2
− + − +
+ +
a) x x
2
2 1
+ + c) x x
2
2 1
− + e) x x
2
1
− +
b) x + 1 d) x x
2
2
−
22. Divide: a a a
a2
4 2
2 2 5
1
+ + +
+
a) a2
1
+ d) a a
2
3 1
+ +
b) a a
2
1
+ + e) a a
2
2 1
− −
c) a a
2
2 1
+ +
23. Al dividir D(x) = x4
+ x2
+ 4 entre d(x) = x2
+ 1 – x,
me genera un residuo de la forma “ax + b”. calcula “a + b”.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
UNMSM
24. Al dividir: x x
x
2
5 8
2
− +
−
, me genera un residuo
igual a “m”. Calcula “m2
”.
a) 1 c) 9 e) 25
b) 4 d) 16
25. Calcula el residuo de dividir 3 8 11
3 1
2 4
2
x x x
x x
+ + +
+ +
a) 10x c) 8x e) 7x
b) -22x d) 36x
26. Calcula el cociente de dividir: 3 4 12
4
2 3
2
x x x
x
+ − −
−
a) x+3 c) x+1 e) x-5
b) x-3 d) x-1
27. Calcula el residuo de dividir: 3 4 13
4
2 3
2
x x x
x
+ − −
−
a) 2 c) 4 e) -1
b) 3 d) 1
UNI
28. Calcula el cociente de dividir P x x
( )
= +
27 8
6
entre q x x x
( )
= − +
9 6 4
4 2
.
a) x2
+ 2 c) 3x + 2 e) 3x2
+ 2
b) x + 2 d) x2
+ 1
29. Al dividir P x x x m
( )
= + +
2
3 entre x – 1 me ge-
nera un residuo igual a 5. Calcula m2
.
a) 1 c) 9 e) 25
b) 4 d) 16
30. Divide: 32 76 93 110 68
4 5 6 7
4 3 2
3 2
x x x x
x x x
− + − +
− + −
.
Calcula el resto.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4

34
16. a
17. e
18. a
19. c
20. e
21. c
22. a
23. c
24. b
25. b
26. a
27. e
28. e
29. a
30. e
Claves

Álgebra
35
1. Calcule el resto al dividir:
a) 1 d) -2
b) 2 e) -1
c) 3
2. Sea un polinomio P x x x m
( )
= + +
2 8
2 se di-
vide entre x – 1, genera un residuo igual a 16.
Calcula “m”.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
3. Divide: P x x x
( )
= + +
4
3 5 entre d(x) = x + 2.
Da como respuesta el cociente.
a) x2
– 5
b) x2
+ 2x + 5
c) x3
– 2x2
+ 4x – 5
d) x2
+ 3
e) x3
+ 2x2
– 4x + 5
4. Divide: x x x x
x x
5 4 2
2
2 3 2 1
1
+ + + +
+ +
.
Da como respuesta el residuo.
a) -3
b) x – 2
c) -1
d) 0
e) x – 3
Integral PUCP
5. Al dividir P x x x
( )
= + −
2 2 2
3
entre d(x) = x – 2 , se obtiene un cociente
igual a: q x ax bx c
( )
= + +
2 .
Calcula “a + b + c”.
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
6. Al dividir D x x x x x
( )
= + − + +
6 3 3 2
4 3 2
entre d x x x
( )
= + +
2 2
2
se obtuvo como resi-
duo a mx + n, calcula “m + n”.
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
7. Divide: 2 3 3
2 1
3
2
x x
x
+ +
+
, da como respuesta el
cociente.
a) x
b) x2
+ 1
c) x2
+ 2
d) x – 1
e) x + 1
8. Divide: 2 3 1
3
2
x x
x
+ +
−
, da como respuesta el
residuo.
a) 25 d) 29
b) 26 e) 28
c) 27
x x m m x m
x m
3 2 2
2 2 2 2 2
2
− + − − − −
− −
( )
Bloque II

36
UNI
13. Si el polinomio P x x ax bx
( )
= + + +
3 2
2 es di-
visible por (x – 1) (x + 1), el valor de “a + b” es:
a) -3 d) 1
b) -2 e) 3
c) -1
14. Divide: 20 15 10
5
4 2 2 2 2
2
a b a b a b
a b
− + .

Indica el cociente.
a) 4a2
b–3b2
+2a d) 4a2
b+5b–2
b) 4a2
b–5b+2 e) 4a2
b–3b+2
c) a2
b–b2
+2a
15. En la siguiente división:

Deja como resto: 13x+3.
Determine el valor de: A
B
.
a) 1 d) 1/2
b) 2 e) 1/3
c) 3
UNMSM
9. Calcula la suma de coeficientes del cociente al
dividir mediante el método clásico.

12 6 14 30 16 9
3 2 1
5 4 3 2
3
x x x x x
x x
− + − + +
+ +
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. Calcula “m” en la división:
20 29
5 1
3 2
x x x m
x
+ + +
−
; si es exacta.
a) -6
b) 6
c) 7
d) 8
e) -5
11. Divide: x x x x
x x
4 3 2
2
8 7 2 1
2 1
− + − +
− +

Indica el cociente.
a) x x
2
6 6
− −
b) x x
2
6 6
+ +
c) x + 6
d) 6x + 6
e) 6x – 6
12. Divide: x x x
x x
3 2
2
3 3 8
2
+ − +
+ −
, indica el residuo.
a) 3x + 12
b) -3x – 12
c) -3x + 12
d) 3x – 12
e) 0
Claves
01. b
02. c
03. c
04. a
05. c
06. b
07. a
08. e
09. d
10. a
11. a
12. c
13. a
14. e
15. b
2 7 16
2 3 4
4 3 2
2
x x x Ax B
x x
+ + + +
+ +

37
Capítulo
PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones de
polinomios de forma conocida. Estos resultados se
pueden determinar directamente sin necesidad de
efectuar la propiedad distributiva de la multiplicación.
Ejemplo:
+ + = + +



2
Producto notable
(x 3)(x 5) x 8x 15
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
1. Trinomio cuadrado perfecto
( )2
2 2
(a b) (a) 2(a)(b) b
± = ± +
Ejemplos:
Y
Y + = + ⋅ +
= + +
2 2 2
2 2
(2x 3y) (2x) 2(2x) (3y) (3y)
4x 12xy 9y
Y
Y − = − +
= − +
2 2 2
2 2
(2m 5n) (2m) 2(2m)(5n) (5n)
4m 20mn 25n
Y
Y + = + +
= + +
2 2 2
2
(x 3) (x) 2(x)(3) (3)
x 6x 9

Y
Y − = − +
= − +
2 2
2
(n 5) (n) 2(n)(5) (5)
n 10n 25
2. Identidades de Legendre

+ + − = +
2 2 2 2
(a b) (a b) 2(a b )
+ − − =
2 2
(a b) (a b) 4(a)(b)
+ − − = +
4 4 2 2
(a b) (a b) 8ab(a b )
Ejemplos:
Y
Y + + − = +
+ + − = +
2 2 2 2
2 2 2
(x 5) (x 5) 2(x 5 )
(x 5) (x 5) 2(x 25)
Y
Y 2 2
2 2
(x 3) –(x 3) 4(x)(3)
(x 3) –(x 3) 12x
+ − =
+ − =
Y
Y + + − = +
+ + − = +
2 2 2 2
2 2 2 2
(5m 2n) (5m 2n) 2((5m) (2n) )
(5m 2n) (5m 2n) 2(25m 4n )
Y
Y + − − =
+ − − =
2 2
2 2
(3x 2y) (3x 2y) 4(3x)(2y)
(3x 2y) (3x 2y) 24xy
3. Diferencia de cuadrados
+ − = −
2 2
(a b)(a b) a b

Ejemplos:
Y
Y + − = −
+ − = −
2 2
2 2
(3x 2y)(3x 2y) (3x) (2y)
(3x 2y)(3x 2y) 9x 4y
Y
Y + − = −
= −
2 2
2
(x 3)(x 3) (x) (3)
x 9
Y
Y + − = −
= −
2 2
2 3 2 3 2 3
4 6
(2x 3y )(2x 3y ) (2x ) (3y )
4x 9y
4. Multiplicación de dos binomios con un
término en común (Regla de Steven)
+ + = + + +
2
(x a)(x b) x (a b)x ab
Ejemplos:
Y
Y + + = + + +
= + +
2
2
(x 5)(x 3) x (5 3)x (5)(3)
x 8x 15
Y
Y − + = + − + + −
= − −
2
2
(x 7)(x 3) x ( 7 3)x ( 7)(3)
x 4x 21
PRODUCTOS NOTABLES I
6

38
Trabajando en clase
1. Indica V o F según corresponda.
Y
Y + = +
2 2 2
(2x 3y) 4x 9y
( )
Y
Y − = −
2 2 2
(2m n) 4m n
( )
Y
Y
2 2 2
(4m 3n) 4m 24mn 9n
+ = + +
( )
2. Desarrolla:
= +
2 2 2
A (5m 3n )
3. Desarrolla:
( )
= −
2
J 13 5
4. Efectúa:
+ − + + −
=
+ −
( 5 1)( 5 1) ( 3 1)( 3 1)
P
( 2 1)( 2 1)
Resolución:
Como podemos observar tan-
to en el numerador como de-
nominador se puede utilizar:
+ − = −
2 2
(a b)(a b) a b
Y
Y + − =
( 5 1)( 5 1) ( 5 − = − =
2 2
) 1 5 1 4
Y
Y + − =
( 3 1)( 3 1) ( 3 − = − =
2 2
) 1 3 1 2
Y
Y + − =
( 2 1)( 2 1) ( 2 − = − =
2 2
) 1 2 1 1
Luego:

4 2
P 6
1
P 6
+
= =
∴ =
5. Efectúa:
+ − + − +
=
+ −
( 6 2)( 6 2) ( 7 1)( 7 1)
R
( 5 2)( 5 2)
6. Si + = ∧ =
2
(x y) 36 xy 8 .
Calcula: “x2
+ y2
”.
7. Reduce:
+ − −
=
2 2
(3x 4y) (3x 4y)
R
xy
8. Si + = ∧ =
a b 7 ab 3.
Calcula “a2
+ b2
”
Resolución:
Partimos de (a + b)2
 
+ = + +
2 2 2
7 3
(a b) a 2ab b
Se tiene:
2 2 2
2 2
2 2
7 a 2(3) b
49 6 a b
a b 43
= + +
− = +
∴ + =
9. Si + = ∧ + =
2 2
a b 3 a b 7.
Calcula “ab”.
10. Si + =
1
x 5
x
, calcula “ +
2
2
1
x
x
”
11. Si − = ∧ =
x y 2 xy 3.
Calcula: “x + y”.
12. Si − −
+ ⋅ ⋅ =
2 2 1 1
(x y ) x y 2.
Calcula el valor de:
+ +
=
+
2 2
2
x xy y
E
(x y)
Resolución:
Partimos del dato:
⇒ + ⋅ ⋅ =
2 2 1 1
(x y ) 2
x y
⇒ + =
2 2
x y 2xy

2
0
2 2
(x y)
x y 2xy 0
0 x – y 0
x y
−
⇒ + − =
=
⇒ =
⇒ =




En el problema:
+ ⋅ +
=
+
2 2
2
x x x x
E
(x y)
+ +
= =
2
2 2 2
2
3x
x x x
E
(2x) 2
4 x
⇒ =
3
E
4
13. Si
− −
+ ⋅ ⋅ =
2 2 1 1
(x y ) x y 2.
Halla el valor de:

+
=
+
2
3
3xy 2x
R
(x y)
14. Halla el valor de:
= ⋅ + + + +
8 2 4 8
V 8 (3 1)(3 1)(3 1) 1

Álgebra
39
Bloque I
Integral
16. Indicar V o F según corresponda.
A) (a + b)2
= a2
+ b2
B) (x + 3)(x – 5) = x2
– 8x –15
C) (x – 4)2
= x2
+ 8x + 16
a) VVV c) FFV e) FFF
b) VFV d) FVF
17. Desarrolla: A m n
= +
( )
2 3
2 3 2
a) 4 12 9
4 2 3 6
m m n n
+ +
b) 4 9
2 6
m n
+
c) 2 3 6
2 3 2 3
m n m n
+ +
d) 2 9
4 6
m n
+
e) 2 12 9
4 2 3 6
m m n n
+ +
18. Desarrolla: M = ( 11 – 7)2
a) 4 c) 9 2 77
+ e)18 2 77
−
b)18 2 77
− d) 18
19. Reduce: M m b m b
= + − −
( ) ( )
5 4 5 4
2 2
a) 25 16
2 2
m b
+ d)
50 32
2 2
m b
−
b) 25 16
2 2
m b
− e) 80mb
c) 50 32
2 2
m b
+
Católica
20. Si ( )
x y
+ =
2
144 ; xy = 22, calcula x y
2 2
+
a) 90 c) 144 e) 22
b) 100 d) 244
21. Reduce: R
m n m n
=
+ − −
( ) ( )
5 6 5 6
60
2 2
a) 2mn d) m n mn
2 2
4
+ +
b) m n mn
2 2
+ + e) m2
c) ( )
m n
+ 2
22. Calcula: ( ) ( )
5 2 5 2
2 2
+ + −
a) 7 c) 14 e) 3
b) 10 d) 20
23. Si
a
b
b
a
+ =
2, calcula E
a ab b
ab
=
+ +
3
5
2 2
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
UNMSM
24. Si: x
x
+
1
= 7 , calcula: x
x
2
2
+
1
a) 44 c) 46 e) 48
b) 45 d) 47
25. Si m – n = 3 y mn = 4, calcula m + n; m n
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
26. Si x
x
−
1
= 5, calcula x
x
2
2
+
1
a) 23 c) 25 e) 27
b) 24 d) 26
27. Calcula: ( ) ( ) , ,
x y x y x y
+ − − ∀ ∈ +
2 2

a) 4xy c) x + y e) 0
b) 4 xy d) 2x + 2y
UNI
28. Calcula el valor de: M
= + + +
124 5 1 5 1 1
3 6
6
( )( )
a) 125 c) 625 e) 225
b) 25 d) 5
29. Calcula el valor de:
E x a x a x a x a a
= + − + + +
( )( )( )( )
2 2 4 4 8
a) x4
c) x6
e) 0
b) x8
d) x16
30. Si: x
x
+ =
1
3 , calcula: x
x
4
4
1
+
a) 49 c) 40 e) 41
b) 47 d) 39
16. e
17. a
18. b
19. e
20. b
21. a
22. c
23. a
24. d
25. d
26. e
27. b
28. b
29. b
30. b
Claves

40
1. Indica V o F según corresponda.
A. ( )
3 2 3 12 4
2 2 2
m n m mn n
− =− + .... ( )
B. ( )
6 5 36 60 25
2 3 2 4 2 3 6
a b a a b b
+ =
+ + ( )
C. ( )
3 2 9 6 4
2 2 2
x y x xy y
+ =
+ + .......... ( )
a) VVV
b) VFV
c) FFV
d) FVF
e) FFF
2. Desarrolla: R m n
= −
( )
3 5 2
a) 9 25
2 2
m n
−
b) 3 15 5
2 2
m mn n
− +
c) 9 30 25
2 2
m mn n
− +
d) 9 25
2 2
m m
+
e) 9 15 25
2 2
m mn n
− +
3. Desarrolla: A
= +
( )
5 3 2
a) 8
b) 8 2 15
+
c) 25
d) 8
e) 8 2 8
+
4. Calcula: M
= + − −






4 15 4 15
2
a) 0
b) 15
c) 8
d) 2 15
e) 6
Integral PUCP
5. Si: ( )
x y x y
+ =
∧ + =
2 2 2
25 11, calcula “xy”.
a) 7
b) 14
c) 21
d) 2
e) 9
6. Reduce: ( ) ( )
3 2 3 2
9 4
2 2
2 2
m n m n
m n
+ + −
+
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. Reduce: M = (x – 3)(x – 5) – (x – 6)(x – 2)
a) x2
b) 3
c) 27
d) 7
e) 15
8. Reduce: A
m n m n
mn
=
− − +
( ) ( )
2 2
a) -8
b) -2
c) -4
d) 4
e) 2
Bloque II

Álgebra
41
UNI
13. Si:
x
y
y
x
+ =
2 , calcula: E
x xy y
xy
=
+ +
2 2
3
4
.
a) 5/4 d) 1
b) 4/5 e) 2
c) 1
4
14. Si: x = 24 ∧ y = 22, calcula:

R x y x y x y y
= + + + +
2 2 2 4 4 8
8
( )( )( )
a) 128 d) 64
b) 24 e) 144
c) 12
15. Calcula:

E a b a b a b a b
= + + −





 − + − −






( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2
Para a b
= =
999 997
; .
a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 16
UNMSM
9. Si: x
x
− =
1
6 , calcula: “ x
x
2
2
1
+ ”.

a) 34
b) 36
c) 38
d) 12
e) 14
10. Si: x y x y
+ =∧ + =
5 25
2 2
.
Calcula “x – y”; si x y.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) -5
11. Si: x – y = y – z = 2, calcula:
R
x y z y z x
=
− + − + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
8
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12. Si: x+x–1
= 5, calcula: “x2
+x–2
”.
a) 27
b) 23
c) 21
d) 19
e) 17
Claves
01. d
02. c
03. b
04. e
05. a
06. b
07. b
08. c
09. c
10. b
11. c
12. b
13. a
14. b
15. c

43
Capítulo
1. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL
CUBO

+ ≡ + + +
+ ≡ + + +
3 3 2 2 3
3 3 3
(a b) (a) 3(a) (b) 3(a)(b) (b)
(a b) a b 3ab(a b)

− ≡ − + −
+ ≡ − − −
3 3 2 2 3
3 3 3
(a b) (a) 3(a) (b) 3(a)(b) (b)
(a b) a b 3ab(a b)

Ejemplos:
Y
Y + = + + +
= + + +
3 3 2 2 3
3 2
(x 2) (x) 3(x) (2) 3(x)(2) (2)
x 6x 12x 8
Y
Y 3 3 2 2 3
3 2
(x 3) (x) 3(x) (3) 3(x)(3) (3)
x 9x 27x 27
− = − + −
= − + −
Y
Y Si + = ∧ =
x y 3 xy 4, hallar: +
3 3
x y
Resolución:
Partimos de:

  
3 3 3
3 4 3
3 3 3
3 3
(x y) x y 3xy(x y)
3 x y 3(4)(3)
x y 9
+ = + + +
= + +
∴ + =
−
2. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
+ − + = +
− + + = −
2 2 3 3
2 2 3 3
(a b)(a ab b ) a b
(a b)(a ab b ) a b
Ejemplos:
Y
Y + − + = + = +
2 3 3 3
(x 3)(x 3x 9) (x) (3) x 27
Y
Y − + + = −
= −
2 2 3 3
3 3
(2m 3n)(4m 6mn 9n ) (2m) (3n)
8m 27n
3.
DESARROLLO DE TRINOMIO AL
CUADRADO Y AL CUBO
+ + = + + + + +
+ + = + + + + + +
2 2 2 2
3 3 3 3
(a b c) a b c 2(ab bc ac)
(a b c) a b c 3(a b)(b c)(c a)
Ejemplo:
Y
Y
2 2 2 2
2 2 2 2
(2x 3y z) (2x) (3y) (z) 2 (2x)(3y) (2x)(z) (3y)(z)
(2x 3y z) 4x 9y z 2(6xy 2xz 3yz)
+ + = + + + + +
 
 
+ + = + + + + +
4. IDENTIDADES CONDICIONALES
Si + + =
a b c 0 se verifican:
Y
Y + + =
− + +
2 2 2
a b c 2(ab bc ac)
Y
Y 2 2 2 2
(ab bc ac) (ab) (bc) (ac)
+ + = + +
Y
Y + + =
3 3 3
a b c 3abc
Ejemplo:
Si x + y + z = 0; calcula:
+ +
=
3 3 3
x y z
E
4xyz
Resolución:
3 3 3
x y z 3xyz
3xyz
E
+ + =
⇒ =
4xyz
3
E
4
∴ =
PRODUCTOS NOTABLES II
7

44
Trabajando en clase
1. Desarrolla:
Y
Y + 3
(a 2b)
Y
Y − 3
(x 3y)
Y
Y + − +
2 2
(x 2y)(x 2xy 4y )
Y
Y − + +
2 2
(2m n)(4m 2mn n )
2. Si m + n = 4 ∧ mn = 2.
Calcula el valor numérico de:
+
3 3
m n
3. Si − = ∧ − =
−
3 3
x y 4 x y 12.
Calcula el valor numérico de
“xy”.
4. Reduce:
= + − + − − + +
2 2
A (3x 2)(9x 6x 4) (3x 2)(9x 6x 4)
Resolución:
De:
+ − + = +
− + + = −
2 2 3 3
2 2 3 3
(a b)(a ab b ) (a) (b)
(a b)(a ab b ) (a) (b)
3 3
3
A 27x 8 (27x 8)
A 27x
= + − −
= 3
8 27x
+ − 8
A 16
+
=
5. Calcula:

3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
B ( 7 2)( 49 14 4) ( 5 3)( 25 15 9)
= + − + + − + +

3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
B ( 7 2)( 49 14 4) ( 5 3)( 25 15 9)
= + − + + − + +
6. Reduce:
= + − − + + + +
2 2
A (m 2)(m 2)(m 2m 4)(m 2m 4) 64
7. Si +
= =
3 3
x y 2 ; xy 4 .
Halla:
= + − + −
2 2 2 2 3 3
K (x y) (x xy y ) 4x y
8. Si x+y+z = 0, calcula el valor
de:
+ +
=
3 3 3
x y z
M
9xyz
Resolución:
Por dato: x + y + z = 0 se cum-
ple: + + =
3 3 3
x y z 3xyz
en el problema: =
3xyz
M
9xyz
= 1
3

1
M
3
∴ =
9. Si m + n + p = 0 ∧ mnp = 5.
Calcula + +
3 3 3
m n p
10. Si + + =
3 3
3
x y z 0
xyz = 4
Calcula el valor de:
+ +
 
=  
 
3
x y z
T
3
11. Si a + b + c = 11, calcula el
valor de:
− + − + −
=
− − −
3 3 3
(a 3) (b 6) (c 2)
A
(a 3)(c 2)(b 6)
12. Si + + =
+ + =
2 2 2
a b c 10;
a b c 60
Calcula: ab + bc + ac
Resolución
Partimos de:
2 2 2 2
10 60
2
(a b c) a b c 2(ab bc ac)
10 60 2(ab bc ac)
40 2(ab bc ac)
ab bc ac 20
+ + = + + + + +
= + + +
= + +
∴ + + =


 
13. Si a + b + c = 8
ab + bc + ac = 15
Calcula a2
+ b2
+ c2
14. Si x + y + z = 0, calcula:
+ + + +
= +
+ +
3 3 3 2 2 2
x y z x y z
M
xyz xy xz yz

Álgebra
45
Bloque I
Integral
16. Desarrolla:
A. ( )
2 1 3
a +
B. ( )
a b
−2 3
C. ( )( )
2 4 2
2 2
a b a ab b
− + +
D. ( )( )
5 25 5
2 2
a b a ab b
+ − +
17. Si a + b = 6 ∧ ab = 4, calcula el valor de a b
3 3
+
a) 6 c) 144 e) 288
b) 36 d) 216
18. Si m – n = 5 ∧ m n
3 3
25
− =
− .
Calcula el valor de “mn”.
a) 5 c) –5 e) 135
b) 10 d) –10
19. Si x x
− =
−1
5 , calcula el valor de: n x
x
= −
3
3
1 .
a) 140 c) 110 e) 80
b) 120 d) 90
Católica
20. Reduce:
A x a x a x ax a x ax a a
= + − − + + + +
( )( )( )( )
2 2 2 2 6
a) a c) x6
e) a6
b) x3
d) –a6
21. Si a b ab
+ = ∧ =
5 25
3 3 .
Calcular: L a b a ab b a b
= + − + −
( ) ( )
2 2 2 2 3 3
5
a) 0 c) 5 e) –25
b) 1 d) –10
22. Si se cumple: ( )( )
2 1 4 2 1 511
n n n
− + + = .
Calcular “n”.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
23. Efectúa:
( ) ( ) ( )
x y x xy y xy x xy y
+ + + − + +
2 2 2 2 2 2 2
4
a) 4 3 3
x y c) ( )
x y
3 3 2
− e) −4 3 3
x y
b) 3 3 3
x y d) x y
3 3
UNMSM
24. Si x y z
3 3 3
0
+ + = calcula el valor de:

E
x y z
=
+ +






8
9 2
3
a) 3xyz c) 4xyz e) xyz
2
b) xyz d) xyz
9
25. Si: x + y + z = 9, calcula el valor de:
G
x y z
x y z
=
− + − + −
− − −
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 3 4
6 2 3 4
3 3 3
a) 3 c) 1/2 e) 1
b) -3 d) -1/2
26. Si: a + b + c = 20
ab + bc + ac = 40
calcula: T a b c
= + +
2 2 2
a) 300 c) 320 e) 360
b) 400 d) 350
27. Si: x + y + z = 0, calcula el valor de:
F
x y z y z x x z y
xyz
=
+ − + + − + + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
a) -81 c) 49 e) 27
b) 81 d) -49
UNI
28. Si: m + n + p = 0, calcula:
E
m n p
mnp
m n p
mn np mp
=
+ +
−
+ +
+ +
3 3 3 2 2 2
a) 5 c) 3 e) 1
b) 4 d) 2
29. Si: m + n + p = 11
m n p
2 2 2
40
+ + =
Calcula: P = mn + mp + np
a) 81 c) 81/2 e) 121/2
b) 121 d) 1/2

46
1. –
2. c
3. d
4. a
5. c
6. e
7. c
8. c
9. a
10. c
11. c
12. a
13. a
14. c
15. c
Claves
30. Si: x
x
− =
1
1 , calcula: T x
x
= +
6
6
1
a) 6
b) 21
c) 18
d) –10
e) –15

Álgebra
47
1. Si: m+n = 2 ∧ m3
+n3
= 4
Halla el valor de: mn.
a) 2
3
b) 3
2
c) 3
4
d) 4
3
e) 8
3

2. Si: x + y = 5 ∧ xy = 3
Calcula el valor de “x3
+y3
”
a) 125
b) 216
c) -125
d) 80
e) -80
3. Si: x y x y
− =∧ − = −
2 10
3 3
.
Calcula el valor de “xy”.
a) -1
b) -2
c) -3
d) -4
e) -5
4. Si: x
x
+ =
1
4 , calcula el valor de: E x
x
= +
3
3
1 .
a) 15
b) 25
c) 32
d) 45
e) 52
Integral PUCP
5. Reduce:

J m m m m m m
= − + + + − + +
( )( )( )( )
1 1 1 1 1
2 2

a) -m6
b) m6
c) - 1
d) 1
e) -1
6. Si: m n mn
+ = ∧ =
3 9
3 3
, calcula:
P m mn n m n m n
= − + + −
( ) ( )
2 2 2 2 3 3
4
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
7. Reduce:
H a a a a a a
= + − + − − + +
( )( ) ( )( )
1 1 1 1
2 2
a) 1
b) 2
c) 3
d) a
e) -a
8. Calcula:
A
= − + +
( )( )
10 2 100 20 4
3 3 3 3 3
a) 1
b) 2
c) 8
d) 6
e) 10
Bloque II

48
UNI
13. Si: a + b + c = 12
a2
+b2
+c2
=8
Calcula: ab + bc + ac.
a) 68
b) 69
c) 70
d) 71
e) 72
14. Si: a + b + c = 0, calcula:

T
a b c
abc
a b c
ab bc ac
=
+ +








−
+ +
+ +








3 4
3 3 3 2 2 2
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
15. Si: a + b + c = 0, calcula:
E
a
b c
b
a c
c
a b
ab bc ac
a b c
=
+
+
+
+
+






+ +
+ +






2 2 2
a) 1
b) 2/3
c) 3/2
d) -1
e) -1/2
UNMSM
9. Si: x y z
3 3 3
0
+ + = . Reduce:
L
x y z
=
+ +






9
3
a) xyz
b) -xyz
c) 3xyz
d) xyz/27
e) xyz/3
10. Si: m + n + p = 6, calcula el valor de:
P
m n p
m n p
=
− + − + −
− − −
( ) ( ) ( )
( )( )( )
1 2 3
1 2 3
3 3 3
a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
e) 3
11. Si:
m
n
p
= +
= − +
= − −
3 2
2 5
5 3
Calcula el valor de: N
m n p
mnp
=
+ +
3 3 3
3
a) 0
b) 1
c) -1
d) 3
e) 1/3
12. Si: x
y
y
x
x y
2 2
3
− =−
( ), calcula el valor de:
E
x xy y
x y
=
+ +
+
2 2
2
( )
a) 3/4
b) 1/4
c) 1
d) 1/2
e) 2
Claves
01. a
02. d
03. c
04. e
05. b
06. a
07. b
08. c
09. c
10. e
11. b
12. a
13. a
14. d
15. c

49
Capítulo
FACTORIZACIÓN I
FACTORIZACIÓN
Es transformar un polinomio en el producto indicado
de factores primos.
En la multiplicación algebraica se tiene:
(x + 3)(x2
– 3x + 9) ≡ x3
+ 27

factores producto
El problema que nos planteamos ahora es el siguiente:
dado el polinomio producto, debemos hallar los
factores que lo originan. Si conseguimos los factores, se
habrá factorizado el polinomio.
Así:
x3
+ 27 ≡ (x + 3)(x2
– 3x + 9)
Factor primo
Es aquel polinomio que no admite descomposición.
Ejemplos:
Z
Z x : 1; x
Z
Z x + 1 : 1; x + 1
Z
Z x – 2 : 1; x – 2
Conteo de factores primos
El número de factores primos de un polinomio
(factorizado) se obtiene contando los factores primos
que se encuentran como base de una potencia y que
contienen la variable.
Ejemplos:
Z
Z P(x) = 4(x – 2)2
(x + 3)2
(x + y)5
Tiene 3 factores primos
Z
Z Q(x) = 3x(x – 3)2
(x2
+ 2)2
(x2
+ y)2

Tiene 4 factores primos:
Y
Y 2 lineales: x; x – 3
Y
Y 2 cuadráticas: x2
+ 2; x2
+ y
Criterios para factorizar
Existen diversos criterios para factorizar polinomios,
entre ellos tenemos:
1. Factor común y agrupación
Se aplica en polinomios donde todos sus términos tie-
nen una o más variables y/o constantes comunes.
En caso de no haber algún factor común, se agru-
pará convenientemente tratando de que aparezca
algún factor común.
Ejemplos:
Factoriza:
5x10
y5
– 10x7
y8
– 25x11
y9
= 5x7
y5
(x3
– 2y3
– 5x4
y4
)

Factoriza:
(a + b + c)m2
+ (a + b + c)n2
+ (a + b + c)p2
= (a + b + c)(m2
+ n2
+ p2
)

Factoriza:
a2
x2
+ b2
y2
+ a2
y2
+ b2
x2
Agrupando en forma conveniente:
a2
(x2
+ y2
) + b2
(x2
+ y2
)
Sacando el factor común:
(x2
+ y2
)(a2
+ b2
)
2. Criterio de las identidades
Consiste en aplicar los productos notables en forma
inversa.
A. Trinomio cuadrado perfecto
(x ± y) = x2
± 2xy + y2
↓ ↓
x y
2(x)(y) = 2xy
Factoriza:

x2
+ 6xy + 9y2
= (x + 3y)2
↓ ↓
x 3y
2(x)(3y) = 6xy
B. Diferencia de cuadrados
(x + y)(x – y) = x2
– y2
8

50
Factoriza: x4
– 1
Resolución:
Dando la forma de diferencia de cuadrados:
(x2
)2
– (1)2
= (x2
+ 1)(x2
– 1)
Podemos seguir descomponiendo:
x4
– 1 = (x2
+ 1)(x + 1)(x – 1)
C. Suma y diferencia de cubos
(x + y)(x2
– xy + y2
) = x3
+ y3
(x – y)(x2
+ xy + y2
) = x3
– y3
Factoriza: 64a6
– b6
Por diferencia de cuadrados
(8a3
+ b3
)(8a3
– b3
)
Ahora factorizamos por suma y diferencia de
cubos:
(2a + b)(4a2
– 2ab + b2
)(2a – b)(4a2
+ 2ab + b2
)

3. Criterio de aspa simple
Se aplica para factorizar polinomios de la siguiente
forma:
P(x)=Ax2n
+Bxn
+ CoP(x;y)=Ax2m
+Bxm
yn
+Cy2n

{m,n}CN
Ejemplos:
Factoriza: P(x)=x2
+8x+15
x 5⇒ +5x
x 3⇒ +3x
8x
Luego:
Se toman los factores en forma horizontal.
P(x) = (x + 5)(x + 3)
Factoriza:
P(x)= 10x2
–13x–3,descomponiendolosextremos
10x2
– 13x – 3
5x 1 ⇒ 2x
2x –3⇒ –15x
–13x
Luego:
P(x)=(5x+1)(2x–3)
Trabajando en clase
Integral
1. Determina el número de factores primos en el poli-
nomio:
Y
Y P(x, y) = 51a3
x5
y3
(x – 3)4
(2x + 3y)6
Y
Y Q(x, z) = 13y4
x3
(x + y)4
(x + z)4
z7
(y + 1)3
2. Factoriza:
P(m, n) = 3mn – 6m2
+ 12m
3. Factoriza:
P(x, y) = 3x2
y3
+ 6x3
y2
+ 9x4
y
e indica la cantidad de factores primos.
PUCP
4. Factoriza:
P(x, y) = 2x2
+ y2
– xy – 2xy
e indica la suma de factores primos.
Resolución:
P(x; y) = 2x2
+ y2
– xy – 2xy

Agrupamos de dos en dos:
P(x; y) = 2x(x – y) – y(x – y)
P(x; y) = (x – y)(2x – y)
Sumamos: x – y + 2x – y
3x – 2y
5. Factoriza:
P(m, n) = 3m2
+ n2
– mn – 3mn
eindicaelfactorprimoconmayorsumadecoeficientes.
6. Factoriza:
P(x) = 6x2
– x – 2
indica la suma de factores primos.
7. Factoriza:
P(x) = x2
– 3x – 40
eindicaelfactorprimoconmayortérminoindependiente.
UNMSM
8. Factoriza:
P(x, y) = x2
+ xz + yz – y2

señala la suma de factores primos.
Resolución:
P(x; y) = x2
+ xz + yz – y2

Agrupamos de dos en dos:
P(x; y) = x2
– y2
+ z(x + y)
P(x; y) = (x – y)(x + y) + z(x + y)
P(x; y) = (x + y)(x – y + z)

F.P =
x + y +
x – y + z
Suma de F P. = 2x + z

Álgebra
51
9. Factoriza: P(m, n) = m2
+ mp – np – n2
10. Factoriza: P(m, n) = 4m2
– n2
11. Factoriza: R(x, y) = x3
– 8y3
.Indicaelfactorprimocon
mayorsumadecoeficientes.
UNI
12. Factoriza:
M(x, y) = x6
– y6
Resolución:
M(x, y) = x6
– y6
= (x3
+ y3
)(x3
– y3
)
↓ ↓

x3
y3
M(x, y) = (x3
+ y3
)(x3
– y3
)
Obs.
(x3
+ y3
) = (x + y)(x2
– xy + y2
)
x3
– y3
= (x – y)(x2
+ xy + y2
)
⇒ M(x, y) = (x + y)(x2
– xy + y2
)(x – y)(x2
+ xy + y2
)
13. Factoriza:
P(x, y) = x2
+ 2xy + y2
+ xz + yz
14. Factoriza:
F(x) = x4
– 5x2
+ 4

52
Bloque I
Integral
16. Determina la cantidad de factores primos en
P(x, y) = 3x2
y3
(2x + y)2
(3x – 1)4
z5
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
17. Factoriza:
P(a, b) = 3ab – 6b2
– 12a2
b
indica un factor primo.
a) 3b d) (a + 2b + 4a2
)
b) b e) (a + 2b)
c) (3b + c)
18. Factoriza:
P(a, b, c) = 6a5
b4
c6
+ 2a2
b7
c6
– 10a2
b4
c9
a) 2 c) 6 e) 3
b) 4 d) 5
19. Factoriza:
P(a, b) = a2
b – 4 + a2
– 4b
a) a2
+ b – 3 d) 2a
b) b + 1 e) 2a + b + 1
c) a2
– 4
PUCP
20. Factoriza:
P(x) = x2
– 5x – 24
a) (x + 3)(x + 8) d) (x – 8)(x + 3)
b) (x – 3)(x + 8) e) (x – 6)(x + 1)
c) (x – 1)(x – 4)
21. Factoriza:
P(x) = 6x2
– 5x – 6
a) 5x + 1 d) 5x – 5
b) x – 1 e) 5x + 5
c) 5x – 1
22. Factoriza:
P(x, y) = 4x2
– 9y6
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
23. Factoriza:
P(a, b) = 27a3
– 8b3
e indica un factor primo.
a) 9a – 4b d) 9a + 4b
b) 3a + 2b e) 3a – 2b
c) 9a2
+ 6ab – 4b2

UNMSM
24. Factoriza:
P(a, b) = 9a2
– 4b2
a) 6a c) 4b e) 9a
b) 3a d) –6a
25. Factoriza:
R(m, n) = 8m3
– n3
e indica la suma de factores primos lineales.
a) m2
+ n2
+ 2m2
n2

b) m2
+ n2
+ 2mn
c) 2m + n + n2
d) 2m – n
e) 2m + n + 2m2
+ n2
26. Factoriza:
P(a, b, m) = ab2
+ am2
+ b2
m + ma2
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
27. Factoriza:
P(x) = x4
– 13x2
+ 36
a) 3 c) 5 e) 7
b) 4 d) 6

Álgebra
53
UNI
28. Factoriza:
P(x) = x4
– 29x2
+ 100
e indica el factor primo con mayor término inde-
pendiente.
a) x + 5 c) x + 2 e) x2
– 25
b) x – 5 d) x – 2
29. Factoriza:
P(x) = (x8
– 1)
da como respuesta la cantidad de factores primos.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
30. Si x2
+ (a – 2)x + 36 es un trinomio cuadrado per-
fecto (a 0), calcula “a”.
a) –10 c) –8 e) 14
b) –5 d) 10
Esquema formulario
16. c
17. b
18. b
19. e
20. d
21. c
22. a
23. e
24. a
25. d
26. b
27. b
28. a
29. d
30. a
Claves
FACTORIZACIÓN I
Agrupación
de términos
Cuando tenga
4 términos
generalmente
x2
– y2
= (x + y)(x – y)
x3
+ y3
= (x + y)(x2
– xy + y2
)
x3
– y3
= (x – y)(x2
+ xy + y2
)
(x ± y)2
= x2
± 2xy + y2
Productos notables
P(x) = ax2n
+ bxn
+ c
Aspa Simple
Factor
común

54
Bloque II
Integral
PUCP
UNMSM
1. Determina el número de factores primos en el
polinomio:
P(x, z) = 3x4
(x – z)3
(x + z)5
z7
a) 1 c) 4 e) 5
b) 3 d) 6
2. Factoriza:
P(m, n) = 4mn – 8m2
+ 12m
a) 4m(n + 3) d) m(n – 2m + 3)
b) 4m(n – m + 3) e) 4m(n – 2m)
c) 4m(n – 2m + 3)
3. Factoriza:
P(a, b) = 7a3
b3
– 14a3
b4
+ 28a4
b2
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
4. Factoriza:
P(x, y) = 39x4
a4
y2
+ 26a3
x4
y3
– 52a3
x2
y señala la cantidad de factores.
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
5. Factoriza:
P(x) = 10x2
– x – 2
a) 7x – 1 c) 3x + 3 e) 7x + 1
b) 7x + 3 d) 3x + 1
6. Factoriza:
P(x) = x2
– 5x – 14
e indica el factor primo con mayor suma de
coeficientes.
a) x – 7 c) x + 2 e) x + 1
b) x – 2 d) x + 7
7. Factoriza:
P(m) = m2
– 8m + 12
a) (m – 6)(m – 2) d) (m + 6)(m + 2)
b) (m – 8)(m – 4) e) (m – 10)(m – 2)
c) (m + 6)(m – 2)
8. Factoriza:
P(x; y) = 3x2
– xy – 2y2
e indica el factor primo con menor suma de
coeficientes.
a) 2x + y c) x + y e) x – y
b) x – 2y d) 3x + 2y
9. Factoriza:
P(a; b) = a2
– 9b2
a) (a – 3)(a + 3) d) (a – 6b)(a + 6b)
b) (a – 3b)(a + 3b) e) (3a – b)(3a +b)
c) (a – b)(a + b)
10. Factoriza:
Q(x; y) = x3
– 1
a) x2
+ x – 1 d) x2
+ x + 1
b) x2
– x + 1 e) x + 1
c) x2
– 1
11. Factoriza:
P(x; y; z) = x2
– 6xy + 9y2
+ xz – 3zy
e indica el número de factores primos.
a) 1 c) 5 e) 2
b) 4 d) 3
12. Factoriza:
A = x3
– x + x2
y – y
indica el número de factores primos.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4

Álgebra
55
UNI
Claves
01. c
02. c
03. b
04. a
05. e
06. c
07. a
08. e
09. b
10. d
11. e
12. c
13. d
14. b
15. a
13. Factoriza:
N(a, b) = a6
– b6
indica el número de factores primos.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
14. Factoriza:
G(x) = x4
– 5x2
– 36
e indica el número de factores primos.
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
15. Factoriza:
P(x) = 15x2
– 12 – 11x
Indica un factor primo.
a) 5x + 3 d) 3x – 3
b) 5x – 4 e) 5x + 4
c) 3x + 3

57
Capítulo
FACTORIZACIÓN II
CRITERIO DEL ASPA DOBLE
Se empla para factorizar polinomios que tienen la
siguiente forma general:
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F
1. Se trazan dos aspas simples entre los térmi-
nos Ax2
∧ Cy2
; Cy2
∧ F.
2. Se traza un aspa grande entre los extremos
Ax2
∧ F.
3. Se verifican las aspas simples y el aspa grande.
4. Se toman los factores en forma horizontal.
Ejemplo:
Factoriza:
P(x, y) = 6x2
+ 13xy + 6y2
+ 7x + 8y + 2
Resolución:
Aplicando las aspas simples:
6x2
+ 13xy + 6y2
+ 7x + 8y + 2
3x 2y 2
2x 3y 1
Entonces, la forma factorizada es:
(3x + 2y + 2)(2x + 3y + 1)
CRITERIO DE DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de cuarto grado,
de forma general.
Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx + E
1. Se aplica un aspa simple en los extremos
Ax4
∧ E.
2. El resultado se resta del término central Cx2
.
3. Se expresa la diferencia en dos factores y se
coloca debajo del término central.
4. Luego se aplica dos aspas simples y se toman
horizontalmente.
Ejemplo:
Factoriza:
P(x)=x4
+7x3
+14x2
+7x+1
Resolución:
Descomponiendolosextremos:
x4
+ 7x3
+ 14x2
+ 7x + 1 SDT: 14x2
x2
ST: 2x2
x2
Falta: 12x2
3x
4x
1
1
∴ P(x) = (x2
+ 3x + 1)(x2
+ 4x + 1)
Observación:
SDT: se debe tener
ST: se tiene
CRITERIODELOSDIVISORESBINOMIOS
Este método se emplea para factorizar polinomios de
una sola variable y que admiten factores de primer
grado.
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3
– 7x + 6
Resolución:
I. Los posibles ceros racionales son:
± {1; 2; 3; 6}
Veamos: P(1) = 1 – 7 + 6 = 0
⇒ (x – 1) es un factor
II. El otro factor por la regla de Ruffini:
[P(x) ÷ (x – 1)]
1 0 –7 6
x = 1 ↓ 1 1 –6
1 1 –6 0
q(x)
Recordar P(x) ≡ (x – 1)q(x)
⇒ P(x) ≡ (x – 1)(x2
+ x – 6)
x 3
x –2
∴P(x)=(x–1)(x+3)(x–2)
9

58
Trabajando en clase
Integral
1. Factoriza:
P(x, y) = 3x2
+ 7xy + 2y2
+ 7y + 12x + 6
2. Factoriza:
P(x, y) = –3x + 14x2
– 2y – 2xy – 2
3. Factoriza:
P(x, y) = 3x2
+ 2y2
– 2z2
+ 5xy – 5xz – 3yz
UPCP
4. Factoriza:
P(x) = x4
+ 3x3
+ 7x2
+ 7x + 6
Resolución:
P(x) = x4
+ 3x3
+ 7x2
+ 7x + 6
x2
2x 3 = 3x2

x2
x 2 = 2x2
ST = 5x2
SDT = 7x2
ST = 5x2

= 2x2
P(x) = (x2
+ 2x + 3)(x2
+ x + 2)
5. Factoriza:
P(x) = x4
+ 5x3
+ 13x2
+ 17x + 12
6. Factoriza:
P(x) = 6x4
+ 5x3
+ 3x2
– 3x + 2
7. Factoriza:
P(x) = 2x4
– 13x – 3(x3
– x2
– 2)
UNMSM
8. Factoriza:
A = x3
– 3x2
– x + 3
Resolución:
PSD = ±{1; 3} = ±{1; 3}

1 –3 –1 3
1 ↓ 1 –2 –3
1 –2 –3 0

A = (x2
– 2x – 3)(x – 1)
x –3
x +1
⇒ A = (x – 3)(x + 1)(x – 1)
9. Factoriza:
F(x) = 2x3
+ 7x2
+ 7x + 2
10. Factoriza:
F(x, y) = 12x2
+ 5xy – 17x + 7y – 2y2
– 5

11. Factoriza:
P(x) = x4
+ 9x3
+ 23x2
+ 21x + 6
UNI
12. Factoriza:
P(x) = x5
– 3x3
+ 2x2
– 4x – 8
Resolución:
PSD = ±{1; 2; 4; 8}
1 0 –3 2 –4 –8
2 ↓ 2 4 2 8 8
1 2 1 4 4 0
–1 ↓ –1 –1 0 –4
1 1 0 4 0
–2 ↓ –2 2 –4
1 –1 2 0
∴ P(x) = (x – 2)(x + 1)(x + 2)(x2
– x + 2)
13. Factoriza:
P(x) = 4x5
– 29x3
– 24x2
+ 7x + 6
14. Factoriza:
P(x) = (x2
+ 2x)(x2
– x) + 7x + 3

Álgebra
59
Bloque I
Integral
16. Factoriza:
P(x, y) = x2
+ 5xy + 4y2
+ 2x + 5y + 1
a) x + 4y + 1 d) x – y – 1
b) 2x + y + 1 e) x – 2y – 1
c) 2x + 2y + 2
17. Factoriza:
P(x, y) = x2
– 6 – x – 6y2
+ 13y – xy
a) 2x – 6y – 6 d) x + 2y – 3
b) 2x + 5y – 5 e) x – 3y + 2
c) 2x – y – 1
18. Factoriza:
P(x, y) = 6x2
– 17y – 11x + 19xy + 15y2
+ 4
luego indica el factor primo con mayor suma de co-
eficientes.
a) 3x + 3y – 4 d) 3x + 5y – 4
b) 2x + 5y – 1 e) 2x + 3y + 1
c) 3x – 5x + 4
19. Factoriza:
P(x, y) = 8y2
+ 20x – 22xy + 15x2
– 16y
a) 3x – 2y + 2 c) 5x – 4y + 2 e) 5x – 4y
b) 5x + 4y d) 3x + 2y + 5
PUCP
20. Factoriza:
P(x, y) = 3y2
– 2y – 8 + 8x2
– 10xy
indica el factor primo con mayor término indepen-
diente.
a) x + y + 4 c) 4x – y – 4 e) 2x – y + 2
b) 4x – y + 4 d) 2x – y + 4
21. Factoriza:
P(x, y) = 12x2
– 6xy + 5x + 2y – 3
a) 3x + 2y – 3 c) 2x + 1 e) 3x – 1
b) 3x + 1 d) 3x – 2y – 1
22. Factoriza:
5x4
+ 22x3
+ 21x2
+ 16x + 6
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
23. Factoriza:
P(x, y) = 10x4
– 13x3
+ 8x2
– 8x + 3
luego indica la cantidad de factores primos.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4

UNMSM
24. Factoriza:
P(x) = x + 3x2
+ 2x4
+ 3
luego indica la cantidad de factores primos cuadrá-
ticos.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
25. Factoriza:
P(x) = 6x4
+ 11x2
+ 4
luego indica el factor primo con menor suma de co-
eficientes.
a) x2
+ 3 c) 3x2
+ 4 e) 2x2
+ 1
b) 3x2
+ 1 d) 2x2
+ 4
26. Factoriza:
P(x) = x3
+ 5x2
+ 3x – 9
e indica la cantidad de factores primos lineales.
a) 1 c) 3 e) 4
b) 2 d) 5
27. Factoriza:
P(x) = x3
– 3x2
+ 5x – 3
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4

60
UNI
28. Factoriza:
P(x) = x4
– 5x3
+ 3x2
+ 2x + 8
a) 1 c) 3 e) 2
b) 0 d) 4
29. Factoriza:
P(x) = x5
– x3
+ 2x4
+ 7x2
– 9
Si M es la cantidad de factores primos lineales y
N es la cantidad de factores primos cuadráticos,
¿cuál es el valor de M + N?
a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
30. Factoriza:
P(x, y) = x2
+ y2
– 4z2
+ 2xz + 3x2
+ 3yz
a) x + y + 1 c) 3x – 2y + 1 e) 2x + 2y + 3z
b) x – y – z d) x + y + z
Esquema formulario
16. a
17. c
18. d
19. e
20. e
21. e
22. b
23. c
24. b
25. c
26. a
27. a
28. e
29. a
30. e
Claves
FACTORIZACIÓN II
Aspa doble
P(x,y) = Ax2n
+ Bxn
yn
+ Cy2n
+ Dxn
+ Eyn
+ F P(x) = Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx+ C
Aspa doble especial Divisores binomios

Álgebra
61
Bloque II
Integral
PUCP
UNMSM
1. Factoriza:
P(x, y) = 10x2
+ 11xy – 6y2
– x – 11y –3
a) 5x – 2y – 3 d) 5x – 3y – 1
b) 2x – 3y – 1 e) 2x + 2y + 2
c) 3x + 2y + 1
2. Factoriza:
P(x, y) = 6x2
+ 16xy + 10y2
+ 12y + 8x + 2
e indica el factor primo con mayor término
independiente.
a) x + y + 1 d) x + y + 2
b) 6x + 10y + 2 e) 6x + 10y + 1
c) 3x + 2y + 3
3. Factoriza:
P(x, y) = 3x2
+ 10xy + 8y2
+ 14x + 22y + 15
a) 2x + 3y + 3 d) x + 5y + 5
b) x – 2y – 1 e) 3x + 4y + 5
c) x – 2y + 3
4. Factoriza:
3x2
+ 4xy + y2
+ 4x + 2y + 1
e indica el factor primo con mayor suma de
coeficientes.
a) 3x + y + 1 d) 2x – y – 1
b) x+ y + 1 e) x – y – 1
c) x + 3y + 1
5. Factoriza:
P(x) = x4
– 4x3
+ 11x2
– 14x + 10
y señala cuántos factores primos tiene.
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6. Factoriza:
P(x) = x4
– 3x3
– 7x2
+ 27x – 18
a) x2
– x + 6 d) x2
+ 4x + 3
b) x2
– 1 e) x2
+ x – 6
c) x2
– 4x – 3
7. Factoriza:
P(x) = x3
+ 4x2
– 17x – 60
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
8. Factoriza:
x3
+ 8x2
+ 19x + 12
y calcula la suma de factores primos.
a) 2x + 1 c) 3x – 2 e) 3x + 8
b) 3x + 3 d) 3x + 4
9. Factoriza:
P(x, y) = 15x2
+ 7xy – 2y2
+ 41x – 3y + 14
e indica el factor primo con mayor suma de co-
eficientes.
a) 3x + 2y + 7 d) 2x + 3y + 1
b) 5x – y + 2 e) x + y + 2
c) 2x + 3y
10. Factoriza:
P(x) = x3
– 3x2
– 13x + 15
a) x+ 5 c) x – 5 e) x – 3
b) x + 2 d) x + 1
11. Factoriza:
P(x) = x4
– 40x2
+ 144
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4

62
UNI
Claves
01. a
02. b
03. e
04. a
05. b
06. e
07. c
08. e
09. a
10. c
11. d
12. e
13. d
14. e
15. a
12. Factoriza:
P(x) = x4
+ 7x2
+ 12
a) x2
– 4 c) x2
– x – 4 e) x2
+ 4
b) x2
+ 2x + 3 d) x2
– 3x – 3
13. Factoriza:
P(x) = x3
+ 4x2
– 17x – 60
y calcula la suma de factores primos.
a) x + 5 c) x + 3 e) 3x + 12
b) x – 4 d) 3x + 4
14. Factoriza:
n3
– 4n2
– 7n – 2
a) (n2
+ 1)(n2
+ 5)
b) (n2
– 3n – 5)(n2
– 1)
c) (n2
+ 2)(n2
+ 5)
d) (n2
+ 5n + 2)(n2
– 1)
e) (n2
+ 5n + 2)(n – 1)
15. Factoriza:
P(x; y) = 3x2
+ 4xy + y2
+ 4x + 2y + 1
a) (3x + y + 1)(x + y + 1)
b) (2x – y – 1)(x – y – 1)
c) (x + y – 2)(x + y)
d) (x – y – 3)(x + y + 5)
e) (x – 3y – 5)(x + 7y – 1)

63
Capítulo
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO I
FORMA GENERAL
Presenta la siguiente forma:
ax2
+ bx + C = 0; a ≠ 0
a, b y c son constantes; x → incógnita
Además:
Z
Z ax2
⇒ término cuadrático
Z
Z a ⇒ coeficiente cuadrático
Z
Z bx ⇒ término lineal
Z
Z b ⇒ coeficiente lineal
Z
Z c ⇒ término independiente
Ejemplos:
Z
Z 3x2
+ 2x + 5 = 0
Se observa: a = 3; b = 2; c = 5
Término cuadrático: 3x2
Coeficiente cuadrático: 3
Término lineal: 2x
Coeficiente lineal: 2
Término independiente: 5
Z
Z Ten en cuenta que toda ecuación de segundo grado
presenta dos raíces «x1» y «x2», pero una o dos so-
luciones.
Z
Z Se define el discriminante (∆) de la ecuación de se-
gundo grado.
∆ = b2
– 4ac
Ejemplos:
Y
Y
Defineeldiscriminantedelasiguienteecuación:
2x2
– x + 3 = 0;
a = 2; b = –1; c = 3
Calculando el discriminante (∆)
∆ = (–1)2
– 4(2)(3)
∆ = 1 – 24 → ∆ = –23
Y
Y Define el discriminante: x2
– 2x – 5 = 0
a = 1; b = –2; c = –5
Calculando el discriminante:
∆ = (–2)2
– 4(1)(–5)
∆ = 4 + 20 → ∆ = 24
Y
Y Define el discriminante:
4x2
+ 4x + 1 = 0
a = 4; b = 4 y c = 1
Calculando el discriminante (∆)
∆ = 42
– 4(4)(1)
∆ = 16 – 16 → ∆ = 0
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SE-
GUNDO GRADO
Por factorización
Se aplica fundamentalmente el criterio de factorización
poraspasimple,factorcomúnydiferenciadecuadrados.
a. Para ecuaciones incompletas
Se llaman incompletas porque le falta uno de los
términos. Presentan las siguientes formas:
Y
Y ax2
+ bx = 0
Ejemplos:
●
● Resuelve: x2
+ 5x = 0
Por factor común: x(x + 5) = 0

0 0
Se iguala a cero cada factor:
x = 0 o x + 5 = 0
x = 0 o x = –5
∴ C S. = {0; –5}
Y
Y ax2
+ c = 0
Ejemplos:
●
● Resuelve: x2
– 16 = 0
Por diferencia de cuadrados
x2
– 42
= 0
(x + 4)(x – 4) = 0

0 0
x + 4 = 0 o x – 4 = 0
x = –4 o x = 4
∴ C S. = {–4; 4}
10

64
b. Para ecuaciones completas
Es cuando aparecen todos los términos. Presenta la
siguiente forma:
ax2
+ bx + c = 0 ; a ≠ 0
Ejemplos:
Y
Y Resuelve: x2
– 5x + 6 = 0
Por el método de aspa simple:
x2
– 5x + 6 = 0
→ x –3 → –3x
+
Los
factores
se forman
en forma
horizontal
→ x –2 → –2x
–5x

⇒ (x – 3)(x – 2) = 0

0 0
x – 3 = 0 o x – 2 = 0
x = 3 o x = 2
∴ C.S. = {2; 3}

Y
Y Resuelve: x2
+ 3x – 18 = 0
Por el método de aspa simple:
x2
+ 3x – 18 = 0
→ x +6 → +6x
+
Los
factores
se forman
en forma
horizontal
→ x –3 → –3x
+3x

⇒ (x + 6)(x – 3) = 0

0 0
x + 6 = 0 o x – 3 = 0
x = –6 o x = 3
∴ C S. = {–6; 3}
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula el discriminante en cada ecuación:
a) 2x2
– 3x – 2 = 0
b) 3x2
– x + 2 = 0
c) 2x2
+ 8x + 8 = 0
2. Calcula el discriminante de la siguiente ecuación:
mx2
+ (2m – 2)x + m = 0
3. Resuelve:
x2
– 81 = 0
UPCP
4. Resuelve:
3x2
– 75 = 0
e indica la mayor raíz.
Resolución:
25
(3x2
– 75 = 0) simplificamos
x2
– 25 = 0
x2
– 52
= 0
Obs:
a2
– b2
= (a + b)(a – b)
(x + 5)(x – 5) = 0
= 0 = 0
x + 5 = 0 ∨ x – 5 = 0
x = –5 ∨ x = 5
C.S = {–5; 5}
Rpta.: Mayor raíz es 5.
5. Resuelve:
5x2
– 45 = 0
indica la menor raíz.
6. Resuelve:
3x2
– 10x = 0
da como respuesta la menor raíz.
7. Resuelve:
(2x + 1)2
= x2
+ 1
UNMSM
8. Resuelve:
x2
– 5x – 24
da como respuesta la suma de raíces.
Resolución:
x2
– 5x – 24
x –8 –8x
x +3 +3x
–5x
Los factores se toman en forma horizontal.
(x – 8)(x + 3) = 0
= 0 = 0
x – 8 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 8 ∨ x = –3
C.S = {–3; 8}
Rpta.: suma de raíces = 5

Álgebra
65
9. Resuelve:
x2
– 3x – 18 = 0
10. Resuelve:
6x2
– 5x – 6 = 0
indica el producto de raíces.
11. Resuelve:
(x – 5)(x + 2) = 18
luego indica la mayor raíz.
UNI
12. Si el discriminante de x2
+ (m – 3)x + m + 1 = 0 es
igual a –11, calcula el valor de «m».
Resolución:
a = 1; b = m – 3; c = m + 1
∆ = b2
– 4ac
–11 = (m – 3)2
– 4(1)(m + 1)
–11 = m2
– 6m + 9 – 4m – 4
0 = m2
– 10m + 16
m –8
m –2
(m – 8)(m – 2) = 0
= 0 = 0
m – 8 = 0 ∨ m – 2 = 0
m = 8 ∨ m = 2
∴ m = {2; 8}
13. Si el discriminante de x2
+ mx + m – 3 = 0 es igual a
12, calcula el valor de «m».
14. Resuelve:
4x2
– 3x + 5
x2
– 2x + 13
= 2
da como respuesta la mayor raíz.

66
Bloque I
Integral
16. Calcula el discriminante de la ecuación:
3x2
– 4x – 2 = 0
a) 41 c) 39 e) 37
b) 40 d) 38
3x2
+ mx + m – 2 = 0
a) m2
+ 1 d) m2
– 12m
b) m2
– 24 e) m2
– 12m + 24
c) m2
+ 12m – 24
18. Resuelve:
x2
– 49 = 0
a) {–7; 7} c) {–5; 5} e) {–8; 8}
b) {–3; 3} d) {–6; 6}
19. Resuelve:
2x2
– 18 = 0
a) {–3; 3} c) {–5; 5} e) –1
3
; 1
3
b) {–2; 2} d) {– 3 ; 3 }
PUCP
20. Resuelve:
6x2
= 8x,
indica la mayor raíz.
a) 0 c) 3/4 e) 1
b) 4/3 d) 5/6
21. Resuelve:
(3x + 1)2
= 2x2
+ 1
indica la menor raíz.
a) –6/7 c) 0 e) 7/6
b) –7/6 d) 6/7
22. Resuelve:
(4x – 3)2
– (x – 1)(x – 9) = 0
indica la mayor raíz.
a) 12/13 d) 0
b) 13/15 e) 14/15
c) 15/14
23. Resuelve e indica la mayor raíz.
(2x – 3)2
= (x + 1)2
a) 2/3 c) 3/2 e) –3/2
b) 4 d) –4

UNMSM
24. Resuelve:
10x2
– 13x – 6 = 0
a) 13 ± 309
20
d)
11 ± 309
10
b) –13 ± 309
20
e) {–3; 6}
c) 11 ± 399
10
25. Resuelve:
(x – 3)(x – 5) = 24
a) {–1; 9} c) {2; 9} e) {–2; 3}
b) {–9; 1} d) {3; 5}
26. Resuelve
x2
– (3a + 2b)x + 6ab = 0
e indica una raíz.
a) 2b d) 2ab
b) a e) –b
c) b
27. Si el discriminante de la ecuación:
x2
+ (m – 1)x + m = 0
es igual a –7, calcula “m”.
a) {2; 4} d) {1; 2}
b) {–2; –4} e) {4}
c) {2}

Álgebra
67
UNI
28. Resuelve:
6x2
– 5x + 4
3x2
– 2x + 1
= 4
e indica la menor raíz.
a) 0 c) 2 e) –2
b) 1/2 d) –1/2
29. Calcula la edad de una persona sabiendo que si al
cuadrado, de su edad se le resta el triple de la edad
resuelta nueve veces esta.
a) 12 c) 14 e) 11
b) 13 d) 15
30. Resuelve:
x + 2 – x – 1 = 0
a) {–2; –1} d) {–1; 2}
b) {2; 1} e) {1}
c) {–2; –1}
Esquema formulario
16. b
17. e
18. a
19. a
20. b
21. a
22. e
23. b
24. a
25. a
26. a
27. a
28. a
29. a
30. a
Claves
ECUACIÓN CUADRÁTICA I
Discriminante mx2
+ nx = 0 mx2
– n = 0 ax2
+ bx + c = 0
ax2
+ bx + c = 0 x(mx + n) = 0
x = ± n
m
Por aspa simple
∆ = b2
– 4ac x = 0 ∨ mx + n = 0
x = 0 ∨ x = –n
m

68
Bloque II
Integral
PUCP
UNMSM
2x2
– 3x + 4 = 0
a) 1 c) 41 e) 6
b) –7 d) –23
3x2
– 4x – 5 = 0
a) 76 c) 28 e) 66
b) –44 d) 56
x2
– 6x + 9 = 0
a) 4 c) 2 e) 0
b) 3 d) 1
ax2
+ bx + c = 0
a) b2
– 4ac c) x2
– 4ab e) a2
+ 4bc
b) a2
– 4bc d) b2
+ 4ac
5. Resuelve:
5x2
– 10x = 0
y da como respuesta la mayor raíz.
a) 0 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
6. Resuelve:
(3x + 2)2
= 12x + 40
a) {–2, 2} c) {–2} e) {–5, 5}
b) {2} d) {–6; 6}
7. Resuelve:
25x2
– 1 = 0
a) –1
5
; 1
5
c) {–2; 2} e) –1
3
; 1
3

b) {–5; 5} d) {–3; 3}
8. Calcula “m” si el discriminante de la ecuación
es igual a 5.
mx2
– 3x + 3 = 0
a) 1
3
c)
1
2
e) 4
b) 3
4
d)
1
4
9. Resuelve:
8x2
– 8x – 6 = 0
e indica la suma de raíces.
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
10. Resuelve:
(x – 3)(x + 5) = 9
luego indica la menor raíz.
a) –6 c) –4 e) 3
b) 6 d) 4
11. Resuelve:
(2x + 5)2
– (x – 3)2
= 0
e indica la suma de raíces.
a) –26
3
c)
–22
3
e)
–17
3
b) –29
3
d)
–15
3
12. Resuelve:
(4x – 3)2
– (x – 1)(x – 9) = 0
e indica la menor raíz.
a) 3 d) 0
b) 2 e) 15
14
c) 14
15

Álgebra
69
UNI
Claves
01. d
02. a
03. e
04. a
05. c
06. a
07. a
08. b
09. a
10. a
11. a
12. d
13. e
14. a
15. a
13. Si el discriminante de la ecuación:
x2
+ mx + m + 5 = 0
es igual a –20, calcula el mayor valor de “m”.
a) 0 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
14. Resuelve:
6x2
– 5x + 4
3x2
– 2x + 1
= 4
a) 0; 1
2
c)
–1
2
; 0 e) {–1; 2}

b) {0; 2} d) {–2; 0}
15. Resuelve:
x + 2 – x = 0
a) {–1; 2} d) {1; 2}
b) {–2; 1} e) {2}
c) {–2; –1}

71
Capítulo
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO II
FORMA GENERAL
Presenta la siguiente forma:
ax2
+ bx + C = 0; a ≠ 0
FÓRMULA GENERAL
a1,2 =
–b ± b2
– 4ac
2a
Ejemplos:
Z
Z Resuelve:
x2
– 4x – 3 = 0
a = 1; b = –4; c = –3
x1,2 = –(–4) ± (–4)2
– 4(1)(–3)
2(1)
x1,2 = 4 ± 28
2
= 4 ± 2 7
2
x1,2 = 2 ± 7
x1 = 2 – 7
x2 = 2 + 7
DISCRIMINANTE (∆)
∆ = b2
– 4ac
Propiedades del discriminante
a) Si ∆ = 0 ⇒ sus raíces son reales e iguales.
b) Si ∆ 0 ⇒ sus raíces son reales y diferentes.
c) Si ∆ 0 ⇒ sus raíces son complejas y conjugadas.
Ejemplos:
Analiza en cada caso la naturaleza de las raíces.
Z
Z 4x2
– 5x + 1 = 0
Se observa: a = 4; b = –5 y c = 1.
Luego:
∆ = (–5)2
– 4(4)(1)
∆ = 25 – 16 ⇒ ∆ = 9 0
Como:
∆ 0, entonces sus raíces son reales y dife-
rentes.
Z
Z 9x2
+ 6x + 1 = 0
Se observa: a = 9; b = 6 y c = 1
Luego:
∆ = (6)2
– 4(9)(1)
∆ = 36 – 36 ⇒ ∆ = 0
Entonces sus raíces son reales e iguales.
Z
Z x2
– x + 1 = 0
Se observa: a = 1; b = –1 y c = 1
Luego: ∆ = (–1)2
– 4(1)(1)
∆ = 1 – 4 ⇒ ∆ = –3 0
Como ∆ 0 entonces sus raíces son complejas y
conjugadas.
RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN
DE SEGUNDO GRADO
Dadas las raíces «x1» y «x2», la ecuación que posee estas
raíces será:
x2
– (x1 + x2)x + x1x2 = 0
Ejemplo:
Forma la ecuación de segundo grado que tenga por
raíces 3 y –2.
Resolución
Sean las raíces:
x1 = 3; x2 = –2
Calculando:
x1 + x2 = 3 + (–2) ⇒ x1 + x2 = 1
x1x2 = (3)(–2) ⇒ x1x2 = –6
Luego, la ecuación pedida es:
x2
– x – 6 = 0
11

72
Trabajando en clase
Integral
1. Dertermina qué tipo de raíces tiene cada ecuación:
a) 2x2
– x – 3 = 0
b) 3x2
+ 2x + 1 = 0
c) 2x2
– 4x + 2 = 0
2. Resuelve:
x2
+ x – 3 = 0
3. Resuelve:
2x2
– 5x = 0
UPCP
4. Si una raíz de 4x2
+ (k + 2)x + 2k + 1 = 0 es –1, cal-
cula el valor de «k».
Resolución:
Como una raíz es el valor que toma la variable, en
este caso «x» reemplazamos:
4(–1)2
+ (k + 2)(–1) + 2k + 1 = 0
4 – k – 2 + 2k + 1 = 0
k + 3 = 0
∴ k = – 3
5. Si una raíz de 3x2
– (m – 1)x + 3m + 1 = 0 es 2, cal-
cula el valor de «m».
6. Construye la ecuación de segundo grado cuyas raí-
ces son –5 y 3.
ces son 1
3
y – 1
2
.
UNMSM
8. Determina el mayor valor de «m» en la ecuación:
(2m – 1)x2
– (m – 1)x + 1 = 0
si tiene raíces iguales.
Resolución:
Como tiene raíces iguales, el discriminante es igual
a cero.
∆ = 0
a = (2m – 1); b = –(m + 1); c = 1
(–(m + 1))2
– 4(2m – 1)(1) = 0
m2
+ 2m + 1 – 8m + 4 = 0
m2
– 6m + 5 = 0
m –5
m –1
(m – 5)(m – 1) = 0
= 0 = 0
m – 5 = 0 ∨ m – 1 = 0
m = 5 ∨ m = 1
Mayor valor de m = 5
9. La siguiente ecuación:
x2
+ (m – 1)x + 2 – m = 0
tiene conjunto solución unitario. Calcula la suma
de valores de «m».
10. La ecuación x2
+ (m – 2)x + m – 3 = 0 tiene raíz
doble. Calcula el mayor valor de «m».
11. La ecuación (m – 1)x2
+ (2m + 2)x + 2m – 1 = 0
tiene conjunto solución unitario. Calcula el menor
valor de «m».
UNI
12. Construye la ecuación cuadrática que tiene como
raíces a 3 + 2 y 3 – 2 .
Resolución:
x2
– (suma de raíces)x + (producto raíces) = 0
x2
– (3 + 2 + 3 – 2 )x + (3 + 2 )(3 – 2 ) = 0
x2
– (6)x + (32
– 2
2
) = 0
x2
– 6x + 7 = 0
13. Construye la ecuación cuadrática que tiene como
raíces a 4 + 5 y 4 – 5 .
14. Calcula el valor de «k» para que la ecuación:
kx2
+ x + 2 = x2
+ 2kx
tenga raíz de multiplicidad 2.

Álgebra
73
Bloque I
Integral
16. Resuelve:
x2
– 3x – 7 = 0
a) 9 ± 37
2
d)
3 ± 37
2

b) –3 ± 37
2
e) 3 ± 37
c) –3 ± 37
17. Resuelve:
x2
– 3x + 1 = 0
a) –3 – 5 d)
–3 ± 5
2
b) 3 – 5
2
e)
3 + 5
2

c) 3 ± 5
2
18. Resuelve:
x2
– x – 5 = 0
a) –1 – 21
2
d) –1 + 21
b) 1 ± 21
2
e)
–1 ± 21
2
c) 1 + 21
19. Resuelve:
(x + 2)(x – 4) = 4(x – 1)
a) 3 ± 13 c) 3 – 13 e) –3 ± 13
b) 3 + 13 d) –3 – 13
PUCP
ces son –3 y 7.
a) x2
+ 2x – 21 = 0 d) x2
– 4x – 21 = 0
b) x2
– 21 = 0 e) x2
– 2x – 21 = 0
c) x2
+ 4x – 21 = 0
21. Construye la ecuación de 2.° grado cuyas raíces son
1
3
y –2
3
.
a) 3x2
– x + 2 = 0 d) 9x2
+ 3x – 2 = 0
b) 3x2
– x – 2 = 0 e) 3x2
+ x + 2 = 0
c) 3x2
– x = 0
22. Resuelve:
3
x – 2
+ 2
x – 3
= 1
y señala la menor raíz.
a) 5 ± 6
2
d)
–5 – 6
2
b) –5 + 6
2
e) 5 + 6
c) 5 – 6
23. Resuelve:
5
x2
+ 2x + 3
= 4
x2
– x + 4
da como respuesta la mayor solución.
a) 13 + 137
2
d)
13 ± 137
2
b) 13 – 137
2
e)
–13 + 137
2
c) –13 – 137
2

UNMSM
24. Calcula el mayor valor de “n” si la ecuación:
x2
+ 2(n – 3)x + 4n = 0
tiene solución única.
a) 9 c) 10 e) 0
b) 1 d) 8
25. Si la ecuación:
(m + 1)x2
+ (m + 1)x + m – 2 = 0
tiene raíz doble, calcula “m”.
a) {1; 3} c) {3} e) {1; –3}
b) {–1; 3} d) {–1; –3}

74
26. Si una raíz de la siguiente ecuación:
(m + 2)x2
+ (m + 1)x + m = 0
es 1, calcula la otra raíz.
a) 0 c) 2 e) 3
b) –1 d) 4
27. Resuelve:
(x + 3)2
+ (x – 3)2
= (x + 6)2
– (x – 6)2
a) –6 ± 17
2
d) –6 + 17
b) 6 – 17
2
e) 6 ± 3 3
c) 6 + 17
2
UNI
28. Halla el menor valor de “k” para que la ecuación:
(k – 2)x2
+ 2x – 1 = x2
– kx
tenga una raíz de multiplicidad 2.
a) –4 – 2 6 c) 4 – 6 e) 4 + 6
b) –4 + 2 6 d) –4 – 6
29. Calcula “t” en la siguiente ecuación:
(t – 2)2
+ (t – 1)2
= d
a) 9 ± 2d – 1
2
d) –9 ± 2d – 1
b) 3 ± 2d – 1 e)
3 ± 2d – 1
2
c) –3 ± 2d – 1
2
30. Construye la ecuación de segundo grado en el que
una de sus raíces es 3 + 5
a) x2
– 4 = 0 d) x2
– 6x + 4 = 0
b) x2
– 6x = 0 e) x2
– 6x – 4 = 0
c) x2
+ 6x – 4 = 0
Esquema formulario
16. d
17. c
18. b
19. a
20. d
21. d
22. c
23. a
24. a
25. b
26. b
27. e
28. a
29. e
30. d
Claves
ECUACIÓN CUADRÁTICA II
Forma general Reconstrucción
∆ = 0
ax2
+ bx + c = 0 x1 = m ∧ x2 = n
x2
– Sx + P = 0
S = m + n
P = mn
– raíces iguales
– raíz doble
– raíz de multiplidad 2
– conjuntosoluciónunitario
Fórmula general
x1,2 = –b ± b2
–4ac
2

Álgebra
75
Bloque II
Integral
PUCP
UNMSM
1. Determina qué tipo de raíces tiene cada ecua-
ción.
a) 2x2
– 5x + 1 = 0
b) 3x2
– 6x + 3 = 0
2. Resuelve:
x2
+ 8x + 3 = 0
a) 2 ± 13 d) 4 ± 13
b) –2 ± 13 e)
–4 ± 13
2
c) –4 ± 13
3. Resuelve:
2x2
– 3x – 3 = 0
a) 3
4
± 33 d)
3 ± 33
4
b) –3 ± 33 e)
–3 ± 33
2
c) 3 ± 33
4. Resuelve:
x2
– x + 2 = 0
donde –1 = i.
a) 2 ± 7i d) 1 ± 7i
b) –1 ± 7i e)
–1 ± 7i
2

c) 1± 7 i
2
5. Construye la ecuación de segundo grado cu-
yas raíces son –6 y 4.
a) x2
+ 6x + 24 = 0 d) x2
– 10x – 24 = 0
b) x2
+ 10x – 24 = 0 e) x2
+ 2x – 24 = 0
c) x2
– 2x – 24 = 0
6. Construye la ecuación de segundo grado cu-
yas raíces son 1
6
y 1
2
.
a) 12x2
– 8x + 1 = 0 d) 12x2
+ 8x + 1 = 0
b) 8x2
– 12x – 1 = 0 e) x2
– 6x + 1 = 0
c) x2
– 8x + 12 = 0
7. Resuelve:
(x + 2)(x – 4) = 4(x – 1)
e indica la mayor raíz.
a) 3 ± 13 d) 9 ± 13
b) –3 ± 13 e)
–4 ± 13
2

c) 3 ± 13
2
8. Resuelve:
5x(x + 3) = 4x(x + 2) – x – 16
y señala la suma de raíces.
a) 8 c) 7 e) –4
b) –8 d) –7
9. Si el conjunto solución de x2
+ (m + 1)x + 16 = 0
es unitario, calcula el mayor valor de “m”.
a) –9 c) 5 e) 4
b) 6 d) 7
10. Calcula el mayor valor de “n” si la ecuación
x2
+ 2(n – 3)x + 4n = 0, tiene conjunto solu-
ción unitario.
a) 9 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
11. Calcula “m” si una raíz de
x2
+ (m + 3)x – m + 2 = 0 es 3.
a) 8 c) 9 e) 10
b) –9 d) –10

76
UNI
Claves
01. -
02. c
03. d
04. c
05. e
06. a
07. a
08. b
09. d
10. a
11. d
12. a
13. e
14. a
15. c
12. Calcula “m” en x2
– mx + m + 3 = 0 si la dife-
rencia de sus raíces es cero.
a) {–2; 6} c) {–6; –2} e) {2}
b) {–6; 2} d) {2; 6}
13. Forma una ecuación de segundo grado cuyas
raíces son 3 + 2 y – 3 + 2 con coeficientes
reales.
a) x2
– 3x – 1 = 0 d) x2
– 4x = 0
b) x2
– 5x + 1 = 0 e) x2
– 4x + 1 = 0
c) x2
+ 4x + 1 = 0
14. Calcula “m” si una raíz de la ecuación:
x2
+ (m + 2)x – m + 4 = 0 es –1.
es –1.
a) 3/2 c) 3 e) –3
b) 2/3 d) –3/2
15. Construye la ecuación de segundo grado en la
que una de sus raíces es 3 + 5 .
a) x2
– 3x – 2 = 0 d) x2
+ 6x + 4 = 0
b) x2
– 6x – 4 = 0 e) x2
– 3x + 4 = 0
c) x2
– 6x + 4 = 0

77
Capítulo
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO III
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Sean ax2
+ bx + c = 0; a ≠ 0 y sus raíces «x1» ∧ «x2»,
podemos hallar el producto y la suma de raíces sin
resolver la ecuación.
Suma = S = x1 + x2 = – b
a
Producto = P = x1.x2 = c
a
DIFERENCIA DE RAÍCES
Para hallar la diferencia de raíces es recomendable
utilizar la propiedad de Legendre, así:
(x1 + x2)2
– (x1 – x2)2
= 4x1x2
También existe una fórmula, que es la siguiente:
x1 – x2 = ± ∆
a
Ejemplo:
Sea x2
+ x – 3 = 0, entonces si su C S. = {x1, x2}
x1 + x2 = – b
a
= – 1
1
= –1
x1.x2 = c
a
= – 3
1
= –3
x1 – x2 = ± ∆
a
= ± 12
– 4(1)(–3)
1
= ± 13
Raíces simétricas
Llamamos así a las raíces cuya suma es cero, es decir:
x1 + x2 = 0 ⇒ – b
a
= 0
⇒ b = 0
Por lo tanto,
Raíces simétricas ⇒ b = 0
Ejemplo:
Calcula el valor de «m» si tiene raíces simétricas:
3x2
– (2m – 8)x + 4 = 0
Resolución:
Sabemos:
Raíces simétricas ⇒ b = 0
Luego, reconociendo coeficientes:
a = 3; b = –(2m – 8); c = 4
–(2m – 8) = 0 ⇒ 8 – 2m = 0 ⇒ m = 4
Raíces recíprocas
Llamamos así a las raíces cuyo producto es la unidad,
es decir:
x1.x2 ⇒ c
a
= 1
⇒ c = a
Por lo tanto,
Raíces recíprocas ⇒ c = a
Ejemplo:
Calcula el vlaor de «m» si tiene raíces recíprocas:
(5m – 1)x2
+ 8x + 9 = 0
Resolución:
Sabemos:
Raíces recíprocas ⇒ a = c
Luego, reconociendo coeficientes:
a = 5m – 1; b = 8; c = 9
5m – 1 = 9 ⇒ 5m = 10 ⇒ m = 2
Raíznula
Una raíz nula es aquella que vale cero; es decir, x = 0. Si
reemplazamos x = 0 en ax2
+ bx + c = 0, obtenemos que
c = 0, luego:
raíz nula ⇒ c = 0
Ejemplo:
Calcula «n» en x2
+ 2x + n – 5 = 0; si tiene una raíz nula.
Raíz nula ⇒ c = 0
⇒ n – 5 = 0
⇒ n = 5
12

Alg alfa

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Alg alfa

Similar to Alg alfa (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Alg alfa