Este documento discute los modelos de regresión no lineales. Explica que los efectos marginales no son siempre constantes y que las relaciones entre variables pueden no ser lineales. Presenta dos métodos para modelar estimaciones no lineales: cuando el efecto de una variable depende de su propio valor o del valor de otra variable. Luego describe cómo especificar funciones polinómicas, de logaritmos y con interacciones entre variables para capturar relaciones no lineales.
1. Modelo de regresión múltiple
Estimación de modelos no lineales.
Sesión 8
11/marzo/2007
2. Ampliación del modelo OLS
¿Son los efectos marginales constantes a
medida que estas cambian?
¿La pendiente de la curva de producción es
constante a mayor cantidad de trabajadores?
¿Los el incremento marginal del rendimiento
financiero es el mismo cuando incrementa el
riesgo?
¿La respuesta del consumo ante un cambio
en el precio es igual para los hombres que
para las mujeres?
Las estimaciones no lineales liberan estas
restricciones.
3. Dos métodos para detectar y
modelar estimaciones no lineales.
Grupo 1: el efecto sobre Yi de un cambio en Xi depende del valor
de que tenga Xi.
Ejemplo: Tamaño de clases y rendimiento de los alumnos.
Grupo 2: el efecto sobre Yi de un cambio en Xi depende del valor
de que tenga algún otro Xi.
Ejemplo: tipo de clases que se está llevando.
02
2
≠
∂
∂
X
Y
0
21
2
≠
∂∂
∂
XX
Y
5. Aproximación general a modelos no
lineales
1. Identificar una posible relación no lineal.
Utilizar la teoría econométrica para invocar
aproximaciones no lineales
2. Especificar una función no lineal utilizando
parámetros OLS.
Es necesario realizar transformaciones a la variable
Xi y/o Y.
3) Determinar si una función no lineal es superior
a una lineal.
Buscar evidencia empírica que refleje esta
situación.
6. Aproximación general a modelos no
lineales
4) Graficar los valores no lineales de la función.
En la medida de lo posible, graficar los valores
permite ver el grado de ajuste de la regresión.
4) Estimar el efecto en Y de un cambio en X.
Tomar en cuenta que a diferencia de las
estimaciones lineales estos procesos requieren una
mayor complejidad.
8. Caso1: Polinomios
Es un tipo de regresión múltiple donde un grupo de
variables independientes que corresponden a un mismo
Xi están elevados a un grado distinto de uno.
Se describe como un polinomio grado r, donde r es la
mayor potencia del modelo estimado.
r
ki XXXY 1
2
12110 ... ⋅++⋅+⋅+= ββββ
Grado del
polinomio
9. Polinomios: ¿Qué grado usar?
1. Escoger un r máximo para comenzar:
Mientras la serie es más suave el grado
inicial a testear debe ser bajo (4,3 o 2).
2. Encontrar el mejor modelo econométrico:
Realizar testeo de pruebas de hipótesis.
Comenzar con el máximo grado y testear si la
potencia mayor es significativa.
Si no fuera significativa, realizar la prueba con un
grado menor.
Utilizar criterios de información.
10. Polinomios y sus efectos marginales
01
ˆˆ YYY −=∆
r
k
r
k XXXXXXXXXY )(...)()()(...)()( 1
2
12111
2
1211 ⋅++⋅+⋅−∆+⋅++∆+⋅+∆+⋅=∆ ββββββ
r
kii XXXXXXYYY )(...)()(ˆ 1
2
12110 ∆+⋅++∆+⋅+∆+⋅+=∆+= ββββ
Estimación incluye el
cambio en xi
Estimación de Y con los
valores originales de xi
Notas sobre los efectos marginales:
El valor explicativo de los coeficientes βk es más profundo en estimaciones
no lineales.
Requiere de mayor trabajo para conocer estimaciones puntuales.
11. Caso 2: Logaritmos
Ventajas de los logaritmos:
Convierte los cambios en las variables en cambios porcentuales.
Logaritmos contienen propiedades deseables
Utilizar logaritmos naturales (para materia de simplicidad, dará lo
mismo hablar de logaritmos naturales –ln- que logaritmos –log-)
x
x
xxx
∆
≅−∆+ )log()log(
)log()log(
)log()log()/log(
)log()log()log(
)log()/1log(
xax
xaxa
xaxa
xx
a
⋅=
−=
+=⋅
−=
)log()1()log()log()log( 1
ZXAZXA ⋅−+⋅+=⋅ −
ββββ
12. Linear – Log Model
Logaritmos, caso 1:
X está expresada en logaritmos, Y no lo está.
El coeficiente β se interpreta como el efecto marginal
de δ cambio porcentual de xi.
iii uxY +⋅+= )log(10 ββ
[ ]
[ ]
∆
⋅≅∆
−∆+⋅=∆
+−∆++=∆
x
x
Y
xxxY
xxxY
1
1
1010
)log()log(
)log()log(
β
β
ββββ
Este término es una razón expresada en un
intervalo definido entre cero y uno.
13. Log – Linear Model
Logaritmos, caso 2:
Y está expresada en logaritmos, X no lo está.
El coeficiente β se puede interpretar como el cambio
porcentual de xi.
iii uXY +⋅+= 10)log( ββ
Este término es una razón
expresada en un intervalo
definido entre cero y uno.
[ ]
x
Y
Y
xY
xxxY
∆⋅=
∆
∆⋅=∆
⋅+−∆+⋅+=∆
1
1
1010
)log(
)()log(
β
β
ββββ
14. Log - log Model (doble log)
Logaritmos, caso 3:
Y & X están expresada en logaritmos.
El coeficiente β representa la elasticidad de Y
respecto a X.
iii uXY +⋅+= )log()log( 10 ββ
[ ]
[ ]
Y
x
x
Y
x
x
Y
Y
xxxY
xxxY
⋅
∆
∆
=
∆
⋅=
∆
−∆+⋅=∆
⋅+−∆+⋅+=∆
1
1
1
1010
)log()log()log(
)log()log()log(
β
β
β
ββββ
16. Caso 1: interacción entre dos
variables dummy
Considerando el caso básico de una variable
dummy:
Limitación: el efecto de D1 sobre Y es el mismo
independientemente del valor de D2.
Para liberar esta restricción se introduce un
tercer término:
ii uDDY +⋅+⋅+= 22110 βββ
ii uDDDDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 21322110 ββββ
18. Caso 2: interacción entre una
variable dummy y continua
Considerando el caso básico de un modelo con
una variable dummy y una continua
Limitación: la pendiente de x1 es independiente de la
variable D1.
Para liberar esta restricción se introduce un
tercer término:
ii uxDY +⋅+⋅+= 12110 βββ
ii uxDxDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 11312110 ββββ
19. Interpretación
Permite un mayor realismo liberar supuestos:
Realizar hipótesis de variables continuas con cualidades
distintas.
ii uxDxDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 11312110 ββββ
132
13210
)(
)(ˆ
xY
xY
i
i
∆⋅+=∆
⋅+++=
ββ
ββββ
Si el modelo el lineal, cuando D1=1
el efecto parcial de x1 se resume en
la suma de los coeficientes β2 y β3
estimados.
12
120
ˆ
xY
xY
i
i
∆⋅=∆
⋅+=
β
ββ
Si el modelo el lineal, cuando
D1=0 el efecto parcial de x1 se
resume en el coeficiente β2
estimado.
Fuente: Stock y Watson, 2003
21. Considerando el caso básico de un modelo con
una continua
Al introducir una interacción permite analizar los
efectos parciales de x1 en función de x2:
ii uxxY +⋅+⋅+= 22110 βββ
231
21322110 )(
x
X
Y
uxxxxY ii
⋅+=
∆
∆
+⋅⋅+⋅+⋅+=
ββ
ββββ
Caso 3: interacción entre dos
continuas