Função polinomial

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Função polinomial

  1. 1. DEFINIÇÃODEFINIÇÃO Função polinomial com uma variável ouFunção polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cujasimplesmente função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio.fórmula matemática é expressa por um polinômio.
  2. 2. GRAU DE UMA FUNÇÃOGRAU DE UMA FUNÇÃO POLINOMIALPOLINOMIAL  É dado pelo grau do polinômio dado naÉ dado pelo grau do polinômio dado na fórmula.fórmula.  O grau corresponde ao maior expoente daO grau corresponde ao maior expoente da variável considerada.variável considerada.
  3. 3. FUNÇÃOFUNÇÃO COMPOSTACOMPOSTA
  4. 4. Uma revenda de celular recebe através de um bancoUma revenda de celular recebe através de um banco as prestações de suas vendas pelo crediário.as prestações de suas vendas pelo crediário. Em determinado mês faz uma promoção de todoEm determinado mês faz uma promoção de todo cliente que pagar suas parcelas na primeira quinzenacliente que pagar suas parcelas na primeira quinzena terá um desconto de 20% sobre o valor da prestação.terá um desconto de 20% sobre o valor da prestação. O cliente pagará o valor definido pela funçãoO cliente pagará o valor definido pela função FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA ( ) 0,8f x x=
  5. 5. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA O banco faz a intermediação desse dinheiro cobraO banco faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa.da loja uma taxa. Para cada quantia de t reais recebidos, o bancoPara cada quantia de t reais recebidos, o banco transfere para a conta da loja a quantiatransfere para a conta da loja a quantia g(t)g(t) dadadada pela funçãopela função ( ) 0,95g t t=
  6. 6. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA ( )f x t= Entenda o esquema Cliente Banco Loja x ( )g t
  7. 7. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA A prestação de um cliente é de R$ 150,00, se pagá-A prestação de um cliente é de R$ 150,00, se pagá- la na 1ª quinzena, quanto pagará?la na 1ª quinzena, quanto pagará? A resposta para essa questão é dada pela funçãoA resposta para essa questão é dada pela função O cliente vai pagarO cliente vai pagar ( ) 0,8f x x= ( )150 0,8 150 120f = × =
  8. 8. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA Que parcela desse dinheiro será transferida para aQue parcela desse dinheiro será transferida para a loja?loja? A resposta para essa questão é dada pela funçãoA resposta para essa questão é dada pela função Como o banco terá recebidoComo o banco terá recebido t = 120t = 120 do cliente, ado cliente, a loja receberá do banco:loja receberá do banco: ( ) 0,95g t t= ( )120 0,95 120 114g = × =
  9. 9. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA A prestação de um cliente é deA prestação de um cliente é de xx reais.reais. Se pagá-la na 1ª quinzena terá o descontoSe pagá-la na 1ª quinzena terá o desconto oferecido pela loja.oferecido pela loja. Que função da o valor recebido pela loja emQue função da o valor recebido pela loja em função de x, sabendo que a prestação será paga nafunção de x, sabendo que a prestação será paga na primeira quinzena?primeira quinzena?
  10. 10. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA ( ) 0,8f x x= ( ) 0,95g t t= ( )( ) 0,95 0,8g f x x= × ( )( ) 0,76g f x x= ( ) 0,8f x x= ( ) 0,95g t t= ( ) 0,76h x x= A função h é chamada de função composta de g com f.
  11. 11. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA Existe a composta de g com f, isto é, g ο f, se e somente se CD(f) = D(g). Se existem as composições de funções f ο g e g ο f , não necessariamente se tem que f ο g = g ο f , ou seja a composição de funções não é comutativa.
  12. 12. FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA
  13. 13. FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA Observe as funções f e g de domínio real dadasObserve as funções f e g de domínio real dadas porpor ( ) ( )3 e 3 x f x x g x= = ( ) ( ) ( ) 3 5 5 15 1 1 3 f x x x f x f = = − ⇒ − = − = ⇒ = ( ) ( ) ( ) = = − ⇒ − = − = ⇒ = 3 15 15 5 3 3 1 x g x x g x g
  14. 14. Obtemos os pares da função g invertendo-se aObtemos os pares da função g invertendo-se a ordem dos elementos nos pares obtidos pela funçãoordem dos elementos nos pares obtidos pela função f.f. Nesse caso dizemos que g é a função inversa daNesse caso dizemos que g é a função inversa da função f e representamos porfunção f e representamos por FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA g f ( ) ( )1 g x f x− =
  15. 15. FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA  O contradomínio de f coincide com sua imagem,O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio éou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.correspondente de algum elemento do domínio.  Cada elemento do contradomínio de f é imagemCada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.de um único elemento do domínio.
  16. 16. FUNÇÃO CONSTANTEFUNÇÃO CONSTANTE Uma função polinomial cuja lei é do tipoUma função polinomial cuja lei é do tipo é chamada de função constante, pois para qualqueré chamada de função constante, pois para qualquer valor real atribuído a variável x sua imagem serávalor real atribuído a variável x sua imagem será sempre a mesma: ksempre a mesma: k ( ) , ondef x k k= ∈ ¡
  17. 17. FUNÇÃO CONSTANTEFUNÇÃO CONSTANTE x y k { }Im D k = = ¡
  18. 18. FUNÇÃO DE 1º GRAUFUNÇÃO DE 1º GRAU Denomina-se função polinomial de 1º grau todaDenomina-se função polinomial de 1º grau toda função que pode ser reduzida a formafunção que pode ser reduzida a forma SendoSendo aa ee bb números reais e a ≠ 0.números reais e a ≠ 0. Os números representados porOs números representados por aa ee bb são chamadossão chamados coeficientes, enquantocoeficientes, enquanto xx é a variável independente.é a variável independente. ( )f x ax b= +
  19. 19. Assim, são funções polinomiais de 1º grau:Assim, são funções polinomiais de 1º grau: ( ) 5 3 f x x= − = = −Coeficientes: 2 e 1a b = − =Coef 3icien etes: 4a b = =Coeficientes: 8 e 0a b = = −Coef 1 e 2 3 icientes: a b = − =Coeficientes: 5 1 e 3 a b ( ) 2 1f x x= − ( ) 3 4f x x= − + ( ) 2 3 x f x = − ( ) 8f x x=
  20. 20. FUNÇÃO LINEARFUNÇÃO LINEAR  Toda função de 1º grau ondeToda função de 1º grau onde b = 0b = 0, é chamada, é chamada de função linearde função linear  Uma característica é que quando atribuímos 0Uma característica é que quando atribuímos 0 para x, sua imagem também será 0.para x, sua imagem também será 0. ( )f x ax= ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x ax f a f y = ⇒ = × = ⇒ =
  21. 21. Usamos ainda um nome especial para a função linearUsamos ainda um nome especial para a função linear em queem que a = 1a = 1 Essa função, dada porEssa função, dada por chama-sechama-se função identidadefunção identidade ( )f x x= FUNÇÃO LINEARFUNÇÃO LINEAR ( )f x ax=
  22. 22. GRÁFICOGRÁFICO O gráfico da função deO gráfico da função de 1º grau1º grau É uma reta queÉ uma reta que intercepta o eixo dasintercepta o eixo das ordenadas no pontoordenadas no ponto (0,b)(0,b) ( ) com 0f x ax b a= + ≠ x y 0 b
  23. 23. x y 0 ( )1f x ( )2f x 1x ( )f x 2x Aumentando os valores atribuídos a x, aumentam os valores correspondentes da imagem f(x). > 0a ( ) é crescentef x ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ <
  24. 24. x y 0 ( )1f x ( )2f x 1x ( )f x 2x Aumentando os valores atribuídos a x, diminuem os valores correspondentes da imagem f(x). < 0a ( ) é decrescentef x ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ >
  25. 25. RAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1ºRAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAUGRAU Raiz ou zero da função de 1º grauRaiz ou zero da função de 1º grau é o valor de x que anula a função, isto é, tornaé o valor de x que anula a função, isto é, torna ( ) , 0f x ax b a= + ≠ ( ) 0f x = ( ) 0f x ax b ax b b x a = + → = + = − RAIZ DE f(x)
  26. 26. b a − RAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1ºRAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAUGRAU Geometricamente o zero da função de 1º grau é aGeometricamente o zero da função de 1º grau é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x. x y 0 b a − x y 0
  27. 27. PROBLEMAPROBLEMA João possui um terreno de 1000 mJoão possui um terreno de 1000 m22 , no qual, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiropretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintesresponsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer deve tercondições: a área destinada ao lazer deve ter 200m200m22 , e a área interna da casa mais a área de, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% do terreno. O custolazer devem ultrapassar 50% do terreno. O custo total deverá ser de, no máximo, R$ 200 000,00.total deverá ser de, no máximo, R$ 200 000,00. Sabendo que a construção do metro quadradoSabendo que a construção do metro quadrado custa R$ 500,00, qual a área interna que ocusta R$ 500,00, qual a área interna que o engenheiro poderá projetar?engenheiro poderá projetar?
  28. 28. x Área interna da casa Área interna da casa + área de lazer maior que 50% do terreno (1000 m2 ) + >200 500x Custo tem que ser menor que R$ 200 000,00 <500 200000x Chegamos ao sistema + >  < 200 500 500 200000 x x
  29. 29. + >  < 200 500 500 200000 x x + >200 500x > −500 200x > 300x 300 <500 200000x < 200000 500 x < 400x 400 ( )I ( )II ( )I ( )II ( ) ( )I III 300 400 300 400 A casa deve ser projetada entre 300 m2 e 400 m2
  30. 30. ESTUDO DO SINAL DAESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO 1º GRAUFUNÇÃO 1º GRAU Estudar o sinal de uma funçãoEstudar o sinal de uma função significa determinar para que valoressignifica determinar para que valores xx do domínio dado domínio da função a imagemfunção a imagem f(x)f(x) será positiva, negativa ou nula.será positiva, negativa ou nula. Em outras palavras, estudar o sinal de uma funçãoEm outras palavras, estudar o sinal de uma função ff significa determinar para que valores designifica determinar para que valores de xx temos:temos: ( )y f x= ( ) ( ) ( )0, 0 ou 0f x f x f x> < =
  31. 31. x + − b a − x ( ) 0f x < b a − ( ) 0f x > ( ) = 0f x = − b x a para ( ) > 0f x > − b x a para ( ) < 0f x < − b x a para > 0ay
  32. 32. x + −b a − x ( ) 0f x > b a − ( ) 0f x < ( ) = 0f x = − b x a para ( ) > 0f x < − b x a para ( ) < 0f x > − b x a para < 0ay
  33. 33. MACETEMACETE x + − b a − x + −b a − < 0a> 0a contrário de a mesmo de a contrário de a mesmo de a C A M A
  34. 34. PROBLEMAPROBLEMA Determine o domínio da seguinte função:Determine o domínio da seguinte função: ( )= − 5y x x Condição de existência ( )− ≥5 0x x
  35. 35. ( )− ≥5 0x x ( ) =f x x = 0x ( ) = − 5g x x − =5 0x = 5x 0 − + 5 − + 0 5 0 5 − − − − + + + ++ ( )f x ( )g x ( ) ( )×f x g x { }| 0 5S x x= ∈ ≥ ≥¡
  36. 36. PROBLEMAPROBLEMA Determine o domínio da seguinte função:Determine o domínio da seguinte função: − = + 2 4 x y x Condição de existência + ≠4 0x − ≥ + 2 0 4 x x
  37. 37. + ≠4 0x − ≥ + 2 0 4 x x ( ) = − 2f x x − =2 0x ( ) = + 4g x x + =4 0x = −4x 2 − + 4− − + 4− 2 4− 2 − − + − − + + ++ ( )f x ( )g x ( ) ( ):f x g x { }| 4 2S x x= ∈ − > ≥¡ = 2x ( ) = + 4h x x + ≠4 0x ≠ −4x 4−
  38. 38. FUNÇÃO POLINOMIALFUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAUDE 2º GRAU Definição: A função dada por ,A função dada por , comcom a,, b ee c reais e , denomina-se funçãoreais e , denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática. Ospolinomial do 2º grau ou função quadrática. Os números representados pornúmeros representados por a,, b ee c são ossão os coeficientes da função. Note-se que se ,coeficientes da função. Note-se que se , temos uma função do 1º grau ou uma funçãotemos uma função do 1º grau ou uma função constante.constante. :f →¡ ¡ ( ) 2 f x ax bx c= + + 0a = 0a ≠
  39. 39. Assim, são funções polinomiais de 2º grau:Assim, são funções polinomiais de 2º grau: ( ) 2 5f x x= − Coeficientes 1, 4: 3 e ca b= = − =( ) 2 3 4f x x x= − + ( ) 2 8 1f x x= − ( ) 2 3 2 f x x x= − + Coeficientes 8, 1: 0 e ca b= = = − Coeficientes: 3 1, e c 0 2 a b= − = = Coeficientes 5,: 0 e c 0a b= − = =
  40. 40. ZEROS OU RAÍZESZEROS OU RAÍZES Zeros ou raízes de uma função são os valores doZeros ou raízes de uma função são os valores do domínio para os quaisdomínio para os quais Assim, as raízes da função quadráticaAssim, as raízes da função quadrática são as raízes da equaçãosão as raízes da equação ( ) 0f x = ( ) 2 f x ax bx c= + + 2 0ax bx c+ + =
  41. 41. ZEROS OU RAÍZESZEROS OU RAÍZES Se , a função possui dois zeros reais distintosSe , a função possui dois zeros reais distintos0∆ > Se , a função possui um zero real duploSe , a função possui um zero real duplo0∆ = Se , a função não possui zeros reaisSe , a função não possui zeros reais0∆ < Relembrando:Relembrando: ∆ = −2 4b ac 2 4 2 b b ac x a − ± − =
  42. 42. GRÁFICOGRÁFICO O gráfico de uma função de 2º grau é uma curvaO gráfico de uma função de 2º grau é uma curva chamada parábola.chamada parábola. A concavidade depende do sinal deA concavidade depende do sinal de a, quandoquando a >0 a concavidade é paraa concavidade é para cima, quandoquando a < 0 a concavidade é paraa concavidade é para baixo..
  43. 43. x 0a > y 0∆ >
  44. 44. x 0a > y 0∆ =
  45. 45. x 0a > y 0∆ <
  46. 46. x 0a < y 0∆ >
  47. 47. x 0a < y 0∆ =
  48. 48. x 0a < y 0∆ <
  49. 49. VÉRTICEVÉRTICE O vértice de todas as parábolas é dado pelasO vértice de todas as parábolas é dado pelas coordenadas:coordenadas: , 2 4 b V a a ∆  − − ÷  
  50. 50. | 2 b x x a   ∈ ≤ −    ¡ f(x) é decrescente para 0a > ( )Im | 4 f y y a ∆  = ∈ ≥ −    ¡ x y V O conjunto imagem é 4 vy a ∆ = − É denominado valor mínimo da função | 2 b x x a   ∈ ≥ −    ¡ f(x) é crescente para 4 vy a ∆ = − 2 v b x a = −
  51. 51. | 2 b x x a   ∈ ≤ −    ¡ f(x) é crescente para 0a < ( )Im | 4 f y y a ∆  = ∈ ≤ −    ¡ x y V O conjunto imagem é ∆ = − 4 vy a É denominado valor máximo da função | 2 b x x a   ∈ ≥ −    ¡ f(x) é decrescente para ∆ = − 4 vy a 2 v b x a = − Os valores vistosOs valores vistos anteriormente sãoanteriormente são válidos para quaisquerválidos para quaisquer valores de delta.valores de delta.
  52. 52. Você já sabe que estudar o sinal de uma funçãoVocê já sabe que estudar o sinal de uma função significa determinar os valores reais de x quesignifica determinar os valores reais de x que tornam a funçãotornam a função PositivaPositiva NegativaNegativa NulaNula Vamos considerar então os seguintes casos:Vamos considerar então os seguintes casos: ESTUDO DO SINAL DAESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA ( )y f x= ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x =
  53. 53. Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes:Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes: x’ ee x” 0∆ > 0a > + − + 'x x x'x ''x ''x ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x > ( ) para0 ' ''ouf x x x x x> < > ( ) 0 par ' 'a 'f x x x x< < < ( ) para0 ' ''ouf x x x x x= = = M A C A M
  54. 54. Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes:Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes: x’ ee x” 0∆ > 0a < − + − 'x x x'x ''x ''x ( ) 0f x < ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) para0 ' ''ouf x x x x x< < > ( ) 0 par ' 'a 'f x x x x> < < ( ) para0 ' ''ouf x x x x x= = = M A C A M
  55. 55. Neste caso a função admite um zero real duplo:Neste caso a função admite um zero real duplo: x’ == x” 0∆ = 0a > ++ ' ''x x= x x' ''x x= ( ) 0f x > ( ) 0f x > ( ) 0 par ' 'a 'f x x x x= = = ( ) para0 'f x x x> ≠ ( ) 0 x realf x < ∃
  56. 56. Neste caso a função admite um zero real duplo:Neste caso a função admite um zero real duplo: x’ == x” 0∆ = 0a < −− ' ''x x= x x' ''x x= ( ) 0f x < ( ) 0f x < ( ) 0 par ' 'a 'f x x x x= = = ( ) para0 'f x x x< ≠ ( ) 0 realf x x> ∃
  57. 57. Neste caso a função não admite zero realNeste caso a função não admite zero real 0∆ < 0a > ++ x x ( ) 0f x > ( ) 0 x realf x = ∃ ( ) para todo0 realf x x> ( ) 0 x realf x < ∃
  58. 58. Neste caso a função não admite zero realNeste caso a função não admite zero real 0∆ < 0a < −− x x ( ) 0f x < ( ) 0 realf x x= ∃ ( ) 0 x realf x > ∃ ( ) 0 para todo realf x x<

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