Função polinomial

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Função polinomial com uma variável ouFunção polinomial com uma variável ou
simplesmente função polinomial é aquela cujasimplesmente função polinomial é aquela cuja
fórmula matemática é expressa por um polinômio.fórmula matemática é expressa por um polinômio.

GRAU DE UMA FUNÇÃOGRAU DE UMA FUNÇÃO
POLINOMIALPOLINOMIAL
 É dado pelo grau do polinômio dado naÉ dado pelo grau do polinômio dado na
fórmula.fórmula.
 O grau corresponde ao maior expoente daO grau corresponde ao maior expoente da
variável considerada.variável considerada.

FUNÇÃOFUNÇÃO
COMPOSTACOMPOSTA

Uma revenda de celular recebe através de um bancoUma revenda de celular recebe através de um banco
as prestações de suas vendas pelo crediário.as prestações de suas vendas pelo crediário.
Em determinado mês faz uma promoção de todoEm determinado mês faz uma promoção de todo
cliente que pagar suas parcelas na primeira quinzenacliente que pagar suas parcelas na primeira quinzena
terá um desconto de 20% sobre o valor da prestação.terá um desconto de 20% sobre o valor da prestação.
O cliente pagará o valor definido pela funçãoO cliente pagará o valor definido pela função
FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA
( ) 0,8f x x=

O banco faz a intermediação desse dinheiro cobraO banco faz a intermediação desse dinheiro cobra
da loja uma taxa.da loja uma taxa.
Para cada quantia de t reais recebidos, o bancoPara cada quantia de t reais recebidos, o banco
transfere para a conta da loja a quantiatransfere para a conta da loja a quantia g(t)g(t) dadadada
pela funçãopela função
( ) 0,95g t t=

( )f x t=
Entenda o
esquema
Cliente Banco Loja
x ( )g t

A prestação de um cliente é de R$ 150,00, se pagá-A prestação de um cliente é de R$ 150,00, se pagá-
la na 1ª quinzena, quanto pagará?la na 1ª quinzena, quanto pagará?
A resposta para essa questão é dada pela funçãoA resposta para essa questão é dada pela função
O cliente vai pagarO cliente vai pagar
( ) 0,8f x x=
( )150 0,8 150 120f = × =

Que parcela desse dinheiro será transferida para aQue parcela desse dinheiro será transferida para a
loja?loja?
A resposta para essa questão é dada pela funçãoA resposta para essa questão é dada pela função
Como o banco terá recebidoComo o banco terá recebido t = 120t = 120 do cliente, ado cliente, a
loja receberá do banco:loja receberá do banco:
( ) 0,95g t t=
( )120 0,95 120 114g = × =

A prestação de um cliente é deA prestação de um cliente é de xx reais.reais.
Se pagá-la na 1ª quinzena terá o descontoSe pagá-la na 1ª quinzena terá o desconto
oferecido pela loja.oferecido pela loja.
Que função da o valor recebido pela loja emQue função da o valor recebido pela loja em
função de x, sabendo que a prestação será paga nafunção de x, sabendo que a prestação será paga na
primeira quinzena?primeira quinzena?

( ) 0,8f x x= ( ) 0,95g t t=
( )( ) 0,95 0,8g f x x= ×
( )( ) 0,76g f x x=
( ) 0,8f x x= ( ) 0,95g t t=
( ) 0,76h x x=
A função h é chamada de função composta de g com f.

Existe a composta de g com f, isto é,
g ο f, se e somente se CD(f) = D(g).
Se existem as composições de funções f ο g e g ο f ,
não necessariamente se tem que
f ο g = g ο f , ou seja a composição de funções
não é comutativa.

FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA

Observe as funções f e g de domínio real dadasObserve as funções f e g de domínio real dadas
porpor
( ) ( )3 e
3
x
f x x g x= =
( )
( )
( )
3
5 5 15
1 1 3
f x x
x f
x f
=
= − ⇒ − = −
= ⇒ =
( )
( )
( )
=
= − ⇒ − = −
= ⇒ =
3
15 15 5
3 3 1
x
g x
x g
x g

Obtemos os pares da função g invertendo-se aObtemos os pares da função g invertendo-se a
ordem dos elementos nos pares obtidos pela funçãoordem dos elementos nos pares obtidos pela função
f.f.
Nesse caso dizemos que g é a função inversa daNesse caso dizemos que g é a função inversa da
função f e representamos porfunção f e representamos por
g
f
( ) ( )1
g x f x−
=

 O contradomínio de f coincide com sua imagem,O contradomínio de f coincide com sua imagem,
ou seja, todo elemento do contradomínio éou seja, todo elemento do contradomínio é
correspondente de algum elemento do domínio.correspondente de algum elemento do domínio.
 Cada elemento do contradomínio de f é imagemCada elemento do contradomínio de f é imagem
de um único elemento do domínio.de um único elemento do domínio.

FUNÇÃO CONSTANTEFUNÇÃO CONSTANTE
Uma função polinomial cuja lei é do tipoUma função polinomial cuja lei é do tipo
é chamada de função constante, pois para qualqueré chamada de função constante, pois para qualquer
valor real atribuído a variável x sua imagem serávalor real atribuído a variável x sua imagem será
sempre a mesma: ksempre a mesma: k
( ) , ondef x k k= ∈ ¡

FUNÇÃO CONSTANTEFUNÇÃO CONSTANTE
x
y
k
{ }Im
D
k
=
=
¡

FUNÇÃO DE 1º GRAUFUNÇÃO DE 1º GRAU
Denomina-se função polinomial de 1º grau todaDenomina-se função polinomial de 1º grau toda
função que pode ser reduzida a formafunção que pode ser reduzida a forma
SendoSendo aa ee bb números reais e a ≠ 0.números reais e a ≠ 0.
Os números representados porOs números representados por aa ee bb são chamadossão chamados
coeficientes, enquantocoeficientes, enquanto xx é a variável independente.é a variável independente.
( )f x ax b= +

Assim, são funções polinomiais de 1º grau:Assim, são funções polinomiais de 1º grau:
( )
5
3
f x x= −
= = −Coeficientes: 2 e 1a b
= − =Coef 3icien etes: 4a b
= =Coeficientes: 8 e 0a b
= = −Coef
1
e 2
3
icientes: a b
= − =Coeficientes:
5
1 e
3
a b
( ) 2 1f x x= −
( ) 3 4f x x= − +
( ) 2
3
x
f x = −
( ) 8f x x=

FUNÇÃO LINEARFUNÇÃO LINEAR
 Toda função de 1º grau ondeToda função de 1º grau onde b = 0b = 0, é chamada, é chamada
de função linearde função linear
 Uma característica é que quando atribuímos 0Uma característica é que quando atribuímos 0
para x, sua imagem também será 0.para x, sua imagem também será 0.
( )f x ax=
( ) ( )
( )
0 0
0 0 0
f x ax f a
f y
= ⇒ = ×
= ⇒ =

Usamos ainda um nome especial para a função linearUsamos ainda um nome especial para a função linear
em queem que a = 1a = 1
Essa função, dada porEssa função, dada por
chama-sechama-se função identidadefunção identidade
( )f x x=
FUNÇÃO LINEARFUNÇÃO LINEAR
( )f x ax=

GRÁFICOGRÁFICO
O gráfico da função deO gráfico da função de
1º grau1º grau
É uma reta queÉ uma reta que
intercepta o eixo dasintercepta o eixo das
ordenadas no pontoordenadas no ponto
(0,b)(0,b)
( ) com 0f x ax b a= + ≠
x
y
0
b

x
y
0
( )1f x
( )2f x
1x
( )f x
2x
Aumentando os
valores atribuídos
a x, aumentam os
valores
correspondentes
da imagem f(x).
> 0a
( ) é crescentef x
( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ <

x
y
0
( )1f x
( )2f x
1x
( )f x
2x
Aumentando os
valores atribuídos
a x, diminuem os
valores
correspondentes
da imagem f(x).
< 0a
( ) é decrescentef x
( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ >

RAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1ºRAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1º
GRAUGRAU
Raiz ou zero da função de 1º grauRaiz ou zero da função de 1º grau
é o valor de x que anula a função, isto é, tornaé o valor de x que anula a função, isto é, torna
( ) , 0f x ax b a= + ≠
( ) 0f x =
( ) 0f x ax b ax b
b
x
a
= + → = +
= −
RAIZ DE f(x)

b
a
−
RAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1ºRAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1º
GRAUGRAU
Geometricamente o zero da função de 1º grau é aGeometricamente o zero da função de 1º grau é a
abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.
x
y
0
b
a
−
x
y
0

PROBLEMAPROBLEMA
João possui um terreno de 1000 mJoão possui um terreno de 1000 m22
, no qual, no qual
pretende construir uma casa. Ao engenheiropretende construir uma casa. Ao engenheiro
responsável pela planta, ele impõe as seguintesresponsável pela planta, ele impõe as seguintes
condições: a área destinada ao lazer deve tercondições: a área destinada ao lazer deve ter
200m200m22
, e a área interna da casa mais a área de, e a área interna da casa mais a área de
lazer devem ultrapassar 50% do terreno. O custolazer devem ultrapassar 50% do terreno. O custo
total deverá ser de, no máximo, R$ 200 000,00.total deverá ser de, no máximo, R$ 200 000,00.
Sabendo que a construção do metro quadradoSabendo que a construção do metro quadrado
custa R$ 500,00, qual a área interna que ocusta R$ 500,00, qual a área interna que o
engenheiro poderá projetar?engenheiro poderá projetar?

x Área interna da casa
Área interna da casa + área de lazer
maior que 50% do terreno (1000 m2
) + >200 500x
Custo tem que ser menor
que R$ 200 000,00
<500 200000x
Chegamos ao sistema
+ >

<
200 500
500 200000
x
x

+ >

<
200 500
500 200000
x
x
+ >200 500x
> −500 200x
> 300x
300
<500 200000x
<
200000
500
x
< 400x
400
( )I ( )II
( )I
( )II
( ) ( )I III
300
400
300 400
A casa deve ser projetada entre 300 m2
e 400 m2

ESTUDO DO SINAL DAESTUDO DO SINAL DA
FUNÇÃO 1º GRAUFUNÇÃO 1º GRAU
Estudar o sinal de uma funçãoEstudar o sinal de uma função
significa determinar para que valoressignifica determinar para que valores xx do domínio dado domínio da
função a imagemfunção a imagem f(x)f(x) será positiva, negativa ou nula.será positiva, negativa ou nula.
Em outras palavras, estudar o sinal de uma funçãoEm outras palavras, estudar o sinal de uma função ff
significa determinar para que valores designifica determinar para que valores de xx temos:temos:
( )y f x=
( ) ( ) ( )0, 0 ou 0f x f x f x> < =

x
+
− b
a
−
x
( ) 0f x <
b
a
−
( ) 0f x >
( ) = 0f x = −
b
x
a
para
( ) > 0f x > −
b
x
a
para
( ) < 0f x < −
b
x
a
para
> 0ay

x
+
−b
a
−
x
( ) 0f x >
b
a
−
( ) 0f x <
( ) = 0f x = −
b
x
a
para
( ) > 0f x < −
b
x
a
para
( ) < 0f x > −
b
x
a
para
< 0ay

MACETEMACETE
x
+
− b
a
−
x
+
−b
a
−
< 0a> 0a
contrário de a mesmo de a contrário de a mesmo de a
C A M
A

PROBLEMAPROBLEMA
Determine o domínio da seguinte função:Determine o domínio da seguinte função:
( )= − 5y x x
Condição de existência
( )− ≥5 0x x

( )− ≥5 0x x
( ) =f x x
= 0x
( ) = − 5g x x
− =5 0x
= 5x
0
− +
5
− +
0
5
0 5
−
− −
−
+ +
+
++
( )f x
( )g x
( ) ( )×f x g x
{ }| 0 5S x x= ∈ ≥ ≥¡

PROBLEMAPROBLEMA
Determine o domínio da seguinte função:Determine o domínio da seguinte função:
−
=
+
2
4
x
y
x
Condição de existência
+ ≠4 0x
−
≥
+
2
0
4
x
x

+ ≠4 0x
−
≥
+
2
0
4
x
x
( ) = − 2f x x
− =2 0x
( ) = + 4g x x
+ =4 0x
= −4x
2
− +
4−
− +
4−
2
4− 2
−
− +
−
− +
+
++
( )f x
( )g x
( ) ( ):f x g x
{ }| 4 2S x x= ∈ − > ≥¡
= 2x
( ) = + 4h x x
+ ≠4 0x
≠ −4x
4−

FUNÇÃO POLINOMIALFUNÇÃO POLINOMIAL
DE 2º GRAUDE 2º GRAU
Definição:
A função dada por ,A função dada por ,
comcom a,, b ee c reais e , denomina-se funçãoreais e , denomina-se função
polinomial do 2º grau ou função quadrática. Ospolinomial do 2º grau ou função quadrática. Os
números representados pornúmeros representados por a,, b ee c são ossão os
coeficientes da função. Note-se que se ,coeficientes da função. Note-se que se ,
temos uma função do 1º grau ou uma funçãotemos uma função do 1º grau ou uma função
constante.constante.
:f →¡ ¡ ( ) 2
f x ax bx c= + +
0a =
0a ≠

Assim, são funções polinomiais de 2º grau:Assim, são funções polinomiais de 2º grau:
( ) 2
5f x x= −
Coeficientes 1, 4: 3 e ca b= = − =( ) 2
3 4f x x x= − +
( ) 2
8 1f x x= −
( ) 2 3
2
f x x x= − +
Coeficientes 8, 1: 0 e ca b= = = −
Coeficientes:
3
1, e c 0
2
a b= − = =
Coeficientes 5,: 0 e c 0a b= − = =

ZEROS OU RAÍZESZEROS OU RAÍZES
Zeros ou raízes de uma função são os valores doZeros ou raízes de uma função são os valores do
domínio para os quaisdomínio para os quais
Assim, as raízes da função quadráticaAssim, as raízes da função quadrática
são as raízes da equaçãosão as raízes da equação
( ) 0f x =
( ) 2
f x ax bx c= + +
2
0ax bx c+ + =

ZEROS OU RAÍZESZEROS OU RAÍZES
Se , a função possui dois zeros reais distintosSe , a função possui dois zeros reais distintos0∆ >
Se , a função possui um zero real duploSe , a função possui um zero real duplo0∆ =
Se , a função não possui zeros reaisSe , a função não possui zeros reais0∆ <
Relembrando:Relembrando:
∆ = −2
4b ac
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
=

GRÁFICOGRÁFICO
O gráfico de uma função de 2º grau é uma curvaO gráfico de uma função de 2º grau é uma curva
chamada parábola.chamada parábola.
A concavidade depende do sinal deA concavidade depende do sinal de a,
quandoquando a >0 a concavidade é paraa concavidade é para cima,
quandoquando a < 0 a concavidade é paraa concavidade é para baixo..

VÉRTICEVÉRTICE
O vértice de todas as parábolas é dado pelasO vértice de todas as parábolas é dado pelas
coordenadas:coordenadas:
,
2 4
b
V
a a
∆ 
− − ÷
 

|
2
b
x x
a
 
∈ ≤ − 
 
¡
f(x) é decrescente para
0a >
( )Im |
4
f y y
a
∆ 
= ∈ ≥ − 
 
¡
x
y
V
O conjunto imagem é
4
vy
a
∆
= −
É denominado valor
mínimo da função
|
2
b
x x
a
 
∈ ≥ − 
 
¡
f(x) é crescente para
4
vy
a
∆
= −
2
v
b
x
a
= −

|
2
b
x x
a
 
∈ ≤ − 
 
¡
f(x) é crescente para
0a <
( )Im |
4
f y y
a
∆ 
= ∈ ≤ − 
 
¡
x
y
V
O conjunto imagem é
∆
= −
4
vy
a
É denominado valor
máximo da função
|
2
b
x x
a
 
∈ ≥ − 
 
¡
f(x) é decrescente para
∆
= −
4
vy
a
2
v
b
x
a
= −
Os valores vistosOs valores vistos
anteriormente sãoanteriormente são
válidos para quaisquerválidos para quaisquer
valores de delta.valores de delta.

Você já sabe que estudar o sinal de uma funçãoVocê já sabe que estudar o sinal de uma função
significa determinar os valores reais de x quesignifica determinar os valores reais de x que
tornam a funçãotornam a função
PositivaPositiva
NegativaNegativa
NulaNula
Vamos considerar então os seguintes casos:Vamos considerar então os seguintes casos:
ESTUDO DO SINAL DAESTUDO DO SINAL DA
FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA
( )y f x=
( ) 0f x >
( ) 0f x <
( ) 0f x =

Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes:Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes: x’ ee x”
0∆ > 0a >
+
−
+
'x x
x'x ''x
''x
( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x >
( ) para0 ' ''ouf x x x x x> < >
( ) 0 par ' 'a 'f x x x x< < <
( ) para0 ' ''ouf x x x x x= = =
M A C A M

Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes:Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes: x’ ee x”
0∆ > 0a <
−
+
−
'x x
x'x ''x
''x
( ) 0f x < ( ) 0f x > ( ) 0f x <
( ) para0 ' ''ouf x x x x x< < >
( ) 0 par ' 'a 'f x x x x> < <
( ) para0 ' ''ouf x x x x x= = =
M A C A M

Neste caso a função admite um zero real duplo:Neste caso a função admite um zero real duplo: x’ == x”
0∆ = 0a >
++
' ''x x= x
x' ''x x=
( ) 0f x > ( ) 0f x >
( ) 0 par ' 'a 'f x x x x= = =
( ) para0 'f x x x> ≠
( ) 0 x realf x < ∃

Neste caso a função admite um zero real duplo:Neste caso a função admite um zero real duplo: x’ == x”
0∆ = 0a <
−−
' ''x x= x
x' ''x x=
( ) 0f x < ( ) 0f x <
( ) 0 par ' 'a 'f x x x x= = =
( ) para0 'f x x x< ≠
( ) 0 realf x x> ∃

Neste caso a função não admite zero realNeste caso a função não admite zero real
0∆ < 0a >
++
x
x
( ) 0f x >
( ) 0 x realf x = ∃
( ) para todo0 realf x x>
( ) 0 x realf x < ∃

Neste caso a função não admite zero realNeste caso a função não admite zero real
0∆ < 0a <
−−
x
x
( ) 0f x <
( ) 0 realf x x= ∃
( ) 0 x realf x > ∃
( ) 0 para todo realf x x<

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