2. Milieu thermiquement mince
• Considérons un solide :
– T(t=0)=Ti. A l'instant t = 0,
– le corps est immergé dans un liquide de température T < Ti.
• En raison du transfert de chaleur par convection à l'interface
solide-liquide, la température du solide diminue au temps t > 0
jusqu'à ce qu'il atteigne T.
• Il est supposé que la température du solide est uniforme dans
l'espace à tout instant au cours du processus transitoire, c'est à dire
pas de gradient de température dans le solide. Cette hypothèse est
appelée l'hypothèse milieu thermiquement mince.
• La réponse transitoire de température est déterminée par la
formulation d'un bilan énergétique global sur le solide.
4. Milieu thermiquement mince
t
c
V
S
h
T
T
T
T i
exp
t
d
T
d
c
V
T
T
S
h
t
t
t
C
R
c
V
S
h
1
Constante du temps thermique, exprimée
en s
Rt est la résistance thermique de convection
Ct est la capacité thermique du solide.
t
i
t
t t
c
V
dt
S
h
dt
Q
exp
1
0
0
Chaleur échangée entre le solide et le fluide :
5. Milieu thermiquement mince
Validité de la méthode
La méthode n'est applicable que lorsque : R conduction << R
convection
Le nombre de Biot :
1
.
0
c
L
h
Bi
S
h
S
L
Bi
c
1
Il est, par conséquent, un critère pour mesurer la validité de l'hypothèse
de capacité localisées.
La méthode est valable lorsque la condition suivante est satisfaite :
S
V
Lc
Avec
7. Milieu thermiquement épais
L’équation de la chaleur (milieu inerte q=0) :
t
T
a
1
=
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
Transformation de Laplace Séparation des variables
Méthode analytique : Méthode numérique
8. Milieu thermiquement épais
Nous nous limiterons dans ce qui suit à la résolution des problèmes
thermocinétiques à deux variables : une variable spatiale x, et le temps t.
Ceci correspond à de nombreux cas pratiques où les conditions aux limites sont
indépendantes de y et z.
L’équation de la chaleur se réduit alors à :
t
T
a
1
=
x
T
2
2
Méthode analytique :
Transformation de Laplace
La transformée de Laplace d’une fonction T(t) est définie, sous certaines
conditions, par l’intégrale :
dt
t)
T(x,
p)
(x,
T 0
pt
e
9. Milieu thermiquement épais
Propriétés de la Transformée de Laplace
t
f
B
t
f
A
t
f
B
t
f
A 2
1
2
1
.
.
.
.
1. Linéarité
2. Transformée de Laplace de la fonction dérivée
3. Dérivation par rapport à un paramètre
)
,
(
,
t
f
t
f
0
f
t
f
p
dt
t
df
)
,
(
,
t
f
t
f
n
n
n
n
11. Milieu thermiquement épais
Transformation de Laplace
t
x)
T(t,
a
1
=
x
x)
T(t,
2
2
0
=
x)
T(0,
x)
T(t,
p.
a
1
-
x)
T(t,
dx
d
2
2
équation différentielle du second
ordre a
T
-
=
x)
T(t,
a
p
-
x)
T(t,
dx
d 0
2
2
L’équation sans second membre admet comme solution :
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x,
T
a
p
=
k2
Avec :
12. Milieu thermiquement épais
Transformation de Laplace
L’équation sans second membre admet comme solution :
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x,
T
Une solution particulière de l’équation différentielle avec second membre est :
0
T
p
1
=
p)
(x,
T
a
T
-
=
x)
T(t,
a
p
-
x)
T(t,
dx
d 0
2
2
La solution générale de l’équation de la chaleur transformée s’écrit :
p
T
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x,
T 0
t)
T(x,
13. Milieu thermiquement épais
Etude de cas :
Application : Mur semi-infini soumis à un
saut de température
On appelle mur semi-infini le milieu défini
par le demi-espace. Un exemple simple est
celui d’un sol plan dont la surface peut être
soumise à diverses conditions.
Soit un tel mur semi-infini, initialement à une température uniforme T0
dans l’ensemble de sa masse.
On suppose que l’on porte brusquement sa surface à une température
constante T1
0
1
2
2
T
=
)
0
x,
(
T
T
=
)
t
0,
(
T
0
=
t
T
a
1
-
x
T
14. Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
0
1
2
2
T
=
)
0
x,
(
T
T
=
)
t
0,
(
T
0
=
t
T
a
1
-
x
T
0
=
)
0
x,
(
T
-
T
=
)
t
0,
(
0
=
t
a
1
-
x 0
1
2
2
T
-
t)
T(x,
=
)
t
x,
( 0
Température imposée à la surface de mur
Distribution de température initiale à travers le mur
15. Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
T
-
t)
T(x,
=
)
t
x,
( 0
a
T
-
=
x)
T(t,
a
p
-
x)
T(t,
dx
d 0
2
2
a
T
-
=
T
x)
(t,
a
p
-
T
x)
(t,
dx
d 0
0
0
2
2
a
T
-
=
T
x)
(t,
a
p
-
x)
(t,
dx
d 0
0
2
2
a
T
-
=
p
T
x)
(p,
a
p
-
x)
(p,
dx
d 0
0
2
2
0
=
x)
(p,
a
p
-
x)
(p,
dx
d
2
2
T
-
t)
T(0,
=
)
t
0,
( 0
p
T
-
T
=
)
p
0,
( 0
1
16. Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
0
=
x)
(p,
a
p
-
x)
(p,
dx
d
2
2
p
T
-
T
=
)
p
0,
( 0
1
a
p
=
k
:
avec
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x, 2
Solution :
La température (x, t), ni sa transformée ne pouvant tendre vers l’infini, la
constante d’intégration B est nécessairement nulle.
En x= 0 :
p
T
-
T
A
=
)
p
0,
( 0
1
p
k.x
-
exp
T
-
T
=
p)
(x, 0
1
D’où l’expression de la solution
transformée :
17. Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
p
k.x
-
exp
T
-
T
=
p)
(x, 0
1
at
2
x
erfc
a
p
k
,
p
2
-kx
e
T(t) T(p) = e T(t) dt
-pt
0
at
2
x
erfc
T
-
T
=
t)
(x, 0
1
T
+
t)
(x,
=
t)
T(x, 0
at
2
x
=
u
:
posant
en
)
u
(
erfc
=
T
T
T
-
t)
T(x,
0
1
0
18. Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
La fonction erfc (u) est la fonction d’erreur complémentaire, définie à partir de la
fonction d’erreur erf (u) par la relation :
erfc (u) = 1 - erf (u)
u
0
2
d
-
exp
2
=
(u)
erf
19. Milieu thermiquement épais
Exercices d’application :
A quelle profondeur doit-on enterrer une canalisation d’eau pour qu’une
brusque baisse de température à - 15 °C n’entraîne pas le gel de cette
canalisation au bout de 15 jours ?
Hypothèses :
- le sol est à une température initiale uniforme et égale à 5°C, sa
diffusivité thermique a =2,8. 10-7 m2.s-1;
- la température en surface du sol chute brusquement à -15°C et se
maintient à cette valeur pendant 15 jours.
20. Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
La solution de ce problème de mur semi-infini est donnée par l’équation :
)
u
(
erfc
=
T
T
T
-
t)
T(x,
0
1
0
at
2
x
=
u
avec
La température initiale T0 du sol étant 5°C, l’échelon de température T1 - T0 vaut -
20°C, et la solution s’écrit
at
2
x
erfc
T
-
T
+
T
=
t)
T(x, 0
1
0
Le gel de la conduite se produira à la profondeur x et au temps t, lorsqu’il se réalise la
condition : 0
=
t)
T(x,
21. Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
0,25
=
(u)
erf
-
1
=
(u)
erfc
Condition satisfaite lorsque
0.25
T
-
T
T
-
=
at
2
x
erfc
0
1
0
0,75
0,25
-
1
=
(u)
erf u = 0,81
Avec :
a = 2,8. 10-7 m2.s-1 et t = 15 jours = 15 . 24 . 3600 = 1.296.000 s,
on obtient
m
0,98
=
0,3628
1,62
=
10
.
1,296
.
10
.
2,8
2
.
0,81
=
x 6
-7
Enterrée à 1 m de profondeur, la conduite d’eau mettra 15 jours pour se refroidir
de +5°C à 0°C, lorsque la surface du sol passe brutalement de +5°C à -15°C
