O documento apresenta uma aula sobre fundamentos da teoria dos conjuntos, definindo conceitos básicos como conjunto, elemento, conjunto unitário, conjunto vazio, inclusão, interseção, união, diferença e conjunto complementar. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e três problemas são resolvidos no final para aplicar os conceitos aprendidos.

1. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
AULA 1 – FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS:
1.1 – INTRODUÇÃO:
A idéia intuitiva de Conjunto é tão antiga quanto à idéia de números, e embora essa idéia
sempre tenha existido no pensamento humano e na Matemática, de modo geral, ela só recebeu
um tratamento formal e sistemático no final do século XIX, dado pelo matemático russo Georg
Cantor (1845-1918), que é o criador da Teoria dos Conjuntos.
Os conceitos de Conjunto e Elemento de um Conjunto são primitivos, isto é, não têm
definição, o que não significa que os conjuntos não devam ser devidamente caracterizados.
Dizemos que um conjunto está caracterizado quando conhecemos os seus elementos.
De modo geral, os conjuntos são designados por letras maiúsculas A, B, C, etc, e seus
elementos por letras minúsculas a, b, c, etc.
Assim, dado um elemento x qualquer e um conjunto A, temos duas opções:
a – se x é elemento de A, escrevemos Ax ∈ (lê-se: “x pertence a A”);
b – se x não é elemento de A, escrevemos Ax ∉ (lê-se: “x não pertence a A”).
Podemos determinar ou indicar um Conjunto de duas maneiras:
1a
: Pela designação de seus elementos:
Neste caso, descrevemos, um a um, todos os elementos desse conjunto colocando-os entre
chaves. Por exemplo, se A é conjunto de todas as vogais, então { }uoieaA ,,,,= .
2a
: Pela propriedade de seus elementos:
Neste caso, designamos uma propriedade comum a todos os elementos do conjunto. Por
exemplo, se A é o conjunto de todos os números Naturais e maiores que 5, podemos escrever:
{ }5/ >= xeNaturaléxxA (lê-se: “x tal que x é Natural e x maior que 5”)
Em outra notação: { }L,9,8,7,6=A

2. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
OBSERVAÇÃO:
Um conjunto pode ainda ser representado na forma de diagramas, conforme o exemplo
abaixo, onde indicamos o conjunto { }5,4,3,2,1=A .
1.2 – CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO:
Se um Conjunto possui um único elemento, ele é chamado de Conjunto Unitário. Se o
Conjunto não possui nenhum elemento, ele será chamado de Conjunto Vazio e representado
pelos símbolos φ ou { }.
EXEMPLOS:
01) { } { }453/ =⇒<<= AxeNaturaléxxA (Conjunto Unitário)
02) { } { }HorizonteBeloBGeraisMinasdecapitaléxxB =⇒= / (Conjunto Unitário)
03) { } φ=⇒<<= CxeNaturaléxxC 43/ (Conjunto Vazio)
04) { } φ=⇒><= DxexxD 53/ (Conjunto Vazio)
1.3 – INCLUSÃO:
Dizemos que um Conjunto A está contido em um Conjunto B se todo elemento de A também
for elemento de B.
Indicamos por: BA ⊂ ou AB ⊃ (lê-se: “A está contido em B” ou “B contém A”).
Neste caso, dizemos que A é um subconjunto de B.
Se o Conjunto A não estiver contido em B, escrevemos BA ⊄ .
A
1
2
3
4
5

3. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
EXEMPLOS:
01) { }7,6,5=A e { } BAxeNaturaléxxB ⊂⇒<<= 81/
02) { }ParNaturaléxxA /= e { } ABB ⊂⇒= 8,6,4,2 .
03) { },5,4,3,2,1=A e { } BAB ⊄⇒= 10,9,8,7
04) { },3,2,1=A e { } BAB ⊄⇒= 5,4,3
OBSERVAÇÕES:
01) Todo Conjunto está contido em si mesmo ( )AA ⊂ . Portanto, todo Conjunto é subconjunto
de si próprio.
02) O Conjunto Vazio está contido em qualquer Conjunto.
1.4 – INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS:
Dados dois Conjuntos A e B, chama-se Conjunto Interseção, ou simplesmente Interseção, de
A e B ao Conjunto formado pelos elementos comuns aos dois Conjuntos.
Representamos a Interseção de A e B por BA ∩ (lê-se: “A inter B”)
EXEMPLOS:
01) { }4,3,2=A e { }6,5,4,3=B
Neste caso: { }4,3=∩ BA
Na forma de diagramas:
02) { }3,2,1=A e { }6,5,4=B
Neste caso: φ=∩ BA
A e B são Disjuntos.
2
3
4
5
6
A B
1
2
3
4
5
6
A B

4. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
03) { },3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B
Neste caso: ABA =∩
1.5 – UNIÃO DE CONJUNTOS:
Dados dois Conjuntos A e B, chama-se Conjunto União, ou simplesmente União de A e B ao
Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Indicamos por BA ∪ (lê-se: “A união B”).
EXEMPLOS:
01) { }3,2,1=A e { }5,4,3,2=B
{ }5,4,3,2,1=∪ BA
02) { }3,2,1=A e { }6,5,4=B
{ }6,5,4,3,2,1=∪ BA
03) φ=A e { }5,4,3,2,1=B
{ } BBABA =∪⇒=∪ 5,4,3,2,1
04) { }3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B
{ } BBABA =∪⇒=∪ 5,4,3,2,1
1.6 – DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS:
Dados dois Conjuntos A e B, chama-se Conjunto Diferença, ou simplesmente Diferença entre
A e B ao Conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Indicamos a Diferença por BA − (lê-se: “A menos B”).
ATENÇÃO: A Diferença BA − não é necessariamente igual à Diferença AB − .
1
2
3
4
5
A
B

5. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
EXEMPLOS:
01) { }5,4,3,2,1=A e { }7,6,5,4,3=B
{ }2,1=− BA e { }7,6=− AB
02) { }4,3,2,1=A e { }8,7,6,5=B
{ } ABABA =−⇒=− 4,3,2,1
{ } BABAB =−⇒=− 8,7,6,5
03) { }3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B
φ=− BA e { }5,4=− AB
1.7 – CONJUNTO COMPLEMENTAR:
Dados dois Conjuntos A e B, de modo que AB ⊂ , chamamos de Conjunto Complementar de
B em relação a A, ou simplesmente Complemento de B em A, à diferença BA − .
Indicamos por BCA
(lê-se: “Complemento de B em A”).
EXEMPLOS:
01) { }6,5,4,3,2,1=A e { }6,5=B
Neste caso: { }4,3,2,1=−= BABCA
e φ=−= ABACB
02) { }8,7,6,5,4,3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B
Neste caso: { }8,7,6=−= BABAC e φ=−= ABABC

6. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
APLICAÇÕES:
01) Dados os conjuntos { }7,3,2,1=A , { }5,4,3=B e { }7,6,5,1=C , determine o conjunto D , sabendo
que { }7,3=∩ DA , { }5,3=∩ DB , { }7,6,5=∩ DC e ( ) 4=Dn , onde ( )Dn é o número de
elementos do conjunto D .
SOLUÇÃO:
{ } DeDDA ∈∈⇒=∩ 737,3
{ } DeDDB ∈∈⇒=∩ 535,3
{ } DeDDDC ∈∈∈⇒=∩ 76;57,6,5
Como ( ) 4=Dn , então { }7,6,5,3=D
02) Sendo { }4,3,2,1=A , { }6,5,4,3=B e { }7,6,5,4=C , encontre ( ) ( )CBBA ∪−∩ .
SOLUÇÃO:
Temos:
{ }
{ }


=∪
=∩
7,6,5,4,3
4,3
CB
BA
Portanto: ( ) ( ) { } { } φ=−=∪−∩ 7,6,5,4,34,3CBBA
03) Numa empresa foi realizado um concurso escrito constituído de dois problemas A e B ; 340
candidatos acertaram somente um problema, 300 acertaram o segundo, 120 acertaram os
dois e 250 erraram o primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova?
SOLUÇÃO:
Para a resolução de problemas como este, o uso de diagramas torna a solução muito mais
simples. Vamos construir, então, os diagramas, chamando de U o conjunto de todos os
candidatos ( =U Conjunto Universo).

7. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG
Portanto: ( ) ( ) 53070180120160 =⇒+++= UnUn candidatos.
A B
U
160 120 180
70