En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización. Aprenderás a calcular la ecuación de la velocidad de una curva de la que se conoce la ecuación de la trayectoria.
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APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN, PROBLEMA 01
1. Vídeo tutorial FdeT
aplicaciones optimización
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Calcular la ecuación de la velocidad de una curva, sabiendo la expresión de su trayectoria.
- Calcular el mínimo de una función.
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ENUNCIADO:
Un móvil sigue la trayectoria dada por:
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡) = 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒−𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑒 𝑡
Calcular el instante t en el que el módulo de la velocidad es mínimo
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Recordemos que la velocidad de un móvil viene determinada por: 𝑣 𝑡 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑡
Es decir es la derivada con respecto al tiempo de la posición.
Por lo tanto tenemos que derivar con respecto de t, la expresión 𝑟(𝑡).
𝑟´ 𝑡 = 𝑥´ 𝑡 , 𝑦´ 𝑡 , 𝑧´(𝑡)
Calculo las derivadas por separado:
𝑥´ 𝑡 = −𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑒−𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡 = 𝑒−𝑡
−𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑦´ 𝑡 = −𝑒−𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑧´ 𝑡 = 𝑒 𝑡
Por lo tanto:
𝑟´ 𝑡 = 𝑒−𝑡
−𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑒 𝑡
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El problema nos dice que el módulo de la velocidad debe ser mínimo, por lo tanto, tenemos que minimizar la expresión
𝑣 𝑡 = 𝑒−𝑡 −𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 + 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 + 𝑒 𝑡 2
Pero minimizar esta expresión equivale a minimizar ||𝑣(𝑡)||2
, por tanto minimizaremos esta última. Llamaremos por tanto
𝑓 𝑡 = ||𝑣(𝑡)||2
= 𝑒−𝑡
−𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2
+ 𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 2
+ 𝑒 𝑡 2
Si desarrollamos esta expresión nos queda:
𝑓 𝑡 = 𝑒−2𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑒−2𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑒2𝑡
De donde sacando factor común 𝑒−2𝑡
y teniendo en cuenta que: 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡 = 1
Llegamos a:
𝑓 𝑡 = 2𝑒−2𝑡 + 𝑒2𝑡
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Si derivamos la función f(t) obtenida anteriormente para hallar los puntos críticos y poder así calcular el mínimo de la
función se tiene que:
𝑓´ 𝑡 = −4𝑒−2𝑡
+ 2𝑒2𝑡
Igualando a cero se tiene:
−4𝑒−2𝑡 + 2𝑒2𝑡 = 0 𝑒2𝑡 −4𝑒−4𝑡 + 2 = 0 𝑒2𝑡
= 0
−4𝑒−4𝑡
+ 2 = 0
Por tanto las únicas soluciones posibles, salen de la ecuación −4𝑒−4𝑡 + 2 = 0.
−4𝑒−4𝑡
+ 2 = 0 𝑒−4𝑡
=
1
2
− 4𝑡 = 𝑙𝑛
1
2
= −𝑙𝑛2
De donde llegamos a:
𝑡 =
−𝑙𝑛2
−4
=
𝑙𝑛2
4
No tiene solución
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Tenemos que comprobar ahora si el valor que hemos obtenido para t es un máximo o un mínimo, para ello calculamos la
segunda derivada:
𝑓´´ 𝑡 = 8𝑒−2𝑡
+ 4𝑒2𝑡
Si sustituimos el punto crítico que hemos obtenido se llega a:
𝑓´´
𝑙𝑛2
4
= 8𝑒−
𝑙𝑛2
2 + 4𝑒
𝑙𝑛2
2 > 0
Por lo tanto el valor obtenido se trata de un mímimo relativo.
Por tanto el instante en el que el módulo de la velocidad es mínimo es para 𝑡 =
𝑙𝑛2
4
Ya que 𝑒−
𝑙𝑛2
2 >0, y 𝑒
𝑙𝑛2
2 >0