El documento explica las fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos, el punto medio de un segmento, y las ecuaciones de cónicas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Incluye ejemplos de cálculos de distancias entre puntos y de determinar las coordenadas del centro de una circunferencia.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para a Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Estado Lara
Estudiante: Estefany Rojas
Sección DL0303

2. La distancia entredos puntos es igual a la longituddel segmentoque los une. Por lotanto, en
matemáticas, para determinarla distancia entre dos puntos diferentesse debencalcularlos
cuadradosde lasdiferenciasentre sus coordenadasy luegohallarla raíz dela suma de dichos
cuadrados.
Es decir,la fórmula que sirve para calcularqué distancia hayentre dos puntos diferentesen el
planocartesiano es lasiguiente:
» Dadas lascoordenadasde dos puntos distintos:
A(x1,y1) B(x2,y2)
» La fórmula de la distancia entre dos puntos es:
d(A,B) = √(x2-x1)²+(y2-y1)²
Esta fórmula proviene delmódulo de un vector. De hecho, loque estamos haciendocon está
fórmula en realidades calcularel módulo delvector que quedadeterminadopor los dos puntos
en cuestión. Puedes saber más alrespecto en la explicaciónde cuál es el módulo de un vector.
Por otro lado, en geometría analítica lademostración de la fórmula de la distancia entre dos
puntos también se puede hacera partir delteorema dePitágoras:

3. El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la
hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente
a la suma de los cuadrados de sus catetos, por lo
tanto:
Y para obtener la fórmula solo tenemos que despejar
la distancia entre los 2 puntos:
Finalmente, cabe destacar que, si estuviéramos
trabajando con puntos de 3 coordenadas, la fórmula
de la distancia entre dos puntos en el espacio (en R3)
sería la misma pero añadiendo la coordenada Z:

4. » Calcula el perímetro del triángulo formado por los puntos A, B y C que está
representado gráficamente a continuación:
En primer lugar, debemos identificar las coordenadas
X e Y de cada punto en el gráfico:
A(2,1) B(4,4) C(6,2)
Y ahora tenemos que calcular la distancia entre todos
los puntos con la fórmula:
De manera que el perímetro del triángulo será la suma de la longitud de los 3 lados:

5. El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de
línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con
un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será
equidistante a ambos puntos.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por un
segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad del
segmento. Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir
la longitud del segmento y dividir por 2.

6. El diámetro de un círculo tiene los puntos extremos (-4, 2) y (2, 8).
¿Cuáles son las coordenadas del centro del círculo?
El centro del círculo divide al diámetro en dos partes iguales. Eso significa que, para encontrar el
centro, tenemos que encontrar las coordenadas del punto medio del diámetro. Entonces, empezamos
con las coordenadas:
Ahora, aplicamos la fórmula del punto medio con estas coordenadas:
Las coordenadas del centro del círculo son (−1,5)

7. La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro.
» Si tenemos una circunferencia de centro C(a,b) y de radio r y tomamos cualquier
punto que pertenezca a la circunferencia:
» El radio siempre va a ser la distancia entre el punto P de la circunferencia y el
centro C:
» Te recuerdo, que la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos es la
siguiente:
» En nuestro caso, los dos puntos que tenemos son el punto P y el punto P:

8. » Sustituimos las coordenadas de ambos puntos en la fórmula:
» Pasando la raíz como cuadrado al segundo miembro nos queda:
Que es la ecuación de la circunferencia con centro en C(a,b) y de radio r.
Por tanto, para obtener la ecuación de la circunferencia, debemos conocer el centro y el radio
y tan sólo debemos sustituir a y b por las coordenadas del centro y r por el valor del radio.
Por ejemplo, para obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 5
sería, sustituimos en la fórmula anterior a y b por 0 y r por 5:
» Operamos y nos queda:
La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, por ejemplo con centro en
C(5,4) y radio 3, la obtenemos sustituyendo «a» por 5, «b» por 4 y el radio por 3:

9. Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos
del plano que equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente:
P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la
parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.

10. La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos
puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.
Se trata de una circunferencia achatada que se
caracteriza porque la suma de las distancias desde
cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos
denominados focos (F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse
siempre se cumple que:
d(P,F)+d(P,FꞋ)= 2. a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto
genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.

11. Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano
tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.
H={P(x,y)| |d(P;F1) – d(P;F2)|=2a=cte}
Si la distancia entre los focos es d(F1,F2)=2c(1,2)=2c, la condición para que sea una hipérbola es:
c>a>0
c²>a²
c²-a²=b²
=> c²a²+b²

12. Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano oblicuo al eje del cono y forma
con este un eje un ángulo menor que el ángulo formado por la generatriz y el eje,
pudiendo ser hasta paralelo a el, los puntos pertenecientes tanto al plano como al cono
forman una hipérbola. Dada la ecuación de la cónica q ( x, y) = x 2 + 4 x y + 2 y 2 + 3 = 0
Representación gráfica de una cónica a partir de su ecuación

13. » Plano numérico
a) Si es que tenemos los puntos (-4, -6) y (-1, 5), ¿cuál es
su distancia?
b) Cuál es la distancia entre los puntos (-1, -3) y (5, 7)?
c) Determina la distancia entre los puntos (3, 2) y (6, 6) en
el plano cartesiano.

14. Bibliografía
https://www.geometriaanalitica.info/formula-de-la-distancia-entre-dos-
puntos-geometria-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/recta/punt
o-medio.html#:~:text=del%20punto%20medio-
,Punto%20medio%20y%20sus%20coordenadas,divide%20en%20dos%20
partes%20iguales.
https://www.neurochispas.com/matematicas/punto-medio-de-un-
segmento-formula-y-ejemplos/#4-10-ejercicios-de-punto-medio-de-un-
segmento-resueltos
▷ Ecuación de la circunferencia. Ejercicios resueltos paso a paso
(ekuatio.com)
Parábola: definición, ecuaciones y ejercicios resueltos [Guía
completa con ejercicios] (utn.edu.ar)
Ecuación de la Elipse (fisicalab.com)
Hipérbola: definición, ecuaciones, elementos y gráfica [Guía paso
a paso con ejercicios] (utn.edu.ar)