1. Universidad Veracruzana
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Administración
TEMA: ALGEBRA
El algebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades.
En algebra elemental los números suelen ser representados por las letras y . Las tres
primeras utilizadas para números conocidos y las últimas para incógnitas.
Ley de signos
Suma y resta
1. Si los números tienen el mismo signo se suman y se deja el mismo signo.
Ejemplos:
2. Si los números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del número
con mayor valor absoluto.
Ejemplos:
Multiplicación División
Leyes de los exponentes
Ley Ejemplo
Problemas:
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Emplea las variables y para que escribas con símbolos los enunciados siguientes:
Ejemplo:
El doble de un número y el cuadrado de otro. ---------------------------
a) El triple de un número más 5 ------------------------------------
b) La tercera parte de un número menos 2 -----------------------
c) La suma de dos números ------------------------------------------
d) La diferencia de dos números ------------------------------------
e) El doble producto de dos números ------------------------------
f) El triple del cuadrado de un número más otro ----------------
g) La mitad de la diferencia de dos números ---------------------
h) El doble de la suma de dos números ----------------------------
i) El triple de la diferencia de dos números -----------------------
j) La suma de dos números y el doble de otro -------------------
k) El doble del cubo de un número más 3 -------------------------
l) El cuadrado del cociente de dos números ---------------------
m) La suma de los cuadrados de dos números menos 4 ------
n) La semidiferencia de los cuadrados de dos números -------
ñ) La suma de dos números por la diferencia de los mismos
o) El 5% del producto de dos números ---------------------------
p) La raíz cúbica del doble producto de dos números --------
q) La suma de dos números por otro -------------------------------
r) El triple del cubo de un número más los de otro
-----------
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s) El doble de la raíz cuadrada de la suma de dos números -
Completa los enunciados siguientes:
a) El largo de un rectángulo es tres unidades mayor Ancho:
respecto a su ancho.
Largo:
b) La altura de un triángulo es el doble de su base. Altura:
Base:
c) El largo de un rectángulo es el triple respecto a su Ancho:
ancho.
Largo:
d) La altura de un triángulo es el cuadrado de su base. Base:
Altura:
e) La edad de Luis es el cuádruplo respecto a la edad de María:
María.
Luis: 4
f) La edad de Joaquín hace 5 años, si actualmente tiene Actual:
años. Hace 5 años:
g) La edad de Roberto dentro de 7 años, si actualmente Actual:
tiene años.
Dentro de 7:
h) Un número es el doble más 5 unidades respecto a otro. Un número:
El otro:
i) El largo de un rectángulo es el doble más tres unidades Ancho:
respecto a su ancho.
Largo:
j) Los lados iguales de un triángulo isósceles son 6 Base:
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unidades mayores respecto a la base. Un lado:
Otro lado:
k) Raúl tiene ahorrados $ 30 más en relación con lo que María:
tiene María.
Raúl:
l) La edad de Lupe dentro de 15 años, si actualmente Actual:
tiene años.
Dentro de 15:
m) La base de un triángulo es el doble más tres unidades Altura:
respecto a su altura.
Base:
n) La altura de un triángulo es el triple más 7 unidades Altura:
respecto a su base.
Base:
ñ) El largo de un rectángulo es el cuádruplo menos tres Ancho:
unidades respecto a su ancho.
Largo:
Problema de exposición:
La edad de A es el triple de la de B y dentro de 20 años será el doble. Hallar las edades actuales.
Sea
Dentro de 20 años, la edad de A será años y la de B será años. El problema me dice
que la edad de A dentro de 20 años, será igual al doble de la edad de B dentro de 20 años, o
sea, igual al doble de ; luego, tendremos la ecuación:
Resolviendo:
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Años, edad actual de B.
3 Años, edad actual de A.
EJERCICIOS:
ALUMNA: Norma Monserrat García López
CARRERA: ADMINISTRACION
GRUPO:101
1) La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40
años. Hallar ambas edades:
PROCEDIMIENTO RESPUESTA:
Juan: x x+3x= 40
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Pedro= 3x 4x=40
Juan Pedro
4x/4= 40/4 x= 10 3x= 30
x=10
2) Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600.00. Si el caballo costo
4 veces los arreos, ¿Cuánto costó el caballo y los arreos?
PROCEDIMIENTO
RESPUESTA:
Arreos: x x + 4x= 600 600-120=480
Caballo: 4x 5x=600
5x / 5= 600 / 5 Caballo= $480
X=120 Arreos= $120
5x=8x-15
5x-8x= -15
-3x= -15
X= -15/-3
X=5
6
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4x+1=2
4x=2-1
4x=1
X=1/4
y-5=3y-25
y-3y= -25+5
-2y= -20
Y= -20/-2
Y=10
5x+6=10x+5
5x-10x=5-6
-5x= -1
X= -1/-5
X=1/5
9y-11= -10+12y
9y-12y= -10 +11
-3y= 1
Y=1/-3
Y= -1/3
Altura x____
Base 2x+3__
Altura 3x+7___
Base x____
Ancho x____
Largo 4x-3___
Algunos ejercicios de asociación de términos.
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14-12x+39x-18x=256-60x-657x
-12x+39x-18x+60x+657x=256-14
39x+60x+657x-12x-18x=242
756x-30x=242
726x=242
X=242/726
X=1/3
8x-15x-30x-51x=53x+31x-172
8x-15x-30x-51x-53x-31x= -172
-172x= -172
X= -172/-172
X=1
Ejercicio individual.
127. La edad de A es doble que la de B y hace 15 años la edad de A era el triplo de la de B. Hallar las edades actuales.
Sea x=número de años que tiene B ahora
2x=número de años que tiene A ahora
Hace 15 años, la edad de A era 2x-15 años y la edad de B era (x-15) años y como el problema me dice que la edad de
A hace 15 años, (2x-15) era igual al triplo de la edad de B hace 15 años o sea el triplo de x-15, tendremos la ecuación:
Resolviendo: 2x - 15 = 3x - 45
2x - 3x = -45 + 15
- x = -30
x = 30 años, edad actual de B. R.
2x = 60 años, edad actual de A. R.
Problemas vistos en clase:
1.- La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años.
Juan x x+3=40 4x=40 x= 40 x=10
Pedro 3x 4
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2.- Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costó 4 veces
los arreos. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?
Caballos 4x 4x+x=600 5x=600 x= 600 x=120
Arreos x 5
a) El largo de un rectángulo es Ancho: x
tres unidades mayor respecto
a su ancho. Largo: x+3
b) La altura de un triángulo es el Altura: 2x
doble de su base.
Base: x
c) El largo de un rectángulo es Ancho: x
el triple respecto a su ancho
Largo: 3x
d) La altura de un triángulo es el Base: x
cuadrado de su base.
Altura: x2
e) La edad de Luis es el cuádruplo María: x
respecto a la edad de María.
Luis: 4x
f) La edad de Joaquín hace 5 Actual: x
años, si actualmente tiene x años.
Hace 5 años: x-5
g) La edad de Roberto dentro Actual: x
de 7 años si actualmente tiene
x años. Dentro de 7 años: x+7
h) Un número es el doble más Un número: 2x+5
5 unidades respecto a otro. ¿? El otro: x
i) El largo de un rectángulo es Ancho: x
el doble más tres unidades
respecto a su ancho. Largo: 2x+3
j) Los lados iguales de un triángulo Base: x
isósceles son 6 unidades mayores Un lado: x+6
respecto a la base. Otro lado: x+6
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k) Raúl tiene ahorrados $30 más María: x
en relación con lo que tiene María. x y
Raúl: x+30
-2 -4
l) La edad de Lupe dentro de 15 Actual: x
años, si actualmente tiene x años.
-1 -2 Dentro de 15: x+15
m) La base de un triángulo es el doble Altura: x
0
más tres unidades respecto a su altura. 0 Base: 2x+3
n) La altura de un triángulo es el Altura: 3x+7
triple más 7 unidades respecto 1 2
a su base. Base: x
ñ) El largo de un rectángulo es el cuádruplo menos Ancho: x
tres unidades respecto a su ancho.
2 4 Largo: 4x-3
• ECUACIONES LINEALES.
Ec. 2x
y= 2(-2)= -4
y=2(-1)= -2
y= 2(0) = 0
y= 2(1) = 2 5
4
3
y= 2(2) =4
2
1
0
-3 -2 -1 -1 0 1 2 3
-2
-3 11
-4
-5
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• EJERCICIOS.
1.- La suma de dos números es 100 y el duplo del mayor equivale al triplo del
menor. Hallar los números.
Con los datos anteriores citamos la ecuación y despejamos y, para después sustituirla en la
ecuación que representa la equivalencia entre el duplo del número mayor y el triplo del
menor, realizamos la multiplicación y reducimos términos semejantes, por último
despejamos x y obtenemos su valor.
x + y = 100 y = 100 – x
2x = 3y 2x = 3 (100 – x)
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2x = 300 – 3x 2x + 3x = 300
5x = 300 x = 300 / 5
x = 60
Como x + y = 100 y al despejar y nos queda la ecuación siguiente:
y = 100 – x.
Sustituimos el valor de x para hallar el valor de y.
y = 100 – (60) y = 40
Por lo tanto se cumple la igualdad de que el duplo del mayor equivale al triplo del menor.
2x=3y 2 (60) = 3 (40) 120 = 120
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2.- Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se
disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar ambas
edades.
Obtenemos la ecuación que se va a utilizar y despejamos y; con los datos antes mencionados de
la edad del padre y del hijo sacamos una segunda ecuación, y sustituimos el valor de y.
Realizamos la operación correspondiente y reducimos términos semejantes. Finalmente
despejamos x para obtener su valor.
x + y= 60 y = 60- x
x - 15 = 2 y x – 15 = 2(60 – x)
x – 15 = 120 – 2x x + 2x = 120 + 15
3x = 135 x = 135 / 3
x = 45
Retomando que al despejar y la ecuación que surge es y= 60 – x; sustituimos el valor de x para
encontrar el valor de y.
y = 60 – x y = 60 – (45) = 15 y = 15
Teniendo los valores de “x” y “y”, podemos verificar que x – 15 = 2 y; es decir, que la edad del
padre disminuida en 15 años es igual al doble de la edad del hijo.
x – 15 = 2 y (45) – 15 = 2 (15) 30 = 30
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3.-Dividir 1080 en dos partes, tales que la mayor disminuya 132 equivalente a la
menor aumentada en 100.
Tomando en cuenta la información proporcionada, extraemos las dos ecuaciones que vamos a
ocupar, despejamos y de la primera ecuación para sustituirla en la segunda, realizamos la suma
correspondiente y separamos términos semejantes, después despejamos x y finalmente
obtenemos su valor.
x + y = 1080 y = 1080 – x
x – 132 = y +100 x - 132 = (1080 – x) + 100
x – 132 = 1180 – x 2 x = 1312
x = 1312 / 2 x = 656
Tomando en cuenta que al despejar y la ecuación obtenida es la siguiente: y = 1080 – x,
relevamos el valor de x obtenido.
y = 1080 – x y = 1080 – (656)= 424
Para finalizar corroboramos los valores hallados de “x” y “y” en la ecuación:
x – 132 = y + 100. Y así verificar que los datos concuerdan conforme al problema anteriormente
planteado.
x – 132 = y + 100 (656) – 132 = (424) + 100
524 = 524
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PROB LEMAS.
3. La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Haya ambas edades.
Pedro: 3x
Juan: x
Resolución:
3x + x = 40
4x = 40
X=
X = 10
Por lo tanto:
Edad de Juan = 10 años
Edad de Pedro = 30 años
5. Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600 si el caballo costo 4 veces los arreos ¿Cuánto costó el caballo? Y
¿Cuánto los arreos?
Caballo: 4x
Arreos: x
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Resolución:
4x + x = 600
5x = 600
x=
x = 120
Por lo tanto:
Costo del caballo = $480
Costo de los arreos = $120
