3. • La estadística es una rama de las matemáticas,
que a través de un conjunto de técnicas,
métodos, normas, reglas y procedimientos que
se ocupan en observar, reunir, agrupar,
cuantificar y organizar los datos de una muestra,
permita no solo describir un hecho o
comportamiento de un fenómeno, también
analizar y evaluar conclusiones acerca de una
población.
3
4. • Cualquier persona recibe información en forma
de datos a través de los periódicos, la televisión
u otros medios; y a menudo es necesario obtener
alguna conclusión a partir de la información
contenida en los datos.
4
6. Ejercicio 1
• Se desea investigar durante el mes de enero de este
año, la opinión de los costarricenses mayores de 18
años sobre los distintos casos de corrupción que
involucra a expresidentes.
6
7. Ejercicio 2
• Se desea conocer el porcentaje de personas que
observó el último encuentro de fútbol de la
selección nacional, para ello se realizará un
estudio telefónico en el Gran Área
Metropolitana, entre personas mayores de 12
años.
7
8. Ejercicio 3
• Ingreso salarial neto de los empleados del ICE.
• El número de citas que atiende una clínica.
• El grado académico de un profesor universitario.
• El distrito de residencia de los costarricenses.
• El número de personas que mueren a causa del SIDA cada
año.
• Si una persona ha visitado el parque Simón Bolívar.
• Nivel de rating de una emisora radial
• Número de placa de un vehículo
8
9. • Proporcionar las técnicas, métodos y procedimientos
requeridos para describir y analizar un conjuntos de
datos y así simplificar sus resultados.
• Permite describir sus características y analizar el
estudio de los fenómenos, de los datos destacados
(HOLGUIN, 1993, Pág. 14)
• Obtener conclusiones de una población, a partir de la
descripción y análisis realizados a una muestra.
(SANDOVAL, 2001, P. 15)
9
10. Las técnicas estadísticas utilizadas para interpretar
los datos de una investigación pueden ser
clasificadas en dos grandes grupos en función de
que su objetivo sea describir las características
observadas de una muestra o inferir conclusiones
sobre la población de la que dicha muestra ha sido
extraída.
SE CLASIFICA EN
DOS RAMAS
DESCRIPTIVA INFERENCIAL
10
11. La estadística descriptiva es una rama de la estadística,
que se encarga en representar a un fenómeno
refiriendo variables que caracterizan los datos de la
muestra de una población.
El proceso que sigue la
estadística descriptiva para el
PROCESO
estudio de una cierta población
consta de los siguientes pasos:
11
12. Selección de variables e indicadores (es una
manifestación, observable y medible de los
componentes de una variable) (Quivy, 2000)
Mediante la recolección de datos se obtiene el
valor de cada individuo en los caracteres
seleccionados de la muestra.
Elaboración de tablas de frecuencias, mediante
la adecuada ordenación, clasificación y
distribución de los datos del fenómeno
estudiado.
Representación gráfica de los resultados.
12
13. La estadística inferencial, extrae y analiza las
características de los datos obtenidos de una
muestras formados por individuos de una
población. A partir del estudio de la muestra se
pretende conducir a un resultado de los
aspectos relevantes de toda la población. Para
cuyo estudio se requiere de conocimientos de
estadística, probabilidad y matemáticas.
(Esta rama de la estadística se estudia en la asignatura
Estadística Aplicada a la Investigación Social II)
13
15. POBLACION
Es un conjunto de valores posibles o el recuento
de todos los elementos que presentan una
característica común que toma de un colectivo o
universo de objetos, ideas, acontecimientos o
individuos, al cual se refiere el estudio que se
pretende realizar.
El termino población, se usa para denotar el
conjunto de elementos del cual extrae una
muestra.
15
16. MUESTRA
Es un subconjunto de una población la
cual nos puede servir para generalizar
acerca de la población de estudio.
Muestra aleatoria:
Esta se obtiene cuando seleccionamos una
muestra de una población en la que todos los
elementos son INDEPENDIENTES Y
tienen IGUAL oportunidad de ser
seleccionados
16
17. MUESTRA
• La muestra nos sirve para poder
representar el comportamiento de la
población con alto grado de confianza.
• El éxito del proyecto depende de la forma
en que se seleccione al elemento que
participará en el estudio.
17
18. • Por qué emplear muestras?
– La población es infinita
– Población finita pero muy grande, sería
imposible o muy costoso estudiarla.
– La unidad estadística se transforma o
destruye al ser analizada
– Los resultados que se obtendrían al realizar
una encuesta por muestreo serían suficientes
y precisos.
18
19. Es un proceso que determina cómo serán seleccionados los
elementos de una parte de la población, para que se puedan
obtener conclusiones fiables a partir de la muestra, es
importante tanto su tamaño como el modo en que han sido
extraídos los objetos, ideas, acontecimientos o individuos que
componen el estudio.
Existen diferentes tipos de diseño de muestreo,
cada uno de ellos tienen características que se
pueden ocupar según el tipo de población y el
objetivo la investigación.
19
20. Tipos de muestras
• Aleatorias:
– Muestreo simple al azar
– Muestreo sistemático
– Muestreo estratificado
– Muestreo por conglomerados
s No aleatorias:
– Muestreo por cuotas
– Muestreo por criterio
– Muestreo por conveniencia
20
21. Error de muestreo
• Se presenta sólo en muestras aleatorias.
• Es la diferencia entre el resultado dado por la
muestra y el resultado que se hubiera
obtenido si se hubiera hecho un censo.
• Ventaja: se puede medir haciendo uso de la
teoría de la probabilidad.
21
22. Sesgo
• Error sistemático (se da en todas las
observaciones) en un sólo sentido.
• No es medible.
• Tipos
– Sesgo de selección.
– Sesgo de medición.
22
23. DATO
• Se le conoce como dato u observación, a
cada resultado que se obtiene al realizar un
experimento.
23
24. INFORMACION
• A menudo se tiene que organizar los
hechos para que te digan algo. Es en ese
momento en que habrás convertido los
datos en información.
24
25. Un instrumento es un mecanismo por el cual se recopilan
datos con las variables que pretende medir a través de:
la observación
encuesta
entrevista
o cuestionario
basados en los objetivos de la investigación.
EL INSTRUMENTO TIENE QUE TENER LAS PROPIEDADES DE:
VALIDEZ CONFIABILIDAD
25
26. El termino “validez” denota la utilidad científica de un
instrumento de medida en el que puede establecer
ampliamente qué tan bien mide lo que pretende medir.
A la validez se le ha dado tres significados
principales:
Validez de contenido
Validez de criterio
Validez de constructo
26
27. •VALIDEZ DE CONTENIDO
Se refiere al grado en que la medición abarca la
gama de significados que comprende el concepto
(marco teórico)
VALIDEZ DE CRÍTERIO
Se basa en algún juicio externo (expertos)
•VALIDEZ DE CONSTRUCTO
Se refiere al grado en que una medición se relaciona
consistentemente con otras mediciones. En la medida
en que la variable es abstracta y observable se le
denomina de constructo.
27
28. El termino “confiabilidad” es una medida práctica de que tan
consistente y estable podría ser un instrumento de
medición o prueba. Existen diversos procedimientos para
calcular la confiabilidad de un instrumento de medición
entre los más utilizados son:
Medidas de estabilidad (Test-retest)
Método de formas alternativas o paralelas
Método de mitades partidas (Split-Halves)
Coeficiente alfa de Cronbach
Coeficiente KR-20 Kuder y Richardson
28
29. Fuentes de información
• Fuentes primarias: Publican o suministran
datos recogidos por ellas mismas.
• Fuentes secundarias: Toman datos recogidos
o publicados anteriormente por otras.
29
30. Técnicas de Recolección de la
información
ENTREVISTA Requieren Cuestionario estructu
– Personal
– Telefónica
CUESTIONARIO AUTOADMINISTRADO
OBSERVACION Y MEDICION
REGISTRO
30
31. ENTREVISTA PERSONAL
• Motiva al entrevistado • Alto costo
• Permite aclarar preguntas • Desconfianza del
y/o verificar respuestas. entrevistado
• Alto porcentaje de • Longitud limitada (en
respuesta ocasiones)
• Permite accesar a todos • Influencia del
los elementos de la entrevistador puede ser
población un elemento
distorsionador
31
32. ENTREVISTA TELEFONICA
• Bajo costo • Longitud limitada
• Alto porcentaje de • No permite accesar a todos
respuesta los elementos de la
• Permite verificar las población (no todos
respuestas tienen teléfono)
• Más flexible con respecto a
la hora de la entrevista
32
33. CUESTIONARIO
AUTOADMINSTRADO
• Porcentaje de respuesta bajo
• Bajo costo
• Dificulta la aclaración de
• Longitud ilimitada
dudas
• Libertad de respuesta
• Requiere informantes con
• Mayor tiempo para nivel educativo alto
responder
• Requiere un sistema de
• Permite tratar temas
correo eficiente
delicados o embarazosos
33
34. OBSERVACION Y MEDICION
• Neutralidad u objetividad • Errores en la observación
• Instrumento mal calibrado
• Instrumento mal utilizado
• Alto costo en algunos casos
• No se pueden verificar los
datos
34
35. REGISTRO
• Bajo costo • Puede tener información
• Información real y objetiva desactualizada o
incompleta
• La información disponible
no siempre coincide con
los fines estadísticos.
35
36. El Cuestionario
• Identificación
• Párrafo introductorio
• Tamaño
• Numeración
• Caracteres tipográficos (Tipo de letra, Negrita)
• Símbolos de ayuda (-->, * )
36
37. El Cuestionario
• Clasificación de las preguntas
– Cerradas
• De escogencia única
• De escogencia múltiple
• De rangos
• De notas
– Abiertas
– Abiertas con alguna clasificación
37
39. El Cuestionario
• Longitud del cuestionario
• Orden o secuencia de las preguntas
– Iniciales
– Flujo de los temas
– Delicadas
• Estilo de redacción de las preguntas
– Clara, comprensible, precisa y lo más específica
posible.
– No debe incomodar al entrevistado
– Debe referirse a un solo aspecto
– No debe inducir las respuestas 39
40. Fases de una investigación estadística
• Planteamiento del problema.
• Diseño del instrumento de recolección
• Obtención de la información.
• Preparación de la información
• Análisis e Interpretación.
• Presentación de resultados.
40
41. Presentación de la Información
• Presentación Textual
“En comparación con 1998, la economía experimentó
en 1999 una reducción en la tasa de crecimiento,
pues alcanzó apenas el 2.5%, mientras que el
promedio anual entre 1985 y 1998 había sido de
4.9%”
41
42. Presentación de la Información
• Presentación semitabular
“En el último mes, la mayoría de los bancos ha disminuido los intereses
para vivienda, como se puede apreciar a continuación:
Se espera que esta reducción de intereses incentive el
sector de la producción.”
42
43. Presentación tabular: Cuadros
• Muestran la información de forma ordenada por
filas y por columnas, de manera visualmente
agradable.
• Permiten presentar y divulgar la información de
una manera fácil de interpretar y útil para el
usuario.
43
44. Componentes de un cuadro
Número de cuadro
Título
Columna matriz
Encabezados
Cuerpo o contenido
Nota introductoria o preliminar
Nota al pie
Fuente
44
45. Cuadro #
TITULO
(nota introductoria)
Columna Encabezados Encabezados
Matriz
CUERPO
Nota al pie
FUENTE
45
46. CUADRO 2
CONSUMO DE DROGAS
SEGÚN CANTÓN DE RESIDENCIA POR TIPO DE DROGA,
COSTA RICA, 2,000
(Valores Porcentuales)
*
*Datos preliminares
FUENTE: Consumo de alcohol, tabaco y otras drogas. Distribución geográfica 2001. I.A.F.A.
46
48. PARÁMETRO
• Valor numérico que resume toda la
información de una población completa.
• Promedio, moda, mediana, desviación
estándar, rango, etc.
48
49. Una variable es susceptible de medir cualquier característica
de un objeto que pueda tomar diferentes valores de un
conjunto de datos (Un dato es una medida que se realiza
sobre los sujetos de un experimento).
Existen diferentes tipos de variables, entre las más utilizadas son:
VARIABLES
CUALITATIVAS CUANTITATIVAS
49
50. Una variable cualitativa, también llamada no
numérica, se denomina por sus atributos porque
expresa distintas cualidades, características o
modalidades, que son susceptibles de
describirse mediante palabras, cuya medición
solo puede ser por una escala nominal u ordinal.
EJEMPLO: Sexo, estado civil, o la profesión de una
persona.
50
51. • TIPOS DE VARIABLES CUALITATIVAS
• Dicotómicas: Sólo hay dos categoría, que son
excluyentes una de la otra
• Ejemplo: enfermo-sano, muerto-vivo, mujer-
hombre
• Nominal: tiene mas de dos categorías y no hay
orden entre ellas.
• Ejemplo: color de los ojos, grupo sanguíneo
• Ordinal: tiene varias categorías y hay orden
entre ellas.
• Ejemplo: grado tumoral, calificación del riesgo
en anestesia. 51
52. Una variable cuantitativa, también llamada
numérica, es aquella susceptible de ser expresada
numéricamente, cuya medición puede ser utilizada
con una escala de intervalo o de razón según el
objetivo de la investigación.
EJEMPLO: A los pacientes atendidos en la Institución Musas
de Metal se les pregunta el ingreso mensual de sus
familias.
$0 a $5,999 b) $6,000 a $11,999
c)$12,000 a $17,999 d)$18,000 a $23,999
52
53. • TIPOS DE VARIABLES
CUANTITATIVAS
• Continuas: números infinito no numerables de
elementos. Tiene asociado el concepto de
medida
• Ejemplo: Presión arterial, Edad, peso.
• Discretas: números finitos o infinitos
numerables de elementos. Se asocia con el
concepto de conteo.
• Ejemplo: N° de hijos, N° de casos de
tuberculosis por estado.
53
54. • Hay ocasiones en las que las medidas
cuantitativas continuas son transformadas
en ordinales mediante la utilización de uno
o varios puntos de corte.
• Ejemplo: La variable peso es codificada en
varias categorías y se utiliza en términos
como: Bajo-peso, peso-normal, Sobrepeso,
Obesidad
54
55. • Las descripciones numéricas de datos suelen ser
importantes. Dado un conjunto de n
observaciones
x1 , x2 ,....., xn
• La estadística descriptiva nos puede ayudar
mediante resúmenes numéricos, que son
medidas de tendencia central, o también
llamadas de posición y medidas de dispersión
55
56. RECOPILACION DE DATOS
• Es el proceso mediante el cual obtenemos
los datos u observaciones de una muestra.
• Posteriormente los datos se organizarán de
acuerdo al uso que se les de.
• Experimento, encuesta, censo.
56
57. ORGANIZAR
Si se tiene una serie de datos, primero hay
que organizarlos en forma ordenada y en
subconjuntos que presenten características
similares.
Los datos agrupados se pueden resumir
gráficamente o en tablas y mediante
medidas numéricas (parámetros) que
obtendremos posteriormente como la
media, la mediana, la desviación estándar,
etc.
57
58. • Los datos ordenados en grupos o
categorías reciben el nombre de:
distribución de frecuencias.
• Para obtener el rango de una distribución
de frecuencias, se realiza la diferencia entre
el mayor y el menor valor de los datos.
• Cuando se tiene un gran número de datos,
habrá que distribuirlos en : clases, categorías.
58
59. La distribución de datos ó de frecuencias la cual es la
presentación de cuadros o tablas estadísticas. El objetivo
principal de una distribución de frecuencias consiste en
presentar los datos de un modo que facilite su comprensión e
interpretación.
Algunos tipos de distribución
Frecuencia Absoluta.
Frecuencia Relativa.
Frecuencia Porcentual.
Frecuencia Acumulada.
Marca de Clase 59
60. VARIABLE FRECUENCIA
ABSOLUTA
La frecuencia absoluta, es el número de
AHORRO F
veces que se repite un determinado valor
09-12 18 o una determinado atributo de la variable.
13-15 26 Está influida por el tamaño de la muestra,
16-18 7 al aumentar el tamaño de la muestra
19-21 4 aumentará también el tamaño de la
22-24 1
frecuencia absoluta y la suma de las
frecuencias absolutas debe ser igual al
25-27 4 . número total de los datos en estudio.
Total 60
Tabla No 1.3 Datos de la
encuesta del ahorro mensual de
acuerdo al salario que perciben
los trabajadores. (pesos
mexicanos) 60
61. La frecuencia relativa consiste en la proporción del número
total de datos que aparece en cada intervalo, la suma de la
frecuencia es siempre la unidad (1).
Se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de cada intervalo
entre el número total de datos o elementos del conjunto.
La frecuencia relativa también se expresa, en ocasiones, en
tanto por ciento
F Frecuencia del intervalo
SE OBTIENE FR =
N Suma de frecuencias
61
62. La frecuencia porcentual, consiste en
calcular el porcentaje de la relación que La palabra porcentaje
se establece entre una de las partes con significa por cien.
respecto al todo multiplicándolas por 100,
que pertenece a cada intervalo o
categoría.
La frecuencia porcentual también se
expresa, en ocasiones en frecuencia
relativa.
PORCENTAJE = ( F / N ) X 100
Ó
PORCENTAJE = FR X 100
62
63. VARIABLE FRECUENCIA FRECUENCIA
ABSOLUTA ACUMULADA La frecuencia acumulada, indica cómo
AHORRO F FA
se van concentrando los datos de un
09-10 18 18 valor de cada intervalo o una
13-15 26 44 determinada modalidad del atributo.
16-18 7 51 Puede incluir a cualquiera de las
19-21 4 55 frecuencias: absoluta, relativa o
22-24 1 56 porcentual; sugiriendo se calcule sólo
25-27 4 60 la que sea necesaria para los fines de
la investigación.
Total 60
Tabla No. 1.6 Datos de la
encuesta del ahorro mensual de
acuerdo al salario que perciben
los trabajadores. (pesos
mexicanos) 63
64. La marca de clase, solo es aplicable a datos agrupados y es:
Es el punto medio de cada intervalo de clase.
Es el valor que representa a todos los datos que
puedan estar integrados en éste.
Marca de clase = ( Límite inferior + Límite superior ) / 2
9 - 12 10.5
Marca
Intervalos de clase
de Clase
Con clasificación continua
X
64
65. FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA
MARCA DE
VARIABLE
ABSOLUTA RELATIVA PORCENTUAL ACUMULADA CLASE
AHORRO F FR % FA MC
9-12 18 0,3 30 18 10,5
13-15 26 0,43 42 44 14
16-18 7 0,12 12 51 17
19-21 4 0,07 7 55 20
22-24 1 0,02 2 56 23
25-27 4 0,07 7 60 26
Total 60 1 100
Tabla No. 1.7 Se ha realizado una encuesta a 60 personas a
las que se les ha preguntado cuanto dinero ahorran
mensualmente de acuerdo al salario que perciben,
obteniéndose los siguientes resultados (pesos mexicanos) 65
66. Las gráficas se basa por completo en una tabla de datos y sirve
para visualizar la forma de distribución de los datos, porque
permite mostrar, explicar, interpretar y describir de manera
sencilla, clara y efectiva, los datos estadísticos mediante formas
geométricas tales como líneas, áreas, volúmenes.
Para la descripción gráfica, podrá disponer de una amplia galería
de gráficas entre las más utilizadas son:
POLIGONOS
HISTOGRAMA DE
FRECUENCIA
DIAGRAMA DE OJIVA
BARRAS SECTORIAL 66
67. Se considera uno de las más sencillas y útiles de representar
los datos cuantitativos (numéricas)
• Representa a los niveles de medición ordinal, de intervalo o
de razón
• Se puede graficar con la frecuencia: absoluta, porcentual ó
relativa, según los objetivos de la investigación
F
Fig. No. 1 Histograma Ahorro (colones)
r
e 30
c 20
u 10
Cuantitativa
e 0
n 1
c 9-12 13-15 16-18 19-21 22-24 25-27
i
a
Intervalo
67
68. HISTOGRAMA
TRABAJADORES DEL TALLER
ELÉCTRICO
50
TRABAJADORES
42
NUMERO E
40
27
30
18 edad
20
5 8
10
0
61 64 67 70 73
EDAD DE LOS TRABAJADORES
68
69. • Es una gráfica más utilizada por su sencillez, para representar las
características cuantitativas (numérica) y cualitativas (no numérica)
Representa a los niveles de medición nominal u ordinal
Se puede graficar con la frecuencia: absoluta, porcentual o relativa
30
25
20
Fig. No. 2 Diagrama de
15 Barras Percepción del ahorro
10 (colones)
5
0
Baja Muy Regular Alta Muy alta
baja
Cualitativa
Categor ia
69
70. Se utilizada para representar principalmente variables
cualitativas (no numéricas)
Representa al nivel de medición nominal
Se puede graficar con la frecuencia: porcentual o relativa
Resultan adecuado cuando hay pocos valores
Para ello se utiliza la siguiente expresión aritmética:
Total de grados = ( porcentaje ) ( 360 )
MUY BAJO
Fig. No. 3 Gráfica sectorial
BAJO
REGULAR
Ahorro (dólares)
ALTO
MUY ALTO Cualitativas
Porcentajes
70
71. Se utiliza para representar principalmente variables
cuantitativas (numéricas)
Representa al nivel de medición de intervalo o de razón
Se puede graficar con la frecuencia: marca de clase
F
r
0,50
e
0,40
c Fig. No. 4 Polígono de
0,30
u Frecuencia
0,20
e 0,10
Ahorro (euros)
n 0,00
c 9-12 13-15 16-18 19-21
ia 22-24 25-27
71
72. POLIGONO DE FRECUENCUA
TRABAJADORES DEL TALLER
ELÉCTRICO
TRABAJADORES
50
NUMERO E
40 42
30
27 edad
20 18
10 8
5
0
61 64 67 70 73
EDAD DE LOS TRABAJADORES
72
73. Los polígonos de frecuencia pueden emplearse
asimismo para representar frecuencia acumulada
que en tal caso resulta designar como ojiva.
• Es aplicable a variables ordinales.
• Representa a la distribución de frecuencias
acumuladas, sean absolutas, porcentuales o relativas.
• Es una gráfica ascendente.
70
60
50
Fig. No. 5 Ojiva
40
30
Ahorro (colones)
20
10
0
9 * 12 13 * 15 16 * 18 19 * 21 22 * 24 25 - 27
73
74. CLASE Ó CATEGORIA
• La utilidad de lo anterior, es que se puede
analizar con mayor facilidad un conjunto
de números sin que se tenga que considerar
cada número.
• Una categoría o clase recibe el nombre de :
intervalo de clase.
74
75. INTERVALO DE CLASE
• Los valores extremos de un intervalo de
clase reciben el nombre de:
limites de clase. (inferior y superior)
• Existen otros limites de gran importancia
llamados limites reales de clase.
• Para hallar el limite real inferior se suma el
limite inferior mas el número anterior y
esto se divide entre dos.
75
76. • Para hallar el limite real superior se suma el
limite superior mas el número que le sigue
y esto se divide entre dos.
• Tamaño o anchura de clase: basta con
realizar la diferencia entre los limites reales
considerando primero el superior.
• Marca de clase: se obtiene sumando los
limites superior e inferior y dividiendo
entre dos.
76
77. Con la información anterior podemos
formar las distribuciones de frecuencia con
mayor facilidad si consideramos primero el
rango. Después de calcularlo, lo dividimos
en un número conveniente de intervalos de
clase del mismo tamaño y considerando al
mismo tiempo que las marcas de clase
coincidan en lo posible con los datos que
fueron observados. Por último indicamos
la frecuencia de clase.
77
78. • Al construir una distribución de
frecuencias podemos representarla
gráficamente, ya sea por medio de un
histograma (rectángulo sobre el eje X) o
por un polígono de frecuencias (gráfico
de línea trazado sobre las marcas de clase)
78
80. DIA 24
EJEMPLO 1
• Se tiene el número de accidentes que ocurren
día a día durante un periodo de 50 días en
la autopista Veracruz-Xalapa.
2 9 6 7 0 8 2 5 4 2
4 4 5 4 4 2 5 6 7 3
8 3 8 4 4 7 4 7 5 6
4 7 3 5 1 7 3 8 0 6
1 5 2 3 0 6 5 6 3 6
80
81. Observar que los datos constan de enteros.
Puesto que el mayor número de accidentes
es 9 y el menor es 0, por lo tanto el :
rango: 9 – 0 = 9
Considerando 5 intervalos de clase:
(Rango + 1)/5 = (9+1)/5=10/5=2
Podemos considerar que cada intervalo de
clase constará de : 2 elementos.
81
82. 1ºDIA 15
2ºDIA 22
Formando los intervalos de clase y
contabilizando la cantidad de elementos en
cada intervalo de clase obtenemos la
siguiente distribución de frecuencia:
INTERVALOS DE CLASE FRECUENCIA
0-1 5
2-3 11
4-5 16
6-7 13
8-9 5
Total ( N) = 50 82
83. Identificando las partes de la distribución de
frecuencia:
• Primer intervalo de clase: 0-1
• Frecuencia de la tercera de clase: 16
• Limite inferior del primer intervalo de clase: 0
• Limite superior del tercer intervalo de clase: 5
• Tamaño de tercera la clase: 5.5-3.5= 2
• Marca de la primer clase : (0+1)/2=.5
• Marca de la quinta clase : (8+9)/2=8.5 …etc.
83
84. FRECUENCIA RELATIVA
• Es la frecuencia de clase dividida por el
total de frecuencias de todas las clases. El
resultado se expresa generalmente como
porcentajes.
F.R.= f/ N o bien: F.R.%=(f/N) * 100
• Esto nos servirá para la representación
gráfica circular o de pastel.
84
85. FRECUENCIA ACUMULADAS
• Este tipo de frecuencia está diseñada para
mostrar el número o porcentajes de
elementos que son menores que cierto
valor específico o iguales a este.
85
86. DISTRIBUCION DE FRECUENCIA
RELATIVA
F.R. (0-1)= 5/50 = 0.10 o bien 10%
F.R. (2-3)= 11/50= 0.22 o bien 22%
F.R. (4-5)= 16/50= 0.32 o bien 32%
F.R. (6-7)= 13/50= 0.26 o bien 26%
F.R. (8-9)= 5/50 = 0.10 o bien 10%
1.00 100%
86
87. DISTRIBUCION DE FRECUENCIA
ACUMULADA
F.A. (0-1) 0.10
F.A. (2-3) 0.22+0.10=0.32
F.A. (4-5) 0.32+0.32=0.64
F.A. (6-7) 0.26+0.64=0.90
F.A. (8-9) 0.10+0.90=1.00
Se puede observar que el 64% de los días no
excedió de 5 accidentes y que el 90% de los días
no excedió de 7 accidentes.
87
88. HISTOGRAMA DE
FRECUENCIAS RELATIVAS
NUMERO DE ACCIDENTES EN LA
AUTOPISTA VERACRUZ-XALAPA
EN UN PERIODO DE 50 DIAS
FRECUENCIA
0.4 0.32
RELATIVA
0.3 0.22 0.26
0.2 Frecuencia
0.1 0.1 Relativa
0.1
0
0-1 2-3 4-5 6-7 8-9
RANGO (NUMERO DE
ACCIDENTES)
88
89. POLIGONO DE FRECUENCIAS
ACUMULADAS
NUMERO DE ACCIDENTES EN LA
AUTOPISTA VERACRUZ-XALAPA EN
1.2 UN PERIODO DE 50 DIASDIAS
1 1
FRECUENCIA
ACUMULADA
0.9 Frecuencia
0.8 Acumulada
0.6 0.64
0.4
0.32
0.2
0.1
0
0-1 2-3 4-5 6-7 8-9
RANGO (NUMERO DE
ACCIDENTES)
89
91. RESOLUCION DE EJEMPLO 2
• Rango 74-60= 14 años
• Dividiremos todo en cinco intervalos de clase.
intervalos de clase (AÑOS)
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
91
92. RESOLUCION DE EJEMPLO 2
60 Limite inferior del primer intervalo de clase.
62 Limite superior de primer intervalo de clase.
(59+60)/2 = 59.5 Limite real inferior.
(62+63)/2 = 62.5 Limite real superior.
Tamaño C = 62.5 - 59.5 = 3
C = 65.5 - 62.5 = 3, …….., etc.
92
98. MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
• Estas medidas se emplean para indicar un
valor que tiende a ser el más representativo
de un conjunto de números. Las tres
medidas de mayor importancia son:
• Media
• Mediana
• Moda
98
99. MEDIA
• De las 3 medidas está es la más importante.
La media se determina al sumar los valores
de un conjunto y dividir el resultado de
esta suma entre el número de valores del
mismo.
X = x1+ x2+…+xn = ∑nj=1xj = ∑xj
N N N
99
100. MEDIA
Esta medida de tendencia central posee varias
propiedades:
• Se puede calcular para un conjunto de números
• La media es única, es decir, existe una y solo una
para un conjunto de datos.
• Si cambia algún valor del conjunto de números,
entonces también cambia la media.
• La suma de desviaciones de los números a partir
de la media es 0.
∑(xj-X) = 0
100
101. MEDIA
• Cuando se tiene una tabla de una distribución de
frecuencias en donde hemos clasificado nuestros
datos y deseamos calcular la media tenemos que
considerar únicamente las marcas de clase de
cada intervalo. Estas marcas de clase
multiplicadas por las frecuencias y divididas
entre la frecuencia total, nos da como resultado
la media.
X = f1x1+ f2x2+…+fkxk = ∑kj=1fjxj = ∑fxj
N N N
101
102. EJEMPLO 3
• En un examen de habilidad matemática aplicado
a 25 alumnos se les pidió completar en forma
individual un “cuadro mágico”. El tiempo que
necesitó cada estudiante para completar el
trabajo fue registrado en minutos . Los
resultados fueron los siguientes:
Minutos x 1 2 3 4 5 6 7
Alumnos f 1 2 3 0 4 6 9
102
103. HALLANDO LA MEDIA
X = f1x1+ f2x2+…+fkxk = ∑kj=1fjxj = ∑fxj
N N N
X = 1(1)+2(2)+3(3)+0(4)+4(5)+6(6)+9(7)= 133=
25 25
X= 5.32 min.
103
104. MEDIANA
• La característica de mayor importancia es
que divide un conjunto ordenado en dos
grupos iguales, es decir, la mediana de un
conjunto de datos ordenados en orden de
magnitud, es el valor medio o la media de
los valores medios.
• Una regla para obtener la mediana es:
• Clasificación u ordenamiento de los datos.
104
105. MEDIANA
• Contar para conocer si existen un numero
par o impar de datos.
• Si se tiene un numero impar de valores, la
mediana es el valor intermedio. Para un
numero par de valores, la mediana es la
media de los valores intermedios.
105
106. MEDIANA
• Considerando una distribución de frecuencias para datos
agrupados, la mediana se obtiene mediante:
Mediana = L1 + N/2 – (∑F )1
C
Fmediana
• Donde:
• L1 = Limite real inferior de la clase mediana (esto es, la clase que
contiene la mediana).
• N = Frecuencia Total (Numero total de Datos)
• (∑f)1=Suma dde las frecuencias de todas las clases que se
encuentran debajo de la clase mediana.
• Fmediana = Frecuencia de la clase mediana
• C= Tamaño del intervalo de la clase mediana.
106
107. EJEMPLO 4
• En un examen de habilidad matemática aplicado
a 25 alumnos se les pidió completar en forma
individual un “cuadro mágico”. El tiempo que
necesitó cada estudiante para completar el
trabajo fue registrado en minutos . Los
resultados fueron los siguientes:
Minutos x 1 2 3 4 5 6 7
Alumnos f 1 2 3 0 4 6 9
107
108. HALLANDO LA MEDIANA
Mediana = L1 + N/2 – (∑F )1 c
Fmediana
Recuerde que gráficamente la mediana es el valor que
corresponde a la mitad de la frecuencia total.
25/2= 12.5 = N/2
La ∑ de la “f” hasta la quinta clase es 10 : (∑F )1
La ∑ de la “f” hasta la sexta clase es 16
En esta clase se localiza la mediana.
Clase mediana : sexta clase 108
109. HALLANDO LA MEDIANA
Limite real inferior de la sexta clase:
L1 = (5+6)/2= 5.5
(∑F )1= 10
Mediana: 5.5 + 12.5-10 (1)
Fmediana = 6
6
C= 1
Mediana=5.5 +0.416 = 5.916
N/2= 12.5
min.
109
110. MODA
• La moda es el valor que mayor número de
veces se presenta en un conjunto de
números. Existen algunos casos en los
cuales no existe la moda y otros en los
cuales existen mas de una moda. Una
distribución que cuenta con una moda se le
conoce como unímodal.
110
111. MODA
• Para una distribución de frecuencias, la moda es el valor o los
valores máximos de la curva y se puede calcular por medio de
Moda = L1 + Δ1 C
Δ1 + Δ2
• Donde:
• L1 = Limite real inferior de clase de la clase modal. La clase
modal es aquella donde se localiza la moda.
• Δ1 = Es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la
frecuencia anterior o premodal
• Δ2 = Es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la
frecuencia siguiente o posmodal
• C = Tamaño del intervalo de clase modal
111
112. EJEMPLO 5
• En un examen de habilidad matemática aplicado
a 25 alumnos se les pidió completar en forma
individual un “cuadro mágico”. El tiempo que
necesitó cada estudiante para completar el
trabajo fue registrado en minutos . Los
resultados fueron los siguientes:
Minutos x 1 2 3 4 5 6 7
Alumnos f 1 2 3 0 4 6 9
Moda: 7 min.
112
113. EJEMPLO MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
• En una compañía automotriz hay 100
trabajadores los cuales producen
refacciones. Algunos por sus capacidades y
experiencias construyen mas que otros al
termino de cada mes. La distribución de
frecuencias es la siguiente:
113
117. MEDIANA
Es el número del medio del conjunto de
datos, establece un punto que divide al
conjunto de datos en dos grupos de la
misma cantidad.
117
118. MODA
Es el número más popular en el conjunto
de datos.
“Es importante saber la marca de cereales
que se vende más de manera que se
pueda estar seguro de tener suficiente en el
almacén.
118
119. MEDIA Y MEDIANA
Para un conjunto de datos con dos o más
modas, será mejor usar la media o la
mediana como característica del grupo,
recordando que al haber un extremo
disperso, es mejor el uso de la mediana.
119
120. EJEMPLO 6
Una persona que sirve mesas en el
restaurante del hotel “PLAZA
VERACRUZ” de Veracruz, Veracruz,
registra las propinas que percibió durante 7
días.
Día 1 2 3 4 5 6 7
$ 24 15 22 80 16 21 19
120
121. ANALISIS
¿Cuánto te haces de propina en un día?
X = $ 28.14
Moda : no hay
Mediana: 15,16,19,21,22,24,80 = $ 21
¿Cuál seria el valor más característico o
representativo de este conjunto de datos?
121
122. EJEMPLO 7
Datos de producción de tres operarios.
Número de artículos producidos por día
Día de trabajo
Operario día 1 día 2 día 3 día 4 día 5 día 6 día 7 día 8 día 9 día 10
A 1 2 2 3 3 4 5 4 5 5
B 6 1 2 5 3 2 2 2 7 1
C 7 6 5 4 2 3 2 3 2 2
122
123. MODA MEDIA MEDIANA
OPERARIO A 5 3.5 3.4
OPERARIO B 2 2.5 3.2
OPERARIO C 2 3 3.6
¿Qué operario elegirías para que
continuara en el puesto?
¿Te ayudaría el rango a reafirmar tu
decisión? ¿Qué mas observas? 123
124. MEDIDAS DE DISPERSION
• Este tipo de medidas también reciben el nombre
de Medidas De Variación.
• Las Medidas de Dispersión o Variación se
emplean para saber si los valores están
relativamente cercanos uno al otro o si se
encuentran dispersos. Todas las medidas de
dispersión exceptuando la de Amplitud o Rango
toman a la media como punto de referencia.
124
126. RANGO O AMPLITUD DE
VARIACION
• Es la diferencia entre el mayor valor y el
menor de todos ellos.
• El rango es una medida limitada puesto
que considera a los valores extremos de un
conjunto y no proporciona mayor
información respecto a los demás valores
del mismo.
126
127. DESVIACION MEDIA O
PROMEDIO DE DESVIACION
• Se emplea para medir el promedio de los
alejamientos de los datos observados en la
muestra respecto a la media de estos datos.
• Para un conjunto de valores se obtiene al restar
la media de cada valor del grupo, eliminando el
signo negativo (esto se logra por medio del valor
absoluto) dividida entre el número total de
observaciones.
127
128. DESVIACION MEDIA O
PROMEDIO DE DESVIACION
• Sus formulas son: Para una distribución
de frecuencias:
DM = ∑ x-X DM = ∑f x-X
N N
• N = numero total de datos.
• x = Marcas de clase
• X = Media
• f = frecuencias de clase
128
129. VARIANZA
• La varianza de una muestra se determina en
forma similar que la desviación media pero con
las siguiente diferencia:
Las desviaciones se elevan al cuadrado antes de
ser sumadas.
129
130. VARIANZA
• Sus formulas son: Para una distribución
de frecuencias
S2 = ∑(x-X)2 S2 = ∑f (x-X)2
N N
• Donde:
• N = numero total de datos.
• x = Marcas de clase o datos
• X = Media
• f = frecuencias de clase
130
131. DESVIACION ESTANDAR
• La desviación estándar es la raíz cuadrada
positiva de la varianza. Para obtener la
desviación estándar se debe calcular la varianza y
hallar su raíz cuadrada positiva.
• La desviación estándar queda representada por
la letra mayúscula S.
• La desviación estándar es una de las medidas
mas importantes dentro de la Estadística.
131
132. DESVIACION ESTANDAR
• Sus formulas son: Para una distribución
de frecuencias
S=
Donde:
√ ∑(x-X)2
N
S=
√
∑f (x-X)2
N
• N = numero total de datos.
• x = Marcas de clase o datos
• X = Media
• f = frecuencias de clase
132
133. DESVIACION ESTANDAR
• El 68% de los valores cae dentro del rango de una vez
la desviación estándar con respecto de la media.
• En cualquier conjunto de valores graficados que se
ajusten a una curva normal, el 95% de los valores
quedan dentro de dos desviaciones típicas respecto del
valor de la media del conjunto.
• Generalmente en un rango de 3 desviaciones típicas
con respecto a la media queda contenido el 100% de
los valores del conjunto. Esta información tiene uso
inmediato en la aplicación de tolerancia o medidas de
control de calidad de artículos manufacturados.
133
134. REPRESENTACION DE LA
DESVIACION ESTANDAR
LA MEDIA, LA
MODA Y LA
MEDIANA SON
IGUALES
PUNTOS DE
INFLEXION
PUNTOS DE 68 %
INFLEXION UNA DESVIACION
TÍPICA O ESTANDAR
DOS DESVIACIONES
TÍPICAS O ESTANDAR
134
135. EJEMPLO DE MEDIDAS DE
DISPERSION
• En un experimento aleatorio se obtuvo la
muestra de elementos:
17, 15, 25, 23, 18, 18, 20, 19, 20, 20, 20, 21, 20,
20
Determinar
• Desviación Media
• Varianza
• Desviación estándar.
135
136. OBTENIENDO LA DISTRIBUCION DE
FRECUENCIAS
x f f.x
15 1 15
17 1 17
18 2 36
19 1 19
20 6 120
21 1 21
23 1 23
25 1 25
N = 14 ∑fx= 276
136
142. CUARTILES, DECILES Y
PERCENTILES.
• Los cuartiles, deciles y percentiles se asemejen
mucho a la mediana porque también subdividen
una distribución de mediciones de acuerdo con
la proporción de frecuencias observadas y
ordenadas.
• Mientras la mediana divide una distribución en
dos mitades, los cuartiles la dividen en cuatro
cuartos, los deciles la dividen en 10 décimos y
los puntos percentiles la dividen en 100 partes.
142
143. • Considerando que el lugar de la mediana se
puede encontrar por:
Lugar de la mediana: n/2 + ½
• Para el primer cuartil será:
n/4 + ½
• Para el tercer decil será:
3n/10 + ½
• Para el septuagésimo percentil será:
70n/100 + ½
143
144. EJEMPLO
• Si ocho empresas vendieron las siguientes
cantidades de unidades de aire acondicionado, 5,
8, 8, 11, 11, 11, 14, 16.
Busque la posición del tercer cuartel para esta
distribución;
C3 = 3n/4 + ½
C3 = 3(8)/4 + ½= 6.5
• Lo cual nos indica que el tercer cuartel se
encuentra ubicado entre el sexto y séptimo valor
del grupo ordenado. O sea:
(11 + 14)/ 2 = 12.5 144
145. DESVIACION CUARTIL
• Es la medida de dispersión más usada en
relación con la mediana; también es llamada
rango semiintercuartil. Se simboliza por Q y
se le define por la fórmula:
• en la cual Q1 y Q3 son los puntos bajo los
cuales se halla el 25% y el 75% de los datos,
respectivamente, como ya se había visto
anteriormente.
145
