Matematica Avanzada

1. PRÁCTICA GRUPAL
5.
(𝑥 − 1)𝑦′′
+ 𝑦′
= 0
Solución:
Como:
𝑦 = ∑ 𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
𝑦′ = ∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=1
𝑦′′ = ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=2
Entonces:
(𝑥 − 1)∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=2
+ ∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=1
= 0
∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=2
− ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=2
+ ∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=1
= 0
−2𝐶2 + 𝐶1 + ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=2
− ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=3
+ ∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=2
= 0
En cada sumatoria hacemos:
𝑘 = 𝑛 − 1, 𝑘 = 𝑛 − 2, 𝑘 = 𝑛 − 1
Entonces:
−2𝐶2 + 𝐶1 + ∑(𝑘 + 1)(𝑘)𝐶𝑘+1𝑥𝑘
∞
𝑘=1
− ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2𝑥𝑘
∞
𝑘=1
+ ∑(𝑘 + 1)𝐶𝑘+1𝑥𝑘
∞
𝑘=1
= 0
−2𝐶2 + 𝐶1 + ∑[(𝑘 + 1)(𝑘)𝐶𝑘+1 − (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2 + (𝑘 + 1)𝐶𝑘+1]𝑥𝑘
∞
𝑘=1
−2𝐶2 + 𝐶1 + ∑[(𝑘 + 1)2
𝐶𝑘+1 − (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2]𝑥𝑘
∞
𝑘=1
De esto tenemos:
−2𝐶2 + 𝐶1 = 0 y (𝑘 + 1)2
𝐶𝑘+1 − (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2 = 0

2. 𝐶1 = 2𝐶2 𝐶2 = 𝐶1/2
𝐶𝑘+2 =
𝑘 + 1
𝑘 + 2
𝐶𝑘+1 , 𝑘 ≥ 1
𝑘 = 1 → 𝐶3 =
2
3
𝐶2 =
1
3
𝐶1
𝑘 = 2 → 𝐶4 =
3
4
𝐶3 =
1
4
𝐶1
𝑘 = 3 → 𝐶5 =
4
5
𝐶4 =
1
5
𝐶1
𝑘 = 4 → 𝐶6 =
5
6
𝐶5 =
1
6
𝐶1
𝑘 = 5 → 𝐶7 =
6
7
𝐶6 =
1
7
𝐶1
𝑘 = 6 → 𝐶8 =
7
8
𝐶7 =
1
8
𝐶1
… y así sucesivamente.
→ 𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥2
+ 𝐶3𝑥3
+ 𝐶4𝑥4
+ 𝐶5𝑥5
+ 𝐶6𝑥6
+ 𝐶7𝑥7
+ 𝐶8𝑥8
…
𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 [𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+
𝑥4
4
+
𝑥5
5
+
𝑥6
6
+
𝑥7
7
+
𝑥8
8
+ ⋯ ]
𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1𝑦1(𝑥)
Donde:
𝑦1 = ∑ [
1
𝑛
] 𝑥𝑛
∞
𝑛=1
Finalmente:
𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 ∑ [
1
𝑛
] 𝑥𝑛
∞
𝑛=1
8.
(𝑥2
+ 2)𝑦′′
+ 3𝑥𝑦′
− 𝑦 = 0
Solución:
Como:
𝑦 = ∑ 𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0

3. 𝑦′ = ∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=1
𝑦′′ = ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=2
Entonces:
(𝑥2
+ 2)∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=2
+ 3𝑥 ∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=1
− ∑ 𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 0
∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=2
+ 2∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=2
+ 3∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=1
− ∑ 𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 0
2𝐶2 + 6𝐶3𝑥 + 3𝐶1𝑥 − 𝐶0 − 𝐶1𝑥 + ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=2
+ 2∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=4
+ 3∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=2
− ∑ 𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=2
= 0
2𝐶2 + 6𝐶3𝑥 + 2𝐶1𝑥 − 𝐶0 + ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=2
+ 2∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=4
+ 3∑ 𝑛𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=2
− ∑ 𝐶𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=2
= 0
En cada sumatoria hacemos:
𝑘 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛 − 2, 𝑘 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛
Entonces:
2𝐶2 + 6𝐶3𝑥 + 2𝐶1𝑥 − 𝐶0 + ∑ 𝑘(𝑘 − 1)𝐶𝑘𝑥𝑘
∞
𝑘=2
+ 2 ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2𝑥𝑘
∞
𝑘=2
+ 3∑ 𝑘𝐶𝑘𝑥𝑘
∞
𝑘=2
− ∑ 𝐶𝑘𝑥𝑘
∞
𝑘=2
= 0
2𝐶2 + 6𝐶3𝑥 + 2𝐶1𝑥 − 𝐶0 + ∑[𝑘(𝑘 − 1)𝐶𝑘 + 2(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2 + 3𝑘𝐶𝑘 − 𝐶𝑘]𝑥𝑘
∞
𝑘=2
De esto tenemos:
2𝐶2 − 𝐶0 = 0, 6𝐶3 + 2𝐶1 = 0, 𝐶𝑘(𝑘(𝑘 + 2) − 1) + 2(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2 = 0
𝐶0 = 2𝐶2, 𝐶3 = −
1
3
𝐶1

4. 𝐶𝑘+2 =
1 − 𝑘(𝑘 + 2)
2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝐶𝑘 ,𝑘 ≥ 2
𝑘 = 2 → 𝐶4 =
−7
2(3)(4)
𝐶2
𝑘 = 3 → 𝐶5 =
−14
2(4)(5)
𝐶3 =
(−2)(−14)
22(3)(4)(5)
𝐶1
𝑘 = 4 → 𝐶6 =
−23
2(5)(6)
𝐶4 =
(−7)(−23)
22(3)(4)(5)(6)
𝐶2
𝑘 = 5 → 𝐶7 =
−34
2(6)(7)
𝐶5 =
(−2)(−14)(−34)
23(3)(4)(5)(6)(7)
𝐶1
𝑘 = 6 → 𝐶8 =
−47
2(7)(8)
𝐶6 =
(−7)(−23)(−47)
23(3)(4)(5)(6)(7)(8)
𝐶2
𝑘 = 7 → 𝐶9 =
−62
2(8)(9)
𝐶7 =
(−2)(−14)(−34)(−62)
24(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)
𝐶1
… y así sucesivamente.
→ 𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥2
+ 𝐶3𝑥3
+ 𝐶4𝑥4
+ 𝐶5𝑥5
+ 𝐶6𝑥6
+ 𝐶7𝑥7
+ 𝐶8𝑥8
+ 𝐶9𝑥9
…
𝑦 = 2𝐶2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥2
−
2𝑥3
2(3)
𝐶1 −
7𝑥4
2(3)(4)
𝐶2 −
(2)(14)𝑥5
22(3)(4)(5)
𝐶1 +
(7)(23)𝑥6
22(3)(4)(5)(6)
𝐶2 + ⋯
𝑦 = 𝐶1𝑦1(𝑥) + 𝐶2𝑦2(𝑥)
Donde:
𝑦1 = 𝑥 + ∑(−1)𝑛
(2)(14)(34)… (4𝑛2
− 2)
2𝑛(2𝑛 + 1)!
𝑥2𝑛+1
∞
𝑛=1
𝑦2 = 2 + 𝑥2
+ ∑(−1)𝑛
(7)(23)… ((2𝑛 + 1)2
− 2)
2𝑛−1(2𝑛 + 2)!
𝑥2𝑛+2
∞
𝑛=1
Finalmente:
𝑦 = 𝐶1 [𝑥 + ∑(−1)𝑛
(2)(14)(34)…(4𝑛2
− 2)
2𝑛(2𝑛 + 1)!
𝑥2𝑛+1
∞
𝑛=1
]
+ 𝐶2 [2 + 𝑥2
+ ∑(−1)𝑛
(7)(23)… ((2𝑛 + 1)2
− 2)
2𝑛−1(2𝑛 + 2)!
𝑥2𝑛+2
∞
𝑛=1
]
AUTOVALORES REPETIDOS
5.
𝑋′
= [
−1 3
−3 5
]𝑋

5. Solución:
Hallamos 𝜆:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0
(
−1 − 𝜆 3
−3 5 − 𝜆
) = 0
(−1 − 𝜆)(5 − 𝜆) + 9 = 0
𝜆2
− 4𝜆 + 4 = 0
(𝜆 − 2)2
= 0
𝜆1,2 = 2
Hallamos K, cuando 𝜆 = 2
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝐾 = 0
(
−3 3
−3 3
)(
𝐾1
𝐾2
) = (
0
0
)
−3𝐾1 + 3𝐾2 = 0
𝐾1 = 𝐾2
Escogemos
𝐾1 = 𝐾2 = 1
Teniendo:
𝐾 = (
1
1
)
𝑋1 = (
1
1
)𝑒2𝑡
Hallamos P:
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑃 = 𝐾
(
−3 3
−3 3
)(
𝑃1
𝑃2
) = (
1
1
)
−3𝑃1 + 3𝑃2 = 1
𝑃2 − 𝑃1 =
1
3
Escogemos:
𝑃1 =
2
3
, 𝑃2 = 1
Teniendo:

6. 𝑃 = (
2
3
1
)
𝑋2 = (
1
1
)𝑡𝑒2𝑡
+ (
2
3
1
)𝑒2𝑡
Entonces:
𝑋 = 𝑐1𝑋1 + 𝑐2 𝑋2
𝑋 = 𝑐1 (
1
1
) 𝑒2𝑡
+ 𝑐2 [(
1
1
) 𝑡𝑒2𝑡
+ (
2
3
1
) 𝑒2𝑡
]