8 tensões em engrenagens 1

Universidade Federal de Goiás
Escola de Engenharia Elétrica e de Computação
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Elementos de Máquinas 2
Prof.: Ricardo Humberto de Oliveira Filho
ANÁLISE DE TENSÕES
EM ENGRENAGENS

ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Engrenagens podem falhar basicamente por dois tipos de solicitação:
•a que ocorre no contato, devido à tensão normal;
•e a que ocorre no pé do dente, devido a flexão causada pela carga
transmitida.
A fadiga no pé do dente causa a quebra do dente, o que não é comum
em conjuntos de transmissão bem projetados.
Geralmente, a falha que ocorre primeiro é a por fadiga de contato.

A parte que tende ao vermelho mostra as maiores tensões em magnitude (Von
Mises) e a parte em azul as menores.
Esse modelo corresponde exatamente ao resultado obtido por outras técnicas,
como a fotoelasticidade, e mostra as tensões que levam às falhas citadas.

A próxima figura mostra um caso de falha por fadiga de contato ainda no estágio
inicial.
Esses pequenos sulcos são formados na região próximo a linha primitiva do
dente, que é definida pelo diâmetro primitivo.
Surgem nessa região porque a velocidade de deslizamento entre os dentes anula-
se no ponto primitivo

A figura a seguir mostra ainda o mesmo tipo de falha após a progressão.
Nesse caso, a falha de fadiga por contato aumenta de tamanho e partes maiores
são arrancadas da superfície.

Formulação de Lewis (1892):
2
3
t
W P xP
onde Y
FY
σ = =
2
4
t
x
l
=

2 2 2 4
6
6 1 1 1
/ 6 / 4
t t t
W l W W
Ft F t l F t l
σ = = =
( )2
3
passo circular
largura da face
t
pW p
FF xp
σ

= 

2
3
x
y
p
=
P
p
π
=Y yπ=
2
/ 2
/ 2 4
t l t
x
x t l
= =Por semelhança de triângulos:
t
W P
FY
σ =2
3
xP
Y =

Fatores de Correção:
Dinâmicos:
• Desvios do perfil evolvental;
• Velocidade;
• Deformações decorrentes do contato;
• Tenacidade do material das engrenagens, etc.
O ruído no engrenamento significa que existem impactos sobre os
dentes das engrenagens.
v
t
WK P
FY
σ =

• Fatores dinâmicos perfil cicloidal (Século XIX):
600
Engrenagem de FoFo obtida por fundição
600
1200
Perfis cortados em fresas
1200
v
v
V
K
V
K
+
= →
+
= →
• Fatores dinâmicos perfil evolvental (Século XX):
50
Engrenagem obtida por processo de corte em fresa
50
78
Perfil retificado
78
v
v
V
K
V
K
+
= →
+
= →

≅
Raio de curvatura do dente Raio do cilindro
Largura do dente Comprimento do cilindro
≅
≅
t
W
t
W
Durabilidade Superficial:

Teoria de Hertz para contato entre cilindros:
( ) ( )
( ) ( )
max
1
22 2
1 1 2 2
1 2
max
1 2 1 2
1 2
2
1 12
1 1
orça de contato nos cilindros
pressão máxima nas superfícies
comprimento dos cilindros
, , E e constantes elásticas
e d
F
p
bl
E EF
b
l d d
F f
p
l
E
d
π
ν ν
π
ν ν
=
    − + −    =  
+  
→
→
→
→
→ diâmetros dos cilindros








Teoria de Hertz para contato em engrenagens:
É negativo por ser tensão de compressão!
( ) ( )
( ) ( )
1
1 22
2 2
1 1 2 2
2
1
2
1 2
sin
1/ 1/ 2
cos sin1 / 1 /
2
1 1
cos
p
t
c
G
t
v
c p
d
r
r rW
F dE E
r
K W
C
F r r
φ
σ
π φ φν ν
σ
φ

=+ 
= 
   − + −     =

  
= − +  ÷
  
1
2
2 2
1 2
1 2
1
1 1
pC
E E
ν ν
π
 
 
 =
  − −
+  ÷
   

Equações Fundamentais de Tensão de Flexão da Norma AGMA:
0
0
(Imperial Units)
1
(Unidades Métricas)
t d m B
v s
t H B
v s
t J
P K K
W K K K
F J
K K
W K K K
bm Y
σ


= 


( )
0
força tangencial
fator de sobrecarga
fator de velocidade ou fator dinâmico
fator de tamanho
diametral pitch transversal
fator geométrico (inclui a concentração de tensão na raiz)
t
v
S
d
J
W
K
K
K
P
J Y
( )
( )
largura da face
fator distribuição de carga
fator de espessura do anel
módulo
m H
B
t
F b
K K
K
m

( )
( ) ( )
( )
0
0
1
2 2
(Imperial Units)
(Unidades Métricas)
fator distribuição de carga
coeficiente elástico, / /
fator de acabamento superfíc
ft m
P v s
P
C
t H R
E v s
w I
m H
P E
f R
CK
C W K K K
d F I
K Z
Z W K K K
d b Z
K K
C Z lbf in N mm
C Z
σ




= 




( )
( )
1
ial
diametro primitivo do pinhão
fator de geometria para o contato
P w
I
d d
I Z
Equações Fundamentais de Tensão de Contato da Norma AGMA:

Equações de resistência AGMA: utiliza a resistência de engrenagem (sat
sac), também chamados de números de tensão admissível.
A resistência flexional (St) é dada pelas equações e gráficos a seguir.

Número de tensão de flexão admissível para aços endurecidos por
completo.

Número de tensão de flexão admissível para engrenagens de aço
endurecidas totalmente por nitretação.

Número de tensão de flexão admissível para engrenagens de aço
nitretado.

A equação para tensão admissível de flexão é:
( )
( )
2 2
(Imperial Units)
(Unidades métricas)
Tensão admissível devido a flexão / /
fator de repetição para a tensão de flexão
fator
t N
F T R
all
t N
F Z
t
N
T
S Y
S K K
S Y
S Y Y
S lbf in N mm
Y
K Y
θ
θ
σ



= 



( )
de temperatura
fator de confiabilidade
Fator segurança da norma AGMA
R z
F
K Y
S

A equação para tensão de contato admissível é:
( )
( )
,
2 2
(Imperial Units)
Tensão admissível ao contato / /
fator de repetição para a tensão de contato
fat
c N H
H T R
c all
c N W
H Z
c
N
H W
S Z C
S K K
S Z Z
S Y Y
S lbf in N mm
Z
C Z
θ
σ



= 



( )
( )
or de relação de durezas
fator de temperatura
fator de confiabilidade
Fator segurança da norma AGMA
T
R z
H
K Y
K Y
S
θ

Fator de geometria para resistência à flexão YJ ou J: calculado pela
norma AGMA 908-B89;
0.95
f N
N
N
Y
J
K m
p
m
Z
=
=
• Fator de correção de tensão Kf.
• Y: Fator da norma AGMA 908-B89.
• pN: Passo de base normal.
• Z: Comprimento da linha de ação.
• mN: razão de compartilhamento de carga, =1
para ECDR.

0
0
1
t d m B
v s
t H B
v s
Jt
P K K
W K K K
F
K K
W K K K
bm
J
Y
σ


= 



Fator geométrico da resistência superficial I, ZI:
0
0
1
ft m
P v s
P
C
t H R
E v s
Iw
CK
C W K K K
d F
K Z
Z W K K K
d b
I
Z
σ



= 



cos sin
2 1
cos sin
2 1
t t G
N G
t t G
N G
m
m m
I
m
m m
φ φ
φ φ

 +
= 

 −
Engrenagens Externas
Engrenagens Internas
mG: razão de velocidades=NG/NP

Coeficiente elástico CP, ZE: 0
0
1
ft m
v s
P
C
t
P
E
H R
v s
w I
CK
W K K K
d F I
K Z
W K K KZ
d b
C
Z
σ



= 



1
2
2 2
1
1 1
p
p G
P G
C
E E
ν ν
π
 
 
 
=   − − + ÷ ÷   

( )
( )
2/3
[ / min]
200
[ / ]
50 56 1
0.25 12
B
v B
v
A V
V ft
A
K
A V
V m s
A
A B
B Q
  +
 → ÷ ÷  
= 
  +
→ ÷ ÷
 
= + −
= −
( )
( )
( )
2
max 2
3 / min
3 200 /
v
t
v
A Q ft
V
A Q m s
 + −   
= 
+ −  
Fator dinâmico KV:

Fator de sobrecarga KO:

Fator de condição da superfície CF, ZR:
A norma AGMA ainda não definiu um valor ou uma equação para o
calculo do valor.
Uma regra, “bom senso”, seria considerar quanto mais rugoso maior o
valor deste fator.
Este fator representaria a redução da área real de contato em relação a
área aparente dentre outros fatores.

Fator de tamanho Ks:
Normalmente adota-se a unidade para este fator, mas caso queira, existe
uma equação para determinação:
Se o fator calculado for menor que a unidade, adote o fator igual a 1.
0,0535
1
1,192S
b
F Y
K
k P
 
= =  ÷ ÷
 

Fator de distribuição de carga Km, KH:
Este fator leva em consideração:
•Montagem da engrenagem;
•Deformações do eixo e da engrenagem;
•Largura da face;
•Relação largura da face e diâmetro primitivo.
( )1m mc pf pm ma eK C C C C C= + +

( )1m pf pmmc ma eK C CC C C= + +
1 Dentes não coroados
0.8 Dentes coroados*
mcC

= 

* Contato esférico

2
0.025 1
10
0.0375 0.0125 1 17
10
0.1109 0.0207 0.000228 17 40
10
0.05 0.05
10
pf
F
F in
d
F
F F in
d
C
F
F F F
d
F
d

− ≤

 − + < ≤

= 
 − + − < ≤


 <

( )1 pfm mc pm ma eK C C C CC= + +

( )1m mc pf pm ma eK C C C CC= + +
1
1
1 / 0.175
1.1 / 0.175
pm
S S
C
S S
<
= 
≥

( )1m mc pf pm emaK C C CCC= + +
2
. .maC A B F C F= + +

( )1m mc pf pm emaK C C CCC= + +

0.8 para engrenamentos ajustados no local ou quando
a compatibilidade é melhorada por lapidação.
1 para todos os outros casos
eC


= 


( )1m mc pf pm emaK C CC C C= + +

Fator de razão de dureza CH:
( )
( ) ( )3 3
1.0 ' 1.0 relação de transmissão
8.98 10 8.29 10 1.2 1.7
' 0 1.2
0.00698 1.7
H G G
BP BP
BG BG
BP
BG
BP
BG
C A m m
H H
H H
H
A
H
H
H
− −
= + − → =
  
− ≤ ≤  ÷
 

= <


>

,
(Imperial Units)
c N
H T R
c all
C N
H Z
H
W
S Z
S K K
S Z
S
C
Z
Y Yθ
σ



= 



Fator de número de ciclos YN, ZN: t
F T R
all
t
N
N
F Z
S
S K K
S
S Y
Y
Y
Y
θ
σ



= 



,
c H
H
N
T R
c all
C W
H Z
N
S C
S K K
S Z
S Y Y
Z
Z
θ
σ



= 



Fator de confiabilidade KR, YZ:
,
c N H
H RT
c all
C N W
ZH
S Z C
S K
S Z Z
S Y
K
Yθ
σ



= 


t N
F T
all
t N
R
F Z
S Y
S K
Y
K
S Y
S Yθ
σ



= 


( )
( )
0.658 0.0759ln 1 0.5 0.99
0.5 0.109ln 1 0.99 0.9999R
R R
K
R R
− − < <
= 
− − < <

Fator de temperatura KT, Yɵ:
•A temperatura limite é dada pelo óleo que se degenera quando
aquecido.
•Em geral os óleos possuem ponto de fulgor próximo à 150ºC.
•A norma AGMA recomenda que os redutores quando trabalharem
abaixo de 120ºC utilizem este fator igual à 1.
•Para temperaturas superiores, utiliza-se o fator maior que 1.

Fator de espessura de aro KB: Quando a espessura do aro não é suficiente para
proporcionar suporte completo para a raiz do dente, pode ocorrer falha por fadiga flexional.
R
B
t
t
m
h
=
2.242
1.6ln 1.2
1 1.2
B
BB
B
m
mK
m

<
= 
 ≥

Fatores de segurança contra falha por fadiga flexional SF e contra
falha por crateramento SH:
/ ( ) Resist ncia flex o corrigida por completo
Tens o de flex o
/ ( ) Resist ncia de contato corrigida por completo
Tens o de contato
t N T R
F
c N H T R
H
c
S Y K K ê à ã
S
ã ã
S Z C K K ê
S
ã
σ
σ
= →
= →

Decisões Iniciais do Projeto:
•Carregamento, velocidade, confiabilidade, vida desejada e fator de
sobrecarga.
•Fator de segurança: Quanto maior a incerteza do projeto maior deve ser
este.
•Sistema de dentes: ângulo de pressão e ângulo de hélice.
•Relação de transmissão, números de dentes da coroa e do pinhão.

Variáveis de projeto:
•Qualidade (Qv).
•Módulo (diametral pitch).
•Largura da face.
•Material do pinhão, dureza do núcleo e superficial.
•Material da coroa, dureza do núcleo e superficial.

Sugestão de procedimento de cálculo:
1.Escolha o módulo (diametral pitch).
2.Examine as implicações na largura da face, nos diâmetros primitivos,
nas propriedades dos materiais. Se não for factível, altere o valor.
3.Escolha o material do pinhão definindo as durezas do núcleo e da
superfície.
4.Repita o passo 3 para a coroa.
5.Repita os passos anteriores até que as variáveis de projeto não se
alterem mais.

Critério de flexão do pinhão:
• Selecione um valor inicial de F=4π/P;
• Encontre as tensões limites;
• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as
tensões limites;
• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;
• Verifique o coeficiente de segurança.

Critério de flexão da coroa:
tensões limites;

Critério de desgaste:
tensões limites;

EXERCÍCIOS
Exemplos resolvidos:
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8

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