5to de secundaria

1. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Reducir al primer cuadrante consiste en relacionar
las razones trigonométricas de ángulos en posición
estándar con las razones trigonométricas de
ángulos agudos (ángulos del primer cuadrante)
CASOS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Para el estudio de reducción al primer cuadrante,
se presentan los siguientes casos:
I. Cuando se trata de ángulos positivos, menores
de una vuelta
II. Cuándo se trata de ángulos positivos mayores
de una vuelta
III. Cuando se trata de ángulos negativos
CASO I : ángulos positivos menores de una vuelta
En este caso la variable angular se descompone en
un múltiplo de 90° más o menos otro ángulo agudo.
Luego se usa el siguiente esquema:
° ±
R.T. = ± -
Co RT( x)
90 x
270 x
  
  
° ±
Ejemplo: Reducir al primer cuadrante
Sen(90° + x) = ……………….......................…
Tg(270° + x) = ……………….......................…
Tg120° = ……................…………………
Sec240° = ........................................ ........
3
p Sec( - x)
= ...............................................
2
RT( x)
° ±
180 x
R.T. = ±
360 x
  
  
° -
Ejemplo: Reducir al primer cuadrante
Tg(180° - x) = ……………….......................…
Sen(360° - x) = ……………….......................…
Sec300° = ……................…………………
Tg120° = ......................................... .......
Csc(2p - x) = ...............................................
CASO II : ángulos positivos mayores de una vuelta
En este caso la variable angular se descompone en
un múltiplo de 360° (vueltas enteras) más o menos,
otro ángulo (agudo u obtuso). Luego se eliminan las
vueltas enteras
R.T.(+A) = R.T : (360°K ± x) = RT(±x)
Ejemplo: Reducir al primer cuadrante
Tg765° = .............………………………...............
Sen690° = .........………………………...................
Cos1220° = .............………………………...............
CASO III : Para ángulos negativos
Sen(-x) = -Senx
Cos(-x) = Cosx
Tg(-x) = -Tgx
Ctg(-x) = -Ctgx
Sec(-x) = Secx
Csc(-x) = -Cscx
Ejemplo:
Sen(-20°) = ..............................
Cos(-60°) = ..............................
Tg(-80°) = ..............................
Propiedad:
A + B = 180°
CosnA + CosnB = 0
SecnA + SecnB = 0
TgnA + TgnB = 0
CtgnA + CtgnB = 0
Ejemplo:
01. Calcular:
Q = Cos340° + Cos 380° + Cos 3100° + Cos 3140°
02. Calcular:
= p + p + p + 6
p
P Tg 7
Tg
5
7
Tg
2
7
Tg
7

2. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Determinar si es (V) o (F):
I. Tg(180° + x) = Tgx
II. Csc(360° - x) = Cscx
III. Cos(360° + x) = Cosx
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFV E) FFF
02. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son
correctas?
I. Sen(90° + x) = -Cosx
II. Tg(270° + x) = -Ctgx
III. Sec(270° + x) = Cscx
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVV E) FFV
03. Afirmar si es (V) o (F)
I. 2Sen150° = 1
II. Tg135° + 2Cos240° = 0
III. Csc330° = -2
A) VVV B) VFF C) VFV
D) FVV E) FVF
04. Calcular:
A = Cos20° + Cos40° + Cos140° + Cos160°
A) 0 B) -1 C) -1/2
D) 1 E) 1/2
05. Calcular:
A = 3Csc150° + Tg225° - Sec300°
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
06. Reducir:
+ ° -
Csc(360 x)
Sec(270 x)
= ° +
Sec(180 x)
Sec( x)
E
° -
-
A) -1 B) 1 C) 0
D) 2 E) -2
07. Reducir:
p + 3
p -
x).Sen(360 x)
3
2
Ctg(
x)
2
Tg( x).Cos(
A
p + ° -
=
A) 1 B) 0 C) -1
D) 1/2 E) –1/2
08. Simplificar:
= Sen140 ° + Cos50
°
°
Cos130
M
A) -2 B) 2 C) 2Tg40°
D) –2Tg40° E) 2Ctg50°
09. Reducir:
x)
p + p -
2
Sen( x).Tg(
Ctg(2 x).Sen(2 x)
Q
p - p +
=
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) 3
10. Calcular:
M = (Cos810° + Ctg405°).Sen450°
A) 1 B) -1 C) 0
D) 2 E) -2
11. Calcular:
Cos1° + Cos2° + Cos3° +....... + Cos179° + Cos180°
A) -2 B) -1 C) 1
D) 2 E) 3
12. Calcular:
= 5Tg1485 ° + 4Cos2100
°
°
Cos120
A
A) -14 B) 14 C) -12
D) 12 E) -10
13. Reducir:
p + 3
p -
x).Sen(360 x)
3
2
Ctg(
x)
2
Tg( x).Cos(
K
p + ° -
=
A) 1 B) 0 C) -1
D) 1/2 E) –1/2
14. Simplificar:
+ -
Sec(a b)
Sec(b a)
-
Sen( x y)
Sen( y x)
A
-
-
=
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) 0
15. Calcular:
E = 4Cos(-120°) - 3Ctg(-315°) + 4Sec(-300°)
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) –1/2
16. Reducir:
= p + p + p + 10
p
A Cos 11
Cos
8
11
Cos
3
11
Cos
11
A) 1 B) 0 C) -3
D) -2 E) 2
17. Calcular:
= Cos3 p + 3 p A + 3 p + 3 7
p
8
Cos
5
8
Cos
3
8
Cos
8

3. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º
A) -1 B) 0 C) 1
D) 2 E) 3
18. El valor numérico de:
- °
Sen( 240 )
°
Cos510
es:
A) - 3 B) 1 C) -1
3
D) 3 E)
3
19. Si: x + y = p, calcular:
x
y
2
Ctg
2
Tg
2Senx
A = +
Seny
A) 2 B) 3 C) -1
D) -2 E) 0
20. Si: x + y =
p , calcular:
2
Cos2y
Cos2x
Sen2x
M = +
Sen2y
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
21. Si: A + B = 180°, simplificar:
A
B
.CosB
2
Tg
2
CosA.Ctg
E =
A) -1 B) - 2 C) 1
D) 2 E) 2
22. Dado un triángulo ABC. Calcular:
2Tg(B C)
TgA
Sen(A B)
SenC
E
+
= + -
A) 1 B) 2 C) 3
D) -1 E) -2
23. Si: x + y = 2p, calcular:
y
2
A = Senx + Tg + +
Seny Tg
x
2
A) Senx B) 2Senx C)
x
2
- Tg
D)
x
- 2Tg E) 0
2
24. Si: b + q = 180°, reducir:
E = Senb + Senq + Cosb + Cosq + Tgb + Tgq
A) 2Senb B) 2Cosb C) 2Tgb
D) -2Senb E) -2Cosb
25. Calcular:
A 2Tg = p + p + p - + p
2
x ).Sec( x) 3Sen
2
Sen(
41
4
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
26. Calcular el valor de:
2
= ° + Sen600°
3
A Sec690
A)
3
3
B)
3
2
C)
2
3
D) 3 E) 3 2
27. Simplificar:
- p p -
Csc( x 111 )
x)
2
Sec( x 24 ).Ctg(235
A
- p
=
A) -Tgx B) Tgx C) -Tg2x
D) Tg2x E) -Ctg2x
28. Si: x + y = 180°, calcular:
A = Tg(Cosx + Cosy) – Cos(Tgx + Tgy)
A) 1 B) -1 C) 0
D) 2 E) -2
29. Reducir:
- p
Tg( x 11 )
x)
2
Ctg(281
x)
p -
2
2Sen(143
Cos(30 x)
M
p -
-
p +
=
A) 1 B) -1 C) 3
D) 2 E) -2
30. Calcular:
97 p +
E = Sen(135p + x).Sec( x)
2
A) -1 B) 1/2 C) 0
D) 1 E) 2
31. Calcular “q”
p Cos = q 3
p
7
Cos .Cos
4
7
A)
3p B)
2
p C)
4
p
2
D) 0 E) p
32. Calcular:
Q = Cos320°+Cos 360°+Cos 380°+Cos 3100°+ Cos 3160°

4. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8
D) 1/10 E) 1/12
33. Reducir:
p p 5
p
2
3
3
5
.Ctg
3
7
4
.Csc
3
Sec
6
.Tg
4
.Cos
4
Sen
A
p p p
=
A)
3
2
B)
3
8
C)
3 -
3
D)
3 - E)
4
3
3
34. Calcular el valor de:
= p p 77
p
M Sen 3
.Tg
163
4
.Cos
245
6
A)
6
2
B)
6
3
C)
6
4
D)
6
5
E)
6
6
35. Reducir:
)
p - q + p - q
Tg( ) Ctg(12 )
39
2
).Csc(
13
2
Sec(
E
p - q p + q
=
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
36. Simplificar:
p + - 3
p 3
p -
x).Csc( x 4 )
2
x).Ctg(
13
5
2
Sen(
x)
2
).Tg(
2
x).Cos( x
2
Sec(
K
p + p - - p
=
A) Ctgx B) – Tgx C) Tgx
D) – Ctgx E) – 1
37. Hallar:
a - p a - 39
p
).Cos( 73 )
73
2
Tg(
)
2
Sec( 85 ).Csc(
A
a - p a - p
=
Para:
a = p
3
A) –2 B) – 4 3 C) 6
D) - 8 3 E) 2
38. Sea: f (q) = Senq + Cosq
Hallar:
)
p + q
f ( )
p - q
3
f (
2
A) -1 B) -2 C) 0
D) -3 E) 1
39. Si: Sen(p + x) = n
1


M 2
Calcular: 1 .Ctg x
1 n
2  

 

-
-
=
A) 0 B) 1 C) -1
D) 2 E) 3
40. Simplificar:
° - + ° + - ° -
Sen(210 x) Tg(330 x) Ctg(300 x)
).Cos(240 x)
61
3
Sec(
E
p ° +
=
A) 1 B) 0 C) -1
D) 1/2 E) –1/2
41. Si:

p + 3
, Calcular el valor de:
4
Tg x
= 17






= p + x

19
34
R Ctg
A) 3/4 B) -4/3 C) 4/3
D) -3/4 E) –1/2
42. Calcule la suma de los valores de “n” en las
siguientes igualdades:

Tg 2 + + = 
x n 9n 4
85
4


p -

Ctg 2 + + = 
x 2n 3n 9
177
4


p +
A) 1 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
43. Siendo a Î IC y además
1 a
a
Ctg
- 2 a = , halle
el valor de:
p - a p + a 3
p - a
).Csc(2 )
3
2
Ctg( ).Sec(
)
2
).Tg(
2
Sen( ).Cos(
E
p - a p - a p - a
=
A) a-4 B) a-2 C) a
D) a2 E) a4
44. Reduzca la siguiente expresión:
-
Tg1994º Ctg824º
2Ctg76º Tg( 14º )
M
- -
=
A) 1/3 B) 2/5 C) 5/2
D) 2/3 E) 2