Resistencia de materiales tema 5

Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector

Resistencia de Materiales
Tema 5
Fuerza Cortante y Momento
Flexionante

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESIME AZCAPOTZALCO
Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
www.deasaingenieria.com.mx

Tema 5 – Carga Transversal y Momento Flector
Índice de contenido

Índice de contenido
• Sección 1 - Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento
Flector

• Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento
Flector

• Sección 3 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector

• Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal

• Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros
curvos

• Sección 6 - Vigas sometidas a Carga Axial excéntrica

• Sección 7 - Resumen de Ecuaciones
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Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector

Relación entre Carga, Fuerza Cortante
y Momento Flector
Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas de forma
perpendicular y/o paralela a sus ejes longitudinales se llaman vigas.

A menudo se pueden clasificar según el modo en que estén
soportadas.

Viga simplemente apoyada Viga en voladizo

Viga con voladizo
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Las vigas se presentan en gran variedad de estructuras
(armazones de edificios, chasis de automóviles, etc.). En muchos casos,
pueden hallarse gran variedad de cargas aplicadas sobre las mismas. Esto
hace que determinar la sección transversal crítica (aquella en la que se
producen los esfuerzos de mayor magnitud) no sea un procedimiento
sencillo, de un solo paso.

Se recurre entonces a los diagramas de fuerza cortante y momento
flector. Estos diagramas son representaciones gráficas que muestran cómo
se distribuyen dichas cargas sobre la viga, revelando dónde se encuentra la
sección transversal crítica.

En la mayoría de las vigas, los esfuerzos provocados por
momentos flectores son más relevantes que aquellos producidos por fuerza
cortante. Debido a esto, suele ocurrir que la sección crítica sea aquella en la
cual esté aplicado el momento flector de mayor magnitud. Sin embargo, por
seguridad, debe hacerse también una evaluación de esfuerzos en la sección
donde ocurra la mayor fuerza cortante.
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Convención de signos
Se considerarán con signo positivo:

Las cargas variables y/o fuerzas cortantes que generen rotación
horaria del segmento de viga.

Los momentos flectores que generen compresión en la parte
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superior de la sección transversal de la viga.
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Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector
Consideremos una viga en sometida a una carga distribuida a lo
largo de la misma, como se muestra.

El término ‘q(x)·Δx’ representa la fuerza resultante y ‘K·Δx’ es
distancia a la que actúa la fuerza cortante desde el extremo derecho; se
cumple que ‘0 < k < 1’
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Al aplicar la primera condición de la estática, obtenemos:


Fv  V  q( x) 
 x  (V   V )  0
Al despejar el término referido a la variación de fuerza cortante,
tenemos:
 V  q ( x) 
x

Finalmente, al despejar ‘q(x)’ y aplicar el límite cuando ‘Δx→0’ nos
queda:

 V dV
Lim  x  dx   q( x)
x
0

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Análogamente, al aplicar la segunda condición de la estática,
obtenemos:

Mo   M  V 
 x  q ( x) 
k
 x 2  (M   M )  0
Despejando el término referido a la variación del momento flector,
tenemos:
 M   V
 x  q ( x) 
k
 x2

Luego, al despejar V, tomando la aproximación ‘Δx2≈0’ y aplicando
el límite cuando ‘Δx→0’ nos queda:

 M dM
Lim  x  dx  V
x
0

Podemos observar entonces que el diagrama de fuerza cortante
nos indica cómo se comportan las rectas tangentes a la curva que describe
la variación del momento flector sobre la viga.
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Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector

Ecuaciones Generales de Fuerza
Cortante y Momento Flector
En muchos casos puede resultar de interés disponer de
expresiones analíticas que describan cómo varían la fuerza cortante y el
momento flector.

Para ello, utilizaremos la función de Macaulay, que se define de la
siguiente forma:

0 si ‘x < a’
f ( x)  x a
n

( x – a )n si ‘x > a’

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0 si ‘x < a’

f ( x)  x a
n

( x – a )n si ‘x > a’

Respecto a esta función, podemos acotar lo siguiente:

• La expresión encerrada en los corchetes agudos es nula hasta que
“x” alcanza el valor de “a”.

• Para ‘x > a’, la expresión se convierte en un binomio ordinario.

• Cuando ‘n = 0’ y ‘x > a’, la función es igual a la unidad.

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Para determinar las ecuaciones generales de fuerza cortante y
momento flector de una viga cargada, se recomienda seguir los siguientes
pasos:

1. Hacer un corte imaginario en un extremo de la viga, a la izquierda o a la
derecha, según convenga.

2. Determinar las reacciones en apoyos ó empotramientos.

3. Describir cada carga, utilizando para ello una función de Macaulay.

4. El plano de corte imaginario debe coincidir con el final de las cargas
distribuidas; de no ser así, las mismas deberán proyectarse hasta dicho
corte. Se recomienda entonces agregar y quitar tantas cargas como sea
necesario.
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A continuación presentamos algunos ejemplos de cargas
expresadas utilizando funciones de Macaulay:

V ( x)  0

M ( x)  M 
x a
0

V ( x)  P 
x a
0

M ( x)  P 
x a
1

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Como se mencionó anteriormente, al presentarse cargas variables
debe procurarse que éstas terminen en el corte imaginario realizado en un
extremo de la viga; se procedería entonces como sigue para una carga
uniformemente distribuida:

V ( x)  W 
x a  W 
x b
1 1

1 1
M ( x)  W  x a  W  
x b
2 2

2 2

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Con una carga que varía linealmente, se tendría:

K 1 K 1
V ( x)   b

x a   
x b  K
2 2 1
x
b a 2 b a 2
K 1 1 K 1 1 1
M ( x)     x b
x a     x b  K
3 3 2

b a 2 3 b a 2 3 2
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Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector

Esfuerzo Normal debido a
Momento Flector
Utilizando un material muy deformable como el hule, se puede
identificar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto se
somete a flexión. La líneas longitudinales se curvan y las líneas trasversales
perpendiculares al momento permanecen rectas, pero sufren una rotación.

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Definiremos ahora dos parámetros que nos serán de utilidad
próximamente.

Llamaremos eje neutro a aquel contenido en el plano de sección
transversal, respecto al cual gira la sección. El eje neutro es paralelo al
vector momento flector aplicado.

Designaremos superficie neutra a la superficie longitudinal
conformada por el eje neutro y todas la líneas longitudinales de la viga que
lo intercepten.

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En resumen, se asumen las siguientes condiciones:

• La viga es recta.

• La sección transversal de la viga es uniforme.

• Todas las cargas actúan de forma perpendicular al eje de la viga.

• La viga apenas se tuerce al aplicar las cargas.

• El material del que esté hecha la viga es homogéneo y su modelo de
elasticidad es igual a tensión y compresión.

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En la figura mostrada puede notarse cómo se vería afectada una
porción de una viga y un elemento diferencial de la misma al aplicarse el
momento flector.

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Podemos plantear una expresión para la deformación unitaria en el
elemento:
 s '  s
 Lim
 s  s
0

Donde: Δs = Δx = ρ·Δθ
Δs’ = (ρ + y)·Δθ

Entonces, replanteamos la deformación de la siguiente forma:

(   y)   
 
 Lim
 0
  

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Finalmente:


y
 Lim
 0  
 

y


Nótese que la deformación normal varía linealmente. En el eje
neutro, desde el cual se miden las distancias “y”, no ocurrirá deformación. Y
las deformaciones que ocurran por encima el eje neutro serán de signo
contrario a las que ocurren por debajo del mismo.

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Recordando la Ley de Hooke,

  E


podemos plantear una primera expresión del esfuerzo, en función
de la variable “y”:
y
  E


donde “E” y “ρ” son constantes.

Ahora, aplicando la primera condición de la estática sobre la
sección transversal, tenemos:


dF  
 
dA  0

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Sustituimos la expresión de “σ” obtenida anteriormente y nos queda

E

 
dA 
 

y
dA  0

Dado que ningún “dA” es igual a cero, tenemos que la única
solución posible para esta ecuación es que se cumpla lo siguiente:


y
dA  0

Esto nos indica que el eje neutro, desde el cual se miden todas las
distancias “y”, debe coincidir con el centroide de la sección transversal de la
viga.

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Ahora, aplicaremos la segunda condición de la estática sobre la
sección. Nos queda:

M M 
 
y
dA  0

De forma similar a la anterior, sustituimos la expresión de σ
obtenida mas atrás y obtenemos:
E
M 
 
y
dA  M 
 

y2 
dA  0

Donde el término que encierra la integral corresponde al momento
de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Designando con
la letra “I” a esta propiedad de área, podemos rescribir la expresión de la
siguiente forma:
E
M 
I 0

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Recordando una expresión obtenida en líneas anteriores:

y  E
  E  
 y 

Al sustituir esto en la ecuación que venimos trabajando, nos queda
finalmente:

M 
I 0
y

M y
 
I
Donde puede observarse que el esfuerzo normal varía linealmente
respecto a la dirección “y”.
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Regla de la mano derecha
Se utiliza para definir los signos de los esfuerzos normales
empleando momentos aplicados.

Al colocar la palma de la mano derecha sobre la sección
transversal, con el pulgar siguiendo el sentido del momento sobre el eje
neutro, la parte de la sección que quede bajo la palma de la mano será
aquella que esté sometida a compresión.

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Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal

Esfuerzo Cortante debido a
Carga Transversal
Cuando una viga se somete a cargas transversales, éstas no
solamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante
interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales se
deslicen una sobre las otras.

Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplemente
apoyada, conformada por tres tablones no unidos entre sí.

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Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse
cómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y
se aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento.

Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el
deslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida a
momento flector.

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Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nos
permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el
deslizamiento anteriormente descrito.

Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura.
Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial de
la misma.

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En la figura podemos observar con mayor detalle el elemento
diferencial dentro de la viga.

dH 2   2 
dA
Se cumple:
dH1   1 dA
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Si suponemos que ‘H2>H1’, podemos plantear la primera condición
de equilibrio en el elemento diferencial:


F  H  H  dF  0
1 2

dF  H1  H 2
Al sustituir “H1” y “H2”, nos queda:
c c
dF  
y1
dA  
  2  
dA
y2
1

M y
Recordando que:  
I

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Al introducir esto en la expresión anterior, obtenemos:
c c
M2 M1
t
b dx  

I y1
y
dA  

I y2
y
dA

Si consideramos que ‘M1 - M2 = dM’, al despejar “t” nos
queda:
c
dM 1
t 
dx I 

b y1
y
dA

dM
 V (Fuerza cortante)
dx
c

Luego: 
y
dA  Q
y1
(Primer Momento de Área)

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Tenemos finalmente nuestra expresión para el esfuerzo cortante en
la viga:
V
Q
t
I
b
Sin embargo, para que un elemento diferencial se halle en
equilibrio, debe existir otra fuerza horizontal, en sentido contrario, que actúe
en un plano paralelo.
Se tienen entonces
dos fuerzas que generan un
par en el elemento diferencial.
Para anularlo, debe aparecer
otro par de fuerzas de igual
magnitud y sentido contrario,
que actúan en planos
perpendiculares a los
anteriores, como se muestra.
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Podemos observar entonces que un esfuerzo cortante consta de
tres características:

-Actúa en un plano

-Actúa en una dirección, que debe ser tangente a dicho plano

-Posee una magnitud.

Todas estas características se señalan en la nomenclatura del
esfuerzo cortante, como sigue:

t K
ij

•i indica el plano de acción del esfuerzo cortante
•j indica la dirección del esfuerzo cortante
•K es la magnitud del esfuerzo
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Entonces, por ejemplo, un “txy” es un esfuerzo cortante que actúa
en el plano “x” en la dirección “y”. Observe que debe cumplirse:

t t
ij ji

También es importante
mencionar, que el producto de los
signos del plano de acción y de la
dirección del esfuerzo debe ser
siempre el mismo, sin importar cuál
de los “cuatro” esfuerzos estemos
tomando en cuenta. Este producto
de signos se le asignará al valor del
esfuerzo. En el caso mostrado, el
esfuerzo es negativo.

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Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversal
ocurre como se muestra en la figura.

Note que la distribución es hiperbólica.
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Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos

Esfuerzo Normal debido a
Momento Flector en miembros curvos
Para deducir una expresión que nos permita determinar los
esfuerzos normales generados por un momento flector aplicado sobre un
miembro curvo, asumiremos las siguientes condiciones:
• El material se comporta en el rango elástico.
• Las secciones transversales planas permanecen planas después de la
flexión.
• El módulo de elasticidad es el mismo para tracción y para compresión.
• Las secciones transversales tienen un eje de simetría centroidal en un
plano a lo largo de la viga.
• A diferencia del caso de vigas rectas, el eje neutro no coincide con el
eje centroidal longitudinal de la viga.
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Designaremos “r” a la distancia que existe entre el centro de
curvatura del elemento y el eje neutro de la sección transversal. A su vez,
“R” será la distancia entre dicho centro e curvatura y el eje centroidal de la
sección transversal. Notemos que ‘R > r’, y que ambos parámetros son
constantes para una sección transversal dada.
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Si aislamos un segmento diferencial de la viga, el esfuerzo tiende a
deformar el material en forma tal que cada sección transversal girará un
ángulo “d/2”.

Se puede notar que:

L0   
d

Lf   
d (   r ) 
 d 

Luego, por definición:
L f  L0

L0
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Al sustituir L0 y Lf queda:

 
d  
 d (   r ) 
 d 

 
d
Luego, hacemos:
d 
k
d
Al introducirlo en la expresión anterior, obtenemos:

  r
 k 

Podemos observar aquí que la deformación varía de forma
hiperbólica, no lineal.

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Como el material se comporta elásticamente, podemos aplicar la
ley de Hooke:
  r
  E
 E 
k


De forma similar al caso de viga recta, debe cumplirse la primera
condición de equilibrio:


F 
 
dA  0

Tenemos entonces que:

  r
 dA  
  E
k


dA
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Como los valores de E, K y r son constantes:


dA 

 
dA  E 
k 
dA  r 


 0

 

De aquí obtenemos que:

r

dA
dA


Esta es la expresión que nos permite determinar la distancia entre
el centro de curvatura de la viga y el eje neutro de la sección transversal del
elemento.
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Aplicaremos ahora la segunda condición de equilibrio:


M 
(  r) 
 
dA


  r

(  r)  dA  
  (  r) 
E
k


dA

(  r )2  dA 
k
E 
  r2  
dA  E 
 
k
 r 
dA  2  dA 
   
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(  r )2  dA 
k
E 
  r  
dA  E 
 
k
 r 
dA  2  dA 2

   

Definiremos ahora cada término resultante del binomio cuadrado:


 
dA  R 
A


dA  A

dAA



r

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Recordando además que:

  
 E
k
  r


  
M  R
 A 2
r r
A  A
  r

  
M  R
 A
A r
  r
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Despejando σ, nos queda:

M (  r)
 
 
A (R  r)

Luego, estableciendo:

e  R r
Podemos rescribir la expresión de la forma:

M(  r)
 
A  
e
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Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversal
ocurre como se muestra en la figura.

Nótese que:

M(  r)
Lim   
 
0 A  
e

M(  r)
Lim   0
 
 A  
e

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Sección 6 – Vigas sometidas a carga axial excéntrica

Vigas sometida a carga axial excéntrica
Cuando nos encontremos con el caso de una viga en la que se
halle aplicada una carga axial cuya recta de acción no pase por el eje
centroidal, se calcula el momento flector que produce la excentricidad de la
carga. Entonces, el esfuerzo normal resultante vendrá dado por la
superposición de los efectos producidos por la carga axial (aplicada en el
centroide de la sección transversal) y el momento generado.

(P 
 y) 
y P M y P
    
I A I A
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Sección 7 - Resumen de ecuaciones

Resumen de ecuaciones
Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:

 V dV
Lim  x  dx   q( x)
x
0

 M dM
Lim  x  dx  V
x
0

V: Fuerza Cortante en una sección transversal
M: Momento Flector en una sección transversal
x: Distancia desde un extremo de la viga

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Esfuerzo normal debido a momento flector:

M y
 
I
: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal
M: Momento flector sobre la sección transversal
y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección
transversal
I: Momento de inercia de la sección transversal

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Esfuerzo cortante debido a carga transversal:

V
Q
t
I
ij
b

t: Esfuerzo cortante en un punto de la sección transversal
V: Carga transversal sobre la sección
Q: Momento de área (respecto al punto de interés)
I: Momento de inercia de la sección transversal
b: Espesor de la sección transversal (respecto al punto de interés)

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Esfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos:

M(  r)
 
A  
e
: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal
M: Momento flector sobre la sección
: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el
punto de interés
A: Área de sección transversal
e: Distancia entre el eje neutro y el centroide de la sección transversal
r: Distancia medida desde el centro de curvatura hasta el eje neutro de la
sección transversal

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Parámetro “r” para el cálculo del esfuerzo normal debido a
momento flector en miembros curvos:

r

dA
dA



r: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el eje
neutro de la sección transversal
A: Área de la sección transversal
: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el punto
de interés de la sección transversal.
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