Análisis estructural de segundo orden efecto p-d

1. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 1
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE SEGUNDO ORDEN (EFECTOS P – Δ)
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
1. INTRODUCCIÓN
Es bien sabido que en el análisis de sistemas estructurales sujetos a carga lateral,
el movimiento de la masa que participa en la respuesta estructural hacia su posición
deformada genera momentos adicionales en los elementos estructurales, normalmente
conocidos como momentos de segundo orden. En ingeniería estructural, a este
comportamiento se le conoce comúnmente como efecto P – Δ ya que los momentos
adicionales en la estructura pueden calcularse como la suma del producto de los pesos
de cada piso (P) por sus respectivos desplazamientos laterales (Δ).
Se han propuesto diversos métodos para realizar análisis de segundo orden. Los
procedimientos más antiguos proponen métodos iterativos para estimar los efectos P –
Δ, considerando al problema como uno asociado a deformaciones no lineales de los
elementos (o de no linealidad geométrica), y generalmente están restringidos y se
emplean en análisis estáticos.
Con el avance de la tecnología de los sistemas de cómputo, ha sido posible
incorporar planteamientos rigurosos que se basan en técnicas matriciales que permiten
incorporar directamente las deformaciones no lineales en formulaciones de rigidez y de
flexibilidad de cada elemento, lo que permite considerar los efectos P – Δ tanto en
análisis estáticos como en análisis dinámicos de manera rigurosa, que en muchos
casos pudiera considerarse como exacta.
Los procedimientos directos para análisis de segundo orden se basan en satisfacer
las ecuaciones de equilibrio para la estructura deformada, linealizando en la mayor
parte de los casos el efecto P – Δ.

2. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 2
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
2. NOTACIÓN
{ }
{ }
{ }
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
{ }
[ ]
[ ]
{ }
{ }
{ }
{ }

3. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 3
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
3. MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Como se comentó anteriormente, el efecto P – Δ está asociado a los momentos
adicionales en los elementos estructurales asociados al movimiento de la masa que
participa en la respuesta estructural hacia su posición deformada asociada a la carga
lateral. De hecho, estos momentos están asociados a lo que en el análisis avanzado de
estructuras se define como no linealidad geométrica, la que se presenta cuando la
deformaciones son de una magnitud tal que provocan cambios notables en la geometría
de la estructura, por lo que en este caso las ecuaciones de equilibrio se deben formular
en la configuración deformada de la estructura. Esto significa que la relación lineal que
existe entre las cargas externamente aplicadas, {F}, y los desplazamientos asociados a
ellas, {u}, en rigor, no pueden seguirse utilizando.
Para tomar en cuenta los efectos del cambio en la geometría en la estructura a
medida que las cargas aplicadas se incrementan, se pueden obtener soluciones para
calcular los desplazamientos asociados {u} aproximando el problema no lineal por
medio de una secuencia de segmentos lineales, donde cada segmento representa un
incremento de carga. Sin embargo, al ser el problema no lineal, las ecuaciones de
continuidad (desplazamientos – deformaciones) contienen términos no lineales que
deben incluirse en la conformación de la matriz rigidez [K]. La derivación de estas
relaciones es objeto de desarrollos extensos que pueden consultarse en otros trabajos
relacionados con la teoría no lineal de la elasticidad.
Los términos no lineales de las ecuaciones de continuidad modifican la matriz de
rigidez del elemento [k’], de manera que:
[ ] [ ] [ ]
donde [ ] es la matriz de rigidez elástica del elemento en coordenadas locales
asociada a su configuración original y [ ] es la denominada matriz de rigidez
geométrica, que no depende exclusivamente de la geometría, sino también de las
fuerzas internas iniciales. Las matrices de rigidez elástica y geométrica se calculan para
cada elemento y se ensamblan, de manera que la matriz de rigidez global de la
estructura se calcula como:
[ ] [ ] [ ]

4. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 4
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
Dependiendo del tipo de problema, este procedimiento puede ser o no iterativo. Por
ejemplo, si se desea obtener la solución para una carga estáticamente aplicada
considerando que la estructura está compuesta por un materiales elástico, la solución
puede calcularse en un solo paso toda vez que se determinen las cargas internas
actuantes, lo que en estructuras razonablemente complejas es un proceso en dos
pasos; en el primero se realiza un análisis convencional para determinar las cargas
actuantes, y en el segundo se hace el análisis completo del sistema calculando la matriz
de rigidez geométrica a partir de las cargas definidas en el primer paso. Sin embargo, si
se involucran cargas dinámicas y/o el comportamiento no lineal del material, se requiere
de un proceso iterativo para llegar a obtener una solución satisfactoria.
4. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar las fuerzas axiales en los elementos (P) de un análisis lineal elástico.
2) Determinar la matriz rigidez elástica de los elementos en coordenadas locales.
[ ]
[ ]
3) Determinar la matriz rigidez geométrica de los elementos en coordenadas locales.
[ ]
[ ]

5. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 5
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
4) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas locales.
[ ] [ ] [ ]
5) Determinar la matriz de transformación.
[ ]
[ ]
6) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[ ] [ ] [ ][ ]
7) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ]{ }
8) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ] { }
9) Determinar los desplazamientos desconocidos de la estructura. Si { } { } luego:
{ } [ ] { }
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si { } { } luego:
{ } [ ]{ }
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{ } [ ][ ]{ }

6. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 6
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
5. EJEMPLO DE APLICACIÓN
1. PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E (Tn/cm2
) I (cm4
) A (cm2
) L (cm) Ø (°) P(Tn)
1 2000 25000 150 450 90 -93.58
2 2000 25000 150 450 90 -106.42
3 2000 25000 150 450 90 -46.97
4 2000 25000 150 450 90 -53.03
5 2000 12500 100 800 0 -0.03
6 2000 12500 100 800 0 -4.99
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE SEGUNDO ORDEN (EFECTOS P – Δ)
Método de de la matriz Geométrica
8m
13
2
4
5
6
3 4
4.5m 1 2
5
13
14
15
1
16
17
18
2
7910 Tn
8
10
11
12
5 6
4.5m 3 4
6
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn

7. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 7
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
2. MATRIZ RIGIDEZ ELÁSTICA DE LOS ELEMENTOS
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.58 1481.48 0.00 -6.58 1481.48
0.00 1481.48 444444.4 0.00 -1481.48 222222.2
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.58 -1481.48 0.00 6.58 -1481.48
0.00 1481.48 222222.2 0.00 -1481.48 444444.4
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.58 1481.48 0.00 -6.58 1481.48
0.00 1481.48 444444.4 0.00 -1481.48 222222.2
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.58 -1481.48 0.00 6.58 -1481.48
0.00 1481.48 222222.2 0.00 -1481.48 444444.4
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.58 1481.48 0.00 -6.58 1481.48
0.00 1481.48 444444.4 0.00 -1481.48 222222.2
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.58 -1481.48 0.00 6.58 -1481.48
0.00 1481.48 222222.2 0.00 -1481.48 444444.4
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.58 1481.48 0.00 -6.58 1481.48
0.00 1481.48 444444.4 0.00 -1481.48 222222.2
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.58 -1481.48 0.00 6.58 -1481.48
0.00 1481.48 222222.2 0.00 -1481.48 444444.4
250.00 0.00 0.00 -250.00 0.00 0.00
0.00 0.59 234.38 0.00 -0.59 234.38
0.00 234.38 125000.0 0.00 -234.38 62500.00
-250.00 0.00 0.00 250.00 0.00 0.00
0.00 -0.59 -234.38 0.00 0.59 -234.38
0.00 234.38 62500.00 0.00 -234.38 125000.0
250.00 0.00 0.00 -250.00 0.00 0.00
0.00 0.59 234.38 0.00 -0.59 234.38
0.00 234.38 125000.0 0.00 -234.38 62500.00
-250.00 0.00 0.00 250.00 0.00 0.00
0.00 -0.59 -234.38 0.00 0.59 -234.38
0.00 234.38 62500.00 0.00 -234.38 125000.0
ke1 =
ke2 =
ke3 =
ke4 =
ke5 =
ke6 =

8. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 8
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
3. MATRIZ RIGIDEZ GEOMÉTRICA DE LOS ELEMENTOS
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -0.25 -9.36 0.00 0.25 -9.36
0.00 -9.36 -5614.80 0.00 9.36 1403.70
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.25 9.36 0.00 -0.25 9.36
0.00 -9.36 1403.70 0.00 9.36 -5614.80
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -0.28 -10.64 0.00 0.28 -10.64
0.00 -10.64 -6385.20 0.00 10.64 1596.30
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.28 10.64 0.00 -0.28 10.64
0.00 -10.64 1596.30 0.00 10.64 -6385.20
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -0.13 -4.70 0.00 0.13 -4.70
0.00 -4.70 -2818.40 0.00 4.70 704.60
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.13 4.70 0.00 -0.13 4.70
0.00 -4.70 704.60 0.00 4.70 -2818.40
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -0.14 -5.30 0.00 0.14 -5.30
0.00 -5.30 -3181.60 0.00 5.30 795.40
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.14 5.30 0.00 -0.14 5.30
0.00 -5.30 795.40 0.00 5.30 -3181.60
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 -3.02 0.00 0.00 0.76
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.76 0.00 0.00 -3.02
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -0.01 -0.50 0.00 0.01 -0.50
0.00 -0.50 -531.81 0.00 0.50 132.95
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.01 0.50 0.00 -0.01 0.50
0.00 -0.50 132.95 0.00 0.50 -531.81
kg1 =
kg2 =
kg3 =
kg4 =
kg5 =
kg6 =

9. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 9
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
4. MATRIZ RIGIDEZ LOCAL DE LOS ELEMENTOS
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.33 1472.12 0.00 -6.33 1472.12
0.00 1472.12 438829.6 0.00 -1472.12 223625.9
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.33 -1472.12 0.00 6.33 -1472.12
0.00 1472.12 223625.9 0.00 -1472.12 438829.6
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.30 1470.84 0.00 -6.30 1470.84
0.00 1470.84 438059.2 0.00 -1470.84 223818.5
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.30 -1470.84 0.00 6.30 -1470.84
0.00 1470.84 223818.5 0.00 -1470.84 438059.2
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.46 1476.78 0.00 -6.46 1476.78
0.00 1476.78 441626.0 0.00 -1476.78 222926.8
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.46 -1476.78 0.00 6.46 -1476.78
0.00 1476.78 222926.8 0.00 -1476.78 441626.0
666.67 0.00 0.00 -666.67 0.00 0.00
0.00 6.44 1476.18 0.00 -6.44 1476.18
0.00 1476.18 441262.8 0.00 -1476.18 223017.6
-666.67 0.00 0.00 666.67 0.00 0.00
0.00 -6.44 -1476.18 0.00 6.44 -1476.18
0.00 1476.18 223017.6 0.00 -1476.18 441262.8
250.00 0.00 0.00 -250.00 0.00 0.00
0.00 0.59 234.37 0.00 -0.59 234.37
0.00 234.37 124997.0 0.00 -234.37 62500.76
-250.00 0.00 0.00 250.00 0.00 0.00
0.00 -0.59 -234.37 0.00 0.59 -234.37
0.00 234.37 62500.76 0.00 -234.37 124997.0
250.00 0.00 0.00 -250.00 0.00 0.00
0.00 0.58 233.88 0.00 -0.58 233.88
0.00 233.88 124468.2 0.00 -233.88 62633.0
-250.00 0.00 0.00 250.00 0.00 0.00
0.00 -0.58 -233.88 0.00 0.58 -233.88
0.00 233.88 62633.0 0.00 -233.88 124468.2
k1 =
k6 =
k2 =
k3 =
k4 =
k5 =

10. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 10
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
5. MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
T3 =
T1 =
T2 =
T5 =
T6 =
T4 =

11. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 11
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
6. MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL DE LOS ELEMENTOS
13 14 15 1 2 3
6.3 0.0 -1472.1 -6.3 0.0 -1472.1 13
0.0 666.7 0.0 0.0 -666.7 0.0 14
-1472.1 0.0 438829.6 1472.1 0.0 223625.9 15
-6.3 0.0 1472.1 6.3 0.0 1472.1 1
0.0 -666.7 0.0 0.0 666.7 0.0 2
-1472.1 0.0 223625.9 1472.1 0.0 438829.6 3
16 17 18 4 5 6
6.3 0.0 -1470.8 -6.3 0.0 -1470.8 16
0.0 666.7 0.0 0.0 -666.7 0.0 17
-1470.8 0.0 438059.2 1470.8 0.0 223818.5 18
-6.3 0.0 1470.8 6.3 0.0 1470.8 4
0.0 -666.7 0.0 0.0 666.7 0.0 5
-1470.8 0.0 223818.5 1470.8 0.0 438059.2 6
1 2 3 7 8 9
6.5 0.0 -1476.8 -6.5 0.0 -1476.8 1
0.0 666.7 0.0 0.0 -666.7 0.0 2
-1476.8 0.0 441626.0 1476.8 0.0 222926.8 3
-6.5 0.0 1476.8 6.5 0.0 1476.8 7
0.0 -666.7 0.0 0.0 666.7 0.0 8
-1476.8 0.0 222926.8 1476.8 0.0 441626.0 9
4 5 6 10 11 12
6.4 0.0 -1476.2 -6.4 0.0 -1476.2 4
0.0 666.7 0.0 0.0 -666.7 0.0 5
-1476.2 0.0 441262.8 1476.2 0.0 223017.6 6
-6.4 0.0 1476.2 6.4 0.0 1476.2 10
0.0 -666.7 0.0 0.0 666.7 0.0 11
-1476.2 0.0 223017.6 1476.2 0.0 441262.8 12
1 2 3 4 5 6
250.0 0.0 0.0 -250.0 0.0 0.0 1
0.0 0.6 234.4 0.0 -0.6 234.4 2
0.0 234.4 124997.0 0.0 -234.4 62500.8 3
-250.0 0.0 0.0 250.0 0.0 0.0 4
0.0 -0.6 -234.4 0.0 0.6 -234.4 5
0.0 234.4 62500.8 0.0 -234.4 124997.0 6
7 8 9 10 11 12
250.0 0.0 0.0 -250.0 0.0 0.0 7
0.0 0.6 233.9 0.0 -0.6 233.9 8
0.0 233.9 124468.2 0.0 -233.9 62633.0 9
-250.0 0.0 0.0 250.0 0.0 0.0 10
0.0 -0.6 -233.9 0.0 0.6 -233.9 11
0.0 233.9 62633.0 0.0 -233.9 124468.2 12
K4 =
K5 =
K6 =
K2 =
K1 =
K3 =

12. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 12
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
7. MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA

13. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 13
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
8. FUERZAS EN LOS NUDOS
0.00 1 Tn
-50.00 2 Tn
0.00 3 Tn-cm
0.00 4 Tn
-50.00 5 Tn
0.00 6 Tn-cm
10.00 7 Tn
-50.00 8 Tn
F = 0.00 9 Tn-cm
0.00 10 Tn
-50.00 11 Tn
0.00 12 Tn-cm
R13 13 Tn
R14 14 Tn
R15 15 Tn-cm
R16 16 Tn
R17 17 Tn
R18 18 Tn-cm
9. DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
2.6817 1 cm
-0.1393 2 cm
-0.0081 3 rad
2.6817 4 cm
-0.1607 5 cm
-0.0081 6 rad
6.9660 7 cm
-0.2093 8 cm
D = -0.0072 9 rad
6.9461 10 cm
-0.2407 11 cm
-0.0071 12 rad
0.0000 13 cm
0.0000 14 cm
0.0000 15 rad
0.0000 16 cm
0.0000 17 cm
0.0000 18 rad
10. REACCIONES EN LOS APOYOS
-5.03 13 Tn
92.87 14 Tn
2131.15 15 Tn-cm
R = -4.97 16 Tn
107.13 17 Tn
2129.65 18 Tn-cm

14. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 14
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
11. FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.00000 92.87 13
0.00000 5.03 14
0.00000 2131.15 15
2.68173 -92.87 1
-0.13931 -5.03 2
-0.00812 382.90 3
0.00000 107.13 16
0.00000 4.97 17
0.00000 2129.65 18
2.68167 -107.13 4
-0.16069 -4.97 5
-0.00811 392.64 6
2.68173 46.66 1
-0.13931 5.04 2
-0.00812 1134.27 3
6.96595 -46.66 7
-0.20930 -5.04 8
-0.00720 1336.41 9
2.68167 53.34 4
-0.16069 4.96 5
-0.00811 1123.53 6
6.94612 -53.34 10
-0.24070 -4.96 11
-0.00715 1333.17 12
2.68173 0.01 1
-0.13931 -3.79 2
-0.00812 -1517.17 3
2.68167 -0.01 4
-0.16069 3.79 5
-0.00811 -1516.17 6
6.96595 4.96 7
-0.20930 -3.34 8
-0.00720 -1336.41 9
6.94612 -4.96 10
-0.24070 3.34 11
-0.00715 -1333.17 12
k4 x T4 x
S3 = k3 x T3 x =
S4 = =
S1 = =k1 x T1 x
S2 = k2 x T2 x =
S5 = k5 x T5 x =
S6 = k6 x T6 x =

15. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 15
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE
SEGUNDO ORDEN (P – Δ)
6. CONCLUSIONES
- El método de la matriz geométrica nos permite obtener los desplazamientos
adicionales en la estructura debido a los momentos de segundo orden generados
por la carga vertical.
7. BIBLIOGRAFÍA
- Arturo Tena Colunga. Análisis de estructuras con métodos matriciales.
- Jairo Uribe Escamilla. Análisis de estructuras.