2. MÉTODO SIMPLEX
• PASO 1. Lleve la función objetivo a maximización
• PASO 2. Transforme todas las restricciones a igualdades
• Restricción ≤: sume una variable de holgura
• Restricción ≥: reste una variable de sobrante y sume una variable artificial
para generar el vector unitario. Penalice (restar) la función objetivo con la
variable artificial, asignándole a ésta un coeficiente infinitamente grande. Por
ejemplo –MA1 . (M tiende al infinito)
• Restricción =: sume una variable artificial para generar el vector unitario y
penalice la función objetivo.
2
3. MÉTODO SIMPLEX
• PASO 3. Lleve toda todos los coeficientes al tablero simplex
• En el Cj ubique todos los coeficientes de las variables en la función objetivo.
• En el CB coloque los coeficientes de la función objetivo, pero sólo de las
variables básicas.
• Ubique en la base las variables básicas, que son aquellas que generan dentro
de las restricciones los vectores unitarios. (siempre serán las variables de
holgura y las variables artificiales)
• En el XB se asignan los valores del término independiente en cada una de las
restricciones (en el tablero inicial).
• Debajo de cada variable ubique el vector de cada una de ellas en las
restricciones (coeficientes de las variables en las restricciones).
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4. MÉTODO SIMPLEX
• PASO 4. Evalué si la solución actual es óptima. Para esto calcule los Zj
-Cj de la siguiente manera: CB son los coeficientes de las variables
básicas en la función objetivo; Cj son los coeficientes de la función
objetivo y KB es cada uno de los vectores de las variables a través de
las diferentes soluciones. Los vectores CB y KB van cambiando de
tablero en tablero a medida que se avanza hacia la solución óptima
del problema. Si todos los Zj -Cj son mayores o iguales que cero; la
solución se hace óptima. De lo contrario continúe con el paso 5.
4
6. MÉTODO SIMPLEX
• PASO 5. Seleccione la variable que entra a la base: entra a la base
aquella variable que tenga el Zj -Cj más negativo. En caso de haber
empate entre dos a más variables; el empate se rompe
arbitrariamente.
• PASO 6. Seleccione la variable que sale de la base: para seleccionar la
variable que abandonará la base aplique la siguiente regla:
teniendo en cuenta sólo aquellos valores de KB mayores que cero
(positivos). KB es el vector columna de la variable que entra a la base.
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7. MÉTODO SIMPLEX
• PASO 7. Selección del pivote: el pivote es aquella posición donde se
intercepta la columna de la variable que entra (KB) y la fila de la
variable que sale.
• PASO 8. Mediante operaciones matriciales entre filas convierta la
posición pivote en uno.
• PASO 9. Utilizando operaciones matriciales convierta las demás
posiciones del vector KB en ceros.
• PASO 10. Determine nuevamente el vector CB y regrese al paso 4.
Continúe con este ciclo hasta que se den las condiciones de
optimalidad que pide el cuarto paso.
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8. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
• Para ejemplificar esto se tomará el ejercicio 3.1.1 del capítulo
anterior cuya formulación y modelo matemático se transcribe a
continuación. La compañía Sigma produce bibliotecas y escritorios
para los cuales se ha establecido un precio de venta por unidad de
$9.000 y $10.000 respectivamente. Para la producción de dichos
artículos la compañía cuenta con una disponibilidad mensual de 700
metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de lija.
¿Qué cantidad de bibliotecas y escritorios se debe fabricar
mensualmente si se sabe que una biblioteca consume 7 metros de
madera, 10 metros de tubo y 6 pliegos de papel de lija; mientras que
para producir un escritorio se requieren 10 metros de madera, 8
metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija?
8
12. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
12
Zj -Cj para la variable X1
(0*7)+(0*10)+(0*6)-9 = -9 manteniendo fijo el CB
¿Qué indican los valores de Zj -Cj negativos?
13. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
13
Aplicando el paso 5, se toma el valor más negativo de este renglón
Esto indica que entra a la base la variable X2
Paso 6 se selecciona la variable que sale de la base
mínimo es 60, que corresponde a la tercera posición de las variables
básicas; por lo tanto sale de la base la variable H3
14. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
14
Paso 7, el pivote es el número que se encuentra en la
intersección de la columna de la variable X2 (variable que
entra a la base) y la fila de la variable H3 (variable que sale de
la base). En este caso es el número 15.
Esa posición se debe convertir en 1 (aplicación del paso 8); por
la tanto toda esta fila se multiplica por 1/15.
15. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
15
Para convertir las demás posiciones de la columna de X2 en cero
(aplicación del paso 9) se toma como base la fila que se le genero el
uno en el paso anterior. En este caso es la fila 6
16. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
16
Para convertir las demás posiciones de la columna de X2 en cero
(aplicación del paso 9) se toma como base la fila que se le genero el
uno en el paso anterior. En este caso es la fila 6
17. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
17
Para convertir en cero la posición de la fila 4 se
multiplica la fila 6 por -10 y se le suma la fila 1.
18. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
18
X2 ahora es unitario
Para calcular el valor de Z se multiplica el CB por XB
y se suman
En la tabla se encuentran en la base H1 , H2 y X2 y
por lo tanto el CB es 0, 0 y 10; que son los valores de
dichas variables en la función objetivo.
La solución presentada en la tabla no es óptima, pues
todavía hay valores negativos
19. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
19
Entra a la base X1 que es la variable que tiene el Zj -
Cj más negativo y sale de la base H1 que es la
variable que tiene el cociente menor
20. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
20
No todos los Zj -Cj de la tabla 4.4 son
mayores o iguales que cero; lo que indica
que no se ha llegado a la solución óptima.
Ahora, entra a la base H3 y sale la variable
de menor cociente que es H2 .
23. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN ÚNICA
23
X1 = 600/11. Se deben fabricar 600/11 (54.54)
bibliotecas. X2 = 350/11. Se deben fabricar 350/11
(31.81) escritorios. H3 = 1050/11. Del recurso 3, en
este caso pliegos de papel de lija, no se utilizan en la
producción 1050/11 (95.45) pliegos. Z = 8900/11. con
base en las cantidades de cada artículo a fabricar se
genera una utilidad de 8.900/11 ($809.0909).
24. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN MULTIPLE
24
La compañía Hierro Colado dispone semanalmente para la
fabricación de sus artículos de 350 metros de lámina y 360 metros
de ángulo. Además, se ha establecido que con esos recursos se
fabrican puertas y ventanas para los cuales se ha determinado que
rinden una contribución a las utilidades de 70 y 50 pesos por unidad
respectivamente. También, se sabe por medio de un estudio de
consumo de materiales que una puerta requieren 7 metros de lámina
y 4 metros de ángulo y que una ventana requieren 5 metros de
lámina y 9 metros de ángulo. ¿Qué cantidad de cada artículo se
debe fabricar si se sabe que el departamento de mercados
estableció que máximo se venderán 40 puertas
27. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN MULTIPLE
27
Se deben producir 40 puertas (X1 =40) y 14 ventanas (X2 =14)
para obtener una utilidad de $3.500.
El recurso 2 (metros de ángulo) no se utilizan 74 metros.
La variable H3 , es una variable no básica que toma valor Zj -Cj
igual a cero en la fila FZ3
Para establecer la solución del otro extremo o vértice, se entra
esta variable a la base y sale la correspondiente según la regla de
salida de la base.
29. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN MULTIPLE
29
la variable que indica la solución óptima múltiple es
la variable H2 (variable no básica), que toma valor
Zj -Cj igual a cero. Esta solución dice que se deben
fabricar 1.350/43 puertas y 1.120/43 ventanas; para
obtener una utilidad de $3.500 (misma obtenida en
la otra solución). Con estas cantidades a producir;
se está fabricando 370/43 puertas por debajo de la
producción máxima de 40 unidades.
30. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SLN NO ACOTADA
30
Una fábrica de artesanías se dedica a la producción de bolsos y
chaquetas los cuales comercializa directamente a los clientes en la
plaza España.
La venta de un bolso genera una utilidad de $2.000 y consume 5
horas de mano de obra; mientras que la venta de una chaqueta
genera una utilidad de $3.000 y consume 9 horas de mano de obra.
Por políticas de la compañía se requiere de no mantener en ocio a
sus trabajadores y por lo tanto se debe consumir en la producción un
mínimo de 450 horas de mano de obra por mes. ¿Qué cantidad
de bolsos y chaquetas se debe fabricar, si por estudio de mercados
se sabe que mínimo se venderán 20 chaquetas y como máximo 30
bolsos por mes?
34. PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN- SIN SOLUCIÓN
34
la compañía Epsilon produce baldosas y tabletas, las cuales generan
una contribución a las utilidades de $5.000 y $4.000 por metro
cuadrado respectivamente. Para la producción de dichos artículos se
cuenta con una disponibilidad de 200 metros cuadrados de arena y
240 metros cuadrados de cemento por semana. ¿Qué cantidad de
cada uno de los artículos se debe fabricar si se sabe que para
producir un metro cuadrado de baldosas se requieren 4 metros
cuadrados de arena y 3 metros cuadrados de cemento; mientras que
para producir un metro cuadrado de tableta se requieren 5 metros
cuadrados de arena y 8 metros cuadrados de cemento?. Suponga
además, que el cliente garantiza comprar como mínimo 50 metros
cuadrados de tableta.
37. PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN
37
• Se multiplicará la función objetivo por -1 (reglas de equivalencia), y
se procederá de la misma manera que en un problema de
maximización.
• Se puede solucionar un problema con función objetivo de
minimización, lo puede realizar; teniendo en cuenta que en el paso
5 descrito al principio del capítulo, seleccionará aquella variable
que tenga el Zj-Cj más positivo. La solución óptima se obtendrá
cuando todos los valores Zj-Cj sean menores o iguales a cero.
Todos los demás pasos son iguales.
38. PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN- SOLUCIÓN ÚNICA
38
Los Horses, una empresa dedicada al criadero de caballos de
paso, ha establecido que a cada uno de ellos se le debe suministrar
diariamente un mínimo de 200 miligramos de vitamina A, un mínimo
de 160 miligramos de vitamina B y un mínimo de 150 miligramos de
vitamina C. Los caballos son alimentados con matas de pasto y
mineral, las cuáles le cuestan a la compañía $300 por mata de pasto
y $500 por libra de mineral. ¿Qué cantidad de cada alimento se
le debe suministrar a cada caballo diariamente si se sabe que una
mata de pasto contiene 4 miligramos de vitamina A, 2 miligramos de
vitamina B y 5 miligramos de vitamina C; mientras que una libra de
mineral contiene miligramos de vitamina A, 8 miligramos de vitamina
B y 3 miligramos de vitamina C?
41. PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN- SLN MÚLTIPLE
41
Combustibles Dextra produce gasolina y Acpm a un costo de
2.000 y 4.000 pesos por galón respectivamente. Mediante un estudio
se ha establecido que para producir un galón de gasolina se requiere
de 4 horas hombre de trabajo, 6 horas máquina y 8 litros de petróleo;
mientras que para producir un galón de ACPM se requiere de 8 horas
hombre de trabajo, 5 horas máquina y 10 litros de petróleo. Además,
se sabe que para que no haya subutilización de los recursos se debe
consumir mínimo 320 horas hombre y mínimo 300 horas máquina al
mes. ¿Qué cantidad de cada combustible se debe fabricar? Si se
sabe hay una disponibilidad mensual de 800 litros de petróleo.
44. PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN- SLN NO ACOTADA
44
la compañía Siderurgia Ltda produce un tipo de aleación especial
compuesta por sílice y aluminio; los cuales compra a $3000 y $5000
por kilogramo respectivamente. Además, se sabe que la utilización de
un kilogramo de sílice consume 5 miligramos de material radioactivo y
2 litros de agua; mientras que la utilización de un kilogramo de
aluminio consume 4 miligramos de material radioactivo y da lugar a la
aparición de 3 litros de agua. Por política de la compañía se debe
consumir mínimo 20 miligramos de material radiactivo y se cuenta con
una disponibilidad de 6 litros de agua. ¿Qué cantidad de sílice
y aluminio se debe utilizar en la aleación si se sabe que se debe
utilizar como máximo 8 kilogramos de sílice y que el Gobierno Nacional
subsidia con $15.000 la utilización de cada kilogramo de aluminio?
47. PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN- SIN SOLUCIÓN
47
Una compañía fabricante de calzado “El Pie Feliz” ha establecido
que máximo venderá 30 pares de zapatos y como mínimo 40 pares de
tenis.
Para la producción de estos artículos se cuenta con una disponibilidad
mensual de 180 metros de cuero y se ha establecido que el costo de
producción de cada par de zapatos es de $5.000 y de cada par de
tenis es de $4.000.
50. PROBLEMA SOLUCIÓN DEGENERADA
50
• Hay restricciones de carácter redundante
• hay más de una restricción que genera la misma área factible
• la solución no varia si se elimina una de estas restricciones
51. PROBLEMA SOLUCIÓN DEGENERADA
51
La compañía Los Cristales, produce vidrios florentinos y martillados
para los cuales ha establecido un costo de $20.000 y $40.000 por unidad
respectivamente (una unidad equivale a un vidrio de 120 centímetros de ancho,
180 centímetros de largo y 5 milímetros de espesor). Para la fabricación de estos
productos se cuenta con una disponibilidad semanal de 240 horas hombre,
420 horas horno y 480 unidades de materia prima. Establezca qué cantidad de
cada tipo de vidrio se debe fabricar a fin de minimizar el costo de producción si
se sabe que para producir un vidrio florentino se requieren 8 horas hombre, 6
horas en el horno y 16 unidades de materia prima; mientras que para producir
un vidrio martillado se requieren 3 horas hombre, 7 horas de proceso en el horno
y 6 unidades de materia prima. Suponga, que el departamento de ventas ha
pronosticado que mínimo se venderán 40 vidrios entre los 2 tipos.
54. PROBLEMA RESTRICCIONES DE IGUALDAD
54
Cierta compañía transportadora dispone de 12 camionetas y 6 camiones para el
transporte de su producto. Actualmente la compañía debe entregar 80 toneladas
de su producto y se sabe que una camioneta tiene capacidad para transportar 8
toneladas, mientras que un camión puede transportar 10 toneladas; además, se
sabe que el costo que se genera por asignar una camioneta es de $3 por
kilómetro y por asignar un camión es de $5 por kilómetro.
¿Qué cantidad de cada tipo de vehículo se debe asignar, si se sabe que la
distancia a recorrer es de 100 kilómetros y que por cada camión dejado en
reserva, se debe dejar mínimo una camioneta en reserva?
