Exercícios resolvidos utilizando logaritmos como alternativa para a regra da cadeia para derivada de funções.

1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Derivação Logarítmica
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 08/07/2015 - Atualizado em 31/10/2018
O que é?
A derivação logarítmica é uma técnica usada para facilitar a derivada de funções
mais complexas.
O que preciso saber?
Basicamente as propriedades operatórias dos logaritmos.
p1: ln(A · B) = ln(A) + ln(B);
p2: ln
A
B
= ln(A) − ln(B);
p3: ln(A)b
= b·ln(A).
oBS.: Apesar da derivação logarítmica ser uma boa ferramenta prática, normal-
mente ela pode ser dispensada.
Exemplo 1: Encontre a derivada de y = (2 + 1)5(4 − 3)6.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(y) = ln((2 + 1)5(4 − 3)6)
usando p1
ln(y) = ln(2 + 1)5 + ln(4 − 3)6
usando p3
ln(y) = 5 · ln(2 + 1) + 6 · ln(4 − 3)
1

2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
derivando a equação anterior
1
y
dy
d
=
10
2 + 1
+
243
4 − 3
⇒
dy
d
=
10
2 + 1
+
243
4 − 3
y
Como y = (2 + 1)5(4 − 3)6 então:
dy
d
=
10
2 + 1
+
243
4 − 3
((2 + 1)5
(4
− 3)6
)
Exemplo 2: Encontre a derivada de y =
sen2()tg4()
(2 + 1)2
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n
sen2()tg4()
(2 + 1)2
usando p2
n(y) = n(sen2()tg4()) - n(2 + 1)2)
usando p1
n(y) = n(sen2()) + n(tg4()) − n(2 + 1)2)
usando p3
n(y) = 2 · n(sen()) + 4 · n(tg()) − 2 · n(2 + 1))
2

3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
derivando a equação anterior
1
y
dy
d
=
2cos()
sen()
+
4sec2()
tg()
−
4
2 + 1
⇒
dy
d
= 2
cos()
sen()
+
2sec2()
tg()
−
2
2 + 1
y
Como y =
sen2()tg4()
(2 + 1)2
então:
dy
d
= 2
cos()
sen()
+
2sec2()
tg()
−
2
2 + 1
sen2()tg4()
(2 + 1)2
Exemplo 3: Encontre a derivada de y = .
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n ()
usando p3
n(y) =  · n()
derivando a equação anterior
1
y
dy
d
= n() + 1
⇒
dy
d
= (n() + 1)y
Como y =  então:
dy
d
= 
n() + 
3

4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 4: Encontre a derivada de y = sen()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n(sen())
usando p3
n(y) = sen() · n()
Derivação a equação anterior implicitamente em relação a 
1
y
dy
d
= cos()n() +
sen()

dy
d
= cos()n() +
sen()

y
Como y = sen() então:
dy
d
= cos()n() +
sen()

sen()
Exemplo 5: Encontre a derivada de y = cos()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(y) = lncos()
usando p3
n(y) =  · n(cos())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
1
y
dy
d
= n(cos()) − tg()
4

5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
⇒
dy
d
= (n(cos()) − tg()) y
como y = cos() então:
dy
d
= (n(cos()) − tg()) cos()
Exemplo 6: Encontre a derivada de y = tg()1/
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n · tg()1/
usando p3
n(y) = (1/)n(tg())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
1
y
dy
d
= −
1
2
n(tg()) +
1

cossec2()
tg()
⇒
dy
d
= −
1
2
n(tg()) +
1

cossec2()
tg()
y
Como y = tg()1/ então:
dy
d
= −
1
2
n(tg()) +
1

cossec2()
tg()
tg()1/
5

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