Ecuaciones ,problemas resueltos

1. Jhrphwuðd gh Fxuydv
Mxqh Dploor
Pdufk </ 4<<<
4 Fxuydv hq ho hvsdflr
Ho prylplhqwr gh xq pöylo txh yldmd d wudyìv gho hvsdflr ylhqh ghwhuplqdgr
sru orv yhfwruhv srvlflöq h ' hE|/ yhorflgdg ' h
E| | dfhohudflöq @ ' h
E|1
D sduwlu gh hvwrv yhfwruhv hv srvleoh frqvwuxlu xq frqmxqwr gh wuhv yhfwruhv
xqlwdulrv | ruwrjrqdohv hqwuh vð/ oodpdgr Wulhgur gh Iuhqhw/ txh vh ghvsod}d
frq ho pöylo sursruflrqdqgr lqirupdflöq suhflvd vreuh od rulhqwdflöq gho
yhkðfxor | od jhrphwuðd gh od wud|hfwruld vhjxlgd1
Hq or txh vljxh vxsrqguhprv fxuydv vxdyhv gho hvsdflr wulglphqvlrqdo/ hv
ghflu fxuydv ghqlgdv sru ixqflrqhv yhfwruldohv
hE| ' %E| n +E| n 5E| !
@ | K/ hq od txh wrgdv odv frpsrqhqwhv vrq glihuhqfldeohv do phqrv grv
yhfhv1 Gluhprv txh xqd fxuyd vxdyh hv uhjxodu vl h
E| 9' f sdud wrgr | 5 d@c Ko1
Hvwr txlhuh ghflu txh od yhorflgdg qxqfd hv fhur | sru wdqwr ho pöylo qxqfd
vh ghwlhqh1 Hvwh wlsr gh fxuydv qr suhvhqwdq sxqwrv dqjxorvrv1
414 Orqjlwxg gh Dufr | Yhfwru Wdqjhqwh Xqlwdulr
41414 Sdudphwul}dflöq uhvshfwr gho dufr
Ho wlhpsr | hv ho sduäphwur qdwxudo sdud ghvfulelu ho prylplhqwr d or odujr
gh xqd fxuyd1 Od orqjlwxg gh dufr hv ho sduäphwur qdwxudo sdud ghvfulelu vx
irupd jhrpìwulfd1
Sdud xqd fxuyd uhjxodu h ' hE|/ @ | K/ od glvwdqfld r uhfruulgd
sru ho pöylo kdvwd xq lqvwdqwh | frlqflgh frq od orqjlwxg gho dufr gh fxuyd
4

2. fruuhvsrqglhqwh do lqwhuydor d@c |o/ hv ghflu
rE| '
] |
@
mmh
Emm _ '
] |
@
t
d%
Eo n d+
Eo n d5
Eo _
Vhjýq ho Whruhpd ixqgdphqwdo gho Fäofxor od ixqflöq r ' rE| hv glihuhqfldeoh
|
_r
_|
' mmh
E|mm
Od qrupd gho yhfwru yhorflgdg hv od ud}öq gh fdpelr gh od orqjlwxg gh dufr frq
uhvshfwr do wlhpsr1 Sru hvwd ud}öq mmh
E|mm vh oodpd udslgh} gho prylplhqwr
| vh od uhsuhvhqwd sru nn r vðpsohphqwh 1
Sdud xqd fxuyd uhjxodu vh wlhqh
_r
_|
: f
Hq frqvhfxhqfld/ r ' rE| hv fuhflhqwh | srvhh lqyhuvd | ' |Er wdpelìq
fuhflhqwh | glihuhqfldeoh1 Hihfwxdqgr ho fdpelr | ' |Er hq hE| uhvxowd
h ' hE|Er
Hvwh fdpelr vh oodpd sdudphwul}dflöq uhvshfwr gh od orqjlwxg gho dufr1
Hq jhqhudo od h{suhvlöq txh uhodflrqd | | r hv frpsolfdgd sru or txh od
sdudphwul}dflöq uhvshfwr gh r qr wlhqh yhqwdmdv suäfwlfdv1 Vx lqwhuìv hv
sulqflsdophqwh whöulfr do kdfhu odv ghqlflrqhv päv vlpsohv1
41415 Ho Yhfwru Wdqjhqwh Xqlwdulr
Vhd h ' hE|/ @ | K/ xqd fxuyd uhjxodu | h ' hE|Er vx uhsdudphwul}dflöq
uhvshfwr gh od orqjlwxg gh dufr1 Ghulydqgr uhvshfwr gh r uhvxowd
_h
_r
'
_h
_|
_|
_r
'
_h
_|

_r*_|
'
h
E|
nh
E|n
or txh pxhvwud txh ho yhfwru _h*_r hv xq yhfwru gh pögxor xqlgdg hq od
gluhfflöq gho yhfwru h
E| Sxhvwr txh ho yhfwru yhorflgdg ' h
E| hv xq
yhfwru wdqjhqwh d od fxuyd/ ho yhfwru _h*_r hv xq yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr1
5

3. Ghqlwlrq 4 Vhd h ' hE|/ @ | K/ xqd fxuyd uhjxodu1 Vh oodpd yhfwru
wdqjhqwh xqlwdulr do yhfwru
A '
_h
_r
'
h
E|
nh
E|n
'

Frpr txlhud txh nh
E|n : f/ ho yhfwru A dsxqwd hq od plvpd gluhfflöq
txh h
E|/ hvwr hv/ hq od gluhfflöq gh odv |*v fuhflhqwhv1
415 Fxuydwxud | Yhfwru Qrupdo Sulqflsdo
41514 Fxuydwxud gh Fxuydv hq ho Hvsdflr
Gdgd xqd fxuyd fxdotxlhud ho yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr A ' _h*_r lqglfd od
gluhfflöq gho prylplhqwr hq fdgd sxqwr1 Ho yhfwru _A*_r plgh od ud}öq
gh fdpelr gho yhfwru A frq uhvshfwr d r1 Frpr txlhud txh nAn shupdqhfh
frqvwdqwh d or odujr gh od fxuyd/ _A*_r plgh uhdophqwh ho fdpelr gh gluhfflöq
hq ho yhfwru A Vx qrupd n_A*_rn uhsuhvhqwd od whqghqfld gh od fxuyd d
fdpeldu gh gluhfflöq1 Hvwr uhvxowd hvshfldophqwh fodur sdud fxuydv sodqdv1
Hq hihfwr/ vxsrqjdprv txh od fxuyd hv sodqd | vhd ho äqjxor irupdgr
sru od wdqjhqwh hq xq sxqwr frq ho hmh gh deflvdv1 Hqwrqfhv ho yhfwru xqlwdulr
wdqjhqwh vh sxhgh hvfulelu frpr
A ' ULt n t?
Od ud}öq gh fdpelr gh A frq uhvshfwr gho dufr r hv
_A
_r
'
_A
_
_
_r
' d t? n ULt o
_
_r
| sru frqvljxlhqwh
_A
_r
'
_
_r
Hvwr vxjlhuh od vljxlhqwh ghqlflöq yäolgd wdpelìq sdud fxuydv hq ho hvsdflr1
Ghqlwlrq 5 Vhd h ' hE|/ @ | K/ xqd fxuyd uhjxodu hq ho hvsdflr1 Vh
oodpd fxuydwxud do qýphur
'
_A
_r
6

4. Vl ' f/ od fxuyd hv xqd oðqhd uhfwd1 Vl 9' f od fxuyd vh wxhufh |
oodpduhprv udglr gh fxuydwxud d
4 '

Sxhvwr txh/
_A
_r
'
_A
_|
_|
_r
'
_A
_|

_r*_|
'

_A
_|
uhvxowd
'

_A
_|
41515 Yhfwru Qrupdo Sulqflsdo
Vhd h ' hE|/ @ | K/ xqd fxuyd uhjxodu | A ho yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr1
Sxhvwr txh A hv gh orqjlwxg frqvwdqwh/ nAn ' c ho yhfwru _A*_r hv ruwrjrqdo
d A Vx qrupd hv sru ghqlflöq od fxuydwxud 1 Glylglhqgr _A*_r sru vx
qrupd uhvxowd xq yhfwru xqlwdulr shushqglfxodu d A
Ghqlwlrq 6 Vhd h ' hE|/ @ | K/ xqd fxuyd uhjxodu | A ho yhfwru
wdqjhqwh xqlwdulr hq xq sxqwr gh fxuydwxud 9' f1 Vh oodpd yhfwru qrupdo
sulqflsdo do yhfwru xqlwdulr
'

_A
_r
'
_A*_r
n_A*_rn
Ho yhfwru hv xq yhfwru shushqglfxodu d A | dsxqwd hq od gluhfflöq hq
txh od fxuyd vh wxhufh1
Sxhvwr txh/
_A
_r
'
_A
_|
_|
_r
| txh _|*_r : f vh wlhqh
_A
_r
'
_A
_|
_|
_r
'
_A
_|
_|
_r
Glylglhqgr uhvxowd od iöupxod
'
_A*_|
n_A*_|n
txh shuplwh ghwhuplqdu ho yhfwru vlq qhfhvlgdg gh uhsdudphwul}du uhvshfwr
gho dufr r
7

5. 41516 Frpsrqhqwhv Qrupdo | Wdqjhqfldo gh od Dfhohudflöq
Ho yhfwru dfhohudflöq hv od ghulydgd gho yhfwru yhorflgdg shur
' h
E| ' nh
E|n A ' A
sru frqvljxlhqwh
@ '
_
_|
'
_
_|
E A '
_
_|
A n
_A
_|
Frpr
_A
_|
'
_A
_r
_r
_|
'
vh wlhqh
@ '
_
_|
A n
Od h{suhvlöq dqwhulru pxhvwud txh yhfwru dfhohudflöq hvwä frqwhqlgr vlhpsuh
hq ho sodqr irupdgr sru A | lqghshqglhqwhphqwh gh föpr vh frpsruwh od
fxuyd1 Dvð srghprv hvfulelu
@ '@) An@
grqgh
@) '
_
_|
'
_ r
_|
hv od frpsrqhqwh wdqjhqfldo gh od dfhohudflöq |
@ ' '
_r
_|
od frpsrqhqwh qrupdo1
Gh od uhodflöq
n@n ' @) n @
vh ghgxfh
@ '
J
n@n @)
or txh shuplwh fdofxodu od frpsrqhqwh qrupdo vlq qhfhvlgdg gh fdofxodu od
fxuydwxud sulphur1
8

6. 41517 Iöupxod sdud ho Fäofxor gh od Fxuydwxud
Vh wudwd gh ghulydu xqd iöupxodv sdud fdofxodu od fxuydwxud vlq qhfhvlgdg gh
sdudphwul}du uhvshfwr gho dufr1
Whqlhqgr hq fxhqwd od ghvfrpsrvlflöq gho yhfwru dfhohudflöq vhjýq vxv
frpsrqhqwhv wdqjhqfldo | qrupdo uhvxowd
@ ' E@) An@
' @) An@
' @) A An@ A
' f n @
'

7. Sru wdqwr
n @n '

8. Ghvshmdqgr uhvxowd od Iöupxod sdud ho fäofxor gh od fxuydwxud
'
n @n

9. 416 Wruvlöq | Wulhgr gh Iuhqhw
41614 Yhfwru Elqrupdo | Wulhgur gh Iuhqhw
Hq fdgd sxqwr gh od fxuyd orv yhfwruhv A | irupdq xq sodqr1 Glfkr sodqr
vh frqrfh frq ho qrpeuh gh sodqr rvfxodgru1 Ho surgxfwr yhfwruldo A
vhuä xq yhfwru xqlwdulr shushqglfxodu d glfkr sodqr1
Ghqlwlrq 7 Vhd h ' hE|/ @ | K/ xqd fxuyd uhjxodu1 Vh oodpd yhfwru
elqrupdo do surgxfwr ' A 1
Orv yhfwruhv A/ | irupdq xq frqmxqwr gh wuhv yhfwruhv xqlwdulrv |
ruwrjrqdohv oodpdgr wulhgur gh Iuhqhw txh hq ho rughq lqglfdgr irupdq xq
vlvwhpd rulhqwdgr vhjýq od uhjod gh od pdqr ghuhfkd1 Ho sodqr irupdgr sru
orv yhfwruhv | vh oodpd sodqr qrupdo | ho irupdgr sru orv yhfwruhv A |
sodqr uhfwlfdqwh1
9

10. 41615 Wruvlöq
Xqd fxuyd hq ho hvsdflr vh wxhufh gh grv pdqhudv1 Sru xq odgr vh fxuyd
ghqwur gho sodqr rvfxodgru | sru rwud vh fxuyd kdfld dixhud gh glfkr sodqr1
Od sulphud irupd ylhqh ghvfulwd sru od fxuydwxud/ hv ghflu sru od ud}öq gh
fdpelr gh gluhfflöq gho yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr A Od vhjxqgd irupd gh
fxuyduvh ylhqh ghwhuplqdgd sru od ud}öq gh fdpelr gh gluhfflöq gho yhfwru
elqrupdo ' A / hv ghflu sru ho yhfwru _*_r
Sxhvwr txh hv gh orqjlwxg frqvwdqwh/ nn ' c ho yhfwru _*_r hv
ruwrjrqdo d 1 Sru rwud sduwh/ A 'f Glihuhqfldqgr dperv plhpeurv vh
rewlhqh
_
_r
A n
_A
_r
' f
Dkrud elhq/
_A
_r
' E ' 'f
sru or txh
_
_r
A 'f
| uhvxowd txh _*_r wdpelìq hv ruwrjrqdo d A
Do vhu _*_r ruwrjrqdo d A | srghprv frqfoxlu txh _*_r hv sdudohor
d | sru frqvljxlhqwh sursruflrqdo d chv ghflu
_
_r
'

11. Od frqvwdqwh gh sursruflrqdolgdg uhfleh ho qrpeuh gh wruvlöq1
Ghqlwlrq 8 Vhd h ' hE|/ @ | K/ xqd fxuyd uhjxodu | ' A ho
yhfwru elqrupdo1 Vh oodpd wruvlöq do qýphur

12. '
_
_r
Od wruvlöq plgh od ud}öq gh fdpelr d od fxdo ho sodqr rvfxodgru jlud
douhghgru gh A frqiruph qrv ghvsod}dprv d or odujr gh od wud|hfwruld1 Ho
vljqr phqrv vh hvfuleh sru wudglflöq shur qr gheh kdfhu shqvdu txh od wruvlöq
vhd qhjdwlyd1 Do frqwudulr txh od fxuydwxud txh qxqfd hv qhjdwlyd od wruvlöq
sxhgh vhu srvlwlyd/ qhjdwlyd r qxod1
Sxhvwr txh/
_
_r
'
_
_|
_|
_r
'

_
_|
:

13. srghprv hvfulelu

14. '

_
_|
or txh shuplwh srghu fdofxodu od wruvlöq vlq uhsdudphwul}du uhvshfwr gho dufr1
41616 Iöupxodv sdud ho Fäofxor gh od Wruvlöq
Hq hvwd vhfflöq wudwduhprv gh ghulydu xqd iöupxod sdud fdofxodu od wruvlöq
vlq qhfhvlgdg gh uhsdudphwul}du uhvshfwr gho dufr1
Sxhvwr txh ho yhfwru @ hvwä hqwhudphqwh frqwhqlgr hq ho sodqr rvfxodgru
ho yhfwru hv ruwrjrqdo do yhfwru dfhodudflöq1 Glihuhqfldqgr od uhodflöq
@ 'f uhvxowd
_@
_|
n
_
_|
@ 'f
Gh dtxð vh vljxh
_@
_|
'
_
_|
@
'
_
_r
_r
_|
@
'

15. @
'

16. @
Dkrud elhq/
@ ' 2
|
'
n @n

17. Sru frqvljxlhqwh
_@
_|
'

18. n @n
|

19. '
@
n @n
Whqlhqgr hq fxhqwd txh
'
@
n @n
;

20. uhvxowd od Iöupxod sdud ho fäofxor gh od wruvlöq

21. '
E @ @
n @n
E vl @ 9' f
41617 Iöupxodv gh Iuhqhw
Odv uhodflrqhv vljxlhqwhv h{suhvdq odv ud}rqhv gh fdpelr gh orv yhfwruhv A/
| frq uhvshfwr gho dufr r | vh frqrfhq frq ho qrpeuh gh Iöupxodv gh
Iuhqhw
_A
_r
'
_
_r
' A n

22. _
_r
'

23. Od sulphud | od whufhud odv khprv rewhqlgr frq dqwhulrulgdg1 Sdud ghprvwudu
od vhjxqgd glihuhqfldprv odv uhodflrqhv A 'f | 'f uhvxowdqgr
_
_r
A n
_A
_r
'
_
_r
An ' f
|
_
_r
n
_
_r
'
_
_r

24. ' f
gh grqgh vh vljxh
_
_r
A '
|
_
_r
'

25. Sru ýowlpr/ sxhvwr txh hv gh orqjlwxg frqvwdqwh/ nn ' c ho yhfwru _*_r
hv ruwrjrqdo d 1 Hq frqvhfxhqfld
_
_r
' An

26. 417 Hmhpsor
Vhd od kìolfh
hE| ' - ULt /| n - t? /| n K| !
grqgh -c K f | qr vlpxowdqhdphqwh qxorv
Yhfwru yhorflgdg
' h
E| ' /- t? /| n /- ULt /| n K !
Udslgh}
'
_r
_|
'
s
/ - n K
Yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr
A '

'

s
/ - n K
E/- t? /| n /- ULt /| n K !
Yhfwru dfhohudflöq
@ '
E| ' /- ULt /| /- t? /|
Frpsrqhqwh wdqjhqfldo
@) '
_ r
_|
' f
Frpsrqhqwh qrupdo
@ '
J
n@n @) ' /-
Fxuydwxud
'
@
'
/-
/ - n K
Yhfwru qrupdo
'

@
E@@) A
'

/-
E/- ULt /| /- t? /| f A
' ULt /| t? /|
43

27. Yhfwru elqrupdo
' A
'

s
/2-2 n K2
!
/- t? /| /- ULt /| K
ULt /| t? /| f
'

s
/2-2 n K2
EK t? /| K ULt /| n/- !
Wruvlöq

28. '

#
_
_|
$
'

s
/2-2 n K2
%
/K
s
/2-2 n K2
EULt /| nK t? /| E ULt /| t? /|
'
/K
/2-2 n K2
Od fxuydwxud | od wruvlöq sxhghq wdpelìq fdofxoduvh phgldqwh odv iöupxodv
dowhuqdwlydv ghulydgdv dqwhulruphqwh=
Fxuydwxud
'
n @n

29. '

E/2-2 n K2

30. *2
!
/- t? /| /- ULt /| K
/- ULt /| /- t? /| f
'

E/2-2 n K2

31. *2
/-K t? /| /-K ULt /| n/2
-2
!
'
/-
E/2-2 n K2

32. *2 nK t? /| K ULt /| n/- !n
'
/-
/2-2 n K2
Wruvlöq

33. '
E @ @
n @n2
44

34. '

5
@ @ @
@
@
@
'

/ -E/ - n K
/- t? /| /- ULt /| K
/- ULt /| /- t? /| f
/ - t? /| / - ULt /| f
'
/K
/ - n K
45