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1. ALGEBRA
LA REGLA DE LA COSA
DEMETRIO CCESA RAYME
PRODUCTOS NOTABLES
12345682
 12345672

2.  
 
2 2 2
2 2 2
a b a 2ab b
a b a 2ab b
   
   
    2 2
a b . a b a b   
   3 3 3
a b a b 3ab a b    
   3 3 3
a b a b 3ab a b    
     2 2 2 2
a b a b 2 a b    
   2 2
a b a b 4ab   
   2 2 3 3
a b . a ab b a b    
   2 2 3 3
a b . a ab b a b    
  2 2 22
a b c a b c 2ab 2ac 2bc       
      2 2 2 22 2
ax by ay bx a b . x y     
PRODUCTOS NOTABLES
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Si: a + b + c = 0
a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 = 3abc
bcacab2c2b2a  a = b = cimplica
Legendre
Lagrange
Argand
Sí
(a + b + c)3
=a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

3. A) B) C)
D) E)
Reducir:
Solución
422
))()(( bbababa 
422
))()(( bbababa 

422
))()(( bbababa 
  
)).(( 2222
baba 
4
b44
ba 
4
b
4
a
4
a
4
b
a4
2
a
2
b
Ejemplo
    2 2
a b . a b a b   

4. A) 12 B) 13 C) 9
D) 10 E) 8
Sí:
Solución
Reemplazando:
a + b = 12 ab = 5 2 2
P a b 10  Calcular:
 2 2 2
a b a b 2ab   
   2 2 2
2 2
2 2
12 a b 2 5
134 a b
P a b 10 134 10
P 144 12
  
 
    
 Por Tanto:
1.

5. A) 18 B) 16 C) 14
D) 12 E) 10
Sí:
Solución
2 21
x 4 ,Calcular :x x
x

  
 2 2 2
a b a b 2ab   
2
21
x 4
x
   
 
Elevando al cuadrado
2
2
1 1
x 2x. 16
x x
  
2
2
1
x 2 16
x
  
2
2
1
x
x
  14
2.

6. A) 17 B) 18 C) 19
D) 20 E) 21
Sí:
Solución
Calcular:
1
x 3
x
 
3
3
1
x
x

   3 3 3
a b a b 3ab a b    
   
3
3
3
3
1 1 1
x 3.x. . x 27
x xx
1
x 3. 1 . 3 27
x
 
    
 
  
1
x 3
x
 Elevando al cubo
3
3
1
x
x
  18
3.

7. A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
1
x 5
x
 Sí: Calcular:
2
2
1
x 7
x
 
Solución
Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x (5)
x
1 1
x 2x 25
x x
1
x 2 25
x
1
x 23
x
 
  
 
   
  
  23 7 16   4
2
2
1
x 7
x
 
Reemplazando:
*
4.

8. 2
a
b
b
a
2
a
b
b
a












Calcular:
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9












a
b
b
a
Solución
2
a
b
b
a
2
a
b
b
a













4. = 4
   2 2
a b a b 4ab   
Legendre:
5.

9. A) B) C)
D) E)
Simplificar:
Solución
5 2 10 5 2 10
E x x y x x y    
2
x
2
y 2xy
2
2x
2
2y
2 10 2 10
5E x x y . x x y
   
       
   
2
2 2 10
5E x x y
  
       
 2 2 105E x x y  
105
E y E 
2
yLuego :
6.

10. A) 96 B) 95 C) 97
D) 99 E) 98
Sí:
Solución
a + b = 5 ab = 2 Calcular:
 2 2 2
a b a b 2ab   
3 3
2 2
a b
R 21
a b
 
  
  
 
 
2 2 2 2
2 2
2 2
a b 5 a 2ab b 25
a b 25 2 2
a b 21
     
  
 
   33 3
a b 3ab a b a b
Binomio suma al cubo
    
 3 3
a b 5 
   3 3
a b 3. 2 . 5 125  
3 3
a b 95 
Reemplazando en
 
 
3 3
2 2
a b
95
R 21 21 95
21a b

    

7.

11. Calcular:
A) -3 B) 3 C) 2
D) -2 E) -1
Solución
Sí: 2
33
ab4
b5a7
M

2
a
b
b
a
2
a
b
b
a
Dando valores a=1 ; b=1
2
33
ab4
b5a7
M

 3
)1)(1(4
)1(5)1(7
2
33


M
8.

12. A) 1850 B) 1800 C) 1860
D) 1840 E) 1880
Sí:
Solución
a b c 30  
2 2 2
a b c 900  
2 2 2
S (a b) (b c) (a c)     
; Calcular:
2 2 2 2 2 2
S a 2ab b b 2bc c a 2ac c        
   2 2 2 2 2 2
S a b c 2ab 2bc 2ac a b c        
   2 2 2 2
S a b c a b c     
   2
S 30 900 
S  1800
9.

13. Solución
2 2
x y 2x 4y 5   Sí: x y 1 Calcular:
2 2
x y 2x 4y 5   
A) -1 B) 2 C) 1
D) -2 E) 0
04412 22
 yyxx
    021
22
 yx
1x 2y
x y 1  2
10.
Deduciendo:
Reemplazando:

14. A) 0 B) 1 C) 3
D) -1 E) x
Reducir:
Solución
       2 2
6
X 3 . X 3 . X 3X 9 . X 3X 9
E
X 729
     


       2 2
x 3 . x 3 . x 3x 9 . x 3x 9     
   3 3 3 3 6 6 6
x 3 . x 3 x 3 x 729     
6
6
x 729
E 1
x 729

 

Reemplazando en:
Agrupando:
Numerador:
11.

15. A) 1 B) -2 C) 2
D) -1 E) 3
Sí:
Solución
a + b + c = 0 Calcular:
a + b + c = 0
Reemplazando en:
2 2 2
a b c
E
ab ac bc
 

 
Dando valores:
a 2, b 1, c 3   
     
           
2 2 2
2 1 3
E
2 . 1 2 . 3 1 . 3
4 1 9
E 2
2 6 3
  

   
 
  
 
12.

16. Calcular:
A) -3 B) 3 C) 2
D) -2 E) -1
Solución
a + b + c = 0Sí:
3M
)cb)(ca)(ba(
cba
M
333



)cb)(ca)(ba(
cba
M
333



))()((
3
abc
abc
M


abc
abc
M


3
13.

17. Calcular:
A) 1/4 B) 1/2 C) 2
D) 1/8 E) 4
Solución
Sí: m + 2n + 3p = 0
222
222
m2n8p18
)p3m()p3n2()n2m(
A



222
222
m2n8p18
)p3m()p3n2()n2m(
A



222
222
2818
)2()()3(
mnp
nmp
A



222
222
2818
49
mnp
nmp
A



)49(2
49
222
222
mnp
mnp
A


 = 1/2
14.

18. Solución
Sí: Calcular:
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
4
xy
z
xz
y
yz
x

)xyz(z)xzy(y)yzx(x
)xyz(z)xzy(y)yzx(x
M



xyzzyx 4222

4
xy
z
xz
y
yz
x

)xyz(z)xzy(y)yzx(x
)xyz(z)xzy(y)yzx(x
M



7
7

xyz
xyz
M
15.

19. MISCELANEA

20. A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
Hallar :
Solución
Reemplazando
“ a + b “
4 4
a b 369............(1) 
 
22 2
a b 1681.....(2) 
   2 2 2 2
a b . a b 369.......(3)  
 
22 2 2 2 2
a b 41 a b 41.....( )     
 2 2 2 2
41 a b 369 a b 9...( )     
2
2a 50 a 5  
2 2
5 b 41 b 4   
a b  9
1.
Resolviendo
-

21. A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Sí:
Solución
Reemplazando
a b c 12  
2 2 2
a b c 100   ab ac bc Calcular:
 
   
2 2 2 2
2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
a b c a b c 2 ab ac bc
       
       
 2
12 100 2 ab ac bc   
ab ac bc   22
2.
Trasponiendo

22. Calcular:
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) -3
Solución
)cba2)(c2ba)(cb2a(
cba
A
333


a + b + c = 0Sí:
)cba2)(c2ba)(cb2a(
cba
A
333



)2)(2)(2(
3
cbacbacba
abc
A


))()((
3
cbaaccbabcba
abc
A


abc
abc
A
3
 = 3
3.

23. Calcular:
A) 3 B) -3 C) 6
D) -6 E) 4
Solución
Sí:















xy
z
xz
y
yz
x
xzyzxy
zyx
E
222222















xyz
z
xyz
y
xyz
x
xzyzxy
zyx
E
333222















xyz
xyz
xzyzxy
xzyzxy
E
3)(2
= - 6















xy
z
xz
y
yz
x
xzyzxy
zyx
E
22222235x 
52y 
23z 
x + y + z = 0
4.

24. Calcular:
A) -1 B) 2 C) 3
D) -2 E) -3
Solución
a + b + c = 0Sí:
3M
abc
abc
M
3

abc
)ca()cb()ba(
M
333


abc
)ca()cb()ba(
M
333


abc
bac
M
333
)()()( 

abc
bac
M
)( 333


5.

25. A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) 1/5 E) 1/6
Sí:
Solución
a + b + c = 0 Calcular:
3 3 3
a b c
E
9abc
 

1
1
2
     
     
3 3 3
1 1 2 1 1 8 1
E
2 1 . 1 . 2 18 3
    
  
 
b=1a=1 c=-2
a + b + c = 0
Reemplazando
6.

26. Calcular:
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
Solución
a + b + c = 0Sí: 222
222
cba
)cb()ca()ba(
M



222
222
cba
)cb()ca()ba(
M



222
222
)()()(
cba
abc
M



222
222
cba
abc
M



1M
7.

27. Solución
Sí:
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 1/2
2222
)wzyx()wzyx()wz(2)yx(2 
Hallar:
10
wz
yx
E 








2222
)wzyx()wzyx()wz(2)yx(2 
2222
)()()()( wzyxwzyxwzyxwzyx 
0)(2 2
 wzyx
wzyx 
1
10









yx
yx
EReemplazando
8.