Este documento describe las ecuaciones cuadráticas con una incógnita, incluyendo sus elementos, tipos (completa, incompleta), y métodos de resolución como factorización y la fórmula general. También explica el análisis de la discriminante para determinar el tipo de raíces. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

1. ECUACIONES CUADRATICAS CON
UNA INCÓGNITA
DEMETRIO CCESA RAYME

2. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
Ecuación de segundo grado o cuadrática es aquella en la que el mayor
grado de la única incógnita es DOS.
Toda ecuación que después de reducirse puede escribirse de la forma
ax + bx + c = 02
Consta de los siguientes elementos:
- Termino cuadrático ax2
- Término lineal bx
- Término independiente c
a  0

3. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación cuadrática con una incógnita,
puede ser:
Completa: ax2 + bx + c = 0
Incompleta: ax2 + bx = 0 falta el término independiente
ax2 + c = 0 falta el término lineal
Al resolver una ecuación de segundo grado, debemos considerar:
a) Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o soluciones.
b) Si el producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos,
ha de ser nulo

4. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS
Factorización: Un producto es el resultado de multiplicar dos o más
números. Los números que se multiplican se llaman factores o
divisores del producto.
Una ecuación cuadrática se puede expresar como el producto de
dos factores. Cada factor al igualarse a cero permite encontrar las
dos raíces.
Fórmula general: También se pueden resolver utilizando la fórmula
General para la resolución de ecuaciones de segundo grado
ó cuadráticas

5. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS
2 x2 – 8 = 0
Esta ecuación se resuelve despejando
la incógnita “x2”.
2x2 – 8 = 0
2x2 = 0- 8
-8 +8
+ 8
2x2 = 8
x2 = 82
2
2 2
x2 = 4
x2 = 4
x =  2
x1 = 2
x2=-2
Solución:
Ejemplo:
Forma: ax2 + c = 0

6. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS
2 x2 – 6x = 0
Esta ecuación se resuelve factorizando
Por “factor común”.
2x2 – 6x = 0
Forma: ax2 + bx = 0
Ejemplo:
El factor comun es “x”
x ( 2x – 6 ) = 0
El producto es “nulo” es decir es cero,
cualquiera de los dos factores puede
ser cero
x1 = 0
2x – 6 = 0
Igualamos cada factor a cero
2x = 0- 6
- 6 + 6
+ 6
x = 62
2 2
2
= 3 Solución:
x1 = 0
x2 = 3

7. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS
x2 – 3x - 28 = 0
Esta ecuación se resuelve factorizando
es un trinomio de la forma x2+bx+c
Forma: ax2 + bx + c = 0
Ejemplo:
x2 - 3x – 28 = 0
( )( ) = 0x x- +7 4
El producto es nulo, ya que
al multiplicarlos da cero
Cada factor se iguala a cero,
y se despejan las incógnitas
x – 7 = 0
x = 0- 7
- 7 + 7
+ 7
x1 = 7
x + 4 = 0
x = 0+ 4
+4 -4
- 4
x2 = -4
Solución

8. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS
6x2 + 7x - 3 = 0
Esta ecuación se resuelve factorizando
es un trinomio de la forma ax2+bx+c
Forma: ax2 + bx + c = 0
Ejemplo:
Se multiplica todo por 6, que es el coeficiente numérico de x2
6(6x2 + 7x - 3) = 0
36x2 + 7(6x) -18 = 0
(6x + 9 )(6x - 2) =0
(6x + 9 )(6x - 2) =0
6
(6x + 9 )(6x - 2) =0
(3)(2)
(2x + 3)(3x - 1) = 0
Igualamos a cero cada factor
y se despeja la “x”
2x+3=0
2x =-3
x = -3/2
x1=-3/2
3x – 1 = 0
3x = 1
x = 1/3
x2 = 1/3
Solución

9. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
SI UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON UNA
INCÓGNITA NO SE PUEDE FACTORIZAR
ENTONCES, SE UTILIZARÁ LA FÓRMULA
GENERAL
a
acbb
x
2
42



10. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
DISCRIMINANTE 
La discriminante  es la expresión que se encuentra bajo el radical en la
fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadraticas con una
incógnita
b2 - 4ac- b 
2a
x =
b2 - 4ac b2 - 4ac
b2 - 4ac
b2 - 4ac
b2 - 4ac
 = b2 - 4ac
La discriminante sirve para poder saber la clase o el tipo
de raíz o raíces que tiene la ecuación cuadrática, antes de
resolverlo; bajo los siguientes criterios:
Si >0 La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes
Si =0 la ecuación tiene una raíz real o dos reales iguales
Si <0 la ecuación tiene dos raíces imaginarias o complejas
ANALISIS DE LA DISCRIMINANTE 

11. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
RESUELVE LA ECUACIÓN: 12x2 + 17x – 5 = 0
Comparando con la forma de la
ecuación cuadratica, tenemos: a = 12
b = 17
c = -5
ax2 + bx + c = 0
ANALISIS DE LA
DISCRIMINANTE 
= b2 - 4ac
 = ( )2 – 4( )( )17 12 -5
= 289 + 240
= 529
ANALISIS:
=529 Es un numero mayor
Que cero, (>0), es decir es
positivo. Por lo tanto,
La ecuación va tener dos soluciones
Reales distintas.

12. ECUACION CUADRATICA CON UNA INCÓGNITA
RESUELVE LA ECUACIÓN: 12x2 + 17x – 5 = 0
b2 - 4ac- b 
2a
x =
Sustituimos en la formula general:
( )2 – 4( )( )- ( ) 
2( )
x =
17 17 12 -5
12
x =
-17 ± 529
24
=
-17 ± 23
24
Ya estamos listos
para determinar las dos
raíces de esta ecuación.
x1 =
-17 + 23
24
=
6
24
x1=
1
4
x2 =
-17 - 23
24
=
-40
24
x1=
-5
3

13. EJERCICIOS
Ecuaciones cuadráticas incompletas
4x2 – 12 = 0
3x2 – 15 = 0
2x2 – 32 = 0
12x2 – 12 = 0
9x2 – 81 = 0
5x2 – 4 = 0
5x2 – 125 = 0
3x2 + 2x = 0
8x2 + 6x = 0
10x2 + 25x = 0
4x2 – 16x = 0
7x2 – 28x = 0
15x2 + 18x = 0
9x2 + 12x = 0
ax2+c=0 ax2+bx=0

14. EJERCICIOS
x2 + 2x – 63 = 0
5x2 + 11x – 12 = 0
x2 + 8x – 48 = 0
6x2 + 7x – 3 = 0
x2 - 2x – 35 = 0
7x2 + 37x – 30 = 0
x1 = -9 x2 =7
x1 = 4/5 x2 =-3
x1 = 4 x2 =-12
x1 = 1/3 x2 =-3/2
x1 = 7 x2 =- 5
x1 = 5/7 x2 =- 6
x2 - 8x + 15 = 0 x1 = 5 x2 = 3
w2 + w – 56 = 0 x1 = 7 x2 = - 8
z2 + 5z – 50 = 0 x1 = 5 x2 =- 10
x2 + 10x + 24 = 0 x1 = -6 x2 =- 4
2x2 - 5x + 3 = 0 x1 = 1 x2 = 3
6x2 - x – 12 = 0 x1 = 3/2 x2 =- 4/3
3x2 - 16x – 12 = 0 x1 = -2/3 x2 = 6
3x2 - 5x – 12 = 0 x1 = 3 x2 =- 4/3
8x2 - 20x + 8 = 0 x1 = 4/2 x2 = 2/4
Ecuaciones cuadráticas completas
6x2 - 19x + 10 = 0 x1 = 5/2 x2 = 2/3
5x2 - 40x + 21 = 0 x1 = 7 x2 = 3/5
21x2 + 29x – 10 = 0 x1 = 2/7 x2 =- 5/3