1. MATEMATICAS
1º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
s=B+mv
Vectores en el plano CIENCIAS
MaTEX
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
−2v
Vectores
w
Directorio u
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo
v
−2u
c 2004 javier.gonzalez@unican.es Doc Doc
D.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4
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2. MATEMATICAS
1º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Vectores en el plano d
1.1. Vector fijo y libre B
s=B+mv
1.2. Operaciones con vectores CIENCIAS
1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base
o
2. Coordenada cartesianas MaTEX
2.1. Base can´nica
o
3. Producto escalar de vectores
Vectores
3.1. Vectores ortogonales
3.2. Producto escalar
3.3. M´dulo de un vector
o
´
3.4. Angulo de dos vectores
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 3 1º Bachillerato
r=A+lu
1. Vectores en el plano A
1.1. Vector fijo y libre d
B
Definici´n 1
o s=B+mv
−−
→ CIENCIAS
Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su
origen en el punto A y su extremo en el punto B.
MaTEX
M´dulo: Es la longitud del
o
Vectores
vector. Lo representamos por
−
−→ y1
|AB| −→ B
AB
Direcci´n: Es la direcci´n
o o
de la recta que lo contiene. y0 A
Si dos vectores son paralelos
tienen la misma direcci´n.
o
x0 x1
Sentido: Es el que va del
−→
origen al extremo. Lo rep- AB(x1 − x0 , y1 − y0 )
resentamos por la punta de
la flecha. Una direcci´n tiene
o
dos sentidos.
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4. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 4 1º Bachillerato
r=A+lu
Definici´n 2
o A
Vectores equipolentes son los vectores que tinen : mismo
d
m´dulo, direcci´n y sentido
o o
B
s=B+mv
CIENCIAS
Todos los vectores del gr´fico tienen la
a
misma direcci´n, sentido y magnitud,
o
B D
MaTEX
→
−
u →
−
u F
son todos ellos equipolentes. Tambi´n
e
decimos que son representantes del
Vectores
A C →
−
vector libre u. u
− −→
− −
→ −→
− →
−
u E
As´ los vectores AB,CD y EF son
ı,
equipolentes y representantes del mis-
mo vector libre u.
En el paralelogramo ABDC, son C u D
−
−→ −→ −
equipolentes los vectores AB y CD, y
representantes de u.
v v
Tambi´n son equipolentes los vectores
e
−→ −→ −
AC y BD, y representantes de v. A u B
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5. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 5 1º Bachillerato
r=A+lu
1.2. Operaciones con vectores A
Definici´n 3
o d
El producto de un n´mero α por un vector u es otro vector
u B
s=B+mv
libre representado por α · u CIENCIAS
El vector α · u mantiene la direcci´n pero
o
puede cambiar el sentido o la magnitud del
vector u. u
1
2u MaTEX
Si α > 0, α·u tiene el mismo sentido que 2u
Vectores
u , y si α < 0 tienen sentido contrario.
Si α > 1, el vector α · u se dilata o alarga
y si α < 1, el vector α · u se contrae o
acorta. −u
El caso que α = 0, el vector α · u corre-
sponde al vector nulo (0, 0)
En el gr´fico se muestran los vectores m´ltiplos de u, la mitad de u con
a u
1
α = , el doble de u con α = 2 y el opuesto de u con α = −1.
2
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6. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 6 1º Bachillerato
r=A+lu
Definici´n 4 La suma de los vectores libres u y v es otro vector libre
o A
u+v d
B
s=B+mv
que se obtiene gr´ficamente, tomando repre-
a CIENCIAS
sentantes de u y v con el mismo origen, y
trazando la diagonal del paralelogramo que de-
terminan. Tambi´n se llama la resultante.
e
v
u+v MaTEX
Vectores
u
Definici´n 5 La resta de los vectores libres u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) es otro vec-
o
tor libre definido por
u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 )
la interpretaci´n gr´fica de la resta se muestra
o a u
en el dibujo. El vector resta u−v es la diagonal
del paralelogramo construido con u y −v.
u−v
−v
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7. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 7 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar 3 · u + 2 v A
Soluci´n:
o d
3u
B
s=B+mv
CIENCIAS
u
v
w MaTEX
Vectores
2v
−
−→
Ejemplo 1.2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores AB = u y
o
−→
−
BC = v, los siguientes vectores:
−
−→ − → −→
−
a) BA b) AC c) DB
Soluci´n:
o
−
−→ −−→ A u B
a) BA = −AB = −u
−→ − −→ −→−
b) AC = AB + BC = u + v v
−→ −→ −→
− − −
c) DB = DC + CB = 2 u − v
D 2u C Doc Doc
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8. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 8 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.3. A
Considera el hex´gono regular de la figura. Expresar como combinaci´n lineal
a o
−
−→ −→ d
de los vectores AB = u y AC = v, los siguientes vectores: B
−→
− −→ −→
− s=B+mv
a) BC b) AO c) AD CIENCIAS
−→
− −→
− −→
d ) DO e) CD f ) AE
Soluci´n:
o
MaTEX
−→
− C B
a) BC = −u + v
Vectores
−→ −→−
b) AO = BC = −u + v u
−→
− −→
c) AD = 2 AO = −2 u + 2 v v
−→
− −→
−
d ) DO = − BC = u − v D A
−→ −
− → −→ −
O
e) CD = CA + AD = −v + (−2 u + 2 v)
−→
−
CD = −2 u + v
−→ −→ −→
− −
f ) AE = AD + DE = (−2 u + 2 v) − u
−→ E F
AE = −3 u + 2 v
Doc Doc
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9. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 9 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar −2 · u − 2 · v A
−→
−
Ejercicio 2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores BC = u y
o d
−→
−
CD = v, los siguientes vectores: B
s=B+mv
CIENCIAS
−→
− B u C
a) BD
−→
b) AC v
MaTEX
−
−→
c) AB
Vectores
A 2u D
Ejercicio 3. Siendo M, N, P los puntos medios de los lados, expresar como
−→
− −→
combinaci´n lineal de los vectores AM = u y AP = v, los siguientes vectores:
o
−→
− −
−→ C
a) M B b) AB
−→
− −→
−
c) BC d ) AN P
−→
− −→
− v
e) P M f ) MC
N
A
u
M
B Doc Doc
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10. MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
o 10 1º Bachillerato
r=A+lu
1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base
o A
En los ejercicios anteriores, b´sicamente hemos hecho dos cosas con los
a d
vectores. Multiplicarlos por un n´mero y sumarlos (restarlos). Esas dos op-
u B
s=B+mv
eraciones constituyen lo que se llama una combinaci´n lineal, bien de uno o
o CIENCIAS
m´s vectores.
a
Definici´n 6
o
Decimos que el vector v es combinaci´n lineal del vector u si
o
MaTEX
existe un escalar α con
v =α·u
Vectores
tambi´n decimos que u y v son dependientes o proporcionales.
e
Si u y v no son dependientes decimos que son independientes.
Definici´n 7
o
Decimos que el vector w es combinaci´n lineal de los vectores
o
u y v si existen escalares α y β con
w =α·u+β·v
Definici´n 8 (Base)
o
Decimos que los vectores u y v forman una base en el plano R2
si son linealmente independientes. Esto significa que cualquier
vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n lineal de u y v.
o
Doc Doc
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11. MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
o 11 1º Bachillerato
r=A+lu
2. Coordenada cartesianas A
Tomando en el plano un punto cualquiera O como origen de referencia d
vamos a introducir coordenadas para trabajar con los vectores. B
s=B+mv
CIENCIAS
2.1. Base can´nica
o
De entre todas las bases elegimos la base can´nica determinada por los
o
vectores i(1, 0) y j(0, 1). As´ cualquier vector u(u1 , u2 ) se pude expresar como
ı
MaTEX
(u1 , u2 ) = u1 · (1, 0) + u2 · (0, 1)
Vectores
u = u1 · i + u2 · j
Los n´meros u1 y u2 por este orden son
u
las componentes del vector. u = u1 i + u2 j
u2 j
La magnitud o m´dulo del vector
o
u(u1 , u2 ) por el teorema de Pit´goras cor-
a
responde a u2
|u| = u2 + u2 j u1
1 2
O i u1 i
Doc Doc
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12. MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
o 12 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.1. Expresar los vectores del gr´fico en funci´n de la base can´nica
a o o A
i(1, 0) y j(0, 1) y determinar el m´dulo de de los mismos.
o
d
Soluci´n:
o B
s=B+mv
−
→
v
CIENCIAS
v =2·i+4·j
√
|v| = 22 + 42 = 20 MaTEX
w = −3 · i + 2 · j −
→
w
√ →
−
(−3)2 + 22 = j
Vectores
|v| = 13
n = −3 · i − ·j
→
−
√
i
|v| = (−3)2 + (−1)2 = 10 −
→
n
c=4·i−2·j →
−
c
√
|c| = (4)2 + (−2)2 = 20
A continuaci´n vamos a repasar los conceptos de dependencia, inde-
o
pendencia, bases y combinaci´n lineal de vectores utilizando coorde-
o Doc Doc
nadas.
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13. MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
o 13 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.2. Comprobar que el vector w(4, 8) es combinaci´n lineal del
o A
vector u(1, 2)
d
Soluci´n: Comprobamos si existe un escalar α con
o B
s=B+mv
(4, 8) = α · (1, 2) CIENCIAS
Igualando componentes se tiene
4 = 1α
MaTEX
=⇒ α = 4
8 = 2α
Vectores
Ejemplo 2.3. Dado el vector v(8, 12) hallar:
1 1
a) 3 · v b) −2 · v c) · v d) − · v
4 3
Soluci´n:
o
a) 3 · v = 3 · (8, 12) = (24, 36)
b) −2 · v = −2 · (8, 12) = (−16, −24)
1 1
c) · v = · (8, 12) = (2, 3)
4 4
1 1 8
d ) − · v = − · (8, 12) = (− , −4)
3 3 3
Doc Doc
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14. MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
o 14 1º Bachillerato
r=A+lu
Test. A
1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son..? d
(a) Independientes (b) Dependientes B
s=B+mv
2. Los vectores u(2, 2) y v(3, 4) son..? CIENCIAS
(a) Independientes (b) Dependientes
MaTEX
Ejemplo 2.4. Dados los vectores u(2, 1) y v(−1, 3) hallar:
a) 3 · u + 2 v
˜ b) −2 · u + 3 · v c) −u + 2 · v
Vectores
Soluci´n:
o
a) 3 · u + v = 3 · (2, 1) + (−1, 3) = (5, 6)
b) −2 · u + 3 · v = −2 · (2, 1) + 3 · (−1, 3) = (−7, 1)
c) −u + 2 · v = −(2, 1) + 2 · (−1, 3) = (−4, 5)
Ejemplo 2.5. Comprobar que el vector w(4, 7) es combinaci´n lineal de los
o
vectores u(2, 1) y v(0, 5).
Soluci´n: Comprobamos si (4, 7) = α · (4, 7) + β · (0, 5)
o
Igualando componentes se tiene
4 = 2α + 0β
=⇒ α = 2 β=1
7 = 1α + 5β
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15. MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
o 15 1º Bachillerato
r=A+lu
Definici´n 9 (Base)
o A
Decimos que los vectores u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) forman una base d
en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto signifi- B
ca que cualquier vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n o s=B+mv
CIENCIAS
lineal de u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ).
Ejemplo 2.6. Comprobar que los vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base. MaTEX
Soluci´n: Los dos vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base, pues son inde-
o
pendientes ya que no hay ning´n escalar α tal que u(2, 1) = α · v(0, 5).
u
Observa que las componentes no son proporcionales:
Vectores
0 5
=
2 1
Ejemplo 2.7. ¿Forman una base los vectores u(2, 1) y v(4, 2)?
Soluci´n: No forman una base, pues los vectores son dependientes, ya que:
o
v(4, 2) = 2 · u(2, 1)
Otra forma es ver que las componentes son proporcionales:
2 1
= =⇒ son dependientes
4 2
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16. MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
o 16 1º Bachillerato
r=A+lu
Test. Responde a las cuestiones: A
1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) forman una base en R2 . d
(a) Verdadero (b) Falso B
s=B+mv
2. Los vectores u(1, 0) y v(2, 1) forman una base en R2 . CIENCIAS
(a) Verdadero (b) Falso
MaTEX
Ejercicio 4. Expresar el vector w(5, 2) como combinaci´n lineal de los vec-
o
tores u(1, 2) y w(3, −2). Efectuar una representaci´n gr´fica.
o a
Vectores
Ejercicio 5. Dados los vectores u(1, −2) y w(2, 3), hallar v con
w =2·u+3·v
Ejercicio 6. Sean los vectores u(1, 1) y w(−1, 1). Comprobar que forman
una base.
Ejercicio 7. Sean los vectores u(2, a) y w(1, 1). Hallar los valores de a para
que formen una base.
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17. MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
o 17 1º Bachillerato
r=A+lu
3. Producto escalar de vectores A
3.1. Vectores ortogonales d
B
s=B+mv
Supongamos dos vectores u y v en (figu- CIENCIAS
ra). Diremos que son perpendiculares u
ortogonales si se satisface el teorema de
Pit´goras:
a
v
MaTEX
u−v
|u|2 + |v|2 = |u − v|2
Vectores
u
Aplicando la ecuaci´n, la condici´n se transforma en
o o
(u2 + u2 ) + (v1 + v2 ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2
1 2
2 2
Simplificando t´rminos comunes queda
e
(u1 v1 + u2 v2 ) = 0
As´ la igualdad es v´lida si el producto cruzado es cero. Diremos que dos
ı a
vectores u y v son ortogonales u ⊥ v si
u ⊥ v ⇐⇒ u1 v1 + u2 v2 = 0 (1)
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18. MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
o 18 1º Bachillerato
r=A+lu
3.2. Producto escalar A
Al producto anterior de las componentes de dos vectores le definimos como d
producto escalar de dos vectores B
s=B+mv
CIENCIAS
u(u1 , u2 ) · v(v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2 (2)
Cuando el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son ortog-
onales o perpendiculares.
MaTEX
Para hallar un vector perpendicular a u(u1 , u2 ) basta cambiar el orden y el
signo de una de las componentes.
Vectores
u(u1 , u2 ) · v(−u2 , u1 ) = −u1 u2 + u2 u1 = 0
As´
ı,
(1, 5) ⊥ (−5, 1) (2, 3) ⊥ (−3, 2) (8, 7) ⊥ (−7, 8)
3.3. M´dulo de un vector
o
Observar que si multiplicamos escalarmente un vector u por si mismo se
obtiene el cuadrado de su m´dulo o longitud:
o
u · u = u2 + u2 = |u|2
1 2 (3)
o dicho de otra forma, el m´dulo de un vector es la ra´ positiva de su producto
o ız
escalar √
|u| = u · u (4)
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19. MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
o 19 1º Bachillerato
r=A+lu
´
3.4. Angulo de dos vectores A
d
Del teorema del coseno en un tri´ngulo se tiene
a
B
|v| s=B+mv
CIENCIAS
2 2 2
|u − v| = |u| + |v| − 2 |u| |v| cos α (5)
donde α es el ´ngulo determinado por u y v.
a α |u − v|
MaTEX
2
|u − v| =(u − v) · (u − v)
=u · u − 2 u · v + v · v |u|
Vectores
=|u|2 − 2 u · v + |v|2
Por otra parte, igualando las ecuaciones anteriores se tiene
u · v = |u| · |v| cos α (6)
que nos da una segunda definici´n del producto escalar. Por ello se obtiene
o
que el ´ngulo θ de dos vectores u y v viene dado por
a
u·v
cos(u, v) = (7)
|u| · |v|
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20. MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
o 20 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.1. Determinar el ´ngulo de los vectores de R2 , u = (2, 1) y v =
a A
(0, 1).
d
Soluci´n: Tenemos:
o B
s=B+mv
(2, 1) · (0, 1) 1 CIENCIAS
cos(u, v) = =√ √
|(2, 1)| cot |(0, 1)| 6 1
y de esto bastar´ hallar
ıa MaTEX
1
α = ∠(u, v) = arcos √
6
Vectores
Ejercicio 8. Dados los vectores u = (2, −3) y v = (6, −1) hallar:
1. los m´dulos de u y v.
o
2. El producto escalar de u y v
3. El coseno del ´ngulo que forman.
a
4. Hallar m para que el vector w(m, 2) sea ortogonal a u
Ejercicio 9. Hallar todos los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y con
el mismo m´dulo.
o
Ejercicio 10. Dados los vectores u(−4, 6) y v(5, m). Hallar m para que:
a) Sean dependientes
b) Sean perpendiculares Doc Doc
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21. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 21 1º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios A
Ejercicio 1. d
B
s=B+mv
w = −2 · u − 2 · v CIENCIAS
−2v
MaTEX
w
Vectores
u
v
−2u
Ejercicio 1
Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 22 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2. A
−→ −→ −→
− − − B u C d
a) BD = BC + CD = u + v B
−→ −→ −→
− − v
s=B+mv
b) AC = AD + DC = 2 u − v CIENCIAS
−
−→ − → −→−
c) AB = AC + CB = u − v
A 2u D
Ejercicio 2
MaTEX
Vectores
Doc Doc
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23. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 23 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 3. A
− → −→
− − C d
a) M B = AM = u B
−
−→ −→
− s=B+mv
b) AB = 2 AM = 2 u CIENCIAS
−→ −
− −
→ − → P
c) BC = BA + AC = −2 u + 2 v
−→ −
− → 1 −→ −
v MaTEX
d ) AN = AC + CB = u + v N
2 A
−→ −
− → −→ −
e) P M = P A + AM = u − v
Vectores
u
− → −→ −
− − →
f ) M C = M A + AC = −u + 2 v M
B
Ejercicio 3
Doc Doc
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24. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 24 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4. Buscamos escalares α y β con A
w =α·u+β·v d
B
Igualando componentes se tiene s=B+mv
CIENCIAS
5 = 1α + 3β
=⇒ α = 2 β=1
2 = 2α − 2β
MaTEX
2u
Vectores
w
u
v
Ejercicio 4
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25. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 25 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 5. Igualando componentes se tiene A
2 = 2 (1) + 3 v1 7 d
=⇒ v1 = 0 v2 =
3 = 2 (−2) + 3 v2 3 B
s=B+mv
CIENCIAS
Ejercicio 5
MaTEX
Vectores
Doc Doc
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26. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 26 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 6. Basta comprobar que los vectores u(1, 1) y w(−1, 1) son lineal- A
mente independientes. Como las componentes no son proporcionales:
d
1 1 B
= =⇒ son independientes s=B+mv
−1 1 CIENCIAS
Ejercicio 6
MaTEX
Vectores
Doc Doc
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27. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 27 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7. Basta exigir que los vectores u(2, a) y w(1, 1) sean linealmente A
independientes., es decir que las componentes no sean proporcionales. Como
d
2 a B
= =⇒ a = 2 s=B+mv
1 1 CIENCIAS
Si a = 2 son dependientes y no forman base. Para cualquier valor a = 2 son
independientes y forman una base.
Ejercicio 7
MaTEX
Vectores
Doc Doc
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28. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 28 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8. A
√
1. |u| = 22 + (−3)2 = √ 13 d
|v| = 62 + (−1)2 = 37 B
s=B+mv
2. El producto escalar CIENCIAS
u · v = (2, −3) (6, −1) = 2 . 6 + 3 . 1 = 15
3. Como u . v = ||u|| ||v|| cosα, tenemos,
MaTEX
15
cos α = √ √
Vectores
13 37
4. w ortogonal a u si w . u = 0, luego,
(m, 2) . (2, −3) = 0 ⇒ 2m − 6 = 0 ⇒ m = 3
Ejercicio 8
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29. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 29 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 9. Los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y con el mismo A
m´dulo, son
o
d
w(−u2 , u1 ) w(u2 , −u1 ) B
s=B+mv
Ejercicio 9 CIENCIAS
MaTEX
Vectores
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30. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 30 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 10. A
a) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son dependientes si d
−4 6 15 B
s=B+mv
= =⇒ m = − CIENCIAS
5 m 2
b) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son perpendiculares si
MaTEX
10
(−4, 6) · (5, m) = 0 =⇒ −20 + 6m = 0 =⇒ m =
3
Vectores
Ejercicio 10
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31. MATEMATICAS
Soluciones a los Tests 31 1º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Tests A
Soluci´n al Test: En efecto los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son linealmente
o d
dependientes pues B
s=B+mv
3
v(3, 3) = · u(2, 2) CIENCIAS
2
Final del Test
MaTEX
Vectores
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32. MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
´
Indice alfab´tico
e d
a
´ngulo de dos vectores, 19 B
s=B+mv
CIENCIAS
base, 10, 15
combinaci´n lineal , 10
o MaTEX
norma, 18
Vectores
producto escalar, 18
vectores
por un n´mero, 5
u
resta, 6
suma, 6
vectores ortogonales, 17
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32