JIM 2022-1 : Deux cercles

Journée Internationale des Mathématiques 2022
Deux cercles
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2022
Clément Boulonne (CBMaths) Deux cercles 14 mars 2022 1 / 62

Sommaire
1 Cercles concentriques distincts
2 Cercle contenu dans l'autre
3 Cercles quelconques
4 Références pour l'exposé

Motivations
On se donne deux points sur deux cercles distincts et on trace un segment
reliant ces deux points.
Avec le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra, on fait bouger les deux
points avec des vitesses (non nuls) diérentes et on regarde la forme tracée
par les segments en mouvement.
Cela nous promet une galerie d'images géométrique à couper le soue.

Cercles concentriques distincts
Sommaire

Base de la gure
On commence par rappeler la dénition de cercles concentriques
distincts.

Base de la gure
distincts.
On dit que deux cercles sont concentriques distincts s'ils ont le même
centre mais des longueurs de rayons diérents.

Base de la gure
distincts.
On place un point O dans le plan et on trace deux cercles C1 et C2
concentriques distincts.

Base de la gure
distincts.
Pour l'exposé, on prendra r1 = 2 cm (resp. r2 = 4 cm) comme
longueur de rayon pour le cercle C1 (resp. C2)

Base de la gure
distincts.
On place un point M1 sur le cercle C1 qui se déplacera à une vitesse v1
et M2 sur le cercle C2 à une vitesse v2.

Base de la gure
distincts.
On place un point M1 sur le cercle C1 qui se déplacera à une vitesse v1
et M2 sur le cercle C2 à une vitesse v2.
On trace (en rouge) le segment [M1M2] et on fait bouger les points
aux vitesses données. On observe une gure constituée de segments.

Aperçu de la gure de base

Paramétrisation de la gure
Pour faciliter la modélisation, on va se placer dans un repère
orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ).

orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ).
Le point M1 étant sur un cercle de centre O et de rayon r1 a pour
coordonnées M1 (r1 cos (t) ; r1 sin (t)) où t ∈ R.

orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ).

orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ).
N'oublions pas que les deux points sont liés par un segment et par une
relation de vitesse.

orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ).
Ainsi, on peut aner les coordonnées des points M1 et M2. M1 aura
pour coordonnées (r1 cos(v1t); r1 sin(v1t)) et le point M2 de
coordonnées (r2(cos(v2t); r2 sin(v2t)).

orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ).
Ainsi, on peut aner les coordonnées des points M1 et M2. M1 aura
pour coordonnées (r1 cos(v1t); r1 sin(v1t)) et le point M2 de
coordonnées (r2(cos(v2t); r2 sin(v2t)).
On pourra ainsi créer un curseur t dans l'intervalle [0; 20π] (cela veut
dire que le point M1 fera au maximum 10 tours de cercles) et trois
variables v1 et v2.

Aperçu de la paramétrisation

Dernières remarques avant l'étude des cas
Remarque pour la visualisation
Dans les gures suivantes, on mettre les cercles en pointillés et on eacera
les points M1 et M2 pour ne garder que les tracés des diérents segments.

Cas v2 = 0 et v1 = 1
Cas où v2 = 0 et v1 = 1 : le point
M2 est immobile et le point M1
décrit le cercle C1 entier. L'ensemble
des segments tracés forment la
perspective cavalière d'un cône de
base le cercle C1.

Cas v2 = 1 et v1 = 0
Dans ce cas, on obtient cette gure
(perspective cavalière d'un cône de
base le cercle C2).

Cas v1 = 1 et v2 ∈ N
Cas où v2 = 1 : les points M1 et M2
parcourent à la même vitesse le
cercle et les segments restent dans
la couronne déterminée par les
cercles C2 et C1.

Cas où v2 = 2 : on observe que les
segments tracés forment une
cardioïde.
D'après [1], le nom de cette courbe
a été donné par le mathématicien
Castillon en 1741 et provient du
grec kardia c÷ur .
On peut retrouver cette courbe au
fond d'un récipient conique rempli
de lait (voir [1]).

Cas où v2 = 3 : on observe le tracé
de deux cardioïdes qui sont
symétriques par rapport à l'axe des
abscisses.
On remarque que les sommets de
boucle (voir dénition à la
diaporama suivante) des cardioïdes
sont les points de coordonnées (0; 1)
et (0; −1) ou encore

cos
π
2

; sin
π
2

et

cos

3π
2

; sin

3π
2

.

Sommet de boucle d'une cardioïde
Sur la cardioïde suivante (gure reprise de [1]), le sommet de boucle
se trouve à la position du point O.

Sommet de boucle d'une cardioïde
Sur la cardioïde suivante (gure reprise de [1]), le sommet de boucle
se trouve à la position du point O.
Sur la première cardioïde (cas où v2 = 2), le sommet de boucle se
trouve au point de coordonnées (−1; 0) ou encore (cos(π); sin(π)).

Nombres complexes et argument

Remarque sur les coordonnées d'un sommet de boucle
En fait, dans les autres cas n 2, il semble que les sommets de boucle des
cardioïdes se rapprochent du cercle C2. Mais on observe une certaine
régularité sur l'angle formé par le point I de coordonnées (1; 0), le point
O(0; 0) et le sommet de boucle.

Cette notion d'angle se retrouve dans l'argument d'un nombre
complexe. [2]

complexe. [2]
Soit P un point du plan (muni d'un repère orthonormé) de
coordonnées (x; y). À ce point, on peut lui associer un nombre
complexe (son axe), zP = x + iy.

complexe. [2]
Soit P un point du plan (muni d'un repère orthonormé) de
coordonnées (x; y). À ce point, on peut lui associer un nombre
complexe (son axe), zP = x + iy.
À tout point P(x; y) du plan, on peut lui associer son module
OP = |zP| =
p
x2 + y2 et un argument (si P 6= O) qui correspond à
la mesure (en radians, à un multiple de 2kπ près) de l'angle d
IOP.

Module et argument d'un nombre complexe
On appelera l'argument principal de zP, la mesure de l'angle d
IOP sur
l'intervalle [0; 2π[.

Argument d'un sommet de boucle
On se place dans notre repère orthonormé et dans notre conguration
de départ (deux cercles circonscrits).

Soit S le sommet de boucle d'une cardioïde tracé par le mouvement des
segments. On appelle un argument du sommet de boucle, une mesure (en
radians) de l'angle d
IOS dans l'intervalle [0; 2π[ où O est l'origine du repère
et I est le point de coordonnées (1; 0).

Soit S le sommet de boucle d'une cardioïde tracé par le mouvement des
segments. On appelle un argument du sommet de boucle, une mesure (en
radians) de l'angle d
IOS dans l'intervalle [0; 2π[ où O est l'origine du repère
et I est le point de coordonnées (1; 0).
Sur la gure suivante, l'argument
du sommet de boucle est π.

Conjecture sur la position des sommets de boucle
On peut continuer de visualiser la répartition des sommets de boucle
des cardioïdes tracées par le mouvement des segments.

On constate une régularité des arguments de ces sommets en lien avec
les racines nième de l'unité ou les sommets des polygones réguliers à
n côtés.

On constate une régularité des arguments de ces sommets en lien avec
les racines nième de l'unité ou les sommets des polygones réguliers à
n côtés.
Dans le cas v1 = 1 et v2 = n (où n 2), l'argument des sommets de
boucle des cardioïdes tracés par le mouvement des segments est de la
forme
(2k + 1)π
n − 1
où k est un entier compris entre 0 et n − 2.

Visualisation dans le cas v2 = 10
Dans le cas v2 = 10,
les sommets de boucle des cardioïdes ont pour argument
π
9
;
3π
9
;
5π
9
;
7π
9
;
9π
9
;
11π
9
;
13π
9
;
15π
9
;
17π
9
.

Les points placés sur la gure suivante permettent de repérer les sommets
de boucle des cardioïdes tracées.

Les sommets de boucle des cardioïdes ont pour argument
π
9
;
3π
9
;
5π
9
;
7π
9
;
9π
9
;
11π
9
;
13π
9
;
15π
9
;
17π
9
.

On se propose d'étudier le cas v2 = 1 et v1 ∈ N tel que v1 2.
On donne, en bleu, le cas où v1 = 2 et v2 = 1 et on le compare avec la
gure rouge où v2 = 2 (v1 = 1).
On remarque que la même forme apparaît dans les deux images. Les
sommets de boucle sont néanmoins dans la couronne délimitée par les
cercles C2 et C1.

De même pour v1 = 3 : on donne, en bleu, le cas où v1 = 3 et v2 = 1 et on
le compare avec la gure rouge où v2 = 3 (v1 = 1).
On remarque que la même forme apparaît dans les deux images. Les
sommets de boucle sont néanmoins dans la couronne délimitée par les
cercles C2 et C1.

On notera, par la suite, cas (m; n) avec n et m deux entiers naturels
(l'un des deux non nuls) pour désigner le cas v1 = m et v2 = n.
Conclusion de l'étude de cas
Soit n ∈ N∗, les cas (n; 1) et (1; n) sont similaires. Le remplissage dans les
cas (n; 1) se fait à l'intérieur du cercle C1 et les sommets de boucle sont
dans la couronne alors que, dans les cas (1; n), le remplissage se fait dans
la couronne et les sommets de boucle sont à l'intérieur du cercle C1.

Cas (k; k) avec k ∈ N∗
, colinéarité
Avant de s'intéresser au cas (p; q) où p et q sont deux entiers naturels
non nuls, on étudie les cas (k; k) avec k ∈ N∗.

, colinéarité
On donne le résultat de notre simulation pour les quatre premières
valeurs de k.

, colinéarité
On donne le résultat de notre simulation pour les quatre premières
valeurs de k.
On retrouve les mêmes dessins (des lignes droites régulièrement
espacés) mais avec un espacement de plus en plus grand (avec
l'augmentation de la valeur de k).

, colinéarité
On peut voir ce phénomène en prenant un pas continu et t ∈ [0;
π
2
].

, colinéarité
π
2
].
On remarque le même parcours des points M1 et M2 mais les points
ont parcouru des distances diérentes. Pour le cas (1; 1), on a un quart
de couronne alors qu'au cas (4; 4), on obtient la couronne entière.

, colinéarité
π
2
].
On remarque le même parcours des points M1 et M2 mais les points
ont parcouru des distances diérentes. Pour le cas (1; 1), on a un quart
de couronne alors qu'au cas (4; 4), on obtient la couronne entière.
Colinéarité des cas (k; k)
Soit k ∈ N∗. Les cas (k; k) sont similaires au cas (1; 1).

Cas (p; q) avec p et q entiers naturels, colinéarité
Supposons que l'on a étudié le cas (p; q). On peut généraliser la
propriété de colinéarité à ce cas-là.

Colinéarité des cas (kp; kq)
Soit p, q et k trois entiers non nuls. Les cas (kp; kq) sont similaires au cas
(p; q).

Colinéarité des cas (kp; kq)
Soit p, q et k trois entiers non nuls. Les cas (kp; kq) sont similaires au cas
(p; q).
Ainsi si l'on a étudié le cas (2; 1), on n'est pas obligé d'étudier les cas
(4; 2), (6; 3).... On peut donc étudier les cas (p; q) tels que
PGCD(p; q) (ou encore p et q sont premiers entre eux).

Cas (r; s) avec r et s rationnels non nuls, colinéarité
On peut utiliser la propriété de colinéarité pour rendre les études de
cas (r; s) inutiles où r et s sont des nombres rationnels non nuls.

En eet, on peut ramener le cas (r; s) à un cas (p; q) où p et q sont
des entiers naturels non nuls.

Soit
r =
r1
r2
et s =
s1
s2
où r1, r2, s1 et s2 sont des entiers naturels non nuls.

Soit
r =
r1
r2
et s =
s1
s2
On a donc :
r2 × s2 × r = s2 × r1
| {z }
=p
∈ N∗
et r2 × s2 × s = r2 × s1
| {z }
=q
∈ N∗
.

Soit
r =
r1
r2
et s =
s1
s2
On a donc :
r2 × s2 × r = s2 × r1
| {z }
=p
∈ N∗
et r2 × s2 × s = r2 × s1
| {z }
=q
∈ N∗
.
Ainsi, on peut ramener le cas (r,s) au cas (r2 × s2 × r; r2 × s2 × s) ou
encore au cas (s2 × r1; r2 × s1).

Cas (p; q), p,q ∈ N∗
On rappelle que, dans le cas (1; 2),
on a observé une cardioïde dont le
sommet de boucle a un argument de
π.

On rappelle que, dans le cas (1; 2),
on a observé une cardioïde dont le
sommet de boucle a un argument de
π.
Problématique
Peut-on avoir un cas où la même
cardioïde a un sommet de boucle
d'argument 0?

Dans les diapos précédentes, on a
observé que le cas (2; 2) est similaire
au cas (1; 1) et que pour ne pas
retomber sur les cas (p; q)
précédents, on doit donc prendre p
et q tels que PGCD(p; q) = 1
(c'est-à-dire que les nombres p et q
sont premiers entiers et n'ont pas de
diviseur commun).

En étudiant le cas (2; 3), on trouve
une cardioïde dont le sommet de
boucle a un argument 0.
On peut remarquer que dans le cas
(1; 2) puis (2; 3), on a une diérence
v2 − v1 = 1. On peut continuer à
étudier les cas (p; q) tel que
v2 − v1 = 1.

En étudiant le cas (2; 3), on trouve
une cardioïde dont le sommet de
boucle a un argument 0.
On peut remarquer que dans le cas
(1; 2) puis (2; 3), on a une diérence
v2 − v1 = 1. On peut continuer à
étudier les cas (p; q) tel que
v2 − v1 = 1.
Problématique
Peut-on alors trouver la même
cardioïde mais avec un argument
quelconque (
π
2
par exemple)?

Cas (p; q) tel que v2 − v1 = 1

Remarques

Remarques
1 On remarque toujours la formation d'une cardioïde.

Remarques
2 Dans le cas où v1 est impair, dans la couronne, on observe la
formation d'une étoile : 18 branches pour v2 = 3 et 12 branches pour
v2 = 5. Dans le cas où v1 est pair, c'est moins agrant!

Remarques
3 Dans le cas où v1 est impair, le sommet de boucle de la cardioïde a un
argument π alors que pour le cas où v1 est pair, le sommet de boucle
de la cardioïde a un argument 0.

Remarques
4 Plus v1 est grand (plus v2 est grand), plus la cardioïde a un périmètre
petit. On a entouré, en bleu dans la diapo suivante, les cardioïdes pour
renforcer l'impression qu'elle se rétrécissent au fur et à mesure que v1
grandit.

Remarques
4 Plus v1 est grand (plus v2 est grand), plus la cardioïde a un périmètre
petit. On a entouré, en bleu dans la diapo suivante, les cardioïdes pour
renforcer l'impression qu'elle se rétrécissent au fur et à mesure que v1
grandit.
5 Dans le cas v2 − v1 = 1, on ne peut tracer des cardioïdes de sommet
de boucle d'argument
π
2
.

Cas v2 = p et v1 = q, v2 − v1 = 1

Cas (p; q), v2 − v1 %
Si on augmente la valeur de v2 − v1, on peut tracer plus d'une
cardioïde dans le cercle C1.

Cas (p; q), v2 − v1 %
Problématiques

Cas (p; q), v2 − v1 %
Problématiques
1 Comment se comporte les arguments des sommets de boucle dans le cas où
on fait varier v1 et v2 ?

Cas (p; q), v2 − v1 %
Problématiques
1 Comment se comporte les arguments des sommets de boucle dans le cas où
on fait varier v1 et v2 ?
2 Peut-on tracer des cardioïdes d'arguments quelconques ou alors les
arguments ont un comportement bien déni ?

Cas (p; q), v2 − v1 = 2

Cas (p; q), v2 − v1 = 2
On ne peut pas prendre le cas où v1 est pair car sinon v2 est pair et on
retombe sur le cas v2 − v1 = 1.

Cas (p; q), v2 − v1 = 2
On ne peut pas prendre le cas où v1 est pair car sinon v2 est pair et on
retombe sur le cas v2 − v1 = 1.
On observe le rétrécissement des cardioïdes et que les sommets de
boucle ont pour argument
π
2
et
3π
2
.

Cas (p; q), v2 − v1 = 3

Cas (p; q), v2 − v1 = 3
On ne peut pas prendre le cas (3; 6) car PGCD(3; 6) = 3 6= 1.

Cas (p; q), v2 − v1 = 3
On ne peut pas prendre le cas (3; 6) car PGCD(3; 6) = 3 6= 1.
Si on donne tous les arguments des sommets de boucle de chaque
cardioïde tracée, on retrouve les arguments des sommets d'un
hexagone régulier dont un des sommets a un argument de 0.

Cas (p; q), v2 − v1 %
À ce stade de notre étude, on peut armer que les cas les plus
intéressants à étudier sont les cas où v2 − v1 sont impairs.

Cas (p; q), v2 − v1 %
Si v2 − v1 est pair alors le cas (2p; 2p + (v2 − v1)) (où p est un entier)
revient au cas où v2 − v1 = p.

Cas (p; q), v2 − v1 %
Si v2 − v1 est pair alors le cas (2p; 2p + (v2 − v1)) (où p est un entier)
revient au cas où v2 − v1 = p.
On étudie alors les cas où v2 − v1 = 5, v2 − v1 = 7 et v2 − v1 = 9.

Cas (p; q), v2 − v1 = 5

Cas (p; q), v2 − v1 = 7

Cas (p; q), v2 − v1 = 9

Conclusion pour les cas (p; q)
Remarques
Si p et q sont premiers entre eux, on peut distinguer deux cas :

Remarques
1 Si v2 − v1 = α est impair alors les arguments des sommets de boucle
des cardioïdes correspondent aux arguments des sommets d'un
polynôme régulier à 2 × α côtés.

Remarques
1 Si v2 − v1 = α est impair alors les arguments des sommets de boucle
des cardioïdes correspondent aux arguments des sommets d'un
polynôme régulier à 2 × α côtés.
2 Si v2 − v1 = α est pair alors les arguments des sommets de boucle des
cardioïdes correspondent aux arguments des sommets d'un polynôme
régulier à α côtés.

Cas (1; α) avec α ∈ IR
Pour nir cette partie de l'exposé, on s'intéresse au cas (1; α) où α est
un nombre irrationnel (on note l'ensemble des nombres irrationnels IR).

On testera 3 cas :

On testera 3 cas :
v2 =
√
2 ≈ 1,41;

On testera 3 cas :
v2 =
√
2 ≈ 1,41;
v2 = e ≈ 2,72;

On testera 3 cas :
v2 =
√
2 ≈ 1,41;
v2 = e ≈ 2,72;
v2 = π ≈ 3,14.

Cas (1;
√
2)
Dans ce cas, on observe que
l'ensemble des segments tracés
rempli quasiment la totalité de
l'intérieur du cercle C2.
Il y a en fait une innité de
cardioïdes qui se construisent et qui
remplissent l'entièreté du cercle C2.

Cas (1; e)
Dans ce cas, on observe la même
nalité du mouvement que le cas
précédent : une innité de cardioïde
se construisent et qui remplit
l'entièreté du cercle C2.

Cas (1; π)
De même pour le cas (1; π).

Cas (1; α)
On peut conclure cette section en faisant plusieurs observations.
Observations

Cas (1; α)
Observations
1 L'étude de cas n'était pas très intéressante car elle ne donne pas de
forme régulière étoilée comme les cas où v1 et v2 étaient des nombres
entiers naturels.

Cas (1; α)
Observations
entiers naturels.
2 On constate dans tous les cas où v2 est un nombre irrationnel, un
remplissage quasi total du cercle C2.

Cas (1; α)
Observations
entiers naturels.
2 On constate dans tous les cas où v2 est un nombre irrationnel, un
remplissage quasi total du cercle C2.
3 Le remplissage de ce cercle se traduit par une non-périodicité du tracé.

Cercle contenu dans l'autre
Sommaire

Détermination d'étude de cas
Dans ce qui suit (cette section et la section suivante), on ne
s'intéressera qu'aux cas (1; j) où j est un entier compris entre 1 et 4.

On fera varier les positions des cercles. Dans cette section, on se
limitera au cas où C1 ⊂ C2. On s'autorisera d'autres congurations
dans la dernière section.

On fera varier les positions des cercles. Dans cette section, on se
limitera au cas où C1 ⊂ C2. On s'autorisera d'autres congurations
dans la dernière section.
Rappel : on note r1 la longueur du rayon du cercle C1 et r2 la longueur
du rayon du cercle C2.

Cas où r1 = 1 et r2 = 4, cercles concentriques

Cas où r1 = 1 et r2 = 4, cercles imbriqués

Cas où r1 = 1 et r2 = 4, cercles tangents intérieurement

Conclusion
On peut faire quelques observations sur les diérents cas :
Observations

Conclusion
Observations
1 Le cercle C1 a subi une réduction de rayon par rapport à la section
précédente puis a été translaté de vecteur #»
v 1

0
−1

et #»
v 2

0
−3

.
Cette translation de vecteur #»
v 2 a permis d'obtenir une conguration
de cercles tangents intérieurement.

Conclusion
Observations
v 1

0
−1

et #»
v 2

0
−3

.
2 On observe les mêmes cardioïdes dans les diérents cas par rapport
aux cas précédents (à conguration équivalente).

Conclusion
Observations
v 1

0
−1

et #»
v 2

0
−3

.
2 On observe les mêmes cardioïdes dans les diérents cas par rapport
aux cas précédents (à conguration équivalente).
3 Il semble que les sommets de boucle des cardioïdes se déplacent
légèrement de cas en cas.

Cercles quelconques
Sommaire

Cercles quelconques
Cas où r1 = r2, cercles 2-intersections

Cercles quelconques
Cas où r1 = r2, cercles tangents extérieurement

Cercles quelconques
Cas où r1 = r2, cercles distincts

Cercles quelconques
Conclusion
Observations

Cercles quelconques
Conclusion
Observations
1 Les sommets de boucle des cardioïdes se trouvent à l'intérieur de C1.

Cercles quelconques
Conclusion
Observations
2 Plus v2 est élevé, plus les sommets de boucle des cardioïdes se
rapprochent du bord droit du cercle C1 (à conrmer en augmentant la
valeur v2).

Cercles quelconques
Conclusion
Observations
2 Plus v2 est élevé, plus les sommets de boucle des cardioïdes se
rapprochent du bord droit du cercle C1 (à conrmer en augmentant la
valeur v2).
3 Dans le dernier cas, on voit une intersection des segments à l'extérieur
des deux cercles. On observe une forme de sablier.

Références pour l'exposé
Sommaire

Références
[1] R. Ferréol, Encyclopédie des formes géométriques remarquables :
courbes, surfaces, fractals, polyèdres, https://mathcurve.com/.

Références
[1] R. Ferréol, Encyclopédie des formes géométriques remarquables :
courbes, surfaces, fractals, polyèdres, https://mathcurve.com/.
[2] D. Arnaud al., Manuel Sesamath, Terminale Mathématiques
Expertes, 2020, Edition Magnard.

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