Polinomios

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Polinomios

  1. 1. Polinomios Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Universidad de Ciencias y HumanidadesChristiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  2. 2. Constantes y variables Algunos conceptos b´sicos asociados al ´lgebra son: a a Constante: es cualquier n´mero. Este n´mero debe estar en un u u conjunto determinado. 1 √ Ejemplos: 1; − 3; ; 2009; 3; . . . 2 Constantes matem´ticas famosas: a π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993 . . . e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369 . . . γ = 0.5772156649015328606065120900824024310421593 . . . φ = 1.618033988749894848204586834365638117720 . . . Variable: es un s´ ımbolo (letra), y representa un n´mero de un u conjunto num´rico determinado. e Ejemplo: Sea x ∈ N, entonces: x = 1 ∨ x = 3 ∨ x = 6 ∨ x = 10 ∨ . . . Luego, x es una variable. Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  3. 3. Expresi´n matem´tica o a Cualquier combinaci´n de n´meros y letras enlazadas por las o u diferentes operaciones matem´ticas se denomina una expresi´n a o matem´tica. a Ejemplos: 1 3x − 5 √ 2 3x − 5 √ 3 sen( 3x − 5) √ 4 2ax 3 − n 5 y + 1 − mx 5 5 x 2 + 2y + −3 z Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  4. 4. Notaci´n matem´tica o a La representaci´n simb´lica que nos permite reconocer cuales son o o las variables de una expresi´n matem´tica se llama notaci´n o a o matem´tica. a Ejemplos: 1 P( x ) = 3ax 2 − 5x + m variable 2 Q( x; y ) = 2xny 2 − 3x 7 b 2 + y 4 + 1 variables 3 R√ 3 = x 4 − x 3 + mx 2 + n2 x − 2 + c ( x − 1) variable 4 f(2x − 3 ) = ax 2 − 3x 5 + 7kx − r variable Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  5. 5. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Exprese el per´ ımetro y el ´rea de una cancha de futbol. a Supongamos que mide x metros de largo e y metros de ancho, tenemos que: ımetro =2x + 2y Per´ ´ Area =x.y Con el lenguaje algebarico las informaciones se expresan de forma m´s sencilla. a Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  6. 6. Frases en lenguaje algebraico Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico 1 El triple de un n´mero: 3x u 2 El cuadrado de la suma de dos n´meros: (a + b)2 u 3 Dos n´meros naturales consecutivos: n, n + 1 u 4 Hoy tengo 20 a˜os. ¿Cu´nto tendr´ cuando pasen x a˜os?: n a e n 20 + x 5 Hoy tengo 20 a˜os. ¿Cuantos a˜os ten´ hace y a˜os?: n n ıa n 20 − y 6 Un n´mero par: 2n u ´ b.h 7 Area del tri´ngulo de base b y altura h: a 2 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  7. 7. Al Juarismi Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, conocido generalmente como al-Jwarizmi matem´tico, astr´nomo y a o ge´grafo persa musulm´n chi´ vivi´ aproximadamente entre 780 y o a ı, o 850. Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, nuestras palabras ´lgebra, guarismo y algoritmo. De a hecho, es considerado como el padre del ´lgebra. a Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  8. 8. Expresiones algebraicas Una expresi´n algebraica es una combinaci´n de letras, n´meros y o o u n, √ signos de operaciones aritm´ticas +, −, ·, ÷, ( ) n . Las letras e suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o inc´gnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten o traducir al lenguaje matem´tico expresiones del lenguaje habitual. a Ejemplos: 1 Suma de cuadrados: a2 + b 2 2 El triple de un n´mero menos el doble de otro: 3x − 2y u 3 Suma de varias potencias de un n´mero: x 4 + x 3 + x 2 + x u 4 Suma de los n primeros n´meros naturales: u n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ··· + n = 2 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  9. 9. Valor num´rico (VN) e Si le asignamos valores a las variables de una expresi´n matem´tica o a y efectuamos las operaciones que se indican, el n´mero real que se u obtiene se llama valor num´rico de la expresi´n. e o Ejemplo 1: Dada la expresi´n matem´tica P(x) = 3x − 1 o a Si x = 1 → P(1) = 3.1 − 1 = 2 Si x = 2 → P(2) = 3.2 − 1 = 5 √ √ √ Si x = 2 → P(√2) = 3. 2 − 1 = 3 2 − 1 1 1 Si x = → P( 1 ) = 3. − 1 = 0 3 3 3 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  10. 10. Valor num´rico (VN) e Ejemplo 2: x −y Dada la expresi´n matem´tica T(x;y ) = o a x +y 2−1 1 Si x = 2 ∧ y = 1 → T(2;1) = = 2+1 3 0−4 −4 Si x = 0 ∧ y = 4 → T(0;4) = = = −1 0+4 4 1 − (−1) 2 Si x = 1 ∧ y = −1 → T(1;−1) = = , no existe 1 + (−1) 0 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  11. 11. Valor num´rico (VN) e Ejemplo 3: Dada la expresi´n matem´tica R(x+1) = x 2 − x + 1, calcule el valor o a de R(0) . Hacemos x + 1 = 0 → x = − 1 Luego, R(0) = (−1)2 − ( − 1) + 1 = 3 Ejemplo 4: Dada la expresi´n matem´tica N( √x−1) = x 2 + x − 10, calcule el o a 3 valor de N(1) . √ √ Hacemos 3 x − 1 = 1 → 3 x = 2 → x = 8 Luego, N(1) = 82 + 8 − 10 = 62 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  12. 12. Polinomio La expresi´n que enlaza variables y/o constantes mediante una o combinaci´n finita de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y/o o potenciaciones, en las cuales los exponentes de las variables son enteros positivos se llama polinomio. Ejemplos: 1 P(x;y ;z) = −2x 4 y 2 z 7 es un polinomio de un t´rmino e (monomio) con tres variables. 2 Q(x) = 5x 3 + 1 es un polinomio de dos t´rminos (binomio) e con una variable. 3 R(x;y ) = 2x 4 − y 9 + 7x es un polinomio de tres t´rminos e (trinomio) con dos variables. 4 M(x) = x 3 + x 2 + x + 5 es un polinomio de cuatro t´rminos. e 5 N(x) = 2 es un polinomio constante de variable x. Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  13. 13. No son polinomios 1 P(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + · · · 2 Q(x) = 3x 5 − x 2 + log x 4 3 R(x) = x 3 + x 2 + x −1 + 9 x2 + y3 4 M(x;y ) = x4 + y5 √ 5 N(x;y ) = x 4 + y 3 + x5 + 6 6 F(x;y ) = x 2 y 5 − 2y 12 + cos(x 2 + y 2 ) Son expresiones matem´ticas. a Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  14. 14. Polinomios de una variable Polinomio lineal Forma general: P(x) = ax + b ; a = 0 donde x es la variable. a y b son los coeficientes. a es llamado coeficiente principal. b es llamado t´rmino independiente. e Su grado es 1. Ejemplos: 1 P(x) = 5x − 2 2 Q(x) = 3x + 8 3 R(x) = x + 4 4 M(x) = 7x Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  15. 15. Polinomios de una variable Polinomio cuadr´tico a Forma general: P(x) = ax 2 + bx + c ; a = 0 donde x es la variable. a, b y c son los coeficientes. a es llamado coeficiente principal. c es llamado t´rmino independiente. e Su grado es 2 (mayor exponente de la variable). Ejemplos: 1 P(x) = 3x 2 − 2x + 5 2 Q(x) = x 2 + 3x − 1 3 R(x) = 6x 2 + 11 4 M(x) = 4x 2 − 3x Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  16. 16. Polinomios de una variable Polinomio c´bico u Forma general: P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ; a = 0 donde x es la variable. a, b, c y d son los coeficientes. a es llamado coeficiente principal. d es llamado t´rmino independiente. e Su grado es 3 (mayor exponente de la variable). Ejemplos: 1 P(x) = 5x 3 − x 2 + 2x − 7 2 Q(x) = x 3 + 4x + 2 3 R(x) = 2x 3 + 6x 2 + 1 4 M(x) = x 3 − 1 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  17. 17. Polinomios de una variable Polinomio de grado n Forma general: P(x) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an−1 x + an ; a0 = 0 donde x es la variable. a0 , a1 , a2 , ..., an son los coeficientes. a0 es llamado coeficiente principal. an es llamado t´rmino independiente. e Su grado es n (mayor exponente de la variable). Ejemplos: 4 3 1 P (x) = 5x − x + 2x − 3 es un polinomio de grado 4. 2 Q(x) = 2x 3 + 4x 2 + x 5 − 7x + 1 es un polinomio de grado 5 3 R(x) = x 7 + 2x 5 − 3x 10 + 9 es un polinomio de grado 10 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  18. 18. Propiedades Consideremos el polinomio de grado n P(x) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an−1 x + an ; a0 = 0 Luego, se cumple 1 Suma de coeficientes n ak = a0 + a1 + a2 + · · · + an = P(1) k=0 2 T´rmino independiente e TI = an = P(0) Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  19. 19. Ejemplo 1 Dado el polinomio P(x) = (2x − 1)10 + 3(x + 1)4 − 2 calcule la suma de coeficientes y su t´rmino independiente. e Soluci´n: o Suma de coeficientes: P(1) = (2.1 − 1)10 + 3(1 + 1)4 − 2 = (1)10 + 3(2)4 − 2 = 1 + 48 − 2 = 47 T´rmino independiente: e P(0) = (2.0 − 1)10 + 3(0 + 1)4 − 2 = ( − 1)10 + 3(1)4 − 2 =1+3−2=2 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  20. 20. Ejemplo 2 Dado el polinomio P( x−2 ) = x 3 + x 2 + x + 1 3 calcule la suma de coeficientes y su t´rmino independiente. e Soluci´n: o Suma de coeficientes: P(1) x −2 Hacemos =1→x =5 3 Luego, P(1) = 53 + 52 + 5 + 1 = 156 T´rmino independiente: P(0) e x −2 Hacemos =0→x =2 3 Luego, P(0) = 23 + 22 + 2 + 1 = 15 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  21. 21. Cambio de variable Las variables de un polinomio (o expresi´n algebraica) pueden ser o sustituidas por cualquier otra variable o polinomio, quedando el polinomio en t´rminos de la nueva variable. e Ejemplo 1: Dado el polinomio P(x) = 3x − 2; cambiemos su variable x por otras variables. Si x <> y → P(y ) = 3y − 2 Si x <> z → P(z) = 3z − 2 Si x <> 2t → P(2t) = 3.2t − 2 = 6t − 2 Si x <> x + 1 → P(x+1) = 3(x + 1) − 2 = 3x + 1 Si x <> x 2 → P(x 2 ) = 3x 2 − 2 Si x <> 2x − 1 → P(2x−1) = 3(2x − 1) − 2 = 6x − 5 Si x <> P(x) → P(P(x) ) = 3P(x) − 2 Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios
  22. 22. Aplicaciones x2 − y2 1 Dada la expresi´n matem´tica P(x;y ) = o a x2 + y2 halle el valor de P(√2+1;√2−1) 2 Dados los polinomios f(x−2) = x 2 + 2 ∧ g(x+2) = x 2 − 2 Si h(x) = f(x+1) + g(x−1) , calcule el valor de h(4) . 3 Si P es un polinomio lineal que verifica P(x+1) − P(x) = 2 calcule su coeficiente principal. 4 Si P(x) es un polinomio m´nico de segundo grado, cuyo o t´rmino independiente es 5 y la suma de sus coeficientes es e igual a 3, calcule el valor de P(−1) . Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Polinomios

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