1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, longitud de vectores. 2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud. La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos. 3) Se define el producto escalar como una medida de la componente paralela entre dos vectores, y la longitud de un vector como su producto escalar consigo mismo.

1. ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL PARA LA COMPUTACIÓN INFO 1144
APUNTE DE VECTORES, RECTAS Y PLANOS
Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento de un
Ò
punto E hacia otro punto FÞ Se denota EFÞ
E es el punto inicial o cola, a F se le denomina punto terminal o cabeza.
t
Por lo general a un vector se le denota como @Þ
El conjunto de todos los puntos del plano corresponde al conjunto de todos los vectores
cuyas colas se encuentran en el origen S. Para cada punto Eß corresponde el vector
t t
+ œ SEß estos son llamados vectores de posición.
Es común representar esos vectores usando coordenadas. Por ejemplo E œ Ð$ß #Ñ se
t
escribe como + œ Ò$ß #ÓÞ
Las coordenadas individuales son llamadas componentes.
El vector Ò!ß !Ó se denota !Þ Es llamado vector cero.
El vector Ò$ß #Ó puede ser interpretado como sigue: comienza en el origen S , viaja 3
unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, finalizando en T . El mismo
desplazamiento se puede aplicar a otros puntos iniciales.
Igualdad de Vectores
Dos vectores son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales. Es decir,
si ÒBß CÓ œ Ò"ß  %Ó, entonces B œ " y C œ  %Þ
Por lo general se usa vectores columna para representar a un vector. Es decir ÒBß CÓ es
” C •Þ Usaremos ambas representaciones.
B
También se dirá que dos vectores son iguales si tienen la misma longitud y la misma
dirección, aún cuando tengan distintos puntos inicial y final.
Geométricamente, dos vectores son iguales si uno puede obtenerse mediante el
corrimiento (o traslación) del otro de forma paralela a sí mismo hasta que los dos
vectores coincidan. En términos de componentes, tenemos que si E œ Ð$ß "Ñ y
Ò
F œ Ð'ß $Ñß el vector EF œ Ò$ß #Ó œ Ò'  $ß $  "Ó. De manera similar si
Ò
G œ Ð  %ß  "Ñ y H œ Ð  "ß "Ñ, entonces GH œ Ò  "  Ð  %Ñß "  Ð  "ÑÓ œ Ò$ß #Ó y
Ò Ò
entonces EF œ GHÞ
Ò
Se dice que un vector ST se encuentra en posición estándar.
Ò
Ejemplo: Sea E œ Ð  "ß #Ñ y F œ Ð$ß %Ñß encuentre EF y vuelva a trazarlo (a) en
posición estándar y (b) con su cola en el punto G œ Ð#ß  "ÑÞ
1

2. Suma de Vectores
Al igual que sucede en el juego de las pistas de carreras, con frecuencia deseamos
"continuar" un vector tras otro. Esto nos conduce a la noción de suma de vectores.
Si hacemos que @ siga al vector ?, podemos considerar el desplazamiento total como un
tercer vector, denotado ?  @Þ
Ejemplo: Si ? œ Ò"ß #Ó y @ œ Ò#ß #Óß el efecto neto de hacer seguir a @ después de ? es
Ò"  #ß #  #Ó œ Ò$ß %Óß lo que nos da ?  @Þ
En general si ? œ Ò?" ß ?# Ó y @ œ Ò@" ß @# Ó entonces la suma ?  @ œ Ò?"  @" ß ?#  @# ÓÞ
Aprecie ?  @ geométricamente:
Dados los vectores ? y @ en ‘# traslade @ de manera que su cola coincida con la cabeza
de ?Þ La suma ?  @ de ? y @ es el vector desde la cola de ? hasta la cabeza de @.
Paralelógramo determinado por ? y @. Al trasladar ? y @ de manera pàralela a sí mismos,
obtenemos un paralelógramo. La diagonal de dicho paralelógramo nos proporciona el
vector suma. Es decir su suma es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonal
del paralelógramo determinado por ? y @Þ
Ejemplo: Si ? œ Ò$ß  "Ó y @ œ Ò"ß %Óß calcule y dibuje ?  @Þ
Ponderación de Vectores
Dado un vector @ y un número real -ß el múltiplo escalar -@ es el vector originado al
multiplicar cada componente de @ por -Þ Por ejemplo %Ò#ß  "Ó œ Ò)ß  %ÓÞ
En general -@ œ -Ò@" ß @# Ó œ Ò-@" ß -@# ÓÞ
Ejemplo: Si @ œ Ò  'ß $Ó, calcule y trace los vectores $@ß " @ y  $@Þ
3
Observe que -@ tiene la misma dirección que @ si -  !Þ y la dirección opuesta si -  !Þ
También, note que -@ es l-l veces el largo de @Þ Por esta razón las constanes son llamadas
escalares.
Un caso especial de un múltiplo escalar es Ð  "Ñ@, que se escribe como  @ y se conoce
como el opuesto de @Þ Se usa para definr la diferencia de vectores.
Diferencia de Vectores
La diferencia de ? y @ es el vector ?  @ definido por ?  @ œ ?  Ð  @ÑÞ
2

3. Geométricamente corresponde a la otra diagonal del paralelógramo determinado por ? y
@Þ
t t t t
Ejemplo: Si ? œ Ò#ß %Ó y @ œ Ò"ß  "Óß entonces ?  @ œ Ò#  "ß %  Ð  "ÑÓ œ Ò"ß &Ó
Si los puntos E y F corresponde a los vectores + y , en posición estándar, entonces
Ò
EF œ t  +Þ
, t
Vectores en ‘$
El conjunto de todas las tripletas ordenadas de números reales se denota con ‘$ . Los
puntos y vectores son localizados mediante tres ejes coordenados mutuamente
perpendiculares que confluyen en el origen S. Un punto como E œ Ð"ß #ß $Ñ puede
localizarse del siguiente modo:
Ò
t
el vector correspondiente + œ Ò"ß #ß $Ó es SEÞ
Otra forma de visualizar al vector + en ‘$ es construir una caja cuyos seis lados estén
t
determinados por los tres planos do coordenadas ( los planos xy, xz,yz) y por tres planos
a través del punto Ð"ß #ß $Ñ paralelos a los planos coordenados. El vector Ò"ß #ß $Ó
corresponde entonces a la diagonal desde el origen hasta la esquina opuesta de la caja.
Vectores en ‘8
Definimos ‘8 como el conjunto de todas las 8  tuplas ordenadas de números reales
escritas como vectores fila o columna. así, un vector @ en ‘8 se representa como
Ô @" ×
Ö@ Ù
Ò@" ß @# ß ÞÞß @8 Ó o Ö # ÙÞ Las entradas individuales de @ son sus coordenadas o
Õ @8 Ø
À
componentes.
En ‘8 la suma y la ponderación por escalar se definen por: si ? œ Ò?" ß ?# ß ÞÞÞß ?8 Ó y
@ œ Ò@" ß @# ß ÞÞÞß @8 Ó entonces
?  @ œ Òu"  @" ß ?#  @# ß ÞÞÞß ?8  @8 Ó
-? œ Ò-?" ß -?# ß ÞÞÞß -?8 ÓÞ
Los siguientes teoremas rsumen las propiedades algebraicas de la suma vectorial y la
multiplicación por escalar en ‘8 Þ
3

4. Teorema: Propiedades algebraicas de los vectores en ‘8
t t t
Sean ? œ Ò?" ß ?# ß ?$ ,....,?8 Óß @ œ Ò@" ß @# ß @$ ß ÞÞÞÞß @8 Ó y A œ ÒA"ß A#ß A$ß ÞÞÞÞß A8Ó vectores en
8 8
‘ , y sean - y . escalares. Entonces ‘ es grupo abeliano con esta suma. Es decir se verifica
1) t t t t
?  @ œ @  ? ( Propiedad conmutativa)
#Ñ t t t t t t
(?  @ )  A œ ?  Ð@  AÑ ( Propiedad Asociativa)
$Ñ t
?! t œ !  ? œ ? ( Existencia de Neutro)
t t t
%Ñ t t t
?  Ð  ?Ñ œ ! (Existencia de elemento inverso)
Además
5) t t t
-Ð?  @Ñ œ -?  -@ t
'Ñ t t
Ð-  .Ñ? œ -?  .? t
(Ñ t
-Ð.?Ñ œ Ð-.Ñ? t
)Ñ t t
"? œ ?
Ejemplo: Sean +ß t y B representaciones de vectores en ‘8 Þ
t , t
a) Simplifique $+  Ð&t  #+Ñ  #Ðt  +ÑÞ
t , t , t
t t t t
b) Si &B  + œ #Ð+  #BÑß resuelva para B en términos de +Þ
Combinaciones Lineales y Coordenadas
Un vector, que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se define como una
combinación lineal de estos vectores. A continuación, se presenta la definición formal.
Definición Un vector @ es una combinación lineal de vectores @" ß @# ß ÞÞÞÞ@5 si existen
escalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5 tales que @ œ -" @"  -# @#  ÞÞÞÞÞ  -5 @5 Þ Los escalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5
se conocen como coficientes de la combinación lineal.
Ô # × Ô " × Ô # × Ô & ×
Õ  "Ø Õ  "Ø Õ " Ø Õ ! Ø
Ejemplo: El vector  # es una combinación lineal de ! ß $ y % ß
Ô " × Ô # × Ô & × Ô # ×
Õ  "Ø Õ " Ø Õ ! Ø Õ  "Ø
puesto que $ ! # $  % œ #
Observación: Determinar si un vector dado es una combinación lineal de otros vectores
es un problema que se abordará posteriormente.
Ejemplo: Sea ? œ ” • y @ œ ” •Þ Se puede emplear ? y @ para localizar un nuevo
$ "
t t
" #
conjunto de ejes (de la misma forma que /" œ ” • œ 3 y /# œ ” • œ 4ß localizan los
" !
! "
ejes coordenados estándar). Se puede hacer uso de estos nuevos ejes para establecer una
cuadrícula coordenada que permitirá localizar con facilidad las combinaciones lineales de
? y @Þ
Como muestra la figura
4

5. t t t
A puede ser localizado desde el origen y desplazarse  ? seguido de #@, es decir,
t t
A œ  ?  #@Þ t
t t t
Se dice que las coordenadas de A con respecto a ? y @ son  " y #Þ Luego
A œ  ” •  #” • Þ
$ "
t
" #
El Producto Punto o Producto Escalar
Ô ?" × Ô @" ×
Ö? Ù Ö@ Ù
Definición: Si ? œ Ö # Ù y @ œ Ö # Ùentonces el producto punto ? † @ de ? y @ está
t t t t t t
Õ ?8 Ø Õ @8 Ø
À À
t t
definido por ? † @ œ ?" @"  ?# @#  ÞÞÞÞÞÞ  ?8 @8 Þ
t t
En otras palabras ? † @ es la suma de los productos de las componentes correspondientes
t t
de ? y @Þ
Ô " × Ô  $×
Õ  $Ø Õ # Ø
t t
Ejemplo: Calcule ? † @ cuando ? œt # t
y@œ & Þ
Propiedades del Producto Escalar
t t t
Teorema: Sean ?ß @ y A , vectores no nulos, - un escalar.
1) t t t t
?†@ œ@†?
2) t t t t t t t
? † Ð@  AÑ œ ? † @  ? † A
3) t t
Ð-?Ñ † @ œ -Ð? † @Ñ
4) t t t t t t
-Ð? † @Ñ œ Ð-?Ñ † @ œ ? † Ð-@Ñ
5) t t t t t
? † ? ! y ? † ? œ ! si y sólo si ? œ !
Demostración:
t t t t t t t t t t
Ejemplo: Haga la demostración de Ð?  @Ñ † Ð?  @Ñ œ ? † ?  #Ð? † @Ñ  @ † @ para todos los
8Þ
t t
vectores ? y @ en ‘ Þ
5

6. En ‘# la longitud del vector @ œ ” • es la distancia desde el origen hasta el punto Ð+ß ,Ñ, la
+
cual, por el teorema de Pitágoras, está dada por È+#  ,# Þ Observe que +#  ,# œ @ † @ß lo
,
que nos lleva a la siguiente definición.
Longitud o Norma de un Vector
Ô @" ×
Ö@ Ù
Definición: La longitud (o norma) de un vector @ œ Ö # Ùen ‘8 es el escalar no negativo
t
Õ @8 Ø
À
ll@ll œ È@ † @ œ È@" #  @#  @$  ÞÞÞÞÞ  @ #
t
ll@ll definido por
t t t # #
8
#
t t t
es decir ll@ll œ @ † @Þ
Ejemplo: La norma o magnitud del vector @ œ Ò  #ß $Ó es ll@ll œ ÈÐ  #Ñ#  $# œ È"$.
t t
@ œ Ò"ß  "ß #ß !Ó es ll@ll œ È"#  Ð  "Ñ#  ##  !# œ È'
Ejemplo: La norma o magnitud del vector.
t t
Teorema: Sea @ un vector en ‘8 y sea - un escalar. Entonces
a) ll@ll œ ! si y sólo si @ œ !
b) ll-@ll œ l-l ll@llÞ
Ejemplo: Si ll@ll œ $, entonces ll " @ll œ " ll@ll œ
t 't ' t
$
' œ "
#
t
@ "
t
Vector unitario en la dirección de @ À ll@ll œ Ð ll@ll Ñ  @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8  Þ
t t
t
Ejemplo: Si @ œ Ò  %ß  "Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @ es t
ll@ll œ È"( Ò  %ß  "Ó œ Ò  È"( ß  È"( ÓÞ
t
@ " % "
t
t t
Ejemplo: Si @ œ Ò"ß  "ß #ß !Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @
es ll@ll œ È' Ò"ß  "ß #ß !ÓÞ
t
@
t
"
t
Dado cualquier vector @ distinto de cero, siempre podemos hallar un vector unitario en la
t t
dirección de @, esto se logra al dividir @ entre su propia longitud. La acción de encontrar un
vector unitario con la dirección de otro vector dado se conoce como normalización de un
vector.
Teorema: Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Para todos los vectores ? y @ en ‘8 ß |u † v| Ÿ ||u|| ||v||
Teorema: La desigualdad del triángulo
6

7. Para todos los vectores ? y @ en ‘8 , ll?  @ll Ÿ ll?ll  ll@ll
Distancia en tre dos Vectores
La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos.
Definición: La distancia .Ð?ß @Ñ entre vectores ? y @ en ‘8 se define como
t t t t
Ô È# ×
t t t t
.Ð?ß @Ñ œ ll?  @llÞ
Ô ! ×
Õ  "Ø Õ  #Ø
t
Ejemplo: Encuentre la distancia entre ? œ " t
y@œ #
Solución:
Ángulo entre Vectores
t t t t t t
Consideremos los vectores, no paralelos ? y @ y el triángulo de lados ?ß @ y ?  @ß donde ) es
el ángulo entre ? y @ß siendo ? y @ vectores en ‘8 . Aplicando la ley de los cosenos a este
t t t t
triángulo, vemos que
ll?  @ll# œ ll?ll#  ll@ll#  # ll?ll ll@ll -9=)
t t t t t t
t t t
expandiendo el miembro izquierdo y utilizando ll@ll œ @ † @ varias veces, obtenemos que
ll?ll#  #Ð? † @Ñ  ll@ll# œ ll?ll#  ll@ll#  # ll?ll ll@ll -9=)
t t t t t t t t
t t t t
lo cual da ? † @ œ ll?ll ll@ll -9=)ß de lo que se deriva la siguiente definición.
Definición: Para vectores diferentes a cero ? y @ en ‘8 ß
t t
tt
?†@
-9=) œ t t
ll?ll ll@ll
Ejemplo: Calcule el ángulo entre los vectores ? œ Ò#ß "ß  #Ó y @ œ Ò"ß "ß "Ó
Solución:
Ejemplo: Calcule el ángulo entre las diagonales de dos caras adyacentes de un cubo.
Solucion.
Vectores Ortogonales
En ‘# y ‘$ dos vectores distintos de cero ? y @ son perpendiculares si el ángulo ) entre ellos
t t
1 tt
?†@
es un ángulo recto; es decir, si ) œ # radianes, o *!º. Así ll?ll ll@ll œ -9=Ð*!ºÑ œ !Þ
t t
Definición: Dos vectores ? y @ en ‘8 son ortogonales entre sí, si ? † @ œ !
t t t t
t t œ !ß para todo vector ? en ‘8 , el vector cero es ortogonal a todo vector.
Puesto que ? † ! t t
Ejemplo: En ‘$ ? œ Ò"ß "ß  #Ó y @ œ Ò$ß "ß #Ó son ortogonales, ya que ? † @ œ !.
t t t t
7

8. Proyecciones
t t
Consideremos dos vectores distintos de cero ? y @. Sea : el vector obtenido al trazar la
t t t t
perpendicular desde la cabeza de @ sobre ? y sea ) el ángulo entre ? y @.
Es evidente que t œ ll:llûß donde û œ Ð"Îll?llÑ? es el vector unitario en la direción de ?Þ
: t t t t
tt
?†@
t
Además ||:ll œ ll@ll-9=)ß y sabemos que -9=) œ ll?ll ll@ll Þ Después de la sustitución, tenemos
: œ ll@llŠ ll?ll ll@ll ‹Š ll?ll ‹? œ Š ll?ll# ‹? œ Š ?†? ‹?
t t
tt
?†@ " tt
?†@ tt
?†@
t t t t t t t t t t t
Definición: Si ? y @ son vectores en ‘8 y ? Á !ß entonces la proyección de @ sobre ? es el
vector proy? Ð@Ñ œ Š ll?ll# ‹?.
?†@
Ejemplo: Si + œ Ò"ß  #ß $Óß t œ Ò#ß  %ß !Ó y - œ Ò$ß  'ß  "ÓÞ Si ? œ " -  + y
t , t t $t t
t t t  %Ð " t  " +  " -Ñ:
@ œ #+  $, #, %t )t
t t
i) Obtenga T <9C? Ð@Ñ. t t
ii) Obtenga T <9C3? Ð@Ñ. t t
iii) Obtenga T <9C&? Ð$@Ñ.
Solución:
3 t t t 3 4 t
Definición: Sean ? œ ?"t  ?#4  ?$ 5 y @ œ @"t  @#t  @$ 5 vectores en el espacio. Se llama
t
â t t 5 â
â 3 t â
producto vectorial de ambos al vector
t œ â? ? ? â
â
$â
4
â " â
t t
â @" @# @$ â
t t
? ‚ @ œ Ð?# @$  ?$ @# Ñ3  Ð?" @$  ?$ @" Ñ4  Ð?" @#  ?# @" Ñ5 #
t 3 t t t t 4 t
Ejemplo: Dados ? œ t  #4  5 y @ œ $3  t  #5ß hallar
t t
a) ? ‚ @ t t
b) @ ‚ ? t t
c) @ ‚ @
Propiedades Algebraicas del Producto Vectorial
t t t
Sean ?ß @ y A vectores en el espacio y - un escalar, las siguientes propiedades son válidas.
1) t t t t
? ‚ @ œ  Ð@ ‚ ?Ñ
#Ñ t t t t t t t
? ‚ Ð@  AÑ œ ? ‚ @  ? ‚ A
3) t t t t t
-Ð? ‚ @Ñ œ -? ‚ @ œ ? ‚ -@t
4) t
?‚! tœ!‚?œ!
t t t
5) t t t
?‚?œ!
6) t t t t t t
? † Ð@ ‚ AÑ œ Ð? ‚ @Ñ † A
8

9. Demostración: Todas ellas se pueden demostrar escribiendo los vectores en forma de
componentes y aplicando entonces la definición del producto vectorial.
Teorema: Propiedades Geométricas del producto vectorial
t t t t
Si ? y @ son vectores no nulos del espacio y ) es el ángulo entre ? y @, entonces se verifican
las propiedades siguientes.
1) t t t
? ‚ @ es ortogonal a ambos, a ? y a @.t
2) t t t t
ll? ‚ @ll œ ll?ll ll@ll =/8)Þ
3) t t t t t
? ‚ @ œ ! si y sólo si ? y @ son múltiplos escalares el uno del otro.
4) t t t t
ll? ‚ @ll es igual al área del paralelógramo que tiene a ? y a @ como lados adyacentes.
ll?ll ll@ll =/8) œ ll?ll ll@ll È"  -9=#Ð)Ñ
Demostración:
tt
Ð?†@Ñ
#Ñ Como -9=) œ t t
Ðll?ll ll@llÑ se sigue que t t t t
œ ll?ll ll@ll É" 
t t Ð?†@Ñ#
tt
Ðll?ll ll@llÑ#
t t œ Èll?ll# ll@ll#  Ð? † @Ñ#
t t t t
œ ÈÐ?#  ?#  ?# ÑÐ@"  @#  @$ Ñ  Ð?" @"  ?# @#  ?$ @$ Ñ#
" # $
# # #
œ ÈÐÐ?# @$  ?$ @# Ñ#  Ð?" @$  ?$ @" Ñ#  Ð?" @#  ?# @" Ñ#
t t
œ ll? ‚ @llÞ
Demostración:
4) Para demostrar esta propiedad dibuje un paralelógramo de lados los vectores ? y @ yt t
t t t
proyecte el vector @ sobre ?. Dibuje la altura ( esta mide ll@ll =/8 )Ñ el área es ( base por
altura)
t t t t
ll?ll ll@ll =/8) œ ll? ‚ @llÞ
t t t t t
Observación: Los vectores ? ‚ @ y @ ‚ ?, son perpendiculares al plano determinado por ? y
t t t t t
@. Los tres vectores ?ß @ y ? ‚ @, forman un sistema positivo.
t
Ejemplo: Hallar un vector unitario que sea ortogonal a ? œ  "ß #ß $  y
t
@ œ   "ß #ß  "  Þ
Ejemplo: Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los tres
puntos Ð  "ß $ß !Ñß Ð&ß "ß #Ñ y Ð%ß  $ß  "ÑÞ
Ejercicio: Demostrar que el cuadrilátero de vértices en los puntos siguientes es un
paralelógramo, y hallar su área:
E œ Ð&ß #ß !Ñ F œ Ð#ß 'ß "Ñ G œ Ð#ß %ß (Ñ H œ Ð&ß !ß 'Ñ.
9

10. Rectas y Planos
Consideremos una partícula que se ubica inicialmente en el origen SÐ!ß !Ñ al tiempo > œ !, y
que se mueve a lo largo de la recta de manera que su coordenada B cambia en " unidad por
segundo. Entonces, para > œ " la partícula se localiza en Ð"ß  #Ñ, para > œ "Þ& se encuentra
en Ð"Þ&ß  $Ñ y, si permitimos que haya valores negativos de > ( es decir, consideremos dónde
estuvo la partícula en el pasado), para > œ  # se halla Ðo se hallaba) en Ð  #ß %ÑÞ
En general, si B œ >ß entonces C œ  #>ß y podemos expresar esta relación en forma
vectorial ” • œ ” • œ >”  # •Þ ¿ Cuál es el significado del vector . œ ”  # •? Es un
B > " t "
C  #>
vector particular paralelo a _, conocido como vector de dirección para la recta.
t t
Podemos escribir la ecuación de la recta como B œ >.ß esta es la forma vectorial de la
ecuación de _
Ejemplo: Consideremos la recta _ con ecuación #B  C œ &Þ Es evidente que el vector
.œ”
 #•
y 8 œ ” • son el vector de dirección y un vector normal a la recta..
t " #
t
"
t t t t
De este modo, la forma normal 8 † B œ 8 † : es apenas una representación diferente de la
forma general de la ecuación de la recta.
Definición: La forma normal de la ecuación de una recta _ en ‘# /=
t t t t t t t
8 † ÐB  :Ñ œ ! o 8 † B œ 8 † :
t t
donde : es un punto específico sobre _ y 8 Á ! es un vector normal para _.
La forma general de la ecuación de _ es +B  ,C œ - , donde 8 œ ” • es un vector normal
+
t
,
para _.
t t t t
Observe que para cada elección de Bß B  : debe ser paralelo al vector de dirección . . Es
t o B œ :  >. para algún escalar >. En términos de componentes tenemos que
decir B  : œ >. t t
t t t
” C • œ ” $ •  >”  # •
B " "
Ð"Ñ
10

11. Bœ">
C œ $  #> Ð#Ñ
La ecuación Ð"Ñ es la forma vectorial de la ecuación de _, y las ecuaciones en Ð#Ñ son
llamadas ecuaciones paramétricas de la recta, la variable > se denomina parámetro.
t
Definición: La forma vectorial de la ecuación de una recta _ en ‘# o ‘$ es B œ :  >. ,
t t
t
donde T es un punto específico sobre _ y . Á ! es un vector de dirección para _.
Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación se
denominan ecuaciones paramétricas de _.
Ejemplo: Encuentre las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta en ‘$ que pasa a través
Ô & ×
Õ $ Ø
t œ " Þ
del punto T œ Ð"ß #ß  "Ñ, paralela al vector .
ÔB× Ô " × Ô & ×
ÕD Ø Õ  "Ø Õ $ Ø
t t
Solución: La ecuación vectorial B œ :  >. t es C œ #  >  " Þ La forma
paramétrica es
B œ "  &>
C œ#>
D œ  "  $>
Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial de la recta _ en ‘$ , determinada por los puntos
T œ Ð  "ß &ß !Ñ y U œ Ð#ß "ß "ÑÞ
Ô $ ×
Õ " Ø
Solución: B  : œ >  % Þ
t t
Planos en ‘$
Definición: La forma normal de la ecuación de un plano c en ‘$ es
t t t
8 † ÐB  :Ñ œ ! t t t t
o 8†Bœ8†:
t t
donde : es un punto específico sobre c y 8 Á ! es un vector normalpara c .
Ô+×
Õ-Ø
La forma general de la ecuación de c es +B  ,C  -D œ . donde ? œ , es un vector
t
normal para c .
Ejemplo: Determine las formas normal y general de la ecuación del plano que contienen el
Ô"×
Õ$Ø
punto T Ð'ß !ß "Ñ y tiene como vector normal 8 œ # Þ
t
11

12. Ô'× ÔB×
Õ"Ø ÕDØ
Solución: Con : œ ! y B œ C , tenemos que 8 † : œ *, de manera que la ecuación
t t t t
t t t t
normal 8 † B œ 8 † : se convierte en la ecuación general B  #C  $D œ *Þ
Definición: La forma vectorial de la ecuación de un plano c en ‘$ es
t t t t
B œ :  =?  >@
t t t t
donde T es un punto en c y ? y @ son vectores de dirección para c Ð? y @ son distintos de
cero y paralelos a c , pero no paralelos entre sí).
Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación son
conocidas como ecuaciones paramétricas de c .
Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial y paramétrica para el plano del ejemplo anterior.
Solución: Necesitamos encontrar dos vectores de dirección. Tenemos T œ Ð'ß !ß "Ñ en el
t
plano; si podemos encontrar otros dos puntos en U y V en c , entonces los vectores T U y T V t
pueden servir como vectores de dirección. Por ensayo y error, observamos que UÐ*ß !ß !Ñ y
V œ Ð$ß $ß !Ñ satisfacen la ecuación general B  #C  $D œ *ß por lo cual se encuentran en el
Ô $ × Ô  $×
Õ  "Ø Õ  "Ø
tœ;: œ
plano. Así, calculamos ? œ T U t t
t ! t œ<: œ
y @ œ TV t t
t $ ß los que
servirán como vectores de dirección. Por lo tanto, tenemos la ecuación vectorial de cÞ
ÔB× Ô'× Ô $ × Ô  $×
ÕD Ø Õ"Ø Õ  "Ø Õ  "Ø
C œ ! > ! = $ y las correspondientes ecuaciones paramétricas,
B œ '  $>  $=
C œ $=
D œ">=
Ejemplo: Obtenga la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos T Ð"ß  #ß &Ñ,
UÐ$ß #ß  "Ñ y VÐ  "ß  #ß #ÑÞ
Solución:
Observación:
Un plano es un objeto bidimensional, y su ecuación, en forma vectorial o paramétrica,
requiere de dos parámetros.
12

13. Ecuación Normal de una Recta en ‘$
t t
Un punto T sobre la recta _ y dos vectores normales no paralelos 8" y 8# sirven para
$
localizar de manera única una recta _ en ‘ , puesto que _ debe ser entonces la recta a través
t t t t
de T que es perpendicular al plano con ecuación B œ :  =8"  >8# Þ De esta forma, una recta
$
en ‘ también puede estar especificada por un par de ecuaciones
+ " B  ," C  - " D œ . "
+# B  ,# C  -#" D œ .#
Cada una correspondiendo a cada vector normal. Pero ya que estas ecuaciones corresponden a
un par de planos no paralelos, esta es precisamente la descripción de una línea recta como la
intersección de dos planos no paralelos.
Ecuaciones de rectas en ‘#
Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica
œ C œ :  >.
t B œ :"  >."
t t t t
8†Bœ8†: +B  ,C œ - t t
B œ :  >.
# #
Ecuaciones de Rectas y Planos en ‘$
Ú B œ :  >.
Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica
œ8 † B œ 8 † : œ+ B  , C  - D œ . Û C œ :#  >.#
" "
t t t t
8" † B œ 8" † :" +" B  ," C  -" D œ ." t
Ü D œ :$  >.$
Rectas t t
B œ :  >.
t t t t
Ú B œ :  =?  >@
# # # # # # #
Û C œ :#  =?#  >@#
" " "
Ü D œ :$  =?$  >@$
Planos t t t t
8†Bœ8†: +B  ,C  -D œ . t t t t
B œ :  =?  >@
Distancia desde un Punto a una Recta
Encuentre la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta la línea _ pasando por el punto
Ô  "×
Õ ! Ø
E œ Ð$ß "ß "Ñ con vector de dirección .tœ " Þ
t
Solución: Se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre _ que se ubica al
t t t
pie de la perpendicular desde F . Si denotamos @ œ EF , entonces ET œ :<9C. Ð@Ñ yt
t
T F œ @  @  :<9C. Ð@ÑÞ Haremos los cáculos necesarios en varios pasos.
Ô"× Ô$× Ô  #×
Õ#Ø Õ"Ø Õ " Ø
Paso 1: @ œ EF œ t  + œ !  " œ  "
t t , t
13

14. Ô  "×
Paso 2: La proyección de @ sobre . es proy. Ð@Ñ œ Š .†. ‹. œ
Õ ! Ø
t t t
.†@ t "
t t t t " Þ #
Ô  #× Ô  # × Ô  # ×
Paso 3: El vector que queremos es t  :<9C. Ð@Ñ œ  "  Ö " Ù œ Ö  $ Ù
" $
Õ " Ø Õ ! Ø Õ "# Ø
@ t #
Ô #×
Paso 4: La distancia .ÐFß _Ñ desde F hasta _ es ll@  proy. Ð@Ñll œ ººÖ  $ Ùºº œ " È##Þ
$
Õ " Ø
t t # #
t t
En términos de la notación anterior, .ÐFß _Ñ œ .Ð@ß :<9C. Ð@ÑÑÞ
En el caso donde la línea _ está en ‘# y su ecuación tiene la forma general +B  ,C œ -ß la
È+# ,#
distancia .ÐFß _Ñ desde FÐB! ß C! Ñ está dada por la fórmula .ÐFß _Ñ œ l+B! ,C! -l Þ
Distancia desde un Punto a un Plano
Ejemplo: Determine la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta el plano c cuya ecuación
general es B  C  D œ "Þ
Ò
Solución: En este caso se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre c que
se encuentra al pie de la perpendicular desde FÞ Como lo muestra la figura.
14

15. Ô " ×
Õ  "Ø
Si E es cualquier punto sobre c y situamos el vector normal 8 œ t " de c de modo que
Ò
su cola se localice en Eß entonces, se requiere hallar la longitud de la proyección de AB sobre
t.
8 De nuevo, se harán los cálculos necesarios por pasos.
Paso1: Por ensayo y error encontramos cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la
ecuación B  C  D œ "Þ E œ Ð"ß !ß !Ñ lo hace.
Ô"× Ô"× Ô!×
Õ#Ø Õ!Ø Õ#Ø
Paso 2: Establezca @ œ EF œ t  + œ
t t , t !  ! œ ! Þ
t t
Paso 3: La proyección de @ sobre 8 es
Ô " × Ô
#×
Ô " ×
T <9C8 Ð@Ñ œ Š 8†8 ‹8 œ "†!"†!"†# ‹ † œÖ $Ù
$
Õ  "Ø Õ  "Ø Õ # Ø
t t
@†8 #
t t t t t ""Ð"Ñ#
" œ #
$
"
Ô " ×
$
Paso 4: La distancia .ÐFß c Ñ desde F hasta c es llproy8 Ð@Ñ œ l  # l ¿ " ¿ œ # È$
Õ  "Ø
t t $ $
En general, la distancia .ÐFß c Ñ desde el punto F œ ÐB! ß C! ß D! Ñ hasta el plano cuya ecuación
general es +B  ,C  -D œ . está dad por la fórmula
È+# ,# - # Þ
l+B! ,C! -D! .l
.ÐFß c Ñ œ
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