Compendio-Fisica Unidad I.pdf

FISICA I
Cinemática de la Partícula en una y dos Dimensiones
2 créditos
Profesor Autor:
Ing. Iris Anyelito Solórzano Quiroz, Mg
Tutorías: El profesor asignado se publicará en el entorno virtual de aprendizaje
online.utm.edu.ec), y sus horarios de conferencias se indicarán en la sección CAFETERÍA
VIRTUAL.
PERÍODO OCTUBRE 2022/FEBRERO 2023
Titulaciones Semestre
• FISICA Segundo

Índice
Tabla de contenido
Introducción.................................................................................................................................................. 1
Tema 1: Partícula y sistema de referencia .................................................................................................... 2
Tema 2: Posición, desplazamiento y distancia.............................................................................................. 4
Posición..................................................................................................................................................... 6
Vector Posición. ........................................................................................................................................ 6
Desplazamiento. ....................................................................................................................................... 6
Trayectoria................................................................................................................................................ 7
Distancia ................................................................................................................................................... 7
Tema 3. Velocidad y rapidez media .............................................................................................................. 9
Tema 4. Velocidad y rapidez instantánea ................................................................................................... 12
Tema 5. Aceleración media e instantánea .................................................................................................. 16
Tema 6. Movimiento con velocidad constante y análisis gráfico ................................................................ 21
Tema 7: Movimiento con aceleración constante y análisis gráfico............................................................. 27
Tema 8: Cuerpos en caída libre................................................................................................................... 37
Tema 9. Movimiento de proyectiles ........................................................................................................... 39
Tema 10. Aspectos básicos del movimiento circular................................................................................... 44
Retroalimentación ...................................................................................................................................... 51
Preguntas de repaso. .............................................................................................................................. 51
Ejercicios Propuestos .............................................................................................................................. 52
Anexos ........................................................................................................................................................ 53
Unidades de medida ............................................................................................................................... 53
Ejemplos de magnitudes escalares ......................................................................................................... 54
Ejemplos de magnitudes vectoriales....................................................................................................... 55
Bibliografía.................................................................................................................................................. 58

Organización de la lectura para el estudiante por semana del compendio
Semanas Paginas
Semana 1 Página 1 -12
Semana 2 Página 12 - 37
Semana 3 Página 37 – 39
Semana 4 Página 39 - 49
Tabla de figuras
Figura 1. Planeta tierra como partícula......................................................................................................... 3
Figura 2. Sistema de coordenadas ................................................................................................................ 4
Figura 3. Una partícula que se mueve en el plano xy.................................................................................... 5
Figura 4. Desplazamiento y distancia............................................................................................................ 5
Figura 5. Posición en forma escalar .............................................................................................................. 6
Figura 6. Posición en forma vectorial............................................................................................................ 6
Figura 7. El desplazamiento de una partícula I.............................................................................................. 7
Figura 8. El desplazamiento de una partícula II............................................................................................. 7
Figura 9. Desplazamiento, trayectoria y distancia ........................................................................................ 7
Figura 10. Gráfica que representa el movimiento del automóvil en dos escalas. ....................................... 12
Figura 11. La representación funcional de la posición y el tiempo ............................................................. 13
Figura 12. La recta secante ......................................................................................................................... 14
Figura 13. La recta tangente ....................................................................................................................... 14
Figura 14. Carrera de Auto.......................................................................................................................... 18
Figura 15. Grafica velocidad versus tiempo ................................................................................................ 18
Figura 16. Movimiento uniforme................................................................................................................ 21
Figura 17. Partícula bajo velocidad constante unidimensional................................................................... 23
Figura 18. Partícula bajo velocidad constante. ........................................................................................... 23
Figura 19. Partícula bajo rapidez constante................................................................................................ 23
Figura 20. Uso de una gráfica x-t y su representación de velocidad media e instantánea.......................... 24
Figura 21. Gráfica de la posición x de una partícula versus el tiempo......................................................... 25
Figura 22. Gráfica v-t................................................................................................................................... 25
Figura 23. Gráfica de la posición x de una partícula versus el tiempo......................................................... 26
Figura 24. Gráfica de velocidad de una partícula versus el tiempo............................................................. 26
Figura 25. La recta tangente (velocidad instantánea) ................................................................................. 27
Figura 26. Partícula bajo aceleración constante 𝑎𝑥 , en grafica x-t, grafica v-t y grafica a-t. ...................... 33
Figura 27. Partícula bajo velocidad constante unidimensional................................................................... 33
Figura 28. Variación de la velocidad ........................................................................................................... 33
Figura 29. Aceleración con respecto al tiempo ........................................................................................... 34
Figura 30. Espacio con respecto al tiempo.................................................................................................. 34
Figura 31. Etapas el movimiento de la partícula en MRUA ......................................................................... 35

Figura 32. Aceleración constante de una partícula..................................................................................... 35
Figura 33. La trayectoria de un proyectil .................................................................................................... 40
Figura 34. Las componentes de la velocidad inicial v0x y v0y de un proyectil............................................... 42
Figura 35. Representación gráfica de fuerza centrífuga.............................................................................. 45
Figura 36. Representación de un vehículo que se mueve en una trayectoria circular. ............................... 46
Figura 37. Relación entre las aceleraciones tangencial y centrípeta........................................................... 47
Figura 38. Aceleración centrípeta y tangencial ........................................................................................... 48
Figura 39. Circunferencia completa en radianes......................................................................................... 48
Figura 40. Angulo en radianes..................................................................................................................... 49

Resultado de aprendizaje de la asignatura
Aplicar las teorías, leyes y principios para el estudio del comportamiento de los fenómenos
físicos, integrar la formación académica de la física, tomando en cuenta que todo
fenómeno natural o toda aplicación tecnológica, está basado en leyes fundamentales de
la física para afrontar los problemas a los que se enfrentan los profesionales.
Unidad 1 Cinemática de la Partícula en una y dos Dimensiones
Resultado de aprendizaje de la unidad: Aplicar los conceptos y modelos matemáticos
para describir e interpretar fenómenos referentes a la Cinemática en una y dos
dimensiones.

Ilustraciones graficas
Sabías que. - La presente imagen dentro del manual mostrara información
interesante y novedosas de la asignatura.
Recuerde que. - La presente imagen dentro del manual permite recordar información
que es relevante y que vas necesitar en tu vida profesional.
Comprueba tu aprendizaje. – Es un cuestionario de un conjunto de preguntas que
se confecciona para obtener información con algún objetivo en concreto. Por cada tema
de la unidad se tendrá cuestionario que el estudiante debe resolver entre preguntas
teóricas y prácticas.
Videos. - Para complementar contenidos de la unidad dentro del manual se tiene
videos que permitirá al estudiante revisar y explorar conocimientos auditivos y visuales.
Curiosidades. - La presente imagen en el manual mostrara información que debes
conocer de la asignatura.
Datos útiles. – La presente imagen en el manual mostrara información que deberás
tomar en cuenta en otras unidades de la asignatura o de otras asignaturas en semestre
superiores.

1
Introducción.
El estudio del movimiento de objetos, y los conceptos afines de fuerza y energía,
constituyen el campo llamado mecánica. En general, la mecánica se divide en dos partes:
cinemática, que es la descripción de cómo se mueven los objetos, y dinámica, que
estudia la fuerza y las causas que provocan que los objetos se muevan como lo hacen.
Por ahora sólo se tratarán los objetos que se mueven sin rotación. A tal movimiento se le
conoce como movimiento de traslación. El enfoque de la unidad estará en la descripción
de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta, que es un
movimiento de traslación unidimensional. También el movimiento de traslación en dos (o
tres) dimensiones a lo largo de trayectorias que no son rectas.
Describiremos el movimiento de una partícula de dos maneras: con ecuaciones
matemáticas y con gráficas. Cualquier manera es apropiada para el estudio de la
cinemática, y comenzaremos usando ambos métodos. El enfoque matemático es
usualmente mejor para resolver problemas, porque permite más precisión que el método
gráfico. El método gráfico es útil porque a menudo provee más introspección física que
un grupo de ecuaciones matemáticas
Cinemática es estudio del movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que
lo producen. También recibe el nombre de geometría del movimiento porque ella
simplemente describe el movimiento de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia
en términos de las variables cinemáticas.

2
Tema 1: Partícula y sistema de referencia
El modelo de partículas es útil en muchas situaciones prácticas, en cuyo caso solo
estamos interesados en el movimiento de traslación, y el tamaño del objeto no es
importante. El autor Giancoli en su libro en su libro Física para Ciencia e ingeniería,
expresa:
A menudo usaremos el concepto, o modelo, de partícula idealizada, que se
considera como un punto matemático sin extensión espacial (sin tamaño). Una
partícula puede tener sólo movimiento traslacional. El modelo de partícula es útil en
muchas situaciones reales, donde nos interesa sólo un movimiento traslacional y no
es importante el tamaño del objeto. Por ejemplo, para muchos fines, podríamos
considerar una bola de billar, o incluso una nave espacial que viaja hacia la Luna,
como una partícula (Giancoli, 2008, pág. 19).
El propio autor argumenta respecto a sistema de referencia:
Toda medición de posición, distancia o rapidez debe realizarse con respecto a un
marco de referencia unidad. Siempre es importante especificar el marco de
referencia al indicar una rapidez. En la vida diaria, por lo general al hablar de una
rapidez implícitamente queremos decir “con respecto a la Tierra”, pero el marco de
referencia debe especificarse siempre que pueda haber confusiones (Giancoli, 2008,
pág. 19).
Por otra parte, Serway & Vuille, en su libro Fundamento de la Física expresa:
Un marco de referencia es una elección de ejes coordenados que definen el punto
de inicio para medir cualquier cantidad, una primera etapa esencial en la solución
implícita de cualquier problema en mecánica. Las coordenadas en cualquier
momento describen su posición en el espacio y lo más importante, su

3
desplazamiento en algún tiempo de interés dado (Raymond A. Serway & Chris Vuille,
2012, pág. 26).
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican como punto de
referencia al punto considerado fijo, a partir del cual el móvil cambia de posición y partícula
un ente físico cuyas dimensiones son pequeñas en comparación con las distancias de
interacción, si comparamos las dimensiones del Sistema Solar con las dimensiones de la
tierra, el planeta Tierra es una partícula.
Figura 1. Planeta tierra como partícula
Fuente: Elaboración propia del autor, 2020
Un sistema de referencia es un eje de coordenadas espaciales a partir del cual se toman
medidas del movimiento, este sistema de referencia debe ser Inercial, es decir estar en
reposo o con velocidad constante MRU, es decir al punto considerado fijo, a partir del cual
el móvil cambia de posición. Normalmente en Física usamos el sistema formado por los
ejes cartesianos y las coordenadas cartesianas como sistema de referencia. Este sistema
está formado por 3 o 2 ejes perpendiculares llamado espacio o plano respectivamente e
incluso, un único eje conocido como 1 dimensión o recta.

4
Figura 2. Sistema de coordenadas
Fuente: Elaboración propia del autor
Tema 2: Posición, desplazamiento y distancia.
El libro Física para ciencias e ingeniería de Serway & Jewett, expresan: “el movimiento de
una partícula se conoce por completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce
en todo momento. La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a
un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado”
(Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr., 2005, pág. 20).
El mismo autor argumenta:
Comienza por describir la posición de la partícula mediante su vector de posición 𝑟
⃗,
que se dibuja desde el origen de algún sistema coordenado a la posición de la
partícula en el plano xy, como en la figura. En el tiempo ti, la partícula está en el
punto Ⓐ, descrito por el vector de posición 𝑟
⃗𝑖. En un tiempo posterior tf, está en el
punto Ⓑ, descrito por su vector de posición 𝑟
⃗𝑓. La trayectoria de Ⓐ a Ⓑ no
necesariamente es una línea recta. Conforme la partícula se mueve de Ⓐ a Ⓑ en el
intervalo de tiempo ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖, su vector de posición cambia de 𝑟
⃗𝑖 a 𝑟
⃗𝑓 . El
desplazamiento es un vector, y el desplazamiento de la partícula es la diferencia
entre su posición final y su posición inicial. Ahora se define el vector desplazamiento
𝑟
⃗ para una partícula, como la diferencia entre su vector de posición final y su vector
de posición inicial: (Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr., 2005, pág. 71) .

5
Figura 3. Una partícula que se mueve en el plano xy
Fuente. (Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr., 2005, pág. 20)
Por otra parte, Giancoli Douglas expresa: “hacer una distinción entre la distancia recorrida
por un objeto y su desplazamiento, el cual se define como el cambio de posición del objeto.
Es decir, el desplazamiento muestra qué tan lejos está el objeto del punto de partida”
(Giancoli, 2008, pág. 20).
Tomando el ejemplo citado por el mismo autor:
Para ver la distinción entre distancia total y desplazamiento, imagine una persona
que camina 70 m hacia el este y que luego regresa al oeste una distancia de 30 m
(véase la figura 2). La distancia total recorrida es de 100 m, pero el desplazamiento
es sólo de 40 m, ya que la persona está ahora a sólo 40 m del punto de partida. El
desplazamiento es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Tales cantidades
se llaman vectores y se representan usando flechas en los diagramas. Por ejemplo,
en la figura 2-4, la flecha gruesa representa el desplazamiento, cuya magnitud es de
40 m y cuya dirección es hacia la derecha (este) (Giancoli, 2008, pág. 20).
Figura 4. Desplazamiento y distancia
Fuente: (Giancoli, 2008, pág. 20)

6
Posición
La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de
referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado.
Para definir la posición de una partícula con respecto a un sistema de referencia existen
dos métodos. El primero define la posición en forma escalar y el segundo define la
posición en forma vectorial.
La posición en forma escalar es la distancia que existe entre el origen del sistema de
referencia y el punto donde se encuentra la partícula y puede ser un número positivo o
negativo. La posición se representa entonces como las coordenadas del punto. En un
sistema de coordenadas unidimensional esto se representa como P(x).
Figura 5. Posición en forma escalar
Fuente: Elaboración propia del autor
Vector Posición.
La posición en forma vectorial se denota por el vector posición que es el vector
trazado desde el origen hasta el punto donde se encuentra la partícula. El vector posición
para una partícula que se encuentra en la coordenada x se representa como 𝒓
⃗⃗ = 𝒙𝒊̂.
Figura 6. Posición en forma vectorial
Desplazamiento.
El desplazamiento es el cambio de posición que experimenta una partícula con respecto
a un sistema de referencia, en un determinado tiempo.
𝒓
⃗⃗ = 𝒙𝒊̂

7
∆𝑟
⃗ = 𝑟
⃗ − 𝑟
⃗𝑜 = (𝑥 − 𝑥𝑜)𝑖̂ + (𝑦 − 𝑦𝑜)𝑗̂ + (𝑧 − 𝑧𝑜)𝑘
̂ ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑜
Figura 7. El desplazamiento de una partícula I
El desplazamiento es una cantidad vectorial y es la recta dirigida que une la posición
inicial con la posición final y matemáticamente es la posición final menos la
posición inicial. La unidad SI del desplazamiento es el metro.
∆𝑟 = 𝑟𝑏 − 𝑟𝑏 = (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)𝑖
Figura 8. El desplazamiento de una partícula II
Trayectoria
Cuando un objeto se mueve, ocupa diferentes posiciones consecutivas a lo largo del tiempo
describiendo una línea, por tal caso la trayectoria es la línea que un móvil describe durante su
movimiento.
Distancia
La distancia recorrida es el valor absoluto del desplazamiento o la longitud medida
sobre la trayectoria.
Figura 9. Desplazamiento, trayectoria y distancia
1

8
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican como
posición la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se
considera el origen de un sistema coordenado, la posición en forma vectorial se el vector
trazado desde el origen hasta el punto donde se encuentra la partícula. El vector posición
para una partícula que se encuentra en la coordenada x se representa como 𝑟
⃗ = 𝑥𝑖̂. El
desplazamiento es el cambio de posición que experimenta una partícula con respecto a
un sistema de referencia, en un determinado tiempo. El desplazamiento es una cantidad
vectorial y es la recta dirigida que une la posición inicial con la posición final y
matemáticamente es la posición final menos la posición inicial.
∆𝑟
⃗ = 𝑟
⃗ − 𝑟
⃗𝑜 = (𝑥 − 𝑥𝑜)𝑖̂ + (𝑦 − 𝑦𝑜)𝑗̂ + (𝑧 − 𝑧𝑜)𝑘
̂ ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑜
∆𝑟
⃗ = 𝑟
⃗ − 𝑟
⃗𝑜
La distancia recorrida es el valor absoluto del desplazamiento o la longitud medida sobre
la trayectoria.
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican como posición
la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el
origen de un sistema coordenado, la posición en forma vectorial se el vector trazado desde
el origen hasta el punto donde se encuentra la partícula. El vector posición para una
partícula que se encuentra en la coordenada x se representa como 𝑟
⃗ = 𝑥𝑖̂. El
desplazamiento es el cambio de posición que experimenta una partícula con respecto a
un sistema de referencia, en un determinado tiempo. El desplazamiento es una cantidad
vectorial y es la recta dirigida que une la posición inicial con la posición final y
matemáticamente es la posición final menos la posición inicial.
∆𝑟
⃗ = 𝑟
⃗ − 𝑟
⃗𝑜 = (𝑥 − 𝑥𝑜)𝑖̂ + (𝑦 − 𝑦𝑜)𝑗̂ + (𝑧 − 𝑧𝑜)𝑘
̂ ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑜
∆𝑟
⃗ = 𝑟
⃗ − 𝑟
⃗𝑜
1
1

9
La distancia recorrida es el valor absoluto del desplazamiento o la longitud medida sobre
la trayectoria.
Tema 3. Velocidad y rapidez media
Cuando una partícula se mueve, no solo nos interesa la posición que ocupa, sino también
la velocidad a la que se mueve. ¿Cómo definimos la velocidad o rapidez de un objeto en
movimiento? Primero discutiremos el concepto de velocidad media, como también rapidez
media y luego obtendremos la definición de velocidad instantánea y rapidez instantánea.
El autor Paul E. Tippens en su libro Física conceptos y aplicaciones enuncia el tipo más
sencillo de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento rectilíneo
uniforme:
Si el objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo, se
dice que se mueve con rapidez constante. Por ejemplo, si un tren recorre 8 m de vía
por cada segundo que se mueve, se dice que tiene una rapidez constante de 8 ms.
Ya sea que la rapidez sea constante o no, la rapidez media de un objeto en
movimiento se define como (Tippens, 2016, pág. 112).
𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
Es importante observar que la rapidez es una cantidad escalar totalmente independiente
de la dirección, “El uso cotidiano, los términos rapidez y velocidad son intercambiables.
Sin embargo, en física existe una distinción evidente entre ellos: rapidez es una cantidad
escalar, sólo tiene magnitud, mientras que la velocidad es un vector, pues tiene magnitud
y dirección” (Raymond A. Serway & Chris Vuille, 2012, pág. 27).
Otra definición que posee puntos de coincidencia con la anterior es la propuesta:

10
Los términos “velocidad” y “rapidez” a menudo se utilizan indistintamente en el
lenguaje cotidiano. Sin embargo, en física hacemos una distinción entre ambos. La
rapidez es simplemente un número positivo con unidades. Por otro lado, el término
velocidad se usa para indicar tanto la magnitud (es decir, el valor numérico) de qué
tan rápido se mueve un objeto, como la dirección en la que se mueve. (Por lo tanto,
la velocidad es un vector). Existe una segunda diferencia entre rapidez y velocidad;
a saber, la velocidad promedio se define en términos del desplazamiento, en vez de
la distancia total recorrida: (Giancoli, 2008, pág. 20),
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican como la rapidez
promedio de una partícula, una cantidad escalar, se define como la distancia total
recorrida dividida entre el intervalo de tiempo total requerido para recorrer dicha distancia:
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑑
∆𝑡
La velocidad promedio de una partícula se define como el desplazamiento ∆𝑟
⃗ de la
partícula dividido entre el intervalo de tiempo ∆t durante el que ocurre dicho
desplazamiento:
𝑣
⃗𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑟
⃗
∆𝑡
Problema 1.
En la figura P2.1 se muestra la posición en función del tiempo para cierta partícula que se
mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los siguientes intervalos
de tiempo.
3
2

11
a) 0 a 2s,
b) 0 a 4s,
c) 2s a 4s,
d) 4s a 7s,
e) 0 a 8s.
Fuente: (Física para ciencia e ingeniera, pág. 46, ejercicio 1, Raymond A. Serway & John W. Jewett)
Desarrollo
a) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos t = 0 seg a 2 seg.
𝑣
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
𝑟
⃗ − 𝑟
⃗0
𝑡 − 𝑡0
=
10𝑚 − 0𝑚
(2 − 0)𝑠
=
10𝑚
2𝑠
= 5
𝑚
𝑠
b) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos t = 0 seg a 4 seg.
𝑣
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
𝑟
⃗ − 𝑟
⃗0
𝑡 − 𝑡0
=
5𝑚 − 0𝑚
(4 − 0)𝑠
=
5𝑚
4𝑠
= 1,25
𝑚
𝑠
c) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos t = 2 seg a 4 seg.
𝑣
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
𝑟
⃗ − 𝑟
⃗0
𝑡 − 𝑡0
=
5𝑚 − 15𝑚
(4 − 2)𝑠
= −
5𝑚
2𝑠
= −2,5
𝑚
𝑠
d) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos t = 4 seg a 7 seg.
𝑣
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
𝑟
⃗ − 𝑟
⃗0
𝑡 − 𝑡0
=
−5𝑚 − 5𝑚
(7 − 4)𝑠
=
−10𝑚
3𝑠
= −3,33
𝑚
𝑠
e) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos t = 0 seg a 8 seg.
𝑣
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
𝑟
⃗ − 𝑟
⃗0
𝑡 − 𝑡0
=
0𝑚 − 0𝑚
(8 − 0)𝑠
=
−0𝑚
8𝑠
= 0
𝑚
𝑠

12
Tema 4. Velocidad y rapidez instantánea
Cuando nos referimos a la velocidad de una partícula podemos estar hablando de la
velocidad media, de la velocidad máxima, de la velocidad límite, de la velocidad mínima,
etc. Pero si no lo especificamos, se sobreentiende que hablamos de la velocidad
instantánea.
En su libro Física para ciencia e ingeniería, de Serway & Jewett, Jr., indica “con frecuencia
es necesario conocer la velocidad de una partícula en un instante específico en el tiempo
en lugar de la velocidad promedio durante un intervalo de tiempo finito” (Raymond A.
Serway & John W. Jewett, Jr., 2005, pág. 23).
En otras palabras, poder especificar con precisión su velocidad y su ubicación prestando
atención a lo que está sucediendo en una lectura de reloj en particular; en un momento
específico.
Considere la figura la velocidad promedio para el intervalo durante el cual el
automóvil se mueve desde la posición Ⓐ hasta la posición Ⓑ (dada por la pendiente
de la línea azul) y para el intervalo durante el cual se mueve de Ⓐ a Ⓕ (representado
por la pendiente de la línea azul más larga)” (Raymond A. Serway & John W. Jewett,
Jr., 2005, pág. 23).
Figura 10. Gráfica que representa el movimiento del automóvil en dos escalas.
Fuente: (Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr., 2005, pág. 23)

13
El automóvil comienza a moverse hacia la derecha, que se define como la dirección
positiva. Debido a esto, al ser positivo, el valor de la velocidad promedio durante el
intervalo de Ⓐ a Ⓑ es más representativo de la velocidad inicial que el valor de la
velocidad promedio durante el intervalo de Ⓐ a Ⓕ. Ahora enfóquese en la línea azul
corta y deslice el punto Ⓑ hacia la izquierda a lo largo de la curva, hacia el punto
Ⓐ. La línea entre los puntos se vuelve cada vez más inclinada, y conforme los dos
puntos se vuelven en extremo próximos, la línea se convierte en una línea tangente
a la curva, indicada por la línea verde. La pendiente de esta línea tangente
representa la velocidad del automóvil en el punto Ⓐ. En otras palabras, la velocidad
instantánea vx es igual al valor límite de la proporción
∆𝑟
⃗
∆𝑡
conforme ∆t tiende a cero:
𝑣
⃗𝑥 ≡ lim
∆𝑡→0
∆𝑟
⃗
∆𝑡
En notación de cálculo, este límite se llama derivada de x respecto a t, que se escribe
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑣
⃗𝑥 ≡ lim
∆𝑡→0
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
𝑑𝑟
⃗
𝑑𝑡
La figura siguiente presenta un sistema de coordenadas rectangulares en donde se
representa gráficamente la relación existente entre la posición y el tiempo por la curva x =
x(t).
Figura 11. La representación funcional de la posición y el tiempo
Nota. a) Gráfica que representa el movimiento del automóvil. b) Una ampliación de la esquina superior izquierda de la
gráfica muestra cómo la línea azul entre las posiciones Ⓐ y Ⓑ tiende a la línea tangente verde conforme el punto Ⓑ
se mueve más cerca del punto Ⓐ.
4

14
La figura siguiente representa la recta secante que corta a la curva en dos puntos
Figura 12. La recta secante
Las coordenadas del punto P1(t1, x1) y las coordenadas del punto P2(t2, x2). La pendiente de esta recta es
la tangente trigonométrica del ángulo que la recta forma con la horizontal, es decir
𝑡𝑎𝑛(𝜃) =
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
Este valor no es otra cosa que la velocidad media de la partícula.
Si en la siguiente rotamos la recta secante con respecto al punto P1, observamos que el intervalo
de tiempo ∆t se hace cada vez más pequeño hasta que finalmente tiende a cero en cuyo caso la
recta secante se convierte en recta tangente que es aquella que toca la curva en un solo punto y
esta recta tangente no es otra cosa que la velocidad instantánea.
En este punto es importante recordar entonces que la velocidad media se mide entre dos
tiempos mientras que la velocidad instantánea se mide en un solo tiempo.
Figura 13. La recta tangente
La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de su velocidad
instantánea. Como con la rapidez promedio, la rapidez instantánea no tiene dirección
asociada con ella (Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr., 2005, pág. 24)
5

15
Los automóviles no siempre pueden viajar a rapidez constante por largos espacios
de tiempo. Al ir del punto A al B, quizá sea necesario ir más despacio o más rápido
debido a las condiciones del camino. Por ello, a veces es útil hablar de rapidez
instantánea o velocidad instantánea. (Tippens, 2016, pág. 113).
La rapidez instantánea es una cantidad escalar que representa la rapidez en el
instante en que el automóvil está en un punto arbitrario C. Por consiguiente,
es la razón de cambio de la distancia respecto al tiempo.
La velocidad instantánea es una cantidad vectorial que representa la velocidad
vi en cualquier punto C. Es, en consecuencia, la razón de cambio del desplazamiento
respecto al tiempo (Tippens, 2016, pág. 113).
Ejercicio. 2
Encuentre la velocidad instantánea de la partícula descrita en la figura P2.1 en los
siguientes tiempos:
a) t = 1.0 s,
b) t = 3.0 s,
c) t = 4.5 s,
d) t = 7.5 s.
Fuente: Física para ciencia e ingeniera, pág. 46, ejercicio 8, Jewett Serway
Resolución
a) En 1 segundo la particular se encuentra en la pendiente comprendida entre 0 y 2
segundos en la gráfica, esto quiere decir que en una gráfica velocidad vs tiempo,
la velocidad es constante (velocidad promedio es igual a la velocidad
instantánea).
𝑣
⃗𝑥 =
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
(5 − 0)𝑚
(1 − 0)𝑠
= 5𝑚/𝑠
b) En los 3 segundos la particular se encuentra en la pendiente comprendida entre 2
y 4 segundos en la gráfica, esto quiere decir que en una gráfica velocidad vs
tiempo, la velocidad es constante (velocidad promedio es igual a la velocidad
instantánea).

16
𝑣
⃗𝑥 =
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
(5 − 10)𝑚
(4 − 2)𝑠
= −2,5𝑚/𝑠
c) En los 4.5 segundos la particular se encuentra en la recta comprendida entre 4 y 5
segundos en la gráfica, esto quiere decir que en una gráfica velocidad vs tiempo,
la velocidad es cero (velocidad promedio es igual a la velocidad instantánea).
𝑣
⃗𝑥 =
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
(5 − 5)𝑚
(5 − 4)𝑠
= 0
d) En los 7.5 segundos la particular se encuentra en la pendiente comprendida entre
7 y 8 segundos en la gráfica, esto quiere decir que en una gráfica velocidad vs
tiempo, la velocidad es constante (velocidad promedio es igual a la velocidad
instantánea).
𝑣
⃗𝑥 =
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
(0 − (−5))𝑚
(8 − 7)𝑠
= 5𝑚/𝑠
Tema 5. Aceleración media e instantánea
Una idea que tenemos de la magnitud aceleración es cuando un móvil o partícula cambia
su velocidad con el tiempo.
Cuando el móvil empieza la marcha estando detenido o cuando el mismo tiene una
velocidad fija determinada y en el caso de un vehículo se pisa el acelerador, este aumenta
de velocidad. También se acelera cuando estando en movimiento con una velocidad
determinada, se pisa el pedal del freno: la velocidad del vehículo se reduce, y puede llegar
a detenerse al mantener el pie en el freno. En este último caso, la aceleración reduce la
velocidad (también decimos que el vehículo se desacelera, o frena).
Los autores Young & Freedman en su libro Física Universitaria, expresan:
“Así como la velocidad describe la tasa de cambio de posición con el tiempo, la
aceleración describe la tasa de cambio de velocidad con el tiempo. Al igual que la
velocidad, la aceleración es una cantidad vectorial. En el movimiento rectilíneo, su

17
única componente distinta de cero está sobre el eje en que ocurre el movimiento.
Como veremos, en el movimiento rectilíneo la aceleración puede referirse tanto a
aumentar la rapidez”. (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009, pág. 43)
Por lo tanto, una aceleración implica un cambio de velocidad. En física, la
aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa de cambio de
velocidad por unidad de tiempo.
Aceleración Media
La aceleración media la definimos como el cambio de velocidad, dividido entre el intervalo
de tiempo, basándonos en: “Definimos la aceleración media de la partícula al moverse de
P1 a P2 como una cantidad vectorial cuya componente x es amed-x igual a ∆vx, el cambio
en la componente x de la velocidad, dividido entre el intervalo de tiempo ∆t” (Hugh D.
Young & Roger A. Freedman, 2009, pág. 43).
𝑎𝑚𝑒𝑑−𝑥 =
𝑣2𝑥 − 𝑣𝑖𝑥
𝑡2 − 𝑡1
=
∆𝑣𝑥
∆𝑡
(Aceleración media, movimiento rectilíneo)
Aceleración Instantánea.
Podemos definir la aceleración instantánea con el mismo procedimiento que seguimos
para la velocidad instantánea.
Para definir la aceleración instantánea en P1, tomamos el segundo punto P2 en la
figura 4 cada vez más cerca de P1, de modo que la aceleración media se calcule en
intervalos cada vez más cortos. La aceleración instantánea es el límite de la
aceleración media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje
del cálculo, la aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la
velocidad con el tiempo (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009).
6

18
Figura 14. Carrera de Auto
Fuente: (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009)
En notación de cálculo la aceleración instantánea, 𝒂
⃗
⃗⃗ se define como el valor límite de la
aceleración promedio cuando ∆t tiende a cero:
𝑎
⃗ = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
⃗
∆𝑡
=
𝑑𝑣
⃗
𝑑𝑡
Este límite,
𝑑𝑣
⃗⃗
𝑑𝑡
, es la derivada de 𝒗
⃗
⃗⃗ con respecto a t. Usaremos el término
“aceleración” para referirnos al valor instantáneo. Si queremos discutir la aceleración
promedio, siempre incluiremos la palabra “promedio”. Si dibujamos una gráfica de la
velocidad,𝒗
⃗
⃗⃗, versus tiempo, t, como se muestra en la figura, entonces la aceleración
promedio sobre un intervalo de tiempo ∆t= t2 - t1 corresponde a la pendiente de la
línea recta que conecta los dos puntos P1 y P2, como se indica en la figura 15
(Giancoli, 2008, pág. 25) .
Figura 15. Grafica velocidad versus tiempo
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican la aceleración
como la magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto al tiempo,
7

19
la aceleración promedio ax, prom de la partícula como el cambio en velocidad ∆vx dividido
por el intervalo de tiempo ∆t durante el que ocurre el cambio, la aceleración instantánea
se define como el límite de la aceleración promedio conforme ∆t tiende a cero y en una
gráfica de la velocidad frente al tiempo, la aceleración es la pendiente que conecta los dos
puntos de la curva, siendo positiva donde la velocidad crece y negativa donde decrece.
Ejercicio 3
Un auto BMW 745i puede frenar hasta detenerse en una distancia de 121 pies desde una
velocidad de 60 mi/h. Para frenar hasta detenerse desde una velocidad de 80 mi/h
requiere una distancia de frenado de 211 pies. Cuál es la aceleración promedio de frenado
para (a) 60 mi/h hasta el reposo, (b) 80 mi/h hasta el reposo, (c) 80 mi/h a 60 mi/h? Exprese
las respuestas en mi/h y en m/s2.
Fuente: Física para ciencia e ingeniera, pág. 51, ejercicio 2.22, Raymond A. Serway & John W. Jewett. Vol1. 6 ed.
Cuál es la aceleración promedio de frenado para una V0
= 60 mi/h hasta el reposo.
𝑥 = 121 𝑝𝑖𝑒𝑠 ∗
0.3048𝑚
1 𝑝𝑖𝑒
= 36.88𝑚
𝑣
⃗0 = 60
𝑚𝑖
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
= 60
𝑚𝑖
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
∗
1609𝑚
1 𝑚𝑖
∗
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
3600𝑠
=
96540𝑚
3600𝑠
= 26,81
𝑚
𝑠
𝑣
⃗2
= 𝑣
⃗0
2
+ 2 𝑎
⃗𝑥
0 = 𝑣
⃗0
2
+ 2 𝑎
⃗𝑥
𝑣
⃗0
2
= −2 𝑎
⃗𝑥 = (26.81
𝑚
𝑠
)
2
= −2 ∗ 𝑎
⃗ − 36.88𝑚
719,13
𝑚2
𝑠2
= −𝑎
⃗ ∗ 73,76𝑚
𝑎
⃗ = −
719,13
𝑚2
𝑠2
73,76𝑚
= −9,749
𝑚
𝑚2
Cuál es la aceleración promedio de frenado para una 𝑣
⃗0= 80 mi/h hasta el reposo,
𝑥 = 211 𝑝𝑖𝑒𝑠 ∗
0.3048𝑚
1 𝑝𝑖𝑒
= 64,31𝑚

20
𝑣
⃗0 = 80
𝑚𝑖
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
= 60
𝑚𝑖
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
∗
1609𝑚
1 𝑚𝑖
∗
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
3600𝑠
=
128720𝑚
3600𝑠
= 35,75
𝑚
𝑠
𝑣
⃗2
= 𝑣
⃗0
2
+ 2 𝑎
⃗𝑥
0 = 𝑣
⃗0
2
+ 2 𝑎
⃗𝑥
𝑣
⃗0
2
= −2 𝑎
⃗𝑥 = (35,75
𝑚
𝑠
)
2
= −2 ∗ 𝑎
⃗ ∗ 64,31𝑚
1278
𝑚2
𝑠2
= −𝑎
⃗ ∗ 128,62𝑚
𝑎
⃗ = −
1278
𝑚2
𝑠2
128,62𝑚
= −9,9377
𝑚
𝑚2
Cuál es la aceleración promedio de frenado para una V0
= 80 mi/h hasta Vf
= 60 mi/h
𝑥0 = 121 𝑝𝑖𝑒𝑠 ∗
0.3048𝑚
1 𝑝𝑖𝑒
= 36,88𝑚
𝑥 = 211 𝑝𝑖𝑒𝑠 ∗
0.3048𝑚
1 𝑝𝑖𝑒
= 64,31𝑚
𝑣
⃗2
= 𝑣
⃗0
2
+ 2 𝑎
⃗𝑥
(26,81𝑚/𝑠)2
= (35,75𝑚/𝑠)2
+ 2 𝑎
⃗ ∗ (𝑥 − 𝑥0)
(26,81𝑚/𝑠)2
= (35,75𝑚/𝑠)2
+ 2 𝑎
⃗ ∗ (64,31𝑚 − 36.88𝑚)
718,77
𝑚2
𝑠2
= 1278
𝑚2
𝑠2
+ 2 ∗ 𝑎
⃗ ∗ 27,43𝑚
718,77
𝑚2
𝑠2
= 1278
𝑚2
𝑠2
+ 𝑎
⃗ ∗ 54,86𝑚
𝑎
⃗ ∗ 54,86𝑚 = 718,77
𝑚2
𝑠2
− 1278
𝑚2
𝑠2
= −559,23
𝑚2
𝑠2
𝑎
⃗ = −
559,23
𝑚2
𝑠2
54,86
𝑚
𝑠
= 10,19𝑚/𝑠2

21
Tema 6. Movimiento con velocidad constante y análisis gráfico
Los fenómenos físicos o naturales se pueden describir con la ayuda de gráficos. Estos
gráficos representan cambios de cierta magnitud, que pueden mostrar tendencias en
representación cualitativa sin especificar un valor que represente la cantidad.
Como concepto anteriormente descrito sabemos que la velocidad es un vector, el
movimiento uniforme es aquel que describe un movimiento totalmente constante.
Movimiento uniforme se refiere a un movimiento con velocidad constante (magnitud
constante y dirección constante). Como ejemplo de una dimensión, el automóvil de
la figura tiene una velocidad uniforme. Recorre la misma distancia y experimenta el
mismo desplazamiento en intervalos de tiempo iguales (50 km en cada hora), y no
cambia la dirección de su movimiento (Jerry D. Wilson & Anthony J. Buffa & Bo Lou,
2007, pág. 36).
Figura 16. Movimiento uniforme
Fuente: (Jerry D. Wilson & Anthony J. Buffa & Bo Lou, 2007, pág. 38)
Este movimiento describe entonces una tendencia con una rapidez constante, y en el caso
del movimiento rectilíneo uniforme una ruta en línea recta y con velocidad constante, es
decir, el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. La velocidad es positiva si el
móvil se dirige hacia la derecha y negativa si el móvil se dirige hacia la izquierda. A criterios
de Raymond A. Serway & John W. Jewett, expresa:

22
El modelo de partícula bajo velocidad constante se aplica a cualquier situación en la
que una entidad que se pueda representar como partícula se mueva con velocidad
constante. Esta situación ocurre con frecuencia, de modo que este modelo es
importante.
Si la velocidad de una partícula es constante, su velocidad instantánea en cualquier
instante durante un intervalo de tiempo es la misma que la velocidad promedio
durante el intervalo. Esto es, vx = vx, prom. (Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr.,
2005, pág. 26)
Criterio parecido tiene Tippens con respecto a movimiento rectilíneo uniforme: “El tipo más
sencillo de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento rectilíneo
uniforme. Si el objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo,
se dice que se mueve con rapidez constante” (Tippens, 2016, pág. 112).
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican el proceso
de una partícula en su movimiento de la siguiente manera: cuando un objeto se
mueve de tal manera que su velocidad permanece constante o sin cambios en el tiempo,
se dice que describe un movimiento uniforme, y si es en línea recta seria movimiento lineal
uniforme, denominado MRU. Esto significa que el cuerpo recorre la misma distancia a
intervalos de tiempo iguales (velocidad constante) y sigue un camino recto (sin cambiar
su dirección o dirección).
Expresiones matemáticas del MRU
En un movimiento lineal uniforme, dado que la trayectoria es una línea recta, el valor de
desplazamiento es consistente con el espacio de viaje. De la ecuación de velocidad
promedio, podemos obtener:
𝑣
∆𝑟
⃗
∆𝑡
=
𝑥 − 𝑥0
𝑡 − 𝑡0
Si t0 = 0, despejamos x para conocer su posición en cualquier instante t. Además, la
velocidad media coincide con la velocidad instantánea:
8

23
𝑣
⃗ =
𝑥 − 𝑥0
𝑡
Este último permite determinar la ubicación de un dispositivo móvil que utiliza MRU para
moverse en cualquier momento, también conocido como ecuación de movimiento de
MRU.
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣
⃗𝑥𝑡
En el movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) la partícula se desplaza por
una trayectoria sobre una línea recta a velocidad constante con aceleración cero.
Figura 17. Partícula bajo velocidad constante unidimensional
Partícula bajo velocidad constante
Figura 18. Partícula bajo velocidad constante.
Partícula bajo rapidez constante.
Figura 19. Partícula bajo rapidez constante
Análisis Gráficos
La velocidad de una partícula también puede obtenerse de la gráfica de la posición de la
partícula en función del tiempo, tal como lo expresan Young & Freedman. “En una gráfica
de posición en función del tiempo para movimiento rectilíneo, la velocidad instantánea en
cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto” (Hugh D.
9

24
Los mismos autores argumentan sobre las diferentes etapas o proceso de su movimiento
de la partícula en sus diferentes etapas o proceso en su movimiento:
Si la tangente a la curva x-t sube hacia la derecha, como en la figura c, entonces su
pendiente es positiva, la velocidad es positiva y el movimiento es en la dirección -x.
Si la tangente baja hacia la derecha, la pendiente de la gráfica x-t y la velocidad son
negativas, y el movimiento es en la dirección -x. Cuando la tangente es horizontal,
la pendiente y la velocidad son cero (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009,
pág. 42).
Figura 20. Uso de una gráfica x-t y su representación de velocidad media e instantánea
Fuente: (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009, pág. 42)
Si el objeto se mueve a una velocidad constante dentro de cierto intervalo de tiempo, su
velocidad instantánea será igual a su velocidad promedio: “La gráfica de x versus t en este
caso será una línea recta cuya pendiente es igual a la velocidad. La curva de la figura no
tiene secciones rectas, por lo que no hay intervalos de tiempo para los que la velocidad
es constante” (Giancoli, 2008).
Nota: Uso de una gráfica x-t al ir de a), b) velocidad media a c) velocidad instantánea vx. En c) obtenemos la pendiente de la
tangente a la curva x-t dividiendo cualquier intervalo vertical (con unidades de distancia) a lo largo de la tangente entre el
intervalo horizontal correspondiente (con unidades de tiempo).

25
Figura 21. Gráfica de la posición x de una partícula versus el tiempo
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican el proceso de
una partícula en su movimiento de la siguiente manera: cuando un objeto se mueve de tal
manera que su velocidad permanece constante o sin cambios en el tiempo, se dice que
describe un movimiento uniforme, y si es en línea recta seria movimiento lineal uniforme,
denominado MRU. Esto significa que el cuerpo recorre la misma distancia a intervalos de
tiempo iguales (velocidad constante) y sigue un camino recto (sin cambiar su dirección o
dirección).
Cuando un objeto describe un movimiento uniforme, su velocidad es constante, por Lo
cual la gráfica v-t es un segmento de recta horizontal como se muestra en la siguiente
gráfica:
Figura 22. Gráfica v-t.
A partir de la gráfica y de la ecuación ∆x= v.t podemos determinar el desplazamiento (∆x)
del objeto que se mueve con velocidad constante.
Por definición, en una gráfica v-t, el área comprendida entre la gráfica y el eje horizontal
representa el desplazamiento del móvil.
Posición – Tiempo (x-t)

26
.
Figura 23. Gráfica de la posición x de una partícula versus el tiempo.
Fuente: Elaboración propia del autor, 2020.
Fase de velocidad
Velocidad – Tiempo (v-t)
Figura 24. Gráfica de velocidad de una partícula versus el tiempo
Si la velocidad de una partícula es constante, su velocidad instantánea en cualquier
instante durante un intervalo de tiempo es la misma que la velocidad promedio durante el
intervalo.𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =
∆𝑥
∆𝑡
= 𝑣𝑥

27
Figura 25. La recta tangente (velocidad instantánea)
Tema 7: Movimiento con aceleración constante y análisis gráfico
Un movimiento es variado si varía la velocidad o la dirección de esta, y se llama
aceleración a la variación que experimenta la velocidad en la unidad de tiempo, en muchas
actividades o estados se presenta una aceleración, Serway & Vuille expresan:
Muchas aplicaciones en mecánica involucran objetos móviles con aceleración
constante. Esta clase de movimiento es importante porque se aplica a numerosos
objetos en la naturaleza, tal como un objeto en caída libre cerca de la superficie de
la Tierra (suponiendo que se puede omitir la resistencia del aire.
Cuando un objeto se mueve con aceleración constante, la aceleración instantánea
en cualquier punto en un intervalo de tiempo es igual al valor de la aceleración
promedio en el intervalo completo de tiempo. (Raymond A. Serway & Chris Vuille,
2012, pág. 37).
Criterio semejante aporta Tippens: “En la mayor parte de los casos, la velocidad de un
objeto cambia mientras éste se mueve. El movimiento en el que la magnitud o la dirección
cambia respecto al tiempo se llama aceleración” (Tippens, 2016, pág. 114).

28
El ejemplo clásico, de lo mencionado es lo que conocemos con el nombre de movimiento
uniformemente acelerado o de aceleración uniforme, tal como lo expresan el mismo autor.
“El tipo de aceleración más sencillo es el movimiento rectilíneo, en el que la rapidez
cambia a razón constante. Este tipo especial de movimiento se conoce como movimiento
uniformemente acelerado o de aceleración uniforme” (Tippens, 2016, pág. 114).
Puesto que no hay cambio en la dirección, la diferencia de vectores en la ecuación
[6] se transforma simplemente en la diferencia entre los valores con signo de las
velocidades final e inicial. Sin embargo, conviene recordar que la velocidad sigue
siendo una cantidad vectorial y que el signo asignado a ella indica la dirección y no
la magnitud. (Tippens, 2016, pág. 114)
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas, la mayoría de los
movimientos que conocemos son acelerados, pero solo algunos de ellos tienen el mismo
cambio de velocidad en el mismo intervalo de tiempo o aceleración constante.
Un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando su trayectoria
es una recta y, a la vez, su aceleración es constante y no nula.
Cuando un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado, puede
suceder que:
• Su rapidez aumente, si la aceleración y la velocidad tienen el mismo signo.
• Su rapidez disminuya, si la aceleración y la velocidad tienen signos contrarios
Expresiones matemáticas del MRUA
En este caso, al tratarse de una trayectoria rectilínea, no cambia ni la dirección ni el
sentido, solo el módulo de la velocidad. Analicemos la definición de aceleración:
𝑎
⃗ =
∆𝑣
⃗
∆𝑡
=
𝑣
⃗ − 𝑣
⃗0
𝑡 − 𝑡0

29
ya que elegimos t0 = 0. Y la aceleración, que se supone constante en el tiempo, será
(ecuación [10])
𝑎
⃗ =
𝑣
⃗ − 𝑣
⃗0
𝑡
Un problema común consiste en determinar la velocidad de un objeto después de
cualquier tiempo transcurrido t, dada su aceleración constante. Podemos resolver tal
problema despejando 𝑣
⃗ en la última ecuación:
𝑣
⃗ = 𝑣
⃗𝑜 + 𝑎
⃗𝑡 (aceleración constante)
A continuación, veamos cómo calcular la posición x de un objeto después de un tiempo t,
cuando está sometido a una aceleración constante. La definición de velocidad promedio
(ecuación [8]) es 𝑣
⃗ =
(𝑥−𝑥0)
𝑡
, que podemos reescribir como
⃗𝑡
Como la velocidad aumenta de manera uniforme, la velocidad promedio 𝑣
⃗ estará a la
mitad entre las velocidades inicial y final:
𝑣
⃗ =
𝑣
⃗⃗0+𝑣
⃗⃗
2
(aceleración constante)
(Nos da la velocidad promedio sólo sí a = constante. Cuidado: esta ecuación es válida
sólo si la aceleración es constante). Combinando las últimas dos ecuaciones con la
ecuación [11] y obtenemos
𝑥 = 𝑥𝑜 + (
𝑣
⃗⃗𝑜+𝑣
⃗⃗
2
)𝑡
𝑥 = 𝑥𝑜 + (
𝑣
⃗⃗0+𝑣
⃗⃗0+𝑎
⃗⃗𝑡
2
)𝑡
⃗𝑜𝑡 +
𝑎
2
𝑡2
10
11
12
2
14
13

30
Las ecuaciones [11], [12] y [13] son tres de las cuatro ecuaciones más útiles del
movimiento con aceleración constante. Ahora derivaremos la cuarta ecuación, que es útil
en situaciones donde no se conoce el tiempo t. Sustituimos la ecuación [12] en la ecuación
[9]:
⃗𝑡 = 𝑥𝑜 + (
𝑣
⃗ + 𝑣
⃗𝑜
2
) 𝑡
a continuación, despejamos t en la ecuación [11] y obtenemos
𝑡 =
𝑣
⃗ − 𝑣
⃗𝑜
𝑎
⃗
y sustituyendo este valor en la ecuación anterior, resulta
𝑥 = 𝑥𝑜 + (
𝑣
⃗ + 𝑣
⃗𝑜
2
) (
𝑣
⃗ − 𝑣
⃗𝑜
𝑎
⃗
) = 𝑥𝑜 +
𝑣
⃗2
− 𝑣
⃗𝑜
2
2𝑎
⃗
a continuación, despejamos t en la ecuación [11] obtenemos
𝑣
⃗2
= 𝑣
⃗𝑜
2
+ 2𝑎
⃗(𝑥 − 𝑥𝑜)
que es la ecuación útil que buscamos.
Tenemos ahora cuatro ecuaciones que relacionan la posición, la velocidad, la aceleración
y el tiempo, cuando la aceleración a es constante. Estas ecuaciones cinemáticas se dejan
aquí para referencia futura (están remarcadas para resaltar su utilidad):
𝑣
⃗ = 𝑣
⃗𝑜 + 𝑎
⃗𝑥𝑡 Para 𝑎
⃗=constante
⃗𝑜𝑡 +
1
2
𝑎
⃗𝑡2 Para 𝑎
⃗=constante
𝑣
⃗2
= 𝑣
⃗𝑜
2
+ 2𝑎
⃗(𝑥 − 𝑥𝑜) Para 𝑎
⃗=constante
𝑣
⃗ =
𝑣
⃗ + 𝑣
⃗𝑜
2
2
Para 𝑎
⃗=constante
15
Ecuaciones
cinemáticas para
aceleración constante

31
Estas ecuaciones útiles sólo son válidas en el caso en que a sea constante. En muchos
casos, es posible establecer xo =0, y esto simplifica un poco las ecuaciones anteriores.
Advierta que x representa posición, no distancia, que x - xo es el desplazamiento y que t
es el tiempo transcurrido.
Problema. 5.
Un camión cubre 40 m en 8.50 s mientras frena de manera uniforme a una rapidez final
de 2.80 m/s.
a) Encuentre su rapidez original.
b) Encuentre su aceleración.
Resolución
𝑥 − 𝑥0 = 40𝑚
t=8.5s
𝑣
⃗ = 2.5𝑚/𝑠
a) Utilizando las definiciones de las ecuaciones antes mencionadas:
𝑥 = 𝑥𝑜 + (
𝑣
⃗⃗𝑜 + 𝑣
⃗⃗
2
)𝑡 𝑥 − 𝑥𝑜 = (
𝑣
⃗⃗𝑜 + 𝑣
⃗⃗
2
)𝑡
Reemplazando 40𝑚 = (
𝑣
⃗⃗𝑜 + 2.8𝑚/𝑠
2
) ∗ 8.5𝑠
Despejando 𝑣
⃗𝑜
2∗40𝑚
8.5𝑠
= 𝒗
⃗
⃗⃗𝒐 + 2.8𝑚/𝑠
2∗40𝑚
8.5𝑠
− 2.8𝑚/𝑠 = 𝒗
⃗
⃗⃗𝒐
6.61𝑚/𝑠 = 𝒗
⃗
⃗⃗𝒐
b) Utilizando las definiciones de las ecuaciones antes mencionadas:
13

32
Cálculo de la aceleración 𝑎
⃗ =
𝑣
⃗⃗ − 𝑣
⃗⃗0
𝑡
Reemplazando y calculando
𝑎
⃗ =
2.8𝑚/𝑠 − 6.61𝑚/𝑠
8.5𝑠
= −0.448,/𝑠2
Análisis Grafico
De la misma manera como representamos gráficamente en el plano cartesiano la
velocidad y la posición en función del tiempo, podemos representar la aceleración en una
gráfica a-t, para lo cual escribimos en el eje vertical la aceleración y en el horizontal el
tiempo.
Los autores Serway & Jewett, Jr. en su libro Física para ciencias e ingeniería, expresan si
la aceleración de una partícula varía con el tiempo, su movimiento es complejo y difícil de
analizar:
Sin embargo, un tipo muy común y simple de movimiento unidimensional, es aquel
en el que la aceleración es constante. En tal caso, la aceleración promedio ax, prom en
cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea
ax en cualquier instante dentro del intervalo, y la velocidad cambia con la misma
proporción a lo largo del movimiento. Esta situación ocurre con suficiente frecuencia
como para que se le identifique como un modelo de análisis: la partícula bajo
aceleración constante (Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr., 2005).
En la figura b se muestra una gráfica velocidad-tiempo para este movimiento con
aceleración constante. La figura 26 es una línea recta, cuya pendiente es la
aceleración ax; la pendiente (constante) es consistente con 𝑎𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
constante. Note
que la pendiente es positiva, lo que indica una aceleración positiva. Si la aceleración
fuese negativa, la pendiente de la línea en la figura sería negativa. Cuando la
aceleración es constante, la gráfica de aceleración en función del tiempo (figura c)
10

33
es una línea recta que tiene una pendiente cero. (Raymond A. Serway & John W.
Jewett, Jr., 2005)
Figura 26. Partícula bajo aceleración constante 𝑎
⃗𝑥 , en grafica x-t, grafica v-t y grafica a-t.
En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) la partícula se mueve por
una trayectoria sobre una línea recta con aceleración constante.
Figura 27. Partícula bajo velocidad constante unidimensional.
Puesto que el movimiento uniformemente variado se produce con aceleración constante,
la gráfica que representa este movimiento es un segmento de recta horizontal, como el
que se observa en la figura.
Figura 28. Variación de la velocidad
Nota. Una partícula bajo aceleración constante 𝑎
⃗𝑥 que se mueve a lo largo del eje x: a) gráfica posición-tiempo, b) gráfica
velocidad-tiempo y c) gráfica aceleración-tiempo.

34
Análisis Grafico Grafica MRU
Velocidad contante, aceleración 0
Grafica Aceleración – Tiempo (x-t)
Figura 29. Aceleración con respecto al tiempo
Análisis Grafico Grafica MRUA
Posición – Tiempo (x-t)
Figura 30. Espacio con respecto al tiempo

35
Análisis Grafico Grafica MRUA
Velocidad – Tiempo (x-t)
Figura 31. Etapas el movimiento de la partícula en MRUA
Durante la aceleración constante, la aceleración promedio ax, prom en cualquier intervalo de tiempo
es numéricamente igual a la aceleración instantánea ax en cualquier instante dentro del intervalo,
y la velocidad cambia con la misma proporción a lo largo del movimiento.
Figura 32. Aceleración constante de una partícula

36
.
Ejercicio 4.
Una partícula parte del reposo y acelera como se muestra en la figura P2.11. Determine
a) la rapidez de la partícula en t = 10s y en t = 20s y b) la distancia recorrida en los primeros
20s.
Resolución
a) La aceleración es constante durante los primeros diez segundos, por lo que al
final de este intervalo
𝑣
⃗ = 𝑣
⃗0 + 𝑎
⃗𝑡 = 0 + 2
𝑚
𝑠2
+ 10𝑠 = 20𝑚/𝑠
Entonces a = 0, entonces v es constante de t = 10s a t = 15s. Y en los últimos
cinco segundos la velocidad cambia a
𝑣
⃗ = 𝑣
⃗0 + 𝑎
⃗𝑡 = 20
𝑚
𝑠
+ (−3
𝑚
𝑠2
) ∗ 5𝑠 = 5𝑚/𝑠
b) En los primeros diez segundos,
𝑥 = 𝑥0 ∗ 𝑡 +
1
2
𝑎
⃗𝑡2
= 0 +
1
2
(2
𝑚
𝑠2
) 10𝑠2
= 100𝑚
Durante los siguientes cinco segundos, la posición cambia a
𝑥 = 𝑥0 ∗ 𝑡 +
1
2
𝑎
⃗𝑡2
= 100 + 20𝑚 ∗ 5𝑠 + 0 = 200𝑚
Y en t = 20s,
𝑥 = 𝑥0 ∗ 𝑡 +
1
2
𝑎
⃗𝑡2
= 200 + 20𝑚 ∗ 5𝑠 +
1
2
(
−3𝑚
𝑠2
) 5𝑠2
= 262𝑚

37
Tema 8: Cuerpos en caída libre
A criterios de Giancoli, uno de los ejemplos más comunes de movimiento uniformemente
acelerado es cuando un objeto cae libremente cerca de la superficie de la tierra.
Uno de los ejemplos más comunes del movimiento uniformemente acelerado es el
de un objeto que se deja caer libremente cerca de la superficie terrestre. El hecho
de que un objeto que cae esté acelerado quizá no sea evidente al principio. No
piense, como se creía ampliamente hasta la época de Galileo, que los objetos más
pesados caen más rápido que los objetos más ligeros y que la rapidez de la caída
es proporcional al peso del objeto. La contribución específica de Galileo, para
nuestro entendimiento del movimiento de caída de objetos, se resume como sigue:
en un lugar dado sobre la Tierra y en ausencia de la resistencia del aire, todos los
objetos caen con la misma aceleración constante. Llamamos a esta aceleración
“aceleración debida a la gravedad” sobre la superficie de la Tierra, y usamos el
símbolo g. Su magnitud es aproximadamente 9.8m/s2
(en la superficie terrestre)
(Giancoli, 2008, pág. 34).
Partiendo del análisis de las definiciones antes presentadas se identifican un objeto en
caída libre como el objeto que se mueve libremente sólo bajo la influencia de la gravedad,
sin importar su movimiento inicial. Los objetos que se lanzan hacia arriba o abajo y los
que se liberan desde el reposo están todos en caída libre una vez que se liberan. Cualquier
objeto en caída libre experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, sin importar su
movimiento inicial.
Por otro lado, es un error común pensar que la velocidad en el punto más alto del
movimiento de caída libre es cero y la aceleración es cero. Si es así, la pelota siempre

38
estará suspendida en el punto más alto del aire y la velocidad de la pelota ya no cambiará,
y el objeto permanecería en reposo eternamente:
Por otra parte, es un error, común pensar que en el punto más alto del movimiento
en caída libre la velocidad es cero y la aceleración es cero. Si fuera así, la pelota
quedaría suspendida en el punto más alto en el aire para siempre, la aceleración es
la tasa de cambio de la velocidad. Si la aceleración fuera cero en el punto más alto,
la velocidad de la pelota ya no cambiaría y, al estar instantáneamente en reposo,
permanecería en reposo eternamente (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009,
pág. 56)
Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración constante, se aplican las
mismas ecuaciones generales del movimiento, considerando que la gravedad siempre
será negativa:
𝑣
⃗ = 𝑣
⃑0 − 𝑔
⃗t
𝑦 = 𝑦0 +
1
2
(𝑣
⃑0 + 𝑣
⃗)𝑡
𝑣
⃗2
= 𝑣
⃗0
2
+ 2𝑔
⃗(𝑦 − 𝑦0)
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣
⃑𝑦0𝑡 −
1
2
𝑔
⃗𝑡2
Ejercicio 5:
Una bola se lanza directamente hacia arriba, con una rapidez inicial de 8 m/s, desde una
altura de 30 m. ¿Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea al suelo?
Resolución
Datos
h= 30 m
𝑣
⃗0 = 8 m/s, 𝑎
⃗ = 9,8 m/s
2
16
8
17
18
19

39
ℎ = 𝑣
⃗0 ∗ 𝑡 +
1
2
𝑎
⃗𝑡2
30𝑚 = 8𝑚 ∗ 𝑡 +
1
2
9.8𝑚/𝑠2
𝑡2
30𝑚 = 8𝑚 ∗ 𝑡 + 4,98𝑚/𝑠2
𝑡2
Ordenando la ecuación
4,9 8𝑚/𝑠2
t
2
+ 8mt -30m = 0
a=4,9 𝑚/𝑠2
b = 8 m c=30
𝑡 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−8𝑚 ± √(8𝑚)2 − 4 ∗
4.9𝑚
𝑠2 ∗ (−30)
9.8𝑚/𝑠2
𝑡 =
−8 ± √64𝑚2 + 588𝑚2
9.8𝑚/𝑠2
=
−8𝑚 ± √(652𝑚)
9.8𝑚/𝑠2
= 1,789 ≈ 1,79𝑠𝑒𝑔
Se selecciona el positivo entre los dos valores resultantes (Respuesta: 1,79seg)
Tema 9. Movimiento de proyectiles
A criterios de los autores Young & Freedman expresan:
Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una
trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y
la resistencia del aire. Una pelota bateada, un balón lanzado, un paquete soltado
desde un avión y una bala disparada de un rifle son todos proyectiles. El camino que
sigue un proyectil es su trayectoria (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009,
pág. 79).
Para analizar este movimiento, comenzaremos con un modelo que representa proyectiles
como partículas cuya aceleración es constante e ignoraremos los efectos de la resistencia
del aire y la curvatura y rotación del suelo.

40
Este tipo de movimiento es bidimensional tal como lo expresa el auto:
El movimiento de un proyectil siempre está limitado a un plano vertical determinado
por la dirección de la velocidad inicial (figura 33). La razón es que la aceleración
debida a la gravedad es exclusivamente vertical; la gravedad no puede mover un
proyectil lateralmente. Por lo tanto, este movimiento es bidimensional. Llamaremos
al plano de movimiento, el plano de coordenadas xy, con el eje x horizontal y el eje
y vertical hacia arriba. (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009, pág. 79)
Figura 33. La trayectoria de un proyectil
Podemos usar ecuaciones independientes de componentes horizontales y verticales para
expresar todas las relaciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración de proyectil.
Por ejemplo, las componentes de 𝒂
⃗
⃗⃗ son:
ax = 0 ay=9.8m/s2
(movimiento de proyectil, sin resistencia del aire)
De acuerdo a Young & Freedman: “Dado que las aceleraciones x y y son constantes,
podemos usar las ecuaciones de aceleración constante directamente. Por ejemplo,
suponga que en t = 0 la partícula está en el punto (x0, y0) y que en este tiempo sus
componentes de velocidad tienen los valores iniciales v0x y v0y. Las componentes de la
aceleración son ax = 0, ay=-g. Considerando primero el movimiento x, sustituimos 0 por
ax. Obtenemos” (Hugh D. Young & Roger A. Freedman, 2009, pág. 80).
𝑣
⃗𝑥 = 𝑣
⃗𝑥
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣
⃑0𝑥𝑡

41
Para el movimiento y, sustituimos y por x, vy por vx, v0y por v0x y ay =-g por ax:
𝑣
⃑𝑦 = 𝑣
⃑0𝑦 − 𝑔
⃗ ∗ 𝑡
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣
⃑𝑦0𝑡 −
1
2
𝑔
⃗𝑡2
Los mismo autores, Young & Freedman argumentan después:
La figura 12 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa por) el origen
en el tiempo t = 0. La posición, la velocidad, las componentes de velocidad y
aceleración se muestran en una serie de instantes equiespaciados. La componente
x de la aceleración es 0, así que vx es constante. La componente y de la aceleración
es constante pero no cero, así que vy cambia en cantidades iguales a intervalos de
tiempo iguales, justo igual que si el proyectil fuera lanzado verticalmente con la
misma velocidad y inicial. En el punto más alto de la trayectoria, vy = 0 (Hugh D.
También podemos representar la velocidad inicialx con su magnitud 𝒗
⃗
⃗⃑𝟎 (la rapidez inicial)
y su ángulo con el eje +x (como se nuestra en la figura 12). En términos de estas
cantidades, las componentes 𝒗
⃗
⃗⃑𝟎𝒙 y 𝒗
⃗
⃗⃑𝟎𝒚 de la velocidad inicial son:
𝑣
⃗𝑜𝑥 = 𝑣
⃗𝑜𝑐𝑜𝑠𝛼𝑜 𝑣
⃗𝑜𝑦 = 𝑣
⃗𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼𝑜
Usando estas relaciones en las antes mencionadas y haciendo x0 = y0 = 0, tenemos
20 21
MRU MRUA
𝐱 = (𝑣
⃑𝑜 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃) * t 𝐲 = (𝑣
⃑𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃) ∗ 𝑡 −
1
2
𝑔 ∗ 𝑡2
𝒗𝒙 = (𝑣
⃑𝑜 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝒗𝒚 = (𝑣
⃑𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝑔 ∗ 𝑡
22
96
23
0
24
25

42
Figura 34. Las componentes de la velocidad inicial v0x y v0y de un proyectil
De estas ecuaciones podemos deducir, por ejemplo, en cualquier instante, la distancia r
del proyectil al origen (la magnitud del vector de posición 𝑟
⃗) está dada por
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad) en cualquier instante es
𝑣 = √𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2
La dirección de la velocidad, en términos del ángulo a que forma con el eje +x está dada
por
tan(𝛼) =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
El vector de velocidad es tangente a la trayectoria en todos los puntos.
Ejercicio 6.
Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 80m/s a 60°
por encima de la horizontal sin que sufra resistencia del aire.
Nota: Las componentes de la velocidad inicial v0x y v0y de un proyectil (como un balón de fútbol) se
relacionan con la rapidez inicial v0 y el ángulo inicial αo
26
27
28

43
a) determine las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial del
proyectil.
b) ¿Cuánto tarda el proyectil en alcanzar su punto más alto?
c) Calcule su altura máxima por encima del suelo.
d) ¿Qué tan lejos del punto de lanzamiento cae el proyectil al suelo?
e) Determine las componentes horizontal y vertical de su aceleración y velocidad en
el punto de su máxima altura.
Fuente: Física Universitaria, pág. 99. Ejercicio 3.17 Young-Freedman
Desarrollo
Datos
Definimos el tipo de aceleración para las 2 dimensiones:
𝑎
⃗𝑥 = 0, 𝑎
⃗𝑦 = 9.8𝑚/𝑠2
a) Velocidades iniciales para cada componente
𝑣
⃗0𝑥 = 𝑣
⃗0 cos 𝜃 = (80
𝑚
𝑠
)cos 60° = 40𝑚/𝑠
𝑣
⃗0𝑦 = 𝑣
⃗0 sen 𝜃 = (80
𝑚
𝑠
) sen 60° = 69.3𝑚/𝑠
b) Altura máxima
𝑣
⃗𝑦 = 0, 𝑣
⃗𝑦 = 𝑣
⃗𝑜𝑦 + 𝑎
⃗𝑦𝑡
𝑡 =
𝑣
⃗𝑦 − 𝑣
⃗𝑜𝑦
𝑎
⃗𝑦
=
0 − 69.3𝑚/𝑠
−9.8𝑚/𝑠2
= 7.07𝑠
c) altura máxima
𝑣
⃗𝑦
2
= 𝑣
⃗0𝑦
2
+ 2𝑎
⃗𝑦(𝑦 − 𝑦0)
𝑦 − 𝑦0 =
𝑣
⃗𝑦
2
− 𝑣
⃗0𝑦
2
2𝑎
⃗𝑦
=
0 − (
69.3𝑚
𝑠
)
2
2 ∗ (−
9.8𝑚
𝑠2 )
= 245𝑚
d) punto de lanzamiento
Recordar los 7.07s de subida y 7.07s de bajada total 14.14s (literal b)
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣
⃗0𝑥𝑡 +
1
2
𝑎𝑥𝑡2
= (40
𝑚
𝑠
) 14.14𝑠 + 0 = 566𝑚

44
e) componentes horizontal y vertical de su aceleración y velocidad en el punto de su
máxima altura
Cuando está en su cúspide la 𝑣
⃗0 es 40m/s (MRU en componente x) y en 𝑣
⃗𝑦 = 0 y
comenzara el descenso.
Cuando está en su cúspide la 𝑎
⃗𝑥 es 0 (MRU en componente x) y en 𝑎
⃗𝑦 =
−9.8𝑚/𝑠2
(MRUA en componente y).
Tema 10. Aspectos básicos del movimiento circular.
A criterio de Tippens con respecto a la primera ley de newton: “La primera ley de Newton
dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta con rapidez constante
mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una fuerza externa”
(Tippens, 2016, pág. 197).
Se debe tener presente que la velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida
por su rapidez y su dirección.
“Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, hay que aplicar
una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en
una dirección diferente de la dirección original del movimiento, ocasiona un cambio
en la trayectoria de la partícula en movimiento” (Tippens, 2016, pág. 16).
Cuando una fuerza externa constante está siempre en ángulo recto con la trayectoria de
las partículas, se producirá el movimiento bidimensional. En este caso, la fuerza resultante
producirá una aceleración que solo cambia la dirección del movimiento y mantiene una
velocidad constante. Este movimiento simple se llama movimiento circular uniforme.

45
El movimiento circular uniforme es un movimiento en el que la rapidez no cambia,
sólo hay un cambio en la dirección (Tippens, 2016).
El mismo auto lo pone como ejemplo:
Un ejemplo del movimiento circular uniforme consiste en dar vueltas en una
trayectoria circular a una piedra atada a un cordel, figura 33. Mientras la piedra gira
con rapidez constante, la fuerza hacia el centro provocado por la tensión en el cordel
cambia constantemente la dirección de la piedra, haciendo que ésta se mueva en
una trayectoria circular. Si el cordel se rompiera, la piedra saldría disparada en una
dirección tangencial, es decir, perpendicular al radio de su trayectoria circular
(Tippens, 2016).
Figura 35. Representación gráfica de fuerza centrífuga.
Fuente: (Tippens, 2016, pág. 197)
Aceleración centrípeta
Las definiciones que debemos tener presente: “La segunda ley del movimiento de Newton
establece que una fuerza resultante debe producir una aceleración en la dirección de la
fuerza. En el movimiento circular uniforme, la aceleración cambia la velocidad de una
partícula que se mueve alterando su dirección” (Tippens, 2016, pág. 197).
Nota: (a) La tensión hacia adentro que el cordel ejerce sobre la piedra hace que ésta se mueva en una
trayectoria circular. (b) Si el cordel se rompe, la piedra sale volando en dirección tangencial al círculo

46
Un aporte por destacar se encuentra en el libro de Fundamentos de la física de los autores
Serway & Jewett, en la siguiente figura:
Figura 36. Representación de un vehículo que se mueve en una trayectoria circular.
Los autores expresan después:
Considere que los puntos Ⓐ y Ⓑ en la figura se hacen extremadamente cercanos
entre sí. Conforme Ⓐ y Ⓑ se aproximan uno a otro, t tiende a cero, ∆𝑟
⃗ se aproxima
a la distancia recorrida por la partícula a lo largo de la trayectoria circular y la relación
∆𝑟
⃗
∆𝑡
se aproxima a la rapidez 𝑣
⃗. Además, la aceleración promedio se convierte en la
aceleración instantánea en el punto Ⓐ. Por tanto, en el límite ∆t →0, la magnitud de
la aceleración es 𝑎
⃗𝑐 =
𝑣2
𝑟
. Una aceleración de esta naturaleza se llama aceleración
centrípeta (centrípeta significa hacia el centro) (Raymond A. Serway & John W.
Jewett, Jr., 2005, pág. 85).
El período T describe el movimiento de partículas a una rapidez constante en un círculo
de radio r, como el intervalo de tiempo requerido para una revolución completa de la
partícula tal como lo define Serway & Jewett:
En muchas situaciones es conveniente describir el movimiento de una partícula que
se mueve con rapidez constante en un círculo de radio r en términos del periodo T,
Nota: a) Un automóvil que se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante experimenta movimiento
circular uniforme. b) Conforme una partícula se mueve de Ⓐ a Ⓑ, su vector velocidad cambia de 𝑣
⃗𝑖 a 𝑣
⃗𝑓 c)
Construcción para determinar la dirección ∆𝑣
⃗, que es hacia el centro del círculo para ∆𝑟
⃗ pequeños.

47
que se define como el intervalo de tiempo requerido para una revolución completa
de la partícula.
En el intervalo de tiempo T, la partícula se mueve una distancia de 2𝜋, que es igual
a la circunferencia de la trayectoria circular de la partícula. En consecuencia, puesto
que su rapidez es igual a la circunferencia de la trayectoria circular dividida entre el
periodo, o 𝑣 =
2𝜋
𝑇
, se sigue que 𝑇 =
2𝜋
𝑣
(Periodo de movimiento circular) (Raymond
A. Serway & John W. Jewett, Jr., 2005, pág. 85)
Aceleraciones tangenciales
La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad tangencial, mientras que
la aceleración centrípeta representa tan sólo un cambio en la dirección del movimiento.
La distinción se muestra gráficamente en la figura 35. La aceleración resultante puede
determinarse calculando el vector suma de las aceleraciones tangencial y centrípeta.
(Tippens, 2016)
Figura 37. Relación entre las aceleraciones tangencial y centrípeta
Fuente: (Tippens, 2016)
El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria del objeto y perpendicular al
radio de la trayectoria circular. Por su parte, la aceleración global del movimiento se
expresa mediante dos componentes:
• Aceleración tangencial, tangente a la trayectoria y, por tanto, paralela a la
velocidad.

48
• Aceleración normal o centrípeta, que apunta en cada momento hacia el centro
geométrico
𝑎
⃗ = √(𝑎
⃗𝑐)2 + (𝑎
⃗𝑡)2
𝑎
⃗𝑐 =
𝑣2
𝑟
= 𝜔2
∗ 𝑟
a
⃗⃗t =
∆v
∆t
=
dv
dt
Figura 38. Aceleración centrípeta y tangencial
El periodo T es el tiempo que se invierte en dar una vuelta completa y podemos pensar
en la frecuencia bien como (a) en la función inversa del periodo o bien (b) como en el
número de veces por segundo que se repite el movimiento.
Figura 39. Circunferencia completa en radianes
La ecuación muestra que las unidades de la frecuencia son s-1
, suelen medir la frecuencia
f en hercios (Hz, por el físico alemán Heinrich Hertz, que fue el primero en generar ondas
de radio en 1887).
En términos del periodo, 𝑎
⃗𝑟𝑎𝑑 es
29
6
30
31
Periodo de movimiento circular
𝑇 =
2𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑣
32
33
𝑎
⃗𝑟𝑎𝑑 =
4𝜋𝑟
𝑇2 34
𝑓 =
1
𝑇

49
El radian es el ángulo cuya longitud del arco es igual al radio.
Figura 40. Angulo en radianes
Problema. 9.
Un tren frena mientras entra a una curva horizontal cerrada, y frena de 90 km/h a 50 km/h
en los 15s que tarda en cubrir la curva. El radio de la curva es de 150 m. Calcule la
aceleración en el momento en que la rapidez del tren alcanza 50 km/h. Suponga que
continúa frenando a este tiempo con la misma relación.
Fuente: Física para ciencia e ingeniera, pág. 95, ejercicio 29, Jewett Serway.
Resolución.
Suponemos que el tren todavía se está desacelerando en el instante en cuestión.
𝑣0 =
90𝑘𝑚
ℎ
∗
ℎ
3600𝑠
∗
1000𝑚
𝑘𝑚
= 25𝑚/𝑠
𝑣 =
50𝑘𝑚
ℎ
∗
ℎ
3600𝑠
∗
1000𝑚
𝑘𝑚
= 13.88𝑚/𝑠 ≈ 13.9𝑚/𝑠
𝑎
⃗𝑐 =
𝑣2
𝑟
=
(13.9𝑚/𝑠)2
150𝑚
=
193.21
𝑚2
𝑠2
150𝑚
= 1.288 ≈ 1.29𝑚/𝑠2

50
𝑎
⃗𝑡 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣 − 𝑣0
∆𝑡
=
(13.9 − 25)𝑚/𝑠
15𝑠
= −0.74𝑚/𝑠2
𝑎
⃗ = √𝑎
⃗𝑐
2 + 𝑎
⃗𝑡
2
= √(1.29𝑚/𝑠2)2 + (−0.74𝑚/𝑠2)2 = 1.4871𝑚/𝑠2
Para el cálculo del ángulo
𝜃 = tan−1
|𝑎
⃗𝑡|
𝑎
⃗𝑡
= tan−1
|0.74|
1.29
= 29.840° ≈ 29.9°
𝑎
⃗ = 1.4871
𝑚
𝑠2 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑦 29.9°

51
Retroalimentación.
Preguntas de repaso.
1.- El siguiente gráfico representa la relación entre velocidad y tiempo para que un
objeto se mueva en línea recta. ¿Cuál es la velocidad del objeto después de 5 s?
Opciones
 1 m/s
 2 m/s
 3 m/s
 4 m/s
 5 m/s
2.- Comenzando desde el principio, una persona camina 8 km al este durante
el primer día y 5 km al oeste el día siguiente. ¿Cuál es el desplazamiento neto de la
persona desde el punto de partida en dos días?
Opciones
 6 km, este
 3 km, este
 10 km, este
 5 km, oeste
 9 km, este
3.- Un objeto se mueve con una aceleración constante de 5 m/s2. ¿Cuál de los
siguientes enunciados es verdadero?
Opciones
 La velocidad del objeto se mantiene sin cambios
 El objeto se mueve 5 m cada segundo
 La aceleración del objeto aumenta 5 m/s2
cada segundo
 La aceleración del objeto disminuye 5 m/s2
cada segundo
 La velocidad del objeto aumenta 5 m/s cada segundo
4.- El _____________ es aquel ___________ en el que la _________ que experimenta
un cuerpo, permanece __________ (en magnitud vector y dirección) en el transcurso del
tiempo manteniéndose firme. (Reemplace)
Opciones
 Cambio de velocidad - intervalo - dirección - fijo y constante.
 MRUV - movimiento circular - velocidad – constante.
 Desplazamiento de velocidad - intervalo - dirección – constante
 Movimiento uniformemente acelerado - movimiento - aceleración - constante

52
Ejercicios Propuestos
1.- En un experimento, se sacó a una pardela (un ave marina) de su nido, se le llevó a 5150 km
de distancia y luego fue liberada. El ave regresó a su nido 13.5 días después de haberse soltado.
Si el origen es el nido y extendemos el eje +x al punto de liberación, ¿cuál fue la velocidad media
del ave en m/s a) en el vuelo de regreso? b) ¿Y desde que se sacó del nido hasta que regresó?
2.- Una persona camina, primero, con rapidez constante de 5 m/s a lo largo de una línea recta
desde el punto Ⓐ al punto Ⓑ y luego de regreso a lo largo de la línea de Ⓑ a Ⓐ con una rapidez
constante de 3 m/s. a) ¿Cuál es su rapidez promedio durante todo el viaje? b) ¿Cuál es su
velocidad promedio durante todo el viaje?
3.- La velocidad de un automóvil en función del tiempo está dada por 𝑣
⃗𝑥(𝑡) = 𝛼 + 𝛽 ∗ 𝑡2
, donde α
= 3 m/s y β = 0.1 m/s3
. a) Calcule la aceleración media entre t =0 y t= 5 s. b) Calcule la aceleración
instantánea en t = 0 y en t = 5s. c) Dibuje las gráficas 𝑣
⃗𝑥 − 𝑡 y 𝑎
⃗𝑥 − 𝑡 exactas para el movimiento
del auto entre t = 0 y t = 5s.
4.- En la figura P2.12 se muestra una gráfica velocidad-tiempo de un objeto que se mueve a lo
largo del eje x. a) Trace una gráfica de la aceleración en función del tiempo. b) Determine la
aceleración promedio del objeto en los intervalos de tiempo t = 5s a t = 15s y t = 0 a t = 20s.
5.- Un estudiante lanza un conjunto de llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de fraternidad,
quien está en una ventana 4 m arriba. Las llaves las atrapa 1.5s después con la mano extendida. a) ¿Con
qué velocidad inicial se lanzaron las llaves? b) ¿Cuál fue la velocidad de las llaves justo antes de ser
atrapadas?
7.- Una bola se lanza desde una ventana en un piso superior de un edificio. A la bola se le da una velocidad
inicial de 8 m/s a un ángulo de 20° bajo la horizontal. Golpea el suelo 3s después.
a) ¿A qué distancia, horizontalmente, desde la base del edificio, la bola golpea el suelo?
b) Encuentre la altura desde la que se lanzó la bola.
c) ¿Cuánto tarda la bola en llegar a un punto 10 m abajo del nivel de lanzamiento?

53
Anexos
Unidades de medida
Metro (medida de longitud, sistema internacional de unidades)
Pulgada (medida de longitud, donde un metro equivale a 39,37 pulgadas)
Yarda (medida de longitud, donde un metro equivale a 1,0936 yardas)
Pies (medida de longitud, donde un metro es aproximadamente 3,2708 pies)
Milla (medida de longitud, donde un metro es 0,00062 millas)
Kilogramo (medida de masa, sistema internacional de unidades)
Libra (medida de masa, donde un kilogramo son 2,20462 libras)
Stone (medida de masa, con 1 kilogramo igual a 0,157473 stone)
Onza (medida de masa, donde un kilogramo es 35,274 onzas)
Segundo (medida de tiempo, sistema internacional de unidades)
Segundo (medida de tiempo, sistema internacional de unidades)
Litro (medida de volumen, usada habitualmente)
Grado centesimal (medida de ángulo)
Radian (medida de ángulo, donde 1 grado centesimal es 0,015708 radianes)
Galón estadounidense (medida de volumen, igual a 3,78541 litros)
Amperio (medida de intensidad de corriente, sistema internacional de unidades)
Kelvin (medida de temperatura termodinámica, sistema internacional de unidades)
Grados Celsius (medida de temperatura, estimada por la resta de Kelvin – 273,15)

54
Grados Fahrenheit (medida de temperatura, estimada por la operación [ (Kelvin – 273,15)
* 1,8] + 32)
Mol (medida de cantidad de sustancia, sistema internacional de unidades)
Candela (medida de intensidad luminosa, sistema internacional de unidades)
Ejemplos de magnitudes escalares
La temperatura. Atendiendo a la escala que se utilice (Celsius o Kelvin), cada valor
numérico representará una magnitud absoluta de (presencia o ausencia de) calor, por lo
que 20° C constituyen un valor fijo dentro de la escala, sin importar las condiciones que
acompañen la medición.
La presión. La presión ambiental, medida usualmente en milímetros de mercurio (mmHg)
es el peso que la masa de aire de la atmósfera ejerce las cosas y es mensurable a través
de una escala lineal.
La longitud. Una de las dos dimensiones fundamentales, el largo de las cosas o las
distancias, es perfectamente mensurable a través de la escala lineal del sistema métrico
o anglosajón: centímetros, metros, kilómetros, o yardas, pies, pulgadas.
La masa. La cantidad de materia que contiene un objeto se mide como un valor fijo a
través del sistema métrico o anglosajón de unidades: gramo, kilogramo, tonelada, libra,
etc.
El tiempo. Relatividades aparte, el tiempo es mensurable a través del mismo sistema
lineal de segundos, minutos y horas, independientemente de las condiciones en que se
produzca la medición.
El área. Usualmente representada a través de una cifra de metros cuadrados (m2
) se trata
de la superficie acotada de un recinto o un objeto, en contraposición a lo que se halle
alrededor.
El volumen. Relación del espacio tridimensional ocupado por un cuerpo específico,
mensurable en centímetros cúbicos (cm3
).

55
La frecuencia. Es una magnitud que permite medir el número de repeticiones de un
fenómeno o suceso periódico por unidad de tiempo transcurrido. Su unidad escalar son
los hercios (Hz), que responden a la formulación 1Hz = 1/s, es decir, una repetición por
segundo.
La densidad. La densidad es la relación existente entre la masa de un cuerpo y el
volumen que ocupa, por lo que se trata de un valor dependiente de ambas magnitudes, y
representable a través de su propia escala: Kilogramos por metro cúbico (kg/m3
).
Ejemplos de magnitudes vectoriales
El Peso. El peso es una magnitud que expresa la fuerza ejercida por un objeto sobre un
punto de apoyo, como consecuencia de la atracción gravitatoria local. Se representa
vectorialmente a partir del centro de gravedad del objeto y hacia el centro de la Tierra o
del objeto generando la gravedad. Se distingue de la masa pues no es una propiedad
intrínseca del objeto, sino de la atracción gravitacional.
Fuerza. Se entiende como fuerza todo aquello capaz de modificar la posición, forma o
cantidad de movimiento de un objeto o una partícula, expresada en newtons (N): la
cantidad de fuerza necesaria para proveer de una aceleración de 1 m/s2
a 1 kg de masa.
Sin embargo, requiere de una orientación y una dirección, ya que toda fuerza se ejerce
de un punto a otro.
Aceleración. Esta magnitud vectorial expresa la variación de velocidad en base al
transcurso de una unidad de tiempo. Al igual que la velocidad, requiere de un contenido
vectorial incompatible con una escala numérica, ya que emplea valores referenciales para
expresarse.
Velocidad. Expresa la cantidad de distancia recorrida por un objeto en una unidad de
tiempo determinada, anotada como metros por segundo. Para poder mensurar la
variación de posición del objeto requiere siempre de una dirección de desplazamiento y
un módulo, que expresa su celeridad o rapidez.
Tensión Eléctrica.También conocida como voltaje, la tensión eléctrica es la diferencia en
el potencial eléctrico entre dos puntos o dos partículas. Como depende directamente del

56
recorrido de la carga entre el punto inicial y el final, es decir, un flujo de electrones, requiere
de una lógica vectorial para expresarse.
Campo eléctrico. Se trata de un campo vectorial, es decir, un conjunto o relación de
fuerzas físicas (eléctricas en este caso) que ejercen influencia sobre un área determinada
y modifican una carga eléctrica determinada en su interior.
Campo gravitatorio. Otro campo físico, pero de fuerzas gravitacionales que ejercen una
atracción sobre los objetos o partículas que ingresen al área. Como toda fuerza es
necesariamente vectorial, el campo gravitacional necesitará un conjunto de vectores para
representarse.
Inercia. La fuerza de roce, opuesta a todo movimiento y que tiende siempre a la quietud,
se expresa vectorialmente pues se opone a las fuerzas de movimiento, siempre tendiendo
a la misma dirección, pero orientación contraria.

57
Lectura complementaria de la asignatura
Tippens, P. E. (2016). Física conceptos y aplicaciones (6 ed.). (Á. C. Ruiz, Trad.)
Mexico: Mc Grawh HIll.
Herramientas & Software de la asignatura
Meazure
https://mejorsoftware.info/tools/meazure
MB-Ruler
http://www.markus-bader.de/MB-Ruler/download.php
Modellus
https://www.educ.ar/recursos/70312/modellus
Wabbitemu (simulador TI-84 Plus Silver Edittion)
Working Model
Interactive Physics 2005
Zoom
Avanzado - OBS (Open Broadcaster Software)
Simuladores en línea
https://phet.colorado.edu/es/
https://www.educaplus.org/games/fisica
https://www.vascak.cz/physicsanimations.php?l=es
https://www.walter-fendt.de/html5/phes/

58
Bibliografía
Giancoli, D. C. (2008). FIsica para Ciencia e ingeniería (4 ed., Vol. 1). (M. d. Araujo, Trad.) Mexico: Pearson
Prentice Hall.
Hugh D. Young & Roger A. Freedman. (2009). Física Universitaria (12 ed., Vol. 1). (V. A. FLORES, Trad.)
Mexico: Addison-Wesley.
Hugh D. Young & Roger A. Freedman. (2013). Física Universitaria (13 ed., Vol. 1). Mexico: PEARSON.
Jerry D. Wilson & Anthony J. Buffa & Bo Lou. (2007). Física (sexta ed.). (M. d. Araujo, Trad.) Mexico:
Pearson Educación.
Raymond A. Serway & Chris Vuille. (2012). Fundamentos de Física (9 ed., Vol. 1). (D. A. Hernández, Trad.)
Mexico: CENAGE LEARNING.
Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr. (. (2015). Física para Ciencia e Ingeniería (9 ed., Vol. 1). Mexico::
CENGAGE Learning.
Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr. (2005). Física para ciencias e ingeniería (Vol. 1). (S. R. González,
Ed., & V. C. Olguín, Trad.) Mexico: CENCAGE Learning.
Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr. (2019). Física para ciencias e ingeniería 1 (Vol. 10). Mexico,
Mexico: CENGAGE Learning, Inc.
Tippens, P. E. (2016). Fisica conceptos y aplicaciones (6 ed.). (Á. C. Ruiz, Trad.) Mexico: Mc Grawh HIll.
Este compendio recoge textualmente documentos e información de diversas fuentes,
así como referencias de autores, para vincular los diferentes temas. Se lo utiliza
únicamente con fines educativos.

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