Este documento narra la historia de cómo Tontín aprendió sobre trigonometría gracias a la ayuda de Genio. Genio le explica a Tontín las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno y tangente usando un triángulo rectángulo como ejemplo. También cubre identidades trigonométricas, funciones de ángulos comunes como 30°, 45° y 60°, y cómo calcular funciones de otros ángulos.

1. En el tema de hoy…

3. ¡Hola, soy Tontín, hace algunos días
encontré un libro de genio, éste
decía “trigonometría”. Ese libro me
trajo muchas
dificultades, dificultades que logre
superar. Te contaré como lo hice…

4. ¡Iba caminando por la aldea pitufa cuando torpemente
tropecé con un libro, el titulo de éste decía
“Trigonometría para principiantes” además de este
complicado titulo para mi, tenia un aspecto
gracioso, así que comencé a hojearlo, mas no entendí
nada!

5.  ¡Como papá pitufo dice: -“cuando te encuentres algo, no te
lo dejes, sino busca diligentemente a su dueño y
entrégaselo”, como no sabia cómo y dónde empezar, acudí
raudamente donde papá pitufo y recibí como respuesta lo
siguiente:
¡Tontín, lo mas seguro es
que este libro le pertenezca
a Genio! ¿quieres saber de
qué trata tu hallazgo?

6. Trata sobre una rama de las matemáticas
que explica las relaciones que tienen los
ángulos y los lados de un triángulo. A ésta
rama le llamamos Trigonometría!

7. ¡Al aceptar la siempre elocuente enseñanza de gran
papá, no recibí más que multitudes de nuevas dudas,
por eso papá pitufo me aconsejo ir donde el dueño del
libro para disipar estos inquietantes vacios!
Mientras caminaba al taller de genio pensaba:
Trigonometría es:

8. Tontín, gracias por encontrar mi libro, con gusto te
enseñaré lo que éste quiere comunicar. En esta
ilustración veremos la trigonometría, sus propiedades y
aplicaciones. Ahora amarra tus cordones y lava tu rostro
porque para aprender necesitas mucha concentración.
Fui capaz de aprender, gracias a
genio, la trigonometría, y ahora
quiero traspasarte éste
conocimiento. ¿Aceptas?
Si ó No

9. ¡En cada una de estas hojas te graficare lo
que aprendí en clases!
c
b

a
Esta figura es un triangulo rectángulo, es decir, uno de sus tres ángulos interiores
mide 90° (ángulo recto). Como ves  representa un ángulo y las letras a, b y c
representa los lados de éste triángulo. La relación que existe entre el ángulo y los
lados de esta figura es la esencia de la trigonometría.
También:
a = cateto adyacente o inmediato a 
b = cateto opuesto a 
c = hipotenusa Ahora…

10. hipotenusa
cateto
opuesto

cateto adyacente
De este triángulo podemos sacar las siguientes relaciones o funciones trigonométricas:
cateto opuesto cateto adyacente cateto opuesto
sen  cos   tg 
hipotenusa hipotenusa cateto adyacente
hipotenusa hipotenusa cateto adyacente
cosec   sec  cotg  
cateto opuesto cateto adyacente cateto opuesto
sen, cos, tg, cosec, sec y cotg son las abreviaturas de
seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente respectivamente. Estas

expresiones representan las relaciones entre los lados del triángulo en función del ángulo
, a esas relaciones se le da un nombre donde su sufijo es el ángulo; por ejemplo: la relación

entre el cateto opuesto partido por la hipotenusa es seno alfa (sen ). Mira…

11. Es importante que te aprendas estas funciones
trigonométricas ó relaciones de memoria,
porque tendrás que aplicarlos en una propiedad
importantísima de la trigonometría, las
identidades, aquí deberás expresarlos
continuamente.
También puedes expresar algunas
funciones de esta manera…

12. 1 1
cosec  sec 
sen cos
1 cos  sen
cotg   tg 
tg sen cos
Nótese que seno y coseno son funciones de cosecante, secante, cotangente y tangente, a
esto llamamos identidades (igualdades) donde tenemos una expresión en función de otra
expresión.
No tienen identidades seno y coseno pero si el cociente de estos ó cada uno (sen y cos)
dividiendo al 1
Tenemos también una identidad que llamamos fundamental. Ésta es:
sen 2  1 - cos2 
sen 2  cos2   1 donde también…
cos2   1 - sen 2

13. 1  tg 2  sec2  y sec2  - tg 2  1
Todas éstas son identidades trigonométricas y pueden ser aplicables en determinados
ejercicios.
A continuación te demostraré un ejercicio de identidad:
tg  cos  cosec  1
reemplazando queda sen  cos 
sen 1 1
tg  cosec 
Primero sé que cos
y sen 1
cos 1 sen
ahora se eliminan variables que se repitan arriba o abajo y viceversa, y en diagonal en
ambos sentidos. Así: sen cos 1
  1
cos 1 sen
El resultado es 11 ósea existe una igualdad o identidad.
Al final Genio te propondrá otras identidades que deberás demostrar.
Sigamos…

14. ¡Hey! También es importante señalar que
existen relaciones entre funciones
trigonométricas en un triángulo
rectángulo. A estas relaciones llamamos
cofunciones, éstas son:

15. Una cofunción se cumple cuando los ángulos  y  suman 90°.

hipotenusa (c)
cateto (a)

cateto (b)
Donde:
1.- sen   cos  2.- cosec  sec  3.- tg  cotg
a a c c a a
  
c c a a b b
A los ángulos…

16. que se forman en la vida cotidiana, (esto es, por ejemplo: una escalera apoyada
en su parte superior en un poste pitufo) reciben el nombre de ángulo de depresión
y ángulo de elevación .
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
Ángulo de depresión: este ángulo se forma entre la recta horizontal (nivel del suelo) y la
recta de visión que este hacia arriba del observador (línea diagonal formada por la escalera
y que llega hasta el poste).
Ángulo de elevación: este ángulo se forma entre la recta horizontal (línea punteada) y la
recta de visión que este hacia abajo del observador ( línea diagonal formada por la escalera
y que llega hasta el nivel del suelo). Por ultimo…

17. Es imprescindible que aprendas también las funciones
trigonométricas de los ángulos 45°, 30°, 60° y 90°.
Estas funciones, como toda función
trigonométrica, es invariable, es decir, siempre es la
misma y son muy requeridas en los problemas de
trigonometría, esto es problemas cotidianos e
identidades.

18. Las funciones trigonométricas para 45° nace en un triángulo rectángulo isósceles
(triángulo que posee dos lados iguales y uno distinto).
45°
1 √2
45°
1
De este triángulo se extraen las siguientes cofunciones de 45°:
1 2
sen 45  cos 45  
2 2
tg 45  cotg 45  1
sec 45   cosec 45   2

19. La funciones trigonométricas de 30° y 60° nacen de un triángulo equilátero: figura
que tiene todos sus lados iguales
30° 30°
2 2
√3
60° 60°
1 1
De este triángulo se extraen las siguientes funciones de 30° y 60°:
sen30  cos 60 
1 cotg 30   t g 60   3
2
cos 30   sen 60  
3
cosec30  sec 60  2
2
3 2 3
tg 30   cotg 60   sec30   cosec60  
3 3 Seguir…

20. En la siguiente tabla se resumen las funciones trigonométricas de 30°, 45°, 60° y 90°:
Relación
trigonométrica
30° 45° 60° 90°
Seno (sen) 1 2 3
2 2 2
1
Coseno (cos) 3 2 1
2 2 2 0
Tangente (tg) 3
3
1 3 -
Cosecante 2 3
(cosec) 2 2 3 -
Secante (sec) 2 3
3
2 2 -
Cotangente 3
(cotg) 3 1 3 -
Seguir…

21. Nota: existen formas de determinar las funciones trigonométricas de otros ángulos.
La forma que aprendí se basa en las funciones trigonométricas de los ángulos
estudiados.
Así es:
Ejemplo: Determinar la función trigonométrica de sen17 .
1
Primero: la función trigonométrica mas cercana es sen30  , ahora para
2
convertir sen30° a sen17° se hace lo siguiente:
sen30 
1
/  30
Aquí se dividió toda la ecuación en 30 (se divide el lado derecho e
2 izquierdo de la igualdad por 30).
Al realizar la operación que así: sen1 
1 luego se multiplica toda la ecuación por el
60
1
número de grados deseado, ósea 17: sen1  60 /17 .
17
La ecuación queda así: sen17  .
60
Si sacas con calculadora científica, sen17  0.292 aprox.
17
 0,283
Según nuestra ecuación: 60 aprox. Existe 0.009 de diferencia entre el
valor dado por la calculadora científica y nuestra ecuación. Los valores no son
idénticas pero al trabajar con nuestra ecuación en un problema, se acepta debido a su
proximidad a las medidas reales (que cabe notar que también son aproximaciones).
¿Cuál es el método para saber el valor de otros ángulos?...

22. El mismo, para averiguar el valor de otros ángulo se ocupa el mismo método:
1.-Se establece la función trigonométrica más cercana al ángulo a determinar.
2.- Se divide la función trigonométrica conocida (30°, 45°, 60° o 90°) por el valor
numérico del ángulo (30, 45, 60 o 90).
3.- Ahora se multiplica toda la ecuación resultante por el ángulo en cifras deseado (
por ejemplo: cos42° ,cifras:42).
4. Si se tiene dudas con la función trigonométrica obtenida, puedes compararla con el
valor de la función trigonométrica en análisis mediante una calculadora científica y el
valor en cifras de la función que acabas de obtener debido al método descrito.
Si la diferencia entre ambos es mínima (esto es: igual o menor a 0,1) puedes ocuparla
en un problema que te exija averiguar el valor del ángulo que acabas de obtener.
Otro ejemplo: Determinar sen74
La función trigonométricas mas cercana es sen60   3 ahora dividiendo toda la
2
ecuación por 60 se obtiene sen1  3
120
37 3
Ahora multiplicamos toda la ecuación por 74, quedando así: sen 74  
60
Ahora si comparo el valor de sen74° arrojado por una calculadora científica y el
desarrollo de nuestra ecuación. La comparación es la siguiente: 1,07  1 donde la
diferencia entre ambos es 0,007 por lo tanto la ecuación obtenida puede ser ocupada
en un problema de similares características. Seguir…

23. Ojo: cuando te pidan el valor del coseno de algún ángulo, primero sácale su seno, y
luego construyendo un triángulo rectángulo posiciona los valores
resultantes, acuérdate, seno = cateto opuesto/hipotenusa , ahora según Pitágoras (
esto es: la suma de los catetos al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa), el
objetivo es saber el valor del lado de triángulo continúo al ángulo (lado
adyacente), reemplazando valores en la ecuación de Pitágoras y finalmente
obteniendo el ángulo adyacente, lo divides por la hipotenusa, dejándolo expresado
como razón, y tienes el coseno del ángulo pedido en el problema.
*Si la función trigonométricas mas cercano al ángulo a determinar es sen45°, basta
con saber el valor de su seno, porque sen45° y cos45° son cofunciones, vale
decir, valen lo mismo.
Por ejemplo: Determinar cos63
3
sen 60  
Ahora sen63 , la función trigonométrica mas cercana es 2
sabemos que el sen1° en esta ecuación es 3 ,ahora multiplicamos por 63 y
21 3 120
sen 63  
tenemos que 40 donde comparando valores dados por calculadora
científica y el desarrollo de la ecuación de este seno resulta: 1  1
Ahora sabiendo sen63° , construimos un triángulo rectángulo posicionando los
valores de éste (seno de 63°). Así:

24. Triángulo rectángulo ABC C
21 3 40 (c)
sen 63   21 3 (b)
40
63°
A B
x (a)
Según Pitágoras: c 2  a 2  b 2 reemplazando valores, la ecuación queda
establecida así: 40  x  21 3
2 2
 2
desarrollando, x, en esta ecuación, adopta
el valor de 277 .
277
Por lo tanto coseno de 63° (cateto adyacente/hipotenusa) es
40
Sigue…

25. Podemos realizar una tabla donde establezcamos el sen1° de los ángulos 30°, 45°, 60
y 90°
Así quedaría:
30° 45° 60° 90°
sen1 1 2 3 1
60 90 120 90
Recuerda: solo basta multiplicar la expresión por el valor en cifras del ángulo a
determinar, y ya esta, tienes la función trigonométrica requerida.

26. Es todo esto lo que he aprendido de la trigonometría, si no fuera por
otros amigos no hubiese podido solo; siempre es bueno preguntar,
como dice Papá Pitufo: -” Si no sabes algo, no pierdas el tiempo
respondiéndote, si no ve a buscar ayuda”.
Yo he podido aprender, ¿Por qué no tú? Sí perseveras, el destino que
creías cierto se esfumara.
¡Hey! A continuación Genio, Papá Pitufo y yo te propondremos una
serie de ejercicios de trigonometría que no dudamos que podrás
responder.
¡Ahora a trabajar!

27. I ítem: identidades trigonométricas
Ejemplo: Demostrar la siguiente identidad.
-
(1  sen )  (1  sen )  cos 2 
Primero siempre es recomendable comenzar por el miembro de la ecuación (lado derecho o
izquierdo de la igual [=]) mas grande, ósea el miembro derecho:
Con esta expresión vamos a trabajar: (1  sen )  (1  sen ) multiplicamos todos
los valores (propiedad distributiva) quedándonos así: 12  sen  sen  sen 2 ,
Ahora simplificando términos semejante la expresión queda así: 1  sen 2
La expresión resultante ósea 1  sen 2  cos2 
Entonces existe igualdad: cos2 a  cos2 
¿Por qué 1  sen 2  cos2  ? Debido que la identidad fundamental lo dicta:
Identidad fundamental: sen 2  cos2   1 donde:
sen 2  1 - cos2  y cos2   1 - sen 2 ¿Recordáis?

28. I ítem: identidades trigonométricas
Demostrar las siguientes identidades:
1.- 2(1  cos 2  )  cos 2   1  sen 2 1 tg  sen
8.- 
cos  (1  cos  ) sen 3
2.- cos   sen
cotg
tg
3.-  sen  0
sen
sen cos 
4.-  1
cosec sec
sec
5.-  sen
tg  cotg
6.- tg  cotg  sec  cosec
7.- cos  tg  sen  sec

29. II Ítem: ejercicios
Resuelve los siguientes ejercicios de trigonometría:
1.- Sin ocupar calculadora resuelve: sen60   cos2 45   tg 30   cos 90 
tg  sen  cos 
2.- El valor de tg es:
a. 1 cos b. 1  sen c. tg  1 d. cos2  e. sen 2
3.- Sin ocupar calculadora resuelve: tg 30   sen 45   cos 60 
2 2
4.- Si sec  3 , entonces ¿cuál es el valor de cos
2
 ?
1 1 3
a. 3 b. c. d. 9 e.
3 9 3
5.- El valor de (2sen )(3sen )  (6 cos )(cos ) es:
a. 1 b. 6 c. 12 d. 5sen  7 cos e. 6sen  6 cos
6.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
I. 1 II. tg 
1 III. sen
sen  tg 
sec cotg cos
a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. Sólo I y II e. Sólo II y III

30. III Ítem: Problemas cotidianos
Resuelve los siguientes problemas de trigonometría:
1.- En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál es el valor del ángulo ABC?
B
a. 45° b. 30° c. 60° d. 50° e. 40°
10 5
C A
2.- Una escalera de 32 metros de largo es apoyada contra una pared vertical, formando un ángulo
de 30° con la pared. ¿A qué altura de la pared está el punto de apoyo?
a. 16 b. 16 3 c. 32 3 d. 8 3 e.16 2
3.- ¿Cuál es el valor de x en el triángulo de la figura?
45° 3 2 5 2
x a. 3 b. 2 c. d. e. 2 2
√2 2 3
45°
Más ejercicios…

31. 4.- Desde un punto P situado a nivel del suelo, el ángulo de elevación a la parte más alta de un
poste es de 30° Si la distancia entre el punto P y la base del poste es de 10 √3 metros,
determina la altura del poste.
a. 15 metros b. 20 metros c. 10 metros d. 10 √3 metros e. 20 √3 metros
5.- ¿Cuál es la sombra que proyecta un hombre que mide 1,93 si el sol forma un ángulo de
elevación de 30º ?
a. √3 metros b. 3 metros c. 3√3 metros d. 1,93 metros e. 1.93√3 metros
6.- ¿Cuál es la altura de un puente que cruza un río de 35 m de ancho, si desde uno de los
extremos del puente se ve la base del mismo, pero del lado opuesto con un ángulo de
depresión de 15º ?
a. 35 3 metros b. 7 3 metros c. 5 3 metros d. 70 3 metros e.17 ,5 3 metros
3 3 3 3 3
Más ejercicios…

32. 7.- Según la información dada en la figura, CD mide:
C
a. 1 b. 1,5 c. 2 d. 3 e. 3
√3
2
60°
A B
D
8.- Un hombre observa un poste, la línea recta entre el cráneo del hombre al poste y la línea de
visión forma un ángulo de 72°. El modulo de la línea diagonal que separa la cabeza del
hombre y la cúspide del poste es de 15 metros. Sabiéndose que el hombre mide 1.75
determine la altura del poste.
15 m
Cifras (aprox.): 2  1,41
3  1,73
72°
5  2,23
a. 15,57 metros b. 17,32 metros c. 12,69 metros d. 14,44 metros e. 15.005 metros
Ir a solucionario…

33. Solucionario
II Ítem: ejercicios
1.- 1
2.- e
3.- 1/3
4.- b
5.- b
6.- e
III Ítem: problemas cotidianos
1.- c
2.- b
3.- b
4.- c
5.- a
6.- a
7.- b
8.- b
Seguir…

34. Al finalizar este capitulo os deseo la
mejor de las bienaventuranzas y
recuerda: nunca digas imposible si no lo
has intentado, mejor caer derrotado y
levantarse que quedar lamentándose.
Ahora…

37. ¿Cambiaste de opinión…?

38.  Web: puntajenacional.cl (Preuniversitario online).
- “Guía de materia Matemáticas Trigonometría” y “Guía de
ejercicios Trigonometría”.
 Web: sectormatematica.cl/preuniv (Preuniversitario sector
matemática).
- Clase 27: “Trigonometría”.
- Webmaster: Danny Perich Campana
 Web: youtube.com/user/dannyperich (canal de dannyperich).
- Videos: “Identidades Trigonométricas N” N = del 01 al 07
 Documento PDF: “Prueba de matemáticas Trigonometría”.
- Establecimiento: Liceo Lucila Godoy Alcayaga – Traiguén.
- Unidad: Más sobre triángulos rectángulos.
- Profesor: Marco Ávila
y al…

39. Dibujante belga Pierre Culliford alias Peyo
y los directores de Hanna-Barbera: William
Hanna y Joseph Barbera, gracias por crear
y dar a conocer a “LOS PITUFOS”.