Descripción de ecuaciones cuadráticas

1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Definiciones:
Se llaman ecuaciones algebraicas de
segundo grado o ecuaciones
cuadráticas, aquellas que adoptan la
forma típica:
ax² +bx +c

2. O que son deducibles a esta forma por
transformaciones algebraicas.
En (1) x representa la incógnita y los
coeficientes a, b, c son constantes.
Se supone a ‡ 0 pues, de lo contrario,
la ecuación se reduciría a otra de
primer grado ( si b ‡0)

3. Una ecuación cuadrática se obtiene
igualando a cero un trinomio (
completo o incompleto) de segundo
grado
EJEMPLO:
Son ecuaciones de segundo grado las siguientes:
6x²-3x+5=0
4x²-0.2=0
x²+13x=0
2x²=0

4. Como hemos dicho, en una ecuación
de segundo grado se supone siempre
a ‡ 0.
Cuando los coeficientes b ó c, o
ambos, son nulos la ecuación se dice
incompleta. Sin ningún coeficiente es
cero la ecuación se dice entonces
completa.

5. También Son Ecuaciones de segundo
grado la siguiente:
x (x+1)(x+3)= x³+2x-5 ,
Ya que por transformaciones
algebraicas se obtiene
sucesivamente:
x³+4x²+3x=x³+2x-5
4x²+x+5=0
Que es una ecuación en forma ax²
+bx +c, en esta ecuación los
coeficientes valen
a=4 , b=1 , c=5

6. Las ecuaciones incompletas de
segundo grado se reducen a una de
las formas siguientes:
ax²+c=0 (b=0)
ax²+bx=0 (c=0)
ax²=0 (b=c=0)

7. RESOLUCION DE ECUACIONES
INCOMPLETAS
Cuando una ecuación de segundo
grado es incompleta, sus soluciones
o raíces se determinan fácilmente,
como muestran los ejemplos
siguiente:
Resolver la ecuación 9x²-1=0

8. Resolver la ecuación 9x²-1=0
Si se traslada el termino constante al
segundo miembro, se tiene:
Despejando x²:
x²= 1 / 9
Extrayendo la raíz cuadrada:
X= ± 1 / 3
La ecuación propuesta admite, pues, las dos
raices
X1= +1/3 x2=-1/3
Comprobación:
9(±1/3)²-1=9.1/9-1=1-1=0

9. Como demostraremos mas adelante,
toda ecuación de segundo grado
tiene dos raíces. Para distinguir estas
dos raíces afectaremos con
subíndices la letra que designe la
incógnita; y escribiremos, por
ejemplo, como hicimos arriba,
x1 ( x sub. uno) para una de las
raíces y
x2 ( x sub. dos) para la segunda raíz

10. EJERCICIOS:
Resolver la ecuación 3x²+2x=0
En este caso el termino constante es nulo. Sacando x, factor
comun se tiene:
X(3x+2)=0
Ahora bien, un producto es cero cuando es cero uno
cualquiera de sus factores. Por tanto, la ecuación anterior
se satisfará en uno cualquiera de los casos siguientes:
X=0
3x+2=0
La primera ecuación nos muestra que la ecuación propuesta
se satisface para x1=0; la segunda que la ecuación
propuesta se satisface para x2=-2/3
Obsérvese que no es licito dividir la ecuación por x pues se
perdería la raíz x=0. En general, no debe dividirse una
ecuación por un factor que contenga la incógnita pues
entonces la ecuación obtenida no será equivalente a la
propuesta.

11. La determinación de las raíces es
inmediata, pues basta igualar a cero
uno de los factores encontrados.
Como esos factores son de primer
grado, la resolución de la ecuación
de segundo grado queda reducida así
a la resolución de dos ecuaciones
simples de primer grado.

12. RESOLUCION DE ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO POR
DESCOMPOSISCION EN FACTORES.
Ya hemos visto que una ecuación
incompleta de la forma ax²+bx=0,
se resuelve sacando x factor común.
Cuando se tiene una ecuación
completa de la forma ax²+bx+c=0 y
el trinomio que forma el primer
miembro de la ecuación puede
descomponerse en factores por
alguno de los métodos estudiado.

13. Las raíces encontradas por este
procedimiento son las raíces de la
ecuación propuesta, puesto que
anulando uno de los factores, anulan
el producto, es decir, el primer
miembro de la ecuación.

14. EJEMPLOS:
Resolver la ecuación x²+5x-24=0
Aplican el método estudiado para,
descomponer los trinomios de la
forma x²+px+q, buscaremos dos
numeros que multiplicados den -24 y
sumados algebraicamente den 5.
Estos dos numeros son 8 y -3. por lo
tanto, la ecuacion dada se puede
escribir
(x+8)(x+3)=0

15. Y resultan las siguientes ecuaciones
X+8 = 0 x-3 = 0
En donde
X1 = -8 x2 = 3

16. RESOLVER LA ECUACIÓN
6x²-7X-3=0 Por cualquiera de los métodos
estudiados anteriormente se encuentra:
(2x-3) (3x+1)= 0
e igualando a 0 cada factor
2x-3= 0 3x+1= 0
En donde
X1= 3/2 x2= -1/3

17. RESOLUCION POR EL MÉTODO DE
COMPLETAR UN CUADRADO PERFECTO
Puesto que
(x+m/2)² = x²+mx+(m/2)²
A un binomio de la forma x²+mx (con m
positivo o negativo)
( m/2)²
Paras ser un cuadrado perfecto
Por ejemplo, a x²+8x falta agregarle
(8/2)² = 16

18. Para que el trinomio resultante sea
cuadrado perfecto. Análogamente, a
x²-5x hay que agregar (-5/2)² =
25/4 para obtener el cuadrado
perfecto.
x²-5x+25/4
La observación anterior es
aprovechada para resolver cualquier
ecuación de segundo grado,
completando en el primer miembro
de la ecuación un cuadrado perfecto.

19. En la forma que muestran los siguientes ejemplos:
1. Resolver la ecuación
x²+6x-7= 0
Si se pasa el último término al segundo miembro, se tiene
x²+6x= 7
De acuerdo con lo dicho antes, para completar un cuadrado perfecto en el
primer miembro bastará agregarle ( 6/2)²= 3²= 9
Sumando 9 en ambos miembros resulta:
x²+6x+9= 7+9= 16
Si se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros se encuentra
x+3=4 o x+3=-4
Según se tome +4 o -4 para la raíz es 16 resolviendo estas ecuaciones se
tiene:
X1=1 x2=-7
Estas son las dos raíces de la ecuación propuesta

20. COMPROBACION
1²+6(1)-7=0
(-7)²+6(-7)-7 = 49-42-7 = 0
Al extraer la raíz cuadrada en (1) se escribe
usualmente x+3= +-4 de donde
X= -3+-4= [1-7]
Observación:
No se obtendría nada nuevo anteponiento el signo
menos al mienbro izquierdo de la ecuación pues de
-(x+3)=+-4

21. se deduce -x-3=4 , -x-3=-4
O bien cambiando los signos
X+3 =-4 , x+3=4
Que son las mismas ecuaciones obtenidas anteriormente

22. FORMULAS PARA RESOLVER LAS
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
La ecuación con coeficiente literales
ax²+bx+c=0 (a‡0)
Representan cualquier ecuación de
segundo grado. Así, por ejemplo, se
convierte la ecuación 4x²-7x+3=0 si
se toma a=4, b=-7 y c=3
Vamos a resolver la ecuación
ax²+bx+c=0 por el método de
completar el cuadrado perfecto.

23. De este modo obtendremos un resultado general o formula mediante la cual
podemos resolver cualquier situación particular de segundo grado sustituyendo
simplemente en esta formula los valores de los coeficientes.
Para resolver ax²+bx+c=0 comencemos por dividir ambos miembros de la ecuación
por el primer coeficiente a, que es por hipótesis distinto de 0
x²+(b/a)x+c/a=0
Y pasamos ahora el ultimo término al segundo miembro
x²+(b/a)x=-c/a
De acuerdo con lo dicho anteriormente completaremos un cuadrado perfecto en el
primer miembro añadiendo
(b/2a)²=b²/4ª
A ambos miembros de la ecuación; así se obtiene
x²+(b/a)x+b²/4a²=b²/4a²-c/a
O bien
(x+b/2a)²=b²-4ac/4a²

24. Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros y anteponiendo el doble ± a
uno de ellos:
X+b/2ª=±√b²-4ac/2ª
Y despejando x se obtiene finalmente:
X=-b/2a±√b²-4ac/2ª
-b±√b²-4ac
X=
2a
Esta es la formula dse resolución de la ecuación general de un segundo grado

25. REGLA:
En una ecuación de segundo grado la
formula ax²+bx+c la incognita es
igual al coeficiente del segundo
término con signo cambiado, mas o
menos la raíz cuadrada de la
diferencia entre el cuadrado de este
coeficiente y el cuadruplo del primero
`por el tercero, dividido todo por el
duplo del primer coeficiente.

26. EJERCICIOS:
Resolver la ecuacion 2x²†5x-3=0
En este ejemplo se tiene a=2,b=5,c=-3 sustituyendo estos valores en la formula se
encuentra:
-5±√5²-4(2)(-3)
X=
2(2)
-5±√49
X=
4
-5±7
X=
4
Lo que queda:
-5†7 1
X= =
4 2
-5-7 -12
X= =
4 4
= -3

27. ECUACIONES LITERALES
Se resuelve de la misma manera que
las ecuaciones con coeficientes
numéricos:
• Por descomposición en factores
• Completando un cuadrado perfecto
• Por la fórmula general

28. EJEMPLO:
RESOLVER LA ECUACIÓN
x²-2mx = 3m²
Si se pasa 3m²al primer miembro, se
ve que la ecuación puede escribirse
también en la forma.
x²-2mx -3m²= 0

29. PRIMER METODO
POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
(x-3m)(x†m)=0
De donde se obtiene:
X-3m=0 , x†m=0
Y, por tanto,
X1=3m , x2=-m

30. SEGUNDO METODO
Sumando m²en ambos miembros de la
ecuación dada, se obtiene
x²-2mx+m²=3m²+m²=4m²,
Y extrayendo raíz cuadrada
X-m=±2m;
Luego
X=m±2m
Es decir
X1=3m , x2=-m

31. TERCER METODO
En el ejemplo propuesto se tiene a=1,
b=-2m, c=-3m². Por tanto,
2m±√4m²-4(1)(-3m²)
X=
2
2m±√16m²
X=
2
2m±4m
X=
2

32. ECUACION CON RADICALES
Para resolver las ecuaciones con radicales se
requieren tres pasos:
1.- Racionalizacion de la ecuación. Esto se
consigue por elevaciones a potencias o
mediante factores racionalizantes
2.-Resolución de la ecuación obtenida
3.-Verificación de las raíces encontradas en
la ecuación original para desechar las
raíces extrañas que se hayan podido
introducir en el proceso de racionalización.

33. Ejemplo
Resolver la ecuación:
√x+7 +1=2x
Si se pasa el 1 al segundo miembro para aislar el radical se tiene:
√x+7 =2x-1
Y elevando al cuadrado ambos miembros,
x+7=4x²-4x+1
De donde resulta la ecuacion de segundo grado
4x²-5x-6=0
Despejando x se obtiene
5± √25+96
X=
8
5± 11
X=
8
={ 2 , -3/4

34. RESOLUCION GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Se llama funcion cuadratica la funcion:
Y=ax²+bx+c
Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos,
"las raices" y el vértice.
Grafiquemos f(x) = x2 + 5x - 6
La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6)
pertenece a la función.
Hallemos el vértice de la parábola:
Ahora las raíces:
Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

35. Hallemos el vértice de la parábola:
Ahora las
raíces:
Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

36. Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3
X Y
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
3 0
4 5

37. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y
el punto C de la parábola
y = x2 - x + 1 .
a. A está situado en el eje Y, es decir sus
coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto
que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 +
1, y = 1. Luego A = (0,1).
b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 =
x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de
soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).
c. La 1ª coordenada del vértice está situada en
el punto medio del segmento de extremos 0
y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene
con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75.
Las coordenadas del vértice serán V =
(0'5,0'75).
d. Utilizando la simetría de la parábola puedo
calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo
tanto,
y = 22-2+1=3. C = (2,3).
• Este método se puede generalizar a cualquier
parábola de ecuación y = ax2 + bx + c y
nos permitirá hallar el vértice de forma
inmediata.

38. RELACIONES ENTRE LAS RAICES Y
LOS COEFICIENTES
Puesto que en la ecuacion de segundo
grado: ax²+bx+c=0
Siempre se supone a≠0, se puede
dividir la ecuacion por este
coeficiente y escribirla en la forma:
x²+(b/a)x+c/a=0

39. ECUACIONES REDUCIBLES A
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Para poder entender esta aplicación
vamos a considerar alginos ejemplos
simples de ecuaciones de grado
superior que son reducibles a
ecuaciones de segundo grado de la
forma:
av²+bv+c=0

40. ASI:
4x^4-13x²+3=0
Haciendo:
x²=v
Se obtiene la ecuacion de segundo grado:
4v²-13v+3=0
Resolviendo esta ecuacion tenemos:
13±√169-48
V=
8
13±11
V=
8
V={ 3 , ¼
Sustituyendo estos valores de v en x²=v
resulta:
x²=3 , x²=1/4 ,
De donde se obtiene
x1:= √3
X2= - √3
X3= ½
X4= -1/2
Estos cuatro valores son todos raices de la
ecuacion propuesta.
El numero de las raices de una ecuacion
algebraica es siempre igual al grado
de la ecuacion.
En general, las ecuaciones de la forma:
ax^4+bx²+c=0
Se llaman bicuadradas.
Haciendo x²=vse reduce a la ecuacion
cuadratica
av²+bx²+c=0

41. La cual da:
-b±√b²-4ac
V=
2 a
Luego:
-b±√b²-4ac
x²=
2 a
De donde se obtiene:
-b±√b²-4ac
X=±
2ª
Coomo formula de la ECUACION BICUADRATICA

42. SISTEMAS CUADRATICAS
Se laman sistemas cuadraticas los sistemas de ecuaciones que contienen al menos una
ecuacion de segundo grado y ninguna ecuacion de segundo grado superior al
segundo.
EJEMPLOS:
4X²-3XY=18
{
2X+3Y=12
x²+xy+y²=3
{
2x²-y²=1
El primer sistema contiene una ecuacion de segundo grado y una de primero. El segundo
sistema se compone de dos ecuaciones de segundo grado.

43. RESOLVER EL SISTEMA
El primer sistema contiene una ecuacion
de segundo grado y una de primero. El
segundo sistema se compone de dos
ecuaciones de segundo grado.
1 x²-3y²=15
2 x²+2y²=11

44. EJEMPLOS:
RESOLVER EL SISTEMA:
• En este caso las ecuaciones del
sistema contienen solamente los
cuadrados de las incognitas. Estos
sistemas se resuelven como los
lineales, resultando al final ecuaciones
de segundo grado incompletas de la
forma x²=a
1 2x²-
3y²=15
2 x²+2y²=11

45. Asi, en el ejmplo propuesto,
comenzaremos por eliminar x² para lo
cual multiplicaremos la segunda
ecuacion por 2:
(1) {3} 2x²-3y²=15
(2) X 2 {4} 2x²+4y²=22
(4) – (3)
7y²=7
y²=1
De donde se obtiene
Y=1 ó y=-1
Sustituyendo y=1 en {2} resulta:
x²+2=11 , x²=9,
De donde
X=+3 ó x=-3
Sustituyendo y=-1 en {2} se obtiene otra
vez x²=9, x=+3 ó x=-3
En resumen, el sistema admite las
soluciones que se indican en el cuadro
siguiente:
X 3 -3 3 -3
y 1 1 -1 -1

46. RESOLVER ES SISTEMA:
{1} x²+y²=25
{
{2} x+y=1
Los sistemas que se componen de una
ecuacion de segundo grado y una de
primero se resuelven pro sustitucion,
despejando una de las incognitas en la
ecuacion de primer grado y sustituyendo
su valor en la otra ecuacion. Asi, en el
caso anterior, despejando y en {2} se
tiene:
{3} y=1-x

47. Y sustituyendo en {1}:
x²+(1-x) ²=25
x²+1-2x+x²=25
x²-x-12=0
(x-4)(x+3)=0
De donde:
X1: 4
X2: -3
Sustituyendo x1=4 en {3} se
obtiene
Y1=1-4=-3,
Y sustituyendo x2=-3
Y2= 1+3=4.
Se tienen, pues, las soluciones:
X 4 -3
y -3 4

48. RESOLUCION GRAFICA
Los sistemas cuadráticos, lineales, pueden
resolverse representando gráficamente
cada una de las ecuaciones del sistema y
determinando sobre el papel las
coordenadas de los puntos de
intersección.
Para representar gráficamente la ecuación
del sistema estudiado anteriormente,
comenzamos por despejar la y el la forma
Y=±√25-x²
Y dando los valores a x establecemos la
tabla que se observa al lado de la figura

49. EJERCICIOS
1 1 2 2
X Y X Y
-5 0 0 1
-4 3 1 0
-3 4 3 -2
0 5
3 4
4 3
5 0