Desigualdad triangular

1. DESIGUALDAD TRIANGULAR
Primera consideración a tener en cuenta: la menor distancia entre
dos puntos distintos es el segmento de recta que los une.
Aplicando este resultado a los triángulos, podemos deducir que
cualquier lado siempre es menor en longitud que la suma de los dos
restantes.
a < 𝑏 + 𝑐
𝑏 < a + 𝑐
𝑐 < a + 𝑏
Sean tres puntos A, B, C no
alineados y a, 𝑏, 𝑐 las longitudes de
los lados del triángulo.
Se cumple siempre:
A esta propiedad se denomina desigualdad triangular.

2. Ejemplo 1:
Determinar las posibles longitudes del lado de
un triángulo si se sabe que las longitudes de los
otros dos de lados son 5 m y 3 m
Si se trata del lado mayor, entonces, su
longitud debe ser menor que la suma de
las longitudes de los otros dos lados.
𝑥 < 5 + 4 → 𝑥 < 9
Si 𝑥 no se trata del lado mayor, entonces
el lado mayor mide 5 m y su longitud debe
ser menor que la suma de los otros dos
lados
5 < 𝑥 + 4 → 5 − 4 < 𝑥
→ 1 < 𝑥
De las dos desigualdades anteriores se deduce
1 < 𝑥 < 9

3. A continuación aparecen diferentes longitudes de tres
segmentos. Establecer en cada caso si corresponden a
las longitudes de un triángulo
Ejemplo 2:
𝟏) 5𝑚, 10𝑚, 3𝑚
Solución: El lado mayor de los tres lados es 10𝑚
Al aplicar la desigualdad triangular se obtiene
10 < 5 + 3 → 10 < 8
Por no cumplir la desigualdad triangular, las longitudes
no corresponden a los lados de un triangulo
2) 3𝑚, 2𝑚, 3𝑚
Solución: Aquí se toma cualquiera de los dos segmentos de
longitud 3𝑚 como el lado mayor de los lados.
3 < 2 + 3 → 3 < 5
Al aplicar la desigualdad triangular se obtiene
Como se cumple la desigualdad triangular, las longitudes
si corresponden a los lados de un triángulo

4. Relaciones entre lados y ángulos de un triangulo
En un triángulo:
• Si dos ángulos no son congruentes, entonces los lados opuestos a
ellos tampoco son congruentes y el lado menor se opone al ángulo
menor.
𝛽0
< 𝜃0
→ 𝑏 < 𝑎
• Si dos lados no son congruentes,
entonces los ángulos opuestos a ellos
tampoco son congruentes y el ángulo
menor es el opuesto al lado menor
𝑏 < 𝑎 → 𝛽0
< 𝜃0

5. Ejemplo 3:
En el triángulo la
relación entre los
ángulos es:
1) 𝑦0
< 𝑥0
< 𝑧0
Ejemplo 4:
En el triángulo la
relación entre los
lados es:
1) 𝑥 < 𝑧 < 𝑦
2) 𝑦0
+ 𝑥0
+ 𝑧0
= 1800
2) 𝑦 < 𝑥 + 𝑧
Ejemplo 5: En el triángulo se tienen las la relaciones:
Como
3 < 4 → 𝜃0 < 500 𝜃0
+ 𝛽0
+ 500
= 1800
𝜃0
< 500
y
→
𝛽0
= 1300
− 𝜃0
𝛽0
> 1300
−500
→ 𝛽0
> 800
Al ser 𝛽0 el mayor ángulo → x es el mayor lado → 4 < 𝑥 < 4 + 3
4 < 𝑥 < 7→