O documento discute a evolução do conhecimento sobre números primos, desde a antiga Grécia até Pierre de Fermat e matemáticos posteriores. Apresenta conceitos como o Pequeno Teorema de Fermat, números amigos e perfeitos, e destaca as contribuições de Fermat e Euler para a teoria dos números.
2. Índice - Diapositivos
Introdução
4
O que são números primos?
5
Breve história dos números primos até Fermat
7
Vida e obra de Pierre de Fermat
10
Números Primos de Fermat
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3. Índice - Diapositivos (cont.)
Pequeno Teorema de Fermat
20
Interesse do matemático Leonhard Euler na obra de Fermat
24
Outros matemáticos que desenvolveram trabalhos no
âmbito dos números primos
27
Números Amigos e Números Perfeitos
28
4. Introdução
O conhecimento dos números foi fundamental na evolução da História do
Homem.
Tendo sido sempre importantes, hoje, os números estão presentes em
qualquer atividade do Homem.
A teoria dos números, ou seja, o estudo das propriedades dos números
inteiros foi chamada a rainha da matemática.
O objetivo deste trabalho é conhecer a evolução, aplicação e propriedades
dos números primos, dos números amigos e perfeitos, e, ainda, o Pequeno
Teorema de Fermat.
6. ● São números primos, os números inteiros positivos maiores que
um e que são divisíveis por 1 e por eles mesmos.
Exemplo: Número primo Exemplo: Número não primo
7 é divisível por 1 e por 7 apenas, 4 é divisível por 1, 2 e 4, logo,
como tem mais
logo, é um número primo de dois divisores não é primo
8. ● A descoberta dos números primos foi iniciada por Euclides de
Alexandria no ano 360 a.c a 295 a.c
● Euclides era um célebre matemático grego que conseguiu provar que
existe um número infinito de números primos.
Como estava curioso acerca destes números, resolveu aprofundar o seu
conhecimento
● Assim, aprendeu uma propriedade dos números: qualquer número
composto se pode decompor num produto de fatores primos
9. ● A 200 a.C. o Grego Eratóstenes apresentou um algoritmo para calcular
números primos, o Crivo de Eratóstenes
● A descoberta dos números primos foi tentada por muitos matemáticos
que nunca conseguiram descobrir como o fazer até que Euclides o
descobriu
● A descoberta dos números primos teve uma grande importância ao
longo da história da matemática e ainda hoje em dia os usamos com
grande frequência
11. Vida e obra de Pierre de Fermat
● Pierre de Fermat (1601-1665) foi um magistrado,
matemático e cientista francês, que nasceu em
Beaumont-de-Lomagne, França.
● Em 1636, Fermat propôs um sistema de
geometria analítica. O seu trabalho estava
baseado numa reconstrução do trabalho de
Apollonius, usando a álgebra de Viète. Um
trabalho semelhante conduziu Fermat para
descobrir métodos similares para diferenciação e
integração por máximos e mínimos.
12. Vida e obra de
Pierre de Fermat
● é conhecido pelos seus teoremas na área da
teoria dos números, em particular o seu famoso
último teorema: xn + yn = zn não possui solução
não nula quando n>2. Apesar de Fermat ter
anotado que tinha descoberto uma prova para
esta conjetura, é hoje aceite que tal afirmação
não seria exata. Só em novembro de 1994 foi
apresentada uma demonstração da autoria do
matemático britânico Andrew Wiles.
13. Vida e obra de Pierre de Fermat
● Fermat não publicou quase nada durante a sua vida, anunciando as suas
descobertas em cartas aos amigos. Às vezes anotava resultados nas
margens dos seus livros. O seu trabalho foi largamente esquecido até que
foi redescoberto no meio do século XIX
● No entanto, 300 anos de tentativas não sucedidas levaram à descoberta
de um número importantíssimo de resultados, nomeadamente a teoria
dos anéis comutativos
15. Em 1638, Fermat não conhecia nenhum método
com a finalidade de verificar se um número é
primo. No entanto, ele descobriu que se pode
verificar se algum número n, é seu divisor.
Esta relação é conhecida como
Número de Fermat
16. A relação do Número de Fermat diz-nos que
qualquer número é primo para valores
inteiros positivos de n.
Mais tarde, foi descoberto que nenhum
outro valor de Fn, além de n={0, 1, 2, 3, 4}, é
primo.
18. O método de fatoração de Fermat,
homenageando Pierre de Fermat, baseia-se na
representação de um número inteiro ímpar, é
representado pela diferença dos quadrados:
A diferença é algebricamente fatorial (a+b)(a-b); se
nenhum fator for igual a um, isso é uma fatoração
apropriada para N.
Cada número ímpar tem uma única representação.
De fato, se é a fatoração de N, então
19. ● Em sua forma mais simples, o método de
Fermat pode ser ainda mais lento do que a
divisão comum (no pior caso). No entanto, a
combinação de divisão comum e do método
de Fermat é mais eficaz do que qualquer
outro.
● Desde que N seja ímpar, então c e d também
são ímpares, porque as suas metades são
inteiras. (Um múltiplo de quatro também é
uma diferença de quadrados, desde que c e d
também seja.)
21. Pequeno Teorema de Fermat
O Teorema de Fermat oferece um teste simples e
eficaz que ignora todos o números que não são
primos. Todos os números que falham esse teste são
números não primos.
22. Assume-se mdc(a,b) como o máximo divisor comum entre a e b
Se m é primo, então para qualquer a tal que mdc (a,m)=1, temos:
● Se m não é primo, ainda é possível (embora pouco provável) que o
supracitado se verifique.
● Se m é ímpar composto, e a um número inteiro tal que mdc(a,m)=1 e
diz-se que m é pseudoprimo para a base a, ou seja, é um número não
primo que passa o teste de Fermat.
23. Qual o resto da divisão de 2 por 7?
Exemplo de Exercício
24
25. ● Apesar da grande importância, a primeira
demonstração do chamado “pequeno teorema de
Fermat” levou quase cem anos para ser divulgada.
Foi publicada apenas em 1736, pelo grande
Leonhard Euler.
● Este aprofundou o Teorema de Fermat que, assim,
se começou a chamar Teorema de Euler ou
Teorema de Fermat-Euler
26. Leonhard Euler generalizou o Pequeno Teorema de
Fermat:
Para qualquer número inteiro positivo e qualquer
inteiro relativamente primo a , tem-se:
onde denota a função totiente de Euler que conta
o número de inteiros entre 1 e n que sejam coprimos
em relação a n.
29. Números Amigos
Dizemos que dois números são amigos se cada
um deles é igual à soma dos divisores próprios do
outro, com exceção do próprio número.
Um exemplo de números amigos é 284 e 220, pois os divisores próprios de 220 são:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efetuando a soma destes números obtemos o resultado 284.
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Os divisores próprios de 284 são:
1, 2, 4, 71 e 142, efetuando a soma destes números obtemos o resultado 220.
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
30. Números Perfeitos
A explicação sobre os fundamentos matemáticos começa com os
números perfeitos. Os números perfeitos são iguais à soma dos seus
divisores próprios.
Divisores próprios de um número positivo, ou seja maior que zero, são
todos os divisores inteiros positivos do número, exceto o próprio
número.
Para facilitar o entendimento, veja o exemplo:
Os divisores próprios do número 6 são 1, 2 e 3. Se somar esses números, o valor
resultante será o próprio número: 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Outro exemplo é o número 28, cujos divisores próprios são 1, 2, 4, 7 e 14. Com ele
acontece a mesma situação do exemplo anterior: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
32. Conclusão
Ao longo de 27 diapositivos mostrámos o que são números primos, breve
história dos mesmos até Fermat, o Pequeno Teorema de Fermat e os
conceitos de números amigos e perfeitos. Por último, uma breve dinâmica
teve como objetivo cimentar os conceitos apreendidos e aplicá-los.
Este trabalho foi muito importante para percebermos a importância que os
números têm no nosso dia a dia, da atividade mais simples até à mais
complexa.