Introducción a la teoría de matrices

1. Teoría de Matrices
M.Sc. Rubén Darío Lara Escobar *
Curso de Álgebra Lineal
2do semestre de 2013
Índice
I Teoría de Matrices 2
1. Matrices 2
1.1. Notación Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
*Docente Instructor Universidad Católica de Manizales
1

2. 2. Matrices y Elimininación 3
2.1. Matrices Equivalentes Por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Matriz Triangular Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1. Matriz Aumentada del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2. Uso de las operaciones sobre las filas . . . . . . . . . . . 5
3. Eliminación Gaussiana 6
3.1. Pasos para la Eliminación Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2. Eliminación de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. Operaciones con Matrices 8
4.1. Idea del Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.1. Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.2. Determinación de la Inversa de una Matriz . . . . . . . . 12
Parte I
Teoría de Matrices
1. Matrices
1.1. Notación Matricial
Una forma usual, por su utilidad, de presentar un sistema de ecuaciones es la
Forma Matricial.
El sistema
x12x2 = 1
x1+3x2 = 3
se puede ver de la forma matricial:

6. 1 2 1
1 3 3

10. El sistema puede generar la siguiente matriz equivalente

14. 1 2 1
0 1 2

18. 2

19. Esto implica que nuestro sistema inicial se puede expresar de forma eqivalente
así:
x12x2 = 1
x2 = 2
De donde es claro que x1 = 3.
¿ Cómo se paso de la primera matriz a la segunda?
1.2. Operaciones Elementales
a. Reemplazar Se puede reemplazar una fila por un multiplo de otra fila.
b. Intercambio Intercambiar dos filas
c. Escalar Multiplicar todas las entradas en una fila por una constante k6= 0
2. Matrices y Elimininación
2.1. Matrices Equivalentes Por Filas
Definición 1. Dos matrices, una de las cuales se puede transformar en la otra
mediante una secuencia de operaciones elementales por filas, se denominan que
son: Equivalentes por filas.
Definición 2. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalen-tes
por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo (1) Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones li-neales:
x+2y+z = 2
3x+8y+z = 12
4y+z = 2
3

20. Solución 1. El sistema genera la siguiente matriz

26. 1 2 1
3 8 1
0 4 1

32. Observese que sólo tenemos en cuenta los coeficientes de las variables.
El sistema genera la siguiente matriz

38. 1 2 1
0 2 2
0 4 1

44. El número que esta encerrado lo llamamos un pivot.
La pregunta es ¿qué operacines sobre las filas transformaron en esta matriz
equivalente la primera matriz del sistema?
Tenemos la siguiente matriz

50. 1 2 1
0 2 2
0 0 5

56. El número que esta encerrado es el segundo pivot.
De nuevo ¿qué operaciones sobre las filas transformaron en esta II matriz equi-valente
la I matriz equivalente del sistema?
2.2. Matriz Triangular Superior
Finalmente el sistema genera la siguiente matriz

62. 1 2 1
0 2 2
0 0 5

68. Definición 3. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Triangular Superior, dado
que bajo la diagonal principal todas las entradas son ceros. Esta es la forma
ideal para reoslver un sistema de ecuaciones lineales.
4

69. El sistema ahora tiene la forma matricial equivalente
Ux =C
Donde U es una matriz Matriz Triangular Superior, x es el vector de variables
y C es el nuevo vector de constantes. ¿que paso entonces con estas constantes?
Para incluirlas generamos la siguiente matriz aumentada:
2.2.1. Matriz Aumentada del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz aumentada

75. 1 2 1 2
3 8 1 12
0 4 1 2

81. Definición 4. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Aumentada ya que incluye
las constantes independientes.
2.2.2. Uso de las operaciones sobre las filas
Ejemplo (2) Resuelva el siguiente Sistema Lineal, usando la eli-minación
Gaussiana
x2y+3z = 9
x3y = 4
2x5y+5z = 17
Solución 2. Primero tenemos la matriz aumentada asociada al sistema:
2
4
3
5
1 2 3 9
1 3 0 4
2 5 5 17
Sumamos la primera fila a la segunda
2
4
3
5
1 2 3 9
0 1 3 5
2 5 5 17
5

82. Ahora sumamos 2 veces la primera fila a la tercera
2
4
3
5
1 2 3 9
0 1 3 5
0 1 1 1
Sumamos la segunda fila a la tercera
2
4
3
5
1 2 3 9
0 1 3 5
0 0 2 4
Finalmente multiplicamos la tercera fila por 12
2
4
3
5
1 2 3 9
0 1 3 5
0 0 1 2
De donde el sistema original se convierte en
x2y+3z = 9
y+3z = 5
z = 2
El cual le aplicamos la sustitución hacia atrás y tenemos la soluciones.
3. Eliminación Gaussiana
3.1. Pasos para la Eliminación Gaussiana
1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones
2. Aplique las operaciones elementales por filas para reescribir la matriz au-mentada
en forma triangular superior.
3. Escriba en forma escalonada por renglones el sistema de ecuaciones lineales
correspondiente a la matriz y aplique sustitucón hacia atrás para hallar la
solución.
6

83. Ejercicio 1. Resuelva el siguiente Sistema Lineal, usando la eliminación Gaus-siana
y+z2v = 3
x+2yz = 2
2x+4y+z3v = 2
x4y7zv = 19
La matriz aumentada genera la siguiente matriz triangular superior:
2
1 2 1 0 2
0 1 1 2 3
0 0 1 1 2
0 0 0 1 3
664
3
775
Con la sutitución las soluciones son:
x = 1, y = 2, z = 3 y v = 4
Ejercicio 2. Reduzca las siguientes matrices usando la eliminación Gaussiana
2
4
3
5
1 1 2
1 2 3
1 3 4
2
4
3
5
0 3 6 6 4 5
3 7 8 5 8 9
3 9 12 9 6 15
2
0 3 6 4 9
1 2 1 3 1
2 3 0 3 1
1 4 5 9 7
664
3
775
3.2. Eliminación de Gauss-Jordan
¿Es posible seguir reduciendo esta matriz?
7

84. 2
1 2 1 0 2
0 1 1 2 3
0 0 1 1 2
0 0 0 1 3
664
3
775
Definición 5. Efectivamente, la idea de Jordan es continuar la blueucción hasta
que solo quede unos en la diagonal principal de la matriz, de la misma forma que
hizo Gauss, ahora con los ceros sobre la diagonal.
La redución de las entradas sobre la diagonal superior nos muestra, a través de un
proceso análogo al de Gauss, que se puede reducir a la matriz Identidad.
2
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
0 0 1 0 1
0 0 0 1 3
664
3
775
4. Operaciones con Matrices
Definición 6. Matriz Identidad: Una Matriz de tamaño nn se llama matriz
identidad I, si tiene la forma:
I =
2
3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
66666664
...
77777775
... 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Donde todas las entradas de la diagonal principal son unos y las demás son ceros.
Definición 7. Igualdad de Matrices
Dos matrices [Aij] y [Bij] son iguales si tienen el mismo orden mn y
ai j = bi j
para 1 i m y 1 j m
8

85. Definición 8. Suma de Matrices:
Si [Aij] y [Bij] son matrices de orden mn, entonces su suma es la matriz mn
definida como:
[Aij+Bij] = [ai j +bi j]
La suma de dos matrices de ordenes diferentes no esta definida.
Definición 9. Multiplicación por un Escalar
Si [Aij] es una matriz mn y c es un escalar, entonces el multiplo escalar de A
por c es la matriz mn definida por:
c[Aij] = [cai j]
para todo 1 i m y 1 j m
4.1. Idea del Producto de Matrices
Observemos las siguientes matrices
A =
2
66664
i
3
77775
B =
2
666664
...
j
3
777775= [Cij]
4.1.1. Multiplicación de Matrices
Definición 10. Multiplicación
si A = [ai j] es una matriz mn y B = [bi j] es una matriz n p, entonces el pro-ducto
AB es una matriz m p
AB = [ci j]
Donde
ci j =
nå
k=1
aikbk j
Ejemplo (3) Ejemplo producto de matrices:
halle el producto AB donde:
A =

91. 1 3
4 2
5 0

97. , y B =

101. 3 2
4 1

105. 9

106. Solución 3. Primero observemos que el producto AB está definido porque el or-den
de A es 32 y el de B es 22. Además el producto es de orden 32 y es de
la forma: 2
1 3
4 2
5 0
4
3
5
3 2
4 1
=
2
4
c11 c12
c21 c22
c31 c32
3
5
Para determinar c11 se multiplican los elementos corrrespondientes a la primera
fila de A por la primera columna de B, es decir:
c11 = (1)(3)+(3)(4) = 9
2
4
-1 3
4 2
5 0
3
5
=
-3 2
-4 1
2
4
9 c12
c21 c22
c31 c32
3
5
Para determinar c12 se multiplican los elementos corrrespondientes a la primera
fila de A por la segunda columna de B, es decir:
c12 = (1)(2)+(3)(1) = 1
2
4
-1 3
4 2
5 0
3
5
3 2
4 1
=
2
4
9 1
c21 c22
c31 c32
3
5
Si continuamos con este patron tenemos:
c21 = (4)(3)+(2)(4) = 4
c22 = (4)(2)+(2)(1) = 6
c31 = (5)(3)+(0)(4) = 15
c32 = (5)(2)+(0)(1) = 10
El producto AB es:
2
4
1 3
4 2
5 0
3
5
3 2
4 1
=
2
4
9 1
4 6
15 10
3
5
Teorema 1. Propiedades de la Multiplicación de Matrices
Si A, B y C son matrices cuyos ordenes permiten el producto entre estas, y c es un
escalar, enotonces se cumplen las siguientes propiedades:
10

107. 1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB+AC
3. (A+B)C = AC+BC
4. c(AB) = (cA)B = A(cB)
Ejercicio 3. Compruebe todas las propiedades anteriores para las matrices A, B,
C y el escalar c = 3=2 donde
A =
1 2
2 1
B =
1 0 2
3 2 1
C =
2
4
3
5
1 0
3 1
2 4
Ejercicio 4. Demuestre que en general, la multiplicación de matrices no es con-mutativa.
Definición 11. La multiplicación repetida de matrices cuadradas se usa con la
misma notación exponencial de los números reales. es decir A1 = A, A2 = AA y
así sucesivamentepara un entero positivo k
Ak = |AA{z A}
kveces
Ejercicio 5. Halle la matriz A3 si
A =
2 1
3 0
Definición 12. Transpuesta de una matriz
Si
A = [ai j]
entonces
At = [aji]
es decir, la matriz transpuesta cambia las columnas por la filas (o viceversa).
Ejercicio 6. Hallar la transpuesta de las siguientes matrices:
A =
2
4
0 1
2 4
1 1
3
5B =
2
4
3
5
1 2 0
2 1 0
0 0 1
11

108. Definición 13. Una Matriz A de orden nn se denomina invertible si existe una
matriz B de orden nn tal que
AB = BA = In
Donde In es la matriz identidad de orden nn. La matriz B se denomina inversa
de A. Una matriz que no tiene inversa se denomina Singular.
Proposición 1. Las matrices que no son cuadradas son todas singulares
Proposición 2. Si A es una matriz invertible, entonces su inversa A1 es única.
4.1.2. Determinación de la Inversa de una Matriz
La inversa de una matriz se puede hallar utilizando el método de la solución
de sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo (4) Determine la inversa de la matriz A, donde
A =
1 4
1 3
Para hallar la inversa es necesario resolver la ecuación matricial AX = I
1 4
1 3
x11 x12
x21 x22
=
1 0
0 1
x11+4x21 x12+4x22
x113x21 x123x22
=
1 0
0 1
de aquí se generan dos sitemas que tienen en común la misma matriz de coeficien-tes,
tenemos las matrices aumentadas:
1 4
...
1
1 3
...
0
#
y
1 4
...
0
1 3
...
1
#
Estos dos sistemas se pueden resolver simultáneamente. Uniendo la matriz de
coeficientes con la identidad.
1 4
...
#
1 0
1 3
...
0 1
12

109. Si aplicamos el método de Gauss-Jordan a la matriz ampliada se pueden resolver
los dos sistemas al mismo tiempo.
Si sumamos la primera fila mas la segunda tenemos:
1 4
...
#
1 0
0 1
...
1 1
Y si sumamos 4 veces la segunda fila a la primera obtenemos:
1 0
...
3 4
0 1
...
1 1
#
La matriz que queda al lado derecho es la inversa de A
Ejercicio 7. Halle la inversa de las matrices
a. Compruebe mediante la multiplicación que:
1 4
1 3
=
3 4
1 1
1 0
0 1
b. Muestre que la inversa de
A =
a b
c d
Es la matriz:
1
adbc
d b
c a
c. Demuestere que la siguiente matriz no tiene inversa
A =
2
4
3
5
1 2 0
3 1 2
2 3 2
Teorema 2. Propiedades de La Matriz Inversa
1. (A1)1 = A
2. (Ak)1 = A1A1 A1
13

110. 3. (cA)1 = 1c
A1 c6= 0
4. (At)1 = (A1)t
5. (AB)1 = B1A1
Donde k es un entero positivo, y At es la transpuesta de A, con A y B invertibles.
Teorema 3. Si A es una matriz invertible, entonces el sistema de ecuaciones li-neales
representado por AX = B tiene única solución determinada por
X = A1B
14

111. Referencias
[1] Apostol, Tom. Calculus Vol. II. Reverté, 1980.
[2] Larson, R.; Edwards, B. Introducción al Álgebra Lineal. Limusa, 2009.
15