Elipse, ecuaciones, construcción, propiedades, ejercicios.

1. SECCIONES
CÓNICAS:
LA ELIPSE
Prof. Carlos A. Blanco

2. Eje
SECCIONES CÓNICAS (I)
• Se define un cono
como una superficie de
revolución que se
obtiene al girar una
recta llamada
generatriz alrededor
de una recta secante a
ella llamada eje.
• El punto de corte de
ambas rectas es el
vértice del cono.
Generatriz
Vértice

3. SECCIONES CÓNICAS (II)
Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se
obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos  al
ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si  es el
ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:
1. Si el plano es perpendicular al eje
𝛽 = 90° se obtiene una
circunferencia.
2. Si 𝛼 < 𝛽 < 90° se obtiene una
elipse.
3. Si el plano es paralelo a la
generatriz 𝛽 = 𝛼 se obtiene una
parábola.
4. Si 𝛽 < 𝛼 se obtiene una hipérbola.
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

4. SECCIONES CÓNICAS (III)
Un experimento que se puede realizar es apuntar con una
linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que
adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la
inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas
secciones cónicas.

5. ELIPSE DEFINICIÓN
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de
distancias a dos puntos fijos, llamados focos; es constante.
• En la elipse de la
figura, el punto medio
del segmento que
une los focos es el
centro de la elipse.
• La recta que une los
focos es el eje
mayor.
• Su perpendicular por
el centro es el eje
menor.
Centro
Eje menor
Eje mayor

6. ELIPSE ELEMENTOS
• Los puntos de corte de la elipse con los ejes son los vértices.
• 𝑐 = 𝑑 𝐹𝑖, 𝐶 es la semidistancia focal.
• 𝑎 = 𝑑 𝐴𝑖, 𝐶 es el semieje mayor.
• 𝑏 = 𝑑 𝐵𝑖, 𝐶 es el semieje menor.
Vértices
c
a
b

7. ELIPSE RELACIÓN FUNDAMENTAL
• Puesto que los vértices del eje mayor son puntos de la elipse
𝑑 𝐹1, 𝐴𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐴𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑐 = 2𝑎.
• Puesto que los vértices del eje menor son puntos de la elipse
𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 = 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖
𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖 = 2𝑎
⇒ 𝑑 𝐹𝑖, 𝐵𝑖 = 𝑎 para 𝑖 = 1,2
• Se ve un triángulo rectángulo con hipotenusa a y catetos b y c
• Tenemos entonces la relación fundamental de la elipse.
a + c
a  c
aa
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
b
c

8. ELIPSE ECUACIÓN
Para hallar la ecuación de la elipse, suponemos que 𝐹1 = 𝑐, 0 y
𝐹2 = −𝑐, 0 son los focos, 𝑎 el semieje mayor y 𝑏 el semieje
menor, siendo 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
. Si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la elipse:
𝑑 𝐹1, 𝑃 + 𝑑 𝐹2, 𝑃 = 2𝑎 ⟹ 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
Operando nos queda
𝑎2
− 𝑐2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑎2
− 𝑐2
⟺ 𝑏2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Lo que es equivalente a
En una elipse, se llama excentricidad al cociente 𝑒 =
𝑐
𝑎
y
determina el achatamiento. Será un valor entre 0 y 1, tanto más
próximo a 0 cuánto más se parezca la elipse a una circunferencia
y más próximo a 1 cuánto más achatada.

9. ECUACIONES DE LA ELIPSE
Suponiendo que el centro es el origen de coordenadas,
tenemos las siguientes posibilidades.
Si el centro es el punto 𝐶 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:
𝑥−𝑥0
2
𝑎2 +
𝑦−𝑦0
2
𝑏2 = 1 ó
𝑦−𝑦0
2
𝑎2 +
𝑥−𝑥0
2
𝑏2 = 1
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
según sea la orientación de la elipse.

10. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE
• Trazamos circunferencias centradas en los focos cuya suma
de radios sea constante.
• Los puntos de intersección serán los puntos de la elipse.

11. LA ELIPSE CON EL
MÉTODO DEL JARDINERO
• Atamos una hilo en cada uno de los focos y manteniéndolo
tenso con un lapicero, trazamos la elipse.
• Este es conocido como el “método del jardinero”.

12. PROPIEDAD DE LA ELIPSE
La elipse tiene una importante propiedad de reflexión
Si desde uno de los focos se emite un rayo de luz, que se
refleja en el interior de la elipse, el rayo reflejado pasará por el
otro foco.
Gráficamente, la recta perpendicular a la tangente a una elipse
en un punto es la bisectriz del ángulo formado por los radio-
vectores de dicho punto.
Se usa para diseñar las bóvedas de las estaciones de metro.

13. ELIPSES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
El movimiento que describen los planetas alrededor de su
estrella sigue una elipse, estando la estrella en uno de los
focos.
Además, el planeta se mueve más deprisa en los momentos en
los que está más cerca de la estrella, y más despacio cuando
está más alejado de la misma.

14. EJERCICIOS DE ELIPSES
Hay dos tipos de ejercicios de elipses:
El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de
la elipse a partir de unos datos determinados
El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los
elementos más destacados de la elipse y realizar un dibujo
aproximado a partir de la ecuación.
En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la
ecuación de la elipse en forma reducida (más fácil)
Ó puede ser que nos den la ecuación de la elipse en forma
desarrollada (más difícil)

15. EJERCICIO 1 DE ELIPSES
Halla la ecuación de la elipse de centro el punto de 𝑂 = 2,3 ,
cuya semidistancia focal es 4 y cuyos radio-vectores de un
punto son 7 y 3.
Para hallar la ecuación de una elipse necesitamos conocer el
centro y los semiejes.
Como los radio-vectores de un punto son 7 y 3 se tiene que:
7 + 3 = 2𝑎 ⟹ 𝑎 = 5
Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental
52
= 𝑏2
+ 42
⟹ 𝑏 = 3
Puesto que también tenemos el centro, la elipse es
𝑥 − 2 2
52 +
𝑦 − 3 2
32 = 1

16. EJERCICIO 2 DE ELIPSES
Halla todos los elementos de la elipse
𝑥+1 2
22 +
𝑦−1 2
32 = 1
A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.
Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje y. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y
los vértices.
32
= 22
+ 𝑐2
⟹ 𝑐 = 5
𝐹1 = −1,1 + 5 , 𝐹2 = −1,1 − 5
𝐴1 = −1,1 + 3 = −1,4 , 𝐴2 = −1,1 − 3 = −1, −2
𝐵1 = −1 + 2,1 = 1,1 , 𝐵2 = −1 − 2,1 = −3,1
𝑒 = 5
3
𝑂 = −1,1 , 𝑎 = 3 y 𝑏 = 2

17. EJERCICIO 3 DE ELIPSES
Halla los elementos de la elipse 𝑥2
+ 4𝑦2
+ 4𝑥 − 16𝑦 + 4 = 0
A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.
Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje x. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y
los vértices.
42 = 22 + 𝑐2 ⟹ 𝑐 = 12
𝐹1 = −2 + 12, 2 , 𝐹2 = −2 − 12, 2
𝐴1 = −2 + 4,2 = 2,2 , 𝐴2 = −2 − 4,2 = −6,2
𝐵1 = −2,2 + 2 = −2,4 , 𝐵2 = −2,2 − 2 = −2,0 y 𝑒 = 12
4
𝑂 = −2,2 , 𝑎 = 4 y 𝑏 = 2
En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación
reducida.
𝑥 + 2 2
42 +
𝑦 − 2 2
22 = 1

18. CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN
• En las siguientes imágenes se puede
observar que las secciones cónicas
cumplen las definiciones como lugares
geométricos.
• Las imágenes proceden de la página
http://www.aulamatematicas.org/Conicas/
ConicasSeccionesCono.htm
• Para saber más sobre las esferas de
Dandelin, clic aquí

19. CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN
𝑃𝐹1 = 𝑃𝑀
𝑃𝐹2 = 𝑃𝑀′
⇒
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 =
= 𝑃𝑀 + 𝑃𝑀′
Que es la longitud
de la generatriz
entre 𝐶1 y 𝐶2 y no
depende del punto 𝑃