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- 2. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber: • Potenciação e Radiciação • Introdução às Funções • Função Afim • Função quadrática • Inequações do 1º e do 2º graus • Função Exponencial
- 3. O que você sabe sobre logaritmos?
- 5. Logaritmo Logaritmo de a na base b é o número real x, tal que bx = a, com a e b positivos e b diferente de 1. Exemplos: abxa x b =⇔=log 3828log) 2939log) 2 3 =⇔=⇔= =⇔=⇔= xxb xxa x x
- 6. Logaritmo abxa x b =⇔=logdefinição a > 0 e b > 0 b ≠ 1
- 8. Solução ( ) ( ) ( ) 4 1 2 1 2 66 66 636 6log) 2 12 2 12 36 = = = = = = x x xa x x x 3 55 5 5 1 5 10 2 1252,0 125log) 3 3 3 2,0 −= = = = = = − x xb x x x x
- 9. Voltando a definição de logaritmo, temos que x é o logaritmo, b é base e a é o logaritmando. xab =log logaritmo base logaritmando Dizemos que x é o logaritmo de a na base b
- 10. elementos logaritmo base logaritmando Logaritmo abxa x b =⇔=logdefinição a > 0 e b > 0 b ≠ 1
- 11. Exercício Calcule: a) O logaritmo de 4 na base 1/8. b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2. c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
- 12. Exercício Calcule: a) O logaritmo de 4 na base 1/8. b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2. c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
- 13. Solução a) O logaritmo de 4 na base 1/8. ( ) 3 2 23 22 28 4 8 1 4log 3 2 8 1 −= =− = = = = − − x x x x x x
- 14. b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2. c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1. 9 1 3 2log 2 3 = = −= − x x x 4 4 1 1log 1 4 1 = = −= − x x x
- 15. 2) Determine o domínio da função: )65(log)( 2 1 +−= + xxxf x
- 16. Solução Restrições para a base x + 1 > 0 e x + 1 ≠ 1 x > -1 x ≠ 0 Restrições para o logaritmando x2 – 5x + 6 > 0 x2 – 5x + 6 = 0 x1 = 2 e x2 = 3 S = ] -1, 0 [ U ] 0 , 2 [ U ] 3 , +∞ [ 2 3 ++ - -1 + - 0 -1 0 2 3
- 17. Consequências da definição 1ª) , pois a0 = 1. 2ª) , pois a1 = a. 3ª) , pois an = an . 4ª) 5ª) 01log =a 1log =aa nan a =log na na =log yxyx aa =⇔= loglog
- 18. consequências na na =log 01log =a yxyx aa =⇔=loglog nan a =log 0log =aa elementos logaritmo base logaritmando Logaritmo abxa x b =⇔=logdefinição a > 0 e b > 0 b ≠ 1
- 19. Exercício Classifique as sentenças como verdadeiras ou falsas: 01log) 01log) 55log) 11log) 5 5 1 5 = = = = d c b a 52) 52) 73log) 33log) 2log 5log 7 3 7 7 5 2 = = = = h g f e
- 20. Solução 01log) 15log) 55log) 11log) 5 5 1 5 = = = = d c b a falsa, pois 15 = 1 verdadeira, pois 51 = 5 falsa, pois 51 = 5 verdadeira, pois 50 = 1 falsa, pois 73 ≠ 37 verdadeira falsa52) 52) 73log) 33log) 2log 5log 7 3 7 7 5 2 = = = = h g f e verdadeira
- 21. Sistemas de Logaritmos Logaritmo decimal: apresenta base 10. Logaritmo neperiano: apresenta base e. xx loglog10 = xxe lnlog =
- 22. sistemas decimal neperiano base e ln consequências na na =log 01log =a yxyx aa =⇔=loglog nan a =log 0log =aa elementos logaritmo base logaritmando Logaritmo abxa x b =⇔=logdefinição a > 0 e b > 0 b ≠ 1
- 23. Qual é o valor de cada uma das seguintes expressões? Exercícios 1ln2ln3ln) 10log1log5log) 32 35 +− −+ eeb a
- 25. Propriedades do logaritmo 1ª) Logaritmo do produto Exemplo: ( ) cbcb aaa loglog.log += ( ) ( ) 32125.5log 25log5log25.5log 5 555 =+= +=
- 26. Propriedades do logaritmo 2ª) Logaritmo do quociente Exemplo: cb c b aaa logloglog −= ( ) ( ) 12log2,0log 10log2log 10 2 log2,0log 5 −= −= =
- 27. Propriedades do logaritmo 3ª) Logaritmo da potência Exemplo: ( ) bcb a c a loglog = aa 7 10 7 log10log =
- 28. sistemas decimal neperiano base e ln consequências na na =log 01log =a yxyx aa =⇔=loglog nan a =log 0log =aa elementos logaritmo base logaritmando Logaritmo abxa x b =⇔=logdefinição a > 0 e b > 0 b ≠ 1 potência quociente produto cbbc aaa loglog)(log += bcb a c a loglog = ( ) cbcb aaa logloglog −=propriedades
- 29. Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule, em função de a e b: = = = = = = 3 8,1log) 4 1log) 30log) 5log) 5,1log) 6log) f e d c b a
- 30. Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule, em função de a e b: = = = = = = 3 8,1log) 4 1log) 30log) 5log) 5,1log) 6log) f e d c b a
- 31. Solução ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 3 1 10log3log2log 3 1 10 3.2 log 3 1 10 18 log 3 1 8,1log 3 1 8,1log8,1log) 222log1log2 2 1 log2 2 1 log 4 1log) 110log3log10.3log30log) 12log10log 2 10 log5log) 2log3log 2 3 log 10 15 log5,1log) 3log2log3.2log6log) 2 2 3 2 3 1 −+=−+= = === −=−=−= = = +=+== −=−= = −=−= = = +=+== ba f aae bd ac abb baa
- 32. Para mudar para base c, usaremos a fórmula: Exemplo: Mudando para base 10. Mudança de base a b b c c a log log log = balog 12log2 2log 12log 12log2 =
- 33. 01log =a 01log =a sistemas decimal neperiano base e ln consequências na na =log 01log =a yxyx aa =⇔=loglog nan a =log 0log =aa elementos logaritmo base logaritmando Logaritmo abxa x b =⇔=logdefinição a > 0 e b > 0 b ≠ 1 potência quociente produto cbbc aaa loglog)(log += bcb a c a loglog = ( ) cbcb aaa logloglog −=propriedades b a a c c b log log log = Mudança de base
- 34. Exercício 1 Calcule o valor de: 5log.4log.3log 354
- 37. Solução ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 44 log 2log44log 2log2log 2log2log2 1 2 log 2log 1 4log log 2log 1log2log 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 42 = +− =−+− =−− =−− =−− =−− =−− x xx xxx xx xx x x x x xx 324 048 444 44 4 44 2 2 2 2 2 2 ±= =+− +−= +− = +− = x xx xxx x xx x xx Como x > 0, então resposta letra D.
- 38. O que vimos nessa aula: • Definição de logaritmo • Consequências da definição • Propriedades do logaritmo • Mudança de base • Como resolver equações e inequações logarítmicas
- 39. Bibliografia • Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 224 a 255. • Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 103 a 131. • Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 133 a 154.